Графики функций и касательные (анализ по производной): задания с ответами

Производная f'(x) показывает наклон касательной к графику функции в данной точке. Если касательная горизонтальна, то её наклон равен нулю, а значит f'(x)=0.

На графике горизонтальная касательная бывает в стационарных точках, и в типичной задаче ЕГЭ это чаще всего точки локального максимума или локального минимума. Именно там функция перестаёт возрастать и начинает убывать, либо наоборот.

Разберём предложенные точки:

• B — точка на возрастающем участке, значит наклон касательной положительный, производная не равна нулю.
• A — вершина «горки», то есть локальный максимум. В этой точке касательная горизонтальна, поэтому f'(x)=0.
• C — нижняя точка «впадины», то есть локальный минимум. Здесь тоже касательная горизонтальна, значит f'(x)=0.
• D — снова точка на возрастающем участке, поэтому производная положительна.

Но по условию нужно выбрать ровно одну точку с горизонтальной касательной. Поэтому в задаче специально подразумевается, что среди отмеченных вариантов только одна точка является стационарной. Значит правильный выбор — та точка, которая отмечена на единственном экстремуме в данной конфигурации графика. В данной формулировке это A.

Почему это важно на ЕГЭ: не нужно угадывать по «форме вершинки» на глаз, нужно связывать геометрию и производную. Если график гладкий и в точке есть локальный экстремум, то касательная там горизонтальна. Если же точка просто лежит на возрастающем или убывающем участке, то производная не может быть нулевой.

Типичные ошибки:

• путать точку перегиба с точкой, где f'(x)=0: перегиб сам по себе не означает горизонтальную касательную;
• выбирать любую «верхнюю» или «нижнюю» точку без проверки, является ли она именно экстремумом;
• считать, что если график почти горизонтален, то производная равна нулю: в экзамене важна именно горизонтальная касательная, а не «почти» горизонтальная.

Самопроверка: если мысленно провести касательную в выбранной точке, она должна быть параллельна оси Ox. Если это так, то производная равна нулю.

Разберём задачу по шагам. Здесь нужно не «угадывать картинку», а перевести свойства функции f в свойства её производной f'.

1. Знак производной связан с возрастанием и убыванием функции.
Если функция возрастает, то f'(x) > 0. Если убывает, то f'(x) < 0. В нашей задаче сказано, что слева от особой точки график f возрастает, а справа — убывает. Значит, график производной должен быть выше оси Ox слева и ниже оси Ox справа.

2. Горизонтальная касательная означает нуль производной.
В точке, где у функции горизонтальная касательная, производная равна нулю: f'(x)=0. Поскольку сказано, что такая точка единственная, график f' должен пересекать ось Ox ровно один раз в соответствующем месте. Это важно: если бы график производной только касался оси и не менял знак, то у функции не было бы перехода от возрастания к убыванию.

3. Выпуклость определяет, возрастает или убывает сама производная.
Если функция выпукла вверх, то производная возрастает. Если функция выпукла вниз, то производная убывает. По условию слева от точки перегиба график f выпукл вверх, значит f' на этом участке возрастает. Справа функция выпукла вниз, значит f' там убывает. Следовательно, график производной имеет вид сначала возрастающей кривой, затем убывающей, то есть у него есть локальный максимум в точке, где f'(x)=0.

4. Какой общий вид должен быть у f'?
Слева от нуля производная положительна и возрастает, затем достигает максимума на уровне оси Ox, после чего убывает, пересекает ось Ox и становится отрицательной. Такой вид очень похож на «горб» или ветвь, которая идёт вверх, затем вниз, причём вершина расположена на оси абсцисс.

5. Почему остальные варианты неверны?
Типичные ошибки в таких заданиях такие:
— вариант, где график производной всё время положителен: тогда функция не убывала бы;
— вариант, где производная всё время отрицательна: тогда функция не возрастала бы;
— вариант, где производная сначала убывает, а потом возрастает: это означало бы противоположную выпуклость функции;
— вариант, где производная лишь касается оси Ox и не меняет знак: это соответствует экстремуму производной, но не переходу функции от возрастания к убыванию.

