Гипербола: уравнение по положению и параметры по асимптотам: задания с ответами

Ключевая идея здесь очень простая, но в задачах ЕГЭ по графикам её часто путают: вертикальная асимптота дробно-рациональной функции возникает там, где знаменатель обращается в ноль, а числитель в этой точке не обращается в ноль одновременно.

В нашей задаче функция имеет вид

f(x)=\dfrac{2x-3}{x+p}.

Вертикальная асимптота задаётся уравнением

x+p=0.

По условию график имеет вертикальную асимптоту x=4. Значит, подставляем это значение в уравнение асимптоты:

4+p=0.

Отсюда

p=-4.

Проверим, нет ли подвоха. Иногда ученики ошибочно используют горизонтальную асимптоту. Для функции вида (ax+c)/(x+p) горизонтальная асимптота равна y=a, то есть здесь была бы y=2. Но она никак не помогает найти p, потому что параметр p входит именно в знаменатель и влияет на сдвиг графика по оси x, а не на уровень горизонтальной асимптоты.

Ещё одна типичная ошибка — написать p=4 вместо p=-4. Нужно помнить, что если асимптота есть при x=4, то знаменатель должен обратиться в ноль: 4+p=0, а не 4=p.

Полезная стратегия для таких заданий на экзамене:

1. сразу выписать знаменатель;
2. приравнять его к нулю;
3. подставить значение абсциссы асимптоты;
4. решить простое линейное уравнение.

Итак, правильный ответ: p=-4.

Для функции вида y = a/(x + b) + c асимптоты читаются прямо из формулы, без вычисления пределов и без построения графика.

1. Вертикальная асимптота. Она возникает там, где знаменатель обращается в ноль. В нашей функции знаменатель — x - 2. Приравниваем его к нулю: x - 2 = 0, откуда x = 2. Значит, вертикальная асимптота: x = 2.

2. Горизонтальная асимптота. Для функции вида a/(x+b)+c при больших по модулю x дробь a/(x+b) стремится к нулю, а функция стремится к числу c. Поэтому горизонтальная асимптота имеет вид y = c. Здесь c = 5, значит горизонтальная асимптота: y = 5.

Почему нельзя ошибиться в знаках? Частая ошибка — взять вертикальную асимптоту как x = -2. Это неверно, потому что нужно именно решить уравнение знаменателя: x - 2 = 0, а не просто «перенести число с противоположным знаком» по памяти. Ещё одна типичная ошибка — считать, что коэффициент a влияет на горизонтальную асимптоту. Он влияет на «крутизну» ветвей и на расположение графика относительно асимптот, но не меняет саму горизонтальную асимптоту: она определяется только числом c.

Итог: вертикальная асимптота — x = 2, горизонтальная — y = 5.

Идея задачи состоит в том, что для гиперболы вида y = k/(x+b) значение функции можно найти либо по графику, либо аналитически. В таких задачах важно не путать координаты точки и не забывать про вертикальную асимптоту: она сразу даёт сдвиг по оси x.

1. Используем информацию о вертикальной асимптоте.
У функции y = k/(x+b) вертикальная асимптота задаётся уравнением x = -b. По условию асимптота — x = 2, значит -b = 2, то есть b = -2. Тогда функция имеет вид

y = k/(x - 2).

2. Находим параметр k по точке графика.
График проходит через точку (4; 3), значит при x = 4 значение функции равно 3. Подставляем:

3 = k/(4 - 2) = k/2.

Отсюда k = 6. Получаем конкретную формулу:

y = 6/(x - 2).

3. Ищем x при заданном значении y.
Теперь по условию нужно найти x, при котором y = 6. Подставляем:

6 = 6/(x - 2).

Умножаем на x - 2 (это можно делать, так как x ≠ 2, иначе выражение не имело бы смысла):

6(x - 2) = 6.

Делим на 6:

x - 2 = 1.

Следовательно, x = 3.

Ответ: 3.

Почему этот способ надёжен на ЕГЭ?
У гиперболы вида y = k/(x+b) всегда есть одна вертикальная асимптота и одна горизонтальная асимптота y = 0. Если дана асимптота и одна точка, можно полностью восстановить формулу, а затем найти аргумент при любом заданном значении функции. Частая ошибка — перепутать, что асимптота x = 2 означает не b = 2, а именно x = -b, то есть b = -2. Ещё одна типичная ловушка — подставить y = 6 и сразу написать x = 6, забыв, что у рациональной функции аргумент находится через уравнение, а не считывается напрямую.

