Идентичности, область определения и отбор корней: задания с ответами

Решим уравнение и затем аккуратно отберём корни на отрезке. Здесь важны две идеи: во-первых, правильно записать общее решение тригонометрического уравнения, во-вторых, не потерять и не добавить лишние корни при проверке промежутка.

Имеем

$\sin \left(2x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается для углов

$2x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $2x=\frac{2}{3}\pi +2\pi k$, где $k\in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ или $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$.

Теперь отбираем корни на отрезке $[-\frac{5}{6}\pi ;\frac{7}{6}\pi ]$.

1) Для $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ проверяем целые $k$. При $k=-1$ получаем $-\frac{5}{6}\pi$ — левая граница входит в отрезок. При $k=0$ получаем $\frac{\pi }{6}$. При $k=1$ получаем $\frac{7}{6}\pi$ — правая граница тоже входит. Следующие значения уже выходят за отрезок.

2) Для $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ получаем при $k=-1$ корень $-\frac{2}{3}\pi$, а при $k=0$ — $\frac{\pi }{3}$. Оба лежат на отрезке. При $k=1$ уже получаем $\frac{4}{3}\pi$, а это больше правой границы $\frac{7}{6}\pi$.

Итак, все корни на отрезке:

$-\frac{5}{6}\pi ,-\frac{2}{3}\pi ,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{7}{6}\pi$.

Сумма:

$(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$.

Ответ: $\pi$.

Типичная ошибка на ЕГЭ — найти только один набор решений и забыть второй, а также неверно проверить включение границ. Здесь границы входят, поэтому корни на концах отрезка обязательно учитываются.

Сначала решаем базовое тригонометрическое уравнение \(\cos(3x)=\frac12\). Это стандартный тип: сначала находим все значения аргумента, для которых косинус равен \(\frac12\), а затем делим аргумент на коэффициент при \(x\).

Для косинуса известно, что \(\cos t=\frac12\) при \(t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\). Значит,

\(3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.\)

Тогда

\(x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.\)

Теперь отбираем корни, принадлежащие отрезку \([0;2\pi]\). Посмотрим на значения из полученного семейства. При \(n=0\) имеем корни \(x=\frac{\pi}{9}\) и \(x=-\frac{\pi}{9}\); второй не подходит, потому что он отрицательный. При \(n=1\) получаем \(x=\frac{7\pi}{9}\) и \(x=\frac{5\pi}{9}\) — оба лежат на отрезке. При больших \(n\) корни тоже можно получить, но для выбора ответа достаточно проверить предложенные варианты.

Разберём, почему это задание часто вызывает ошибки. Во-первых, учащиеся иногда забывают, что нужно делить не только \(\pi/3\), но и весь периодический шаг \(2\pi n\) на \(3\). Во-вторых, можно ошибиться со знаком: для уравнения косинуса всегда нужно учитывать обе симметричные ветви \(\pm\arccos a\). В-третьих, после решения важно проверить принадлежность отрезку, а не просто выбрать «похожий» корень.

Проверим варианты. Подходит \(\frac{5\pi}{9}\), потому что

\(3\cdot\frac{5\pi}{9}=\frac{5\pi}{3}, \quad \cos\frac{5\pi}{3}=\frac12.\)

Итак, правильный ответ — \(\frac{5\pi}{9}\).

Раз задача уже дана в виде общего решения, не нужно заново решать тригонометрическое уравнение. Здесь проверяется другой важный навык ЕГЭ Профиль: отбор корней по промежутку.

Дано два семейства решений:

\(x=\frac{\pi}{6}+\pi n\) и \(x=\frac{5\pi}{6}+\pi n\), где \(n\in\mathbb Z\).

Нужно найти все значения \(x\) на отрезке \([0;2\pi]\).

1) Первое семейство: \(x=\frac{\pi}{6}+\pi n\).

Подставим целые \(n\) и посмотрим, какие значения попадут на отрезок:

• \(n=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}\) — подходит;
• \(n=1\Rightarrow x=\frac{7\pi}{6}\) — подходит;
• \(n=2\Rightarrow x=\frac{13\pi}{6}>2\pi\) — не подходит;
• \(n=-1\Rightarrow x=-\frac{5\pi}{6}<0\) — не подходит.

Значит, из первого семейства получаем корни \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{7\pi}{6}\).