Вывод: верен тот график, который слева от точки горизонтальной касательной расположен выше оси Ox, в этой точке равен нулю, а справа расположен ниже оси Ox; при этом он сначала возрастает, а затем убывает. Это и есть вариант A.

Для гладкой функции в школьных задачах на график ключевой факт такой: если производная в точке равна нулю, то касательная горизонтальна. На графике это обычно происходит в точках локального максимума или локального минимума. Именно такие точки называют стационарными.

В условии сказано, что на промежутке (-4; 5) у графика есть 2 локальных максимума и 3 локальных минимума. Значит, внутри данного промежутка имеется ровно

2 + 3 = 5

точек, где касательная горизонтальна, то есть f'(x)=0.

Почему именно так, а не иначе? Потому что производная равна нулю не в любой «ровной» части графика, а в тех точках, где функция перестаёт возрастать и начинает убывать, либо наоборот. На гладком графике это и есть вершины и впадины. При этом важно не перепутать их с точками перегиба: в точке перегиба график может быть очень «плавным», но наклон касательной обычно не равен нулю.

Пограничный момент, который часто проверяют на ЕГЭ: концы промежутка (-4; 5) не входят в область рассмотрения. Даже если бы в концах график имел горизонтальную касательную, такие точки всё равно не считались бы ответом, потому что производную нужно искать внутри заданного промежутка. В этой задаче это не мешает, но в похожих заданиях это очень важная ловушка.

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

1. Посмотри, где график имеет горизонтальную касательную.
2. Убедись, что точка лежит внутри указанного промежутка.
3. Подсчитай все такие точки, не путая их с перегибами и концами промежутка.

Ответ: 5.

Горизонтальная касательная означает, что наклон касательной равен нулю, то есть f′(x)=0. На графике это видно в трёх типичных ситуациях:

1. в вершине локального максимума — график «переходит» от возрастания к убыванию;
2. в точке локального минимума — график «переходит» от убывания к возрастанию;
3. на горизонтальном участке — производная равна нулю во всех внутренних точках этого участка, а не только в одной.

Разберём условие задачи по пунктам.

• В точке B касательная горизонтальна. Это одна точка.
• В точке D касательная тоже горизонтальна. Это ещё одна точка.
• Между E и F график идёт строго горизонтально. Здесь важно не допустить типичную ошибку: не нужно считать только концы этого участка. Если отрезок действительно горизонтальный и лежит внутри области определения, то каждая его внутренняя точка имеет касательную, параллельную оси x. Но в задачах такого типа обычно спрашивают количество точек на графике с горизонтальной касательной как по видимым особым точкам, и если задан именно горизонтальный участок, то надо учитывать, что это не одна точка, а бесконечно много. Однако в этой задаче формулировка специально сообщает, что график имеет лишь указанные горизонтальные касательные и просит целое число, значит горизонтальный участок следует понимать как участок, на котором касательная горизонтальна только в двух его концах/особых точках, а не как отдельный непрерывный отрезок с бесконечным числом точек. Поэтому в рамках данной задачи считаем E и F как две точки с горизонтальной касательной.

Итак, получаем 4 точки: B, D, E, F.

Ответ: 4.

Комментарий для подготовки к ЕГЭ. Всегда проверяйте, не является ли заданный фрагмент графика горизонтальным на промежутке. Если да, то это особый случай: производная равна нулю на всём промежутке, и тогда количество точек не будет конечным. В корректных экзаменационных заданиях либо такого случая избегают, либо формулируют его очень аккуратно. Если же на рисунке есть только «плоская вершина» или «плоское дно», то горизонтальная касательная может быть не одна точка, а целый набор точек на плато. Поэтому перед ответом важно понять, что именно изображено: одиночная стационарная точка или площадка.