Проверка: при x = 3 получаем y = 6/(3 - 2) = 6, всё верно.

Рассмотрим общий вид гиперболы y = k/(x + b) + c. Для таких функций очень важно помнить связь параметров с асимптотами:

x = -b — вертикальная асимптота, а y = c — горизонтальная асимптота. Это одна из самых частых тем для ошибок на ЕГЭ: многие путают знак у b или пытаются считать, что асимптота проходит через значение b, а не через -b.

По условию вертикальная асимптота равна x = 2. Значит, -b = 2, откуда b = -2.

Горизонтальная асимптота равна y = -1, значит c = -1. Здесь тоже полезно не спешить: горизонтальная асимптота — это не «какое-то значение, к которому стремится график примерно», а именно параметр c в формуле.

Теперь используем точку (4, 2), лежащую на графике. Подставляем её координаты в уравнение:

2 = k/(4 + (-2)) - 1.

Аккуратно упростим:

2 = k/2 - 1.

Переносим -1 в левую часть:

3 = k/2, значит k = 6.

Итак, получаем k = 6, b = -2, c = -1.

Полная проверка полезна для самоконтроля: подставим найденные параметры в формулу:

y = 6/(x - 2) - 1.

Тогда вертикальная асимптота действительно x = 2, горизонтальная — y = -1, а при x = 4 получаем y = 6/2 - 1 = 2. Всё сходится.

Правильный ответ: k = 6, b = -2, c = -1.

Типичные ошибки:

• писать b = 2 вместо b = -2;
• забывать, что в формуле стоит x + b, а не x - b;
• подставлять точку, но не вычитать c перед нахождением k;
• путать координаты точки и вместо (4,2) подставлять (2,4).

Если в задаче на ЕГЭ даны асимптоты и хотя бы одна точка, почти всегда алгоритм одинаков: сначала находите b и c по асимптотам, затем подставляете точку и вычисляете k. Это самый надёжный способ не потерять баллы на знаках и сдвигах.

Для функций вида f(x)=\dfrac{k}{x}+c очень важно не перепутать роль параметров. Число c определяет вертикальный сдвиг графика и одновременно задаёт горизонтальную асимптоту y=c. Поэтому если по условию асимптота равна y=2, то сразу получаем c=2.

Дальше используем точку, через которую проходит график. Подставим координаты точки (4;5) в формулу:

5=\dfrac{k}{4}+2.

Переносим 2 влево:

\dfrac{k}{4}=3, значит k=12.

Теперь осталось найти значение функции при x=2:

f(2)=\dfrac{12}{2}+2=6+2=8.

Ответ: 8.

Полезная проверка для ЕГЭ: если подставить найденные параметры обратно, то точка (4;5) действительно лежит на графике, потому что 12/4+2=5. Такие проверки помогают избежать ошибок в знаке или в чтении асимптоты.

Типичные ошибки:

• считать, что c — это не асимптота, а значение функции в какой-то точке;
• подставлять точку и забывать прибавить c;
• ошибаться в знаке при переносе членов уравнения;
• путать f(2) с координатой уже данной точки (4;5).

Стратегия решения таких задач всегда одна и та же: сначала найти c по горизонтальной асимптоте, затем по одной точке определить k, и только после этого вычислять нужное значение функции.

Для функции вида y = \dfrac{k}{x + b} + c параметры b и c отвечают за сдвиг графика по осям, а асимптоты дают их напрямую.

1. Вертикальная асимптота. Она задаётся условием, при котором знаменатель обращается в ноль: x + b = 0. Значит, вертикальная асимптота имеет уравнение x = -b. По условию она равна x = 2, поэтому -b = 2, откуда b = -2.

2. Горизонтальная асимптота. При больших по модулю значениях x дробь \dfrac{k}{x+b} стремится к нулю, поэтому график приближается к прямой y = c. По условию горизонтальная асимптота — y = -3, значит c = -3.

Ответ: b = -2, c = -3.