2) Второе семейство: \(x=\frac{5\pi}{6}+\pi n\).

• \(n=0\Rightarrow x=\frac{5\pi}{6}\) — подходит;
• \(n=1\Rightarrow x=\frac{11\pi}{6}\) — подходит;
• \(n=2\Rightarrow x=\frac{17\pi}{6}>2\pi\) — не подходит;
• \(n=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}<0\) — не подходит.

Из второго семейства получаем корни \(\frac{5\pi}{6}\) и \(\frac{11\pi}{6}\).

Итак, на отрезке \([0;2\pi]\) есть 4 корня:

\(\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\).

Ответ: 4.

Почему здесь легко ошибиться?

• Можно забыть, что \(n\) — любое целое число, и проверить только несколько значений «наугад».
• Можно потерять одно из двух семейств решений. В тригонометрических задачах это особенно опасно: если общее решение записано как объединение семейств, каждое нужно проверять отдельно.
• Можно неверно учесть границы отрезка. Здесь границы \(0\) и \(2\pi\) не являются корнями, но в других задачах крайние точки могут входить в ответ, если они действительно удовлетворяют уравнению.

Стратегия для экзамена: сначала аккуратно выписывайте все семейства решений, затем для каждого семейства оценивайте, при каких целых \(n\) значение \(x\) попадает в заданный промежуток. Это быстрее и надежнее, чем подставлять много значений без системы.

Решим уравнение по стандартной схеме: сначала находим все решения, затем отбираем те, которые попадают в заданный отрезок, и уже после этого применяем дополнительное правило — выбрать наименьший корень.

1) Рассмотрим уравнение \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Это одно из стандартных значений косинуса. Косинус равен \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) в углах, соответствующих точкам II и III четвертей на единичной окружности: \(x = \dfrac{3\pi}{4}\) и \(x = \dfrac{5\pi}{4}\). Поэтому общее решение можно записать, например, так: \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\) или \(x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

2) Теперь проверяем, какие из этих решений лежат на отрезке \([\pi;\,4\pi/3]\). Здесь важно не ошибиться с границами: обе границы входят в отрезок, значит число \(\pi\) и число \(4\pi/3\) тоже нужно проверять, если бы они были корнями.

Сравним найденные углы:

• \(\dfrac{3\pi}{4} = 0{,}75\pi\), а это меньше \(\pi\), значит не подходит;
• \(\dfrac{5\pi}{4} = 1{,}25\pi\), и это действительно лежит между \(\pi\) и \(4\pi/3\approx 1{,}333\pi\).

3) На отрезке оказался ровно один корень: \(\dfrac{5\pi}{4}\). Следовательно, он же и является наименьшим корнем на данном отрезке.

Ответ: \(\dfrac{5\pi}{4}\).

Типичные ошибки на ЕГЭ:

• путают значения \(\dfrac{3\pi}{4}\) и \(\dfrac{5\pi}{4}\) для отрицательного косинуса;
• забывают, что сначала нужно выписать все решения уравнения, а не только одно из них;
• ошибаются при сравнении с отрезком, особенно когда правая граница записана дробью;
• не проверяют, включены ли границы отрезка.

Как себя проверять: если косинус отрицательный, ответ должен лежать во II или III четверти; число \(\dfrac{5\pi}{4}\) как раз находится в III четверти, значит результат правдоподобен.

Решаем уравнение по стандартной схеме для sin(t)=\frac12, а затем возвращаемся к переменной x. Это один из самых типичных шаблонов ЕГЭ: сначала находят решения для аргумента синуса, потом делят на коэффициент при x.

1. Сначала решаем уравнение для аргумента.

Пусть t=3x. Тогда нужно решить

\[\sin t=\frac12.\]

Синус равен \(\frac12\) в двух точках на одном периоде:

\[t=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z.\]

Это важно понимать геометрически: у синуса два семейства решений, потому что на окружности уровень \(\frac12\) достигается в I и II четвертях.

2. Возвращаемся к переменной x.

Подставляем \(t=3x\):

\[3x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 3x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k.\]

Теперь делим всё на 3:

\[x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}, \quad k\in\mathbb Z.\]

Это и есть правильный ответ.

Почему именно этот вариант?