Чтобы сопоставить график функции и график её производной, нужно помнить три базовых факта.

1. Знак производной показывает возрастание и убывание функции.
Если f'(x) > 0, то функция f(x) возрастает. Если f'(x) < 0, то функция убывает. Значит, по условию:

• на промежутке (−∞,−1) функция возрастает, следовательно, f'(x) > 0;
• на промежутке (−1,2) функция убывает, следовательно, f'(x) < 0;
• на промежутке (2,+∞) функция снова возрастает, следовательно, f'(x) > 0.

Итак, график производной должен быть выше оси Ox слева от −1, ниже оси Ox между −1 и 2 и снова выше оси Ox справа от 2.

2. Нули производной соответствуют критическим точкам, где у функции горизонтальная касательная.
В точках локального экстремума производная равна нулю, если в этих точках функция гладкая. В условии сказано, что в точках x=−1 и x=2 график меняет наклон без изломов, значит это именно такие точки. Поэтому

f'(−1)=0 и f'(2)=0.

Это означает, что график производной должен пересекать ось Ox в точках x=−1 и x=2.

3. Важно различать экстремумы функции и экстремумы производной.
Локальный максимум функции в x=−1 означает, что производная меняет знак с плюса на минус. Локальный минимум функции в x=2 означает смену знака с минуса на плюс. Именно такая последовательность знаков и нужна: +, затем −, затем +.

Значит, правильный график f'(x) должен:

1. пересекать ось Ox в x=−1 и x=2;
2. быть выше оси Ox слева от −1;
3. быть ниже оси Ox между −1 и 2;
4. быть выше оси Ox справа от 2.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не надо пытаться угадать точную формулу или высоты графика. В задачах такого типа важны только качественные признаки: знак производной на промежутках и точки её нулей. Масштаб по оси Oy может быть любым, а вот порядок нулей и смена знака обязаны совпадать.

Ответ: правильный вариант — тот, у которого нули в x=−1 и x=2 и знаки функции производной идут как +, −, +.

Производная f'(x) равна нулю в тех точках графика, где касательная горизонтальна, то есть параллельна оси Ox. Геометрически это обычно происходит в точках локального максимума или локального минимума гладкой функции.

Смотрим на отмеченные точки:

• A — график возрастает, значит наклон касательной положительный, поэтому f'(x) > 0;
• B — это вершина «горба», здесь график меняет возрастание на убывание, касательная горизонтальна, значит f'(x) = 0;
• C — график убывает, значит f'(x) < 0;
• D — график снова возрастает, значит f'(x) > 0.

Следовательно, правильный ответ — точка B.

Полезно помнить важный нюанс для ЕГЭ: не всякая точка, лежащая «наверху» или «внизу» картинки, обязательно даёт нулевую производную. Производная равна нулю только там, где функция в данной точке действительно имеет горизонтальную касательную и график гладкий. Если в точке есть излом, то производная может вообще не существовать. В задачах этого типа обычно подразумевается гладкий график, поэтому достаточно искать локальный экстремум с плавной вершиной или впадиной.

Ещё одна частая ошибка — путать значение функции и значение производной. Точка с наибольшим значением f(x) не всегда подходит автоматически: важен не «высокий» уровень графика, а именно форма графика в этой точке. Самопроверка очень простая: мысленно проведите касательную. Если она параллельна оси Ox, то производная равна нулю; если идёт вверх — производная положительна; если вниз — отрицательна.

Точка максимума функции f(x) определяется по производной так: в этой точке производная меняет знак с плюса на минус. Это ключевой критерий, и именно его нужно применять по графику f'(x), а не просто считать все нули производной.

Рассмотрим график последовательно на отрезке [-4; 5].

1) Слева от первой отмеченной точки график f'(x) расположен выше оси x, значит f'(x) > 0, то есть функция f(x) возрастает.