Почему здесь часто ошибаются: многие путают знак у b. Если на графике вертикальная асимптота стоит в x = 2, то это не означает b = 2; нужно именно решить уравнение x = -b. Ещё одна типичная ошибка — принимать за c не горизонтальную асимптоту, а значение функции в какой-то точке. Для такой гиперболы c определяется именно асимптотой, а не пересечением с осями.

Экзаменационный приём: всегда сначала выписывайте две формулы: x = -b и y = c. Тогда задача сводится к простому чтению координат асимптот с графика. Если числа целые, полезно быстро проверить: при b = -2 асимптота действительно x = 2, а при c = -3 — y = -3.

Для гиперболы вида y = k/x ключевая связь между параметром и любой точкой графика очень проста: если точка (x; y) принадлежит графику, то выполняется равенство y = k/x. Умножим обе части на x (это можно делать, потому что x ≠ 0 для данной функции): получаем k = xy. Это важнейшая формула для ЕГЭ: параметр равен произведению координат точки.

Подставляем координаты точки M(-3; 4): k = (-3) · 4 = -12.

Значит, правильный ответ: -12.

Почему здесь часто ошибаются: 1) путают произведение и отношение координат; 2) забывают про знак минус у абсциссы; 3) подставляют только одну координату; 4) пытаются «читать» параметр по рисунку без точного вычисления. Самопроверка очень простая: если найденное k подставить обратно, то должно получиться 4 = (-12)/(-3), что верно.

Общий приём для таких задач: всегда записать формулу, затем выразить k как xy, и только после этого вычислить. Это надёжнее, чем пытаться угадывать по виду ветвей гиперболы.

Разберём задачу так, как это удобно делать на ЕГЭ по профильной математике: сначала извлекаем параметры из асимптот, а затем используем характерную точку для добивки системы.

Для функции вида f(x)=\dfrac{kx+a}{x+b} есть два ключевых факта:

• вертикальная асимптота задаётся условием x=-b;
• горизонтальная асимптота задаётся условием y=k.

Это очень важный шаблон: старшие коэффициенты числителя и знаменателя определяют поведение функции на бесконечности, поэтому горизонтальная асимптота равна отношению старших коэффициентов, а здесь у них одинаковая степень, значит просто y=k. Вертикальная асимптота возникает там, где знаменатель обращается в ноль.

По условию вертикальная асимптота — x=2. Значит

-b=2, откуда b=-2.

Горизонтальная асимптота — y=3. Следовательно, k=3.

Теперь используем точку (0;1). Подставим её в формулу:

f(0)=\dfrac{k\cdot 0+a}{0+b}=\dfrac{a}{b}=1.

Мы уже нашли b=-2, значит

\dfrac{a}{-2}=1, следовательно a=-2.

Итак, параметры равны k=3, a=-2, b=-2.

Ответ: (3,-2,-2).

Почему здесь легко ошибиться:

• частая ошибка — перепутать знак у b: если асимптота x=2, то не b=2, а именно b=-2;
• ещё одна типичная ошибка — считать, что горизонтальная асимптота связана с a; на самом деле в этой форме она равна y=k;
• при подстановке точки (0;1) надо аккуратно вычислить f(0)=a/b, а не забыть про знаменатель.

Стратегия самопроверки: после нахождения параметров можно быстро проверить, что при x=2 знаменатель обращается в ноль: 2+(-2)=0, а при больших x отношение старших коэффициентов действительно стремится к 3. Это подтверждает правильность ответа.

Для гиперболы вида y = \dfrac{k}{x+b} + c параметры b и c читаются не по «точкам на ветвях», а по асимптотам. Это очень важный экзаменационный навык: многие ошибаются, пытаясь брать координаты какой-нибудь заметной точки графика, хотя для такой формы функции смещение определяется именно асимптотами.

У этой функции вертикальная асимптота задаётся условием, при котором знаменатель обращается в ноль: x + b = 0. Значит, вертикальная асимптота имеет уравнение x = -b. По условию она равна x = 3. Тогда -b = 3, откуда b = -3.

Горизонтальная асимптота для этой модели получается при больших по модулю значениях x: дробь \dfrac{k}{x+b} стремится к нулю, и график приближается к прямой y = c. Значит, c просто равно ординате горизонтальной асимптоты. Здесь это y = -2, следовательно, c = -2.