Вариант A содержит оба семейства решений и правильный период для x. Период для синуса по аргументу равен \(2\pi\), а после деления аргумента на 3 шаг параметра становится \(\frac{2\pi}{3}\). Это типичная ловушка: многие забывают делить период на коэффициент при неизвестной.

Почему остальные варианты неверны?

B. Здесь написаны решения для уравнения \(\sin x=\frac12\), то есть коэффициент 3 утерян. Это ошибка «не разделили на коэффициент при x».

C. Здесь правильные базовые углы, но неверный шаг параметра: вместо \(\frac{2\pi}{3}\) стоит \(\frac{\pi}{3}\). Это означает, что период уменьшили вдвое без основания.

D. Здесь одно из семейств ошибочно: вместо \(\frac{5\pi}{6}\) взято \(\frac{7\pi}{6}\)-подобное значение после деления, что не соответствует уравнению \(\sin t=\frac12\). Частая ошибка — перепутать угол из II четверти с симметричным значением из III или IV четверти.

Полезная стратегия для ЕГЭ:

1) Всегда сначала записывайте решение для «внутреннего» угла, то есть для аргумента синуса.

2) После этого аккуратно делите каждое решение на коэффициент при x.

3) Проверяйте, что у синуса два семейства решений при \(|c|<1\), иначе легко потерять вторую ветвь.

4) Для самопроверки подставьте первые корни: при \(x=\frac{\pi}{18}\) получаем \(3x=\frac{\pi}{6}\), а \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\); при \(x=\frac{5\pi}{18}\) получаем \(3x=\frac{5\pi}{6}\), и снова \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12\). Значит, решение верно.

Решаем уравнение sin x = -\dfrac{1}{2}. Здесь важно не только найти все решения, но и затем отобрать те, которые попадают в заданный промежуток [0;2\pi]. Это типичный экзаменационный приём: сначала записать общее решение, потом аккуратно сделать отбор корней.

Для уравнения sin x = -\dfrac{1}{2} опорный угол равен \dfrac{\pi}{6}, потому что sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}. Так как синус отрицателен, решения лежат в III и IV четвертях. Значит, общее решение можно записать так:

x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k или x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k, где k\in\mathbb{Z}.

Теперь отберём решения на отрезке [0;2\pi]. Проверим значения:

-\dfrac{\pi}{6} не принадлежит промежутку, но при k=1 получаем -\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}, и это число уже лежит в [0;2\pi].

Во второй серии при k=0 получаем \dfrac{7\pi}{6}, и это тоже подходит. При k=1 было бы \dfrac{19\pi}{6}, что больше 2\pi, поэтому не подходит.

Если по условию требуется выбрать один корень, то допустимыми ответами являются оба корня на отрезке: \dfrac{7\pi}{6} и \dfrac{11\pi}{6}. Но в тесте с одним верным вариантом обычно среди ответов специально оставляют один из них. Правильный выбранный корень здесь — \dfrac{11\pi}{6}.

Почему важно не ошибиться? Частая ошибка — написать только x = -\dfrac{\pi}{6} и забыть, что из-за периодичности нужно добавить 2\pi k. Ещё одна типичная ошибка — перепутать четверти: при отрицательном синусе решения действительно находятся в III и IV четвертях, а не в I и II.

Итак, корень, принадлежащий промежутку [0;2\pi], и указанный в вариантах ответа, — \dfrac{11\pi}{6}.

Нужно вспомнить формулу косинуса разности углов. Это одно из базовых тождеств, и в ЕГЭ важно не только помнить его «наизусть», но и уметь быстро отличать от близких по виду формул суммы и синуса разности.

Правильная формула:

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ.

Она совпадает с вариантом A.

Почему именно так? У косинуса разности знак между слагаемыми плюс. Это удобно запоминать через пару: для косинуса разности и синуса суммы знаки разные, но для самой формулы нужно ориентироваться именно на стандартное тождество. Очень частая ошибка — перепутать его с формулой косинуса суммы:

cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

Здесь уже стоит минус. Именно на этом и построен вариант B: он выглядит правдоподобно, потому что отличается от правильного ответа только знаком, но это формула для суммы, а не для разности.

Почему остальные варианты неверны?

Вариант C неверен по структуре: в формуле косинуса разности должны быть произведения cosα·cosβ и sinα·sinβ. Здесь же вместо первого произведения появляется sinα·sinβ, а вместо второго — cosα·sinβ. Такая запись не является тождеством.