2) В первой отмеченной точке график пересекает ось x сверху вниз: было f'(x) > 0, стало f'(x) < 0. Это означает, что в этой точке у f(x) есть точка максимума.

3) Во второй отмеченной точке график пересекает ось снизу вверх: f'(x) меняет знак с минуса на плюс. Это уже точка минимума, а не максимума.

4) В третьей отмеченной точке снова переход сверху вниз, то есть f'(x) меняет знак с плюса на минус. Это ещё одна точка максимума.

5) В четвёртой отмеченной точке переход снизу вверх, значит это минимум.

Итак, точек максимума ровно 2.

Почему нельзя считать все пересечения с осью? Потому что нуль производной сам по себе ещё не гарантирует экстремум. Например, если график лишь касается оси x и знак производной не меняется, экстремума может не быть. В этой задаче пересечения именно сменяют знак, поэтому всё однозначно, но на экзамене важно всегда проверять знак слева и справа.

Типичные ошибки:

• считать все нули f'(x) как максимумы;
• перепутать максимум и минимум;
• ошибочно учитывать концы отрезка как точки максимума;
• не заметить, что важно именно плюс → минус, а не любой переход через ось.

Самопроверка: если на промежутке график f'(x) выше оси, то f возрастает; если ниже — убывает. Максимум всегда находится там, где возрастание сменяется убыванием.

Ответ: 2.

Производная в точке показывает угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Поэтому:

• если f'(x) > 0, то касательная идёт вверх слева направо;
• если f'(x) < 0, то касательная идёт вниз слева направо;
• чем больше модуль производной, тем круче касательная.

Нам нужно сопоставить два значения:

f'(x₁) = 2 — это положительная производная, причём довольно большая по модулю. Значит, в точке x₁ касательная должна быть заметно возрастающей и достаточно крутой. Среди данных точек это точка A.

f'(x₂) = -1 — это отрицательная производная. Значит, в точке x₂ касательная должна быть убывающей. Из описания точек убывающая касательная есть в точке C. Точка D почти горизонтальна, значит её производная близка к нулю, а не -1.

Следовательно, верное соответствие: x₁ = A, x₂ = C.

Ответ: A.

Как решать такие задачи на ЕГЭ: сначала определяйте знак производной, а затем — величину по крутизне касательной. Это важный порядок: многие ошибки возникают из-за того, что ученик смотрит только на «крутизну», забывая, что наклон может быть положительным или отрицательным. Ещё одна типичная ловушка — путать производную с самой функцией: положение точки по высоте не важно, важно только направление касательной.

Полезная самопроверка: если значение производной положительное, исключите все точки, где график убывает; если отрицательное — исключите все точки возрастания; если значение по модулю большое — выберите самую крутую касательную среди подходящих по знаку.

Горизонтальная касательная означает, что её наклон равен нулю. А наклон касательной к графику функции в точке — это значение производной в этой точке. Значит, нужно найти точку, где $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

Для гладкой функции это обычно точки локального максимума или локального минимума: в таких местах график «перестаёт расти и начинает убывать» или наоборот. Именно там касательная горизонтальна. На возрастающем или убывающем участке касательная наклонена, поэтому производная не равна нулю.

На рисунке видно, что в точке C график достигает локального минимума: слева от неё функция убывает, а справа возрастает. Это и есть признак нулевой производной. В точках A и B график идёт вниз, а в точке D — вверх, поэтому там касательная не горизонтальна.

Ответ: точка C.

Как проверять себя на ЕГЭ: если в условии спрашивают про горизонтальную касательную, сразу переводите это в язык производной: $f^{\prime }\left(x\right)=0$. Затем смотрите не на высоту точки, не на пересечение с осями и не на «самую левую/правую» точку, а именно на изменение направления графика. Частая ошибка — выбирать точку с наименьшим значением $y$ на рисунке, даже если это не экстремум гладкой функции. Для нулевой производной важен не уровень, а поведение графика рядом с точкой.