Итак, правильный ответ: b = -3, c = -2.

Почему здесь легко ошибиться: знак у b часто путают, потому что вертикальная асимптота записывается как x = -b, а не x = b. Если в задаче дана асимптота x = 3, то параметр b обязательно отрицательный. А вот c знака не меняет: он равен уровню горизонтальной асимптоты напрямую.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если асимптота вертикальная справа от оси Oy, то b должен быть отрицательным; если слева — положительным. Для горизонтальной асимптоты достаточно запомнить: она всегда имеет вид y = c. Эта пара формул позволяет решить такие задачи за несколько секунд без вычислений по графику.

Для функции вида y = k/(x + b) важно помнить две базовые вещи.

1) Вертикальная асимптота получается там, где знаменатель равен нулю:
x + b = 0, то есть x = -b.

2) Если на графике указана точка, принадлежащая гиперболе, то её координаты можно подставить в формулу и получить уравнение для параметра k.

Теперь применим это к задаче.

Из условия вертикальная асимптота: x = 2. Значит, -b = 2, откуда b = -2.

Далее используем точку (4; 3). Подставляем координаты в формулу:

3 = k/(4 + (-2)) = k/2.

Отсюда k = 6.

Итак, искомые параметры: k = 6, b = -2.

Почему так часто ошибаются? Самая типичная ошибка — перепутать знак у параметра b. Уравнение асимптоты не x = b, а именно x = -b, потому что в знаменателе стоит x + b. Вторая распространённая ошибка — подставить в знаменатель не всю сумму x + b, а только одно число, забыв про знак. Третья ошибка — не проверить, что точка действительно не лежит на асимптоте: если бы x = 2, то подстановка была бы невозможна, потому что функция в этой точке не определена.

Как быстро самопровериться на экзамене: после нахождения параметров можно мысленно проверить, что при x = 2 знаменатель обращается в ноль, а при x = 4 получается y = 6/(4-2) = 3. Это подтверждает ответ.

Для гиперболы вида y = A/(x - H) + K важно помнить, что параметр K отвечает за вертикальный сдвиг графика и одновременно задаёт горизонтальную асимптоту. Это одна из ключевых идей в задачах ЕГЭ: если у функции такой вид, то при больших по модулю значениях x дробь A/(x - H) стремится к нулю, и график приближается к прямой y = K.

В условии сказано, что горизонтальная асимптота имеет уравнение y = -3. Значит, значение параметра K равно ординате этой асимптоты, то есть K = -3.

Обратите внимание на типичную ловушку: вертикальная асимптота x = 2 связана не с K, а с параметром H. Многие по невнимательности начинают искать ответ по вертикальной асимптоте, но для вертикального сдвига нужна именно горизонтальная асимптота. Это удобно запомнить так: H “двигает” график вправо-влево, а K — вверх-вниз.

Ещё один важный экзаменационный приём: если в записи функции уже виден вид y = A/(x - H) + K, то для нахождения K не нужно подставлять точки графика и строить дополнительные вычисления. Достаточно прочитать уравнение горизонтальной асимптоты. Это экономит время и уменьшает риск арифметической ошибки.

Ответ: -3.

Для гиперболы вида y = k/(x+b) + c асимптоты читаются напрямую из формулы:

1) Вертикальная асимптота возникает там, где знаменатель обращается в ноль: x + b = 0. Значит, её уравнение имеет вид x = -b.

2) Горизонтальная асимптота получается при больших по модулю значениях x, когда дробь k/(x+b) стремится к нулю. Тогда y = c.

По условию вертикальная асимптота: x = 4. Следовательно, -b = 4, откуда b = -4.

По условию горизонтальная асимптота: y = -3. Значит, c = -3.

Итак, b = -4, c = -3.

Почему здесь легко ошибиться: многие по привычке берут b = 4, забывая про знак в формуле x = -b. Это типичная ловушка на ЕГЭ. Ещё одна ошибка — пытаться искать параметры по какой-то точке графика, хотя в этой задаче достаточно только асимптот. Полезная проверка: если бы x = 4 было вертикальной асимптотой, то в знаменателе должно быть x - 4, а это действительно соответствует b = -4.