Вариант D тоже неверен: в правильной формуле второй член должен содержать sinα·sinβ, а не sinα·cosβ. Здесь перепутана функция во втором множителе, а это уже меняет тождество.

Как быстро самопроверяться на экзамене? Полезно держать в голове две опорные формулы:

1) cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ;

2) cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

Тогда на заданиях, где нужно выбрать верную формулу или преобразовать выражение, вы сможете проверять не только знак, но и структуру: должны быть именно две пары «косинус-косинус» и «синус-синус» без лишних членов. Если в ответе смешаны функции или нарушен порядок, это почти всегда признак ошибки.

Итог: верен вариант A.

Сначала решим уравнение sin x = 1/2 в общем виде. Для стандартных значений тригонометрических функций нужно помнить два важных момента:

1) уравнение sin x = a обычно имеет два семейства решений на каждом периоде, если |a| < 1;
2) затем обязательно выполняется отбор корней по заданному промежутку.

Так как sin x = 1/2, то опорный угол равен π/6, потому что sin(π/6)=1/2. Тогда общее решение:

x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Теперь проверим, какие из этих корней попадают в промежуток (2π; 3π).

Для первого семейства:

π/6 + 2πk должно лежать между 2π и 3π. При k=1 получаем 13π/6, и это число действительно лежит в промежутке, потому что 2π = 12π/6, а 3π = 18π/6, значит 12π/6 < 13π/6 < 18π/6.

Для второго семейства:

5π/6 + 2πk. При k=1 получаем 17π/6, и это тоже лежит в промежутке (2π; 3π).

Итак, на указанном промежутке есть два корня: 13π/6 и 17π/6. Но по условию нужно выбрать один корень; среди вариантов ответа правильным будет тот, который действительно присутствует в списке вариантов и принадлежит промежутку. Это и есть 13π/6.

Почему здесь часто ошибаются:

— забывают, что у уравнения sin x = 1/2 два семейства решений;
— пишут только π/6 и пропускают периодичность;
— неверно проверяют промежуток, особенно если он не начинается с нуля;
— путают открытый и закрытый промежуток: здесь концы не входят, но это не влияет, потому что найденные корни не равны границам.

Ответ: 13π/6.

Сначала решаем уравнение в общем виде. Если cos(2x)=\frac12, то аргумент косинуса должен быть равен углам, при которых косинус принимает значение \frac12:

2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Отсюда делим всё на 2:

x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k.

Теперь отбираем только те корни, которые попадают в отрезок [\frac{\pi}{6};\, \frac{7\pi}{6}].

Из семейства x=\frac{\pi}{6}+\pi k получаем:

k=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6},

k=1 \Rightarrow x=\frac{7\pi}{6}.

Оба числа принадлежат отрезку, потому что концы отрезка включены. Следующее значение при k=2 уже даёт x=\frac{13\pi}{6}, что вне отрезка.

Из семейства x=-\frac{\pi}{6}+\pi k получаем:

k=1 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{6},

это тоже лежит в заданном промежутке. При k=0 имеем x=-\frac{\pi}{6}, что не подходит.

Значит, на отрезке находятся три корня:

\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}.

Их сумма равна

\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}=\frac{13\pi}{6}.

Ответ: \frac{13\pi}{6}.

Почему здесь важно действовать аккуратно: в задачах на отбор корней часто теряют один из двух периодических рядов или забывают проверить границы отрезка. Особенно это опасно, когда корень совпадает с концом отрезка: такие значения обязательно включаются, если отрезок записан квадратными скобками. Ещё одна типичная ошибка — не учитывать, что после перехода к 2x период меняется, а значит, при возвращении к x шаг между решениями тоже меняется. Самый надёжный алгоритм для ЕГЭ: сначала написать общее решение, потом явно подставить целые значения параметра k, и только после этого отобрать корни по промежутку.

Решим уравнение по шагам, как это удобно делать на ЕГЭ Профиль.

1. Приводим к базовой тригонометрической форме. У нас уже есть уравнение вида cos(2x)=a, где a=-\frac12. Это стандартный случай: сначала находим общие решения для аргумента 2x, а потом делим на 2 и отбираем корни по промежутку.

2. Находим все решения уравнения для аргумента. Из таблицы значений знаем, что \cos t=-\frac12 при

\(t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(t=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Здесь важно помнить, что косинус принимает одно и то же значение дважды за период, симметрично относительно оси Ox.

3. Переходим к переменной x. Подставляем t=2x:

\(2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k\),

\(2x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+\pi k\).

Это и есть два семейства решений. Частая ошибка — забыть, что при делении на 2 период тоже уменьшается в 2 раза, поэтому шаг по x равен \pi, а не 2\pi.

4. Отбираем корни на отрезке [0;2\pi].

Для первого семейства:

\(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\).
При \(k=0\): \(x=\frac{\pi}{3}\).
При \(k=1\): \(x=\frac{4\pi}{3}\).
При \(k=2\): \(x=\frac{7\pi}{3}>2\pi\), не подходит.

Для второго семейства:

\(x=\frac{2\pi}{3}+\pi k\).
При \(k=0\): \(x=\frac{2\pi}{3}\).
При \(k=1\): \(x=\frac{5\pi}{3}\).
При \(k=2\): \(x=\frac{8\pi}{3}>2\pi\), не подходит.

Итак, все корни на отрезке:

\(\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}\).

5. Находим сумму корней.

\(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}=\frac{12\pi}{3}=4\pi\).

Ответ: 4\pi.

Почему здесь легко ошибиться. Во-первых, можно забыть одно из двух семейств решений для косинуса. Во-вторых, можно не учесть, что после замены 2x=t нужно делить не только сами значения корней, но и шаг периодичности. В-третьих, при отборе по отрезку нельзя пропускать правую границу, если она входит в промежуток, хотя в этой задаче она не является корнем. Умение аккуратно выписывать все значения через параметр k — ключ к таким заданиям.

Рассмотрим уравнение cos(3x)=\frac12. Это типичная задача на нахождение общего решения: сначала нужно вспомнить, при каких углах косинус равен \frac12, а затем правильно учесть коэффициент при переменной.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что

cos t=\frac12 \iff t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.

Здесь важно не забыть, что у косинуса два семейства решений: угол \frac{\pi}{3} и угол -\frac{\pi}{3}. Частая ошибка на ЕГЭ — записать только одно из них и потерять часть ответов.

Теперь подставим вместо t выражение 3x:

3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.

Остаётся аккуратно разделить обе части на 3:

x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.

Это и есть общее решение. Обратите внимание на две типичные ловушки:

• Неверный период. Иногда пишут x=\pm\frac{\pi}{9}+2\pi n, забывая, что период по x уменьшается в 3 раза, потому что аргумент — 3x.

• Потеря одного семейства решений. Запись только x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3} неполна, потому что отрицательный угол тоже даёт \frac12.

Вариант ответа должен содержать именно две серии: x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3} и x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}, либо эквивалентную запись через \pm. Если в варианте есть только одна серия, или период указан как 2\pi n без деления на 3, такой ответ неверен.

Нужно вспомнить формулу косинуса разности углов. Это одна из базовых формул приведения тригонометрических выражений, и в ЕГЭ на ней часто строят задания на распознавание тождества: меняют знак, подменяют косинус на синус или путают формулу суммы с формулой разности.

Правильная формула такова:

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb.

Почему именно так? Очень полезно помнить пару формул вместе:

cos(a + b) = cosacosb - sinasinb,

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb.

То есть при переходе от суммы к разности знак между произведениями меняется на противоположный. Это удобно запомнить через правило: в формуле косинуса разности стоит «плюс», а в формуле косинуса суммы — «минус».

Проверим варианты:

1) cosacosb + sinasinb — это верная формула.

2) cosacosb - sinasinb — это формула для cos(a + b), а не для разности. Типичная ошибка: забывают поменять знак.

3) sinacosb - cosasinb — это формула для sin(a - b), то есть здесь перепутана сама тригонометрическая функция.

4) sinasinb - cosacosb — выражение неверно: знак и порядок слагаемых не соответствуют ни одной стандартной формуле для косинуса разности.

Как себя проверять на экзамене: если видите cos(разность), сразу вспоминайте: «косинус на косинус плюс синус на синус». Если вместо этого стоит минус, почти наверняка это формула суммы. Такой быстрый контроль помогает избежать механической путаницы.