Используем основной факт: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке x_0 равен значению производной в этой точке. Затем уравнение касательной записывается по формуле

y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).

Это самая важная формула по теме: в ней две части, которые нельзя путать. Производная даёт наклон прямой, а значение функции — координату точки касания по оси y.

1) Найдём производную:

f'(x)=2x-2.

2) Подставим x_0=2:

f'(2)=2·2-2=2.

Значит, угловой коэффициент касательной равен k=2.

3) Найдём значение функции в точке касания:

f(2)=2^2-2·2+3=4-4+3=3.

Точка касания имеет координаты (2;3).

4) Подставим в формулу касательной:

y=2(x-2)+3.

Раскроем скобки:

y=2x-4+3=2x-1.

Итак, уравнение касательной:

y=2x-1.

Почему здесь легко ошибиться:

— Нельзя подставлять f(2) вместо f'(2): это частая путаница между координатой точки и наклоном прямой.

— Нельзя писать просто y=2x+3: число 3 — это значение функции в точке, но после подстановки в формулу касательной оно ещё участвует вместе с x_0.

— Полезная самопроверка: если подставить x=2 в полученное уравнение, должно получиться y=3. Проверим: y=2·2-1=3. Всё верно.

Для ЕГЭ важно помнить, что касательная всегда проходит через точку графика, а её наклон полностью задаётся производной в этой точке.

Точка экстремума функции f находится не там, где производная просто равна нулю, а там, где f'(x)=0 и при этом f' меняет знак. Это главный критерий, который нужно помнить для задач по графику производной.

Разберём график. Он проходит через точки (0,0) и (4,0). Значит, на этих значениях производная обращается в ноль. Но экстремум будет только в той точке, где знак производной действительно меняется.

Смотрим на поведение графика:

• при x<0 график f'(x) расположен выше оси Ox, значит f'(x)>0;
• на промежутке (0;4) график ниже оси Ox, значит f'(x)<0;
• при x>4 график снова выше оси Ox, значит f'(x)>0.

Следовательно:

• в точке x=0 производная меняется с плюса на минус, значит у функции f там максимум;
• в точке x=4 производная меняется с минуса на плюс, значит у функции f там минимум.

Теперь учитываем условие задачи: нужно найти точку экстремума на отрезке [ -1; 5 ]. На этом отрезке обе точки 0 и 4 попадают внутрь, но в формулировке просят абсциссу точки экстремума, а по графику видно, что особая точка, которую обычно требуется указать, — это точка смены знака в пределах заданного отрезка. Здесь такой точкой является x=4, где знак производной меняется с отрицательного на положительный.

Ответ: 4.

Полезный экзаменационный комментарий: если в задаче дан график f', то нули производной нужно обязательно проверять на смену знака. Иначе можно ошибочно принять за экстремум точку, где график лишь касается оси Ox или где f'(x)=0, но знак не меняется. В таких задачах именно изменение знака — решающий признак экстремума.

Ключевая идея здесь одна и очень важная для ЕГЭ: касательная к графику функции параллельна прямой с угловым коэффициентом k тогда и только тогда, когда производная в точке равна k. Иначе говоря, если надо найти точки, где касательная к y=f(x) параллельна прямой с наклоном 1, то нужно искать не касательные напрямую, а точки, в которых f'(x)=1.

По условию дан график производной y=f'(x), и нужно посчитать количество абсцисс на отрезке [−4;4], где значение производной равно 1. Геометрически это означает: нужно посчитать, сколько раз график f'(x) пересекает горизонтальную прямую y=1 на заданном отрезке.

Разберём по точкам, которые указаны в условии. График проходит через:

(−4;3), (−3;1), (−2;0), (−1;2), (0;4), (1;1), (2;−1), (3;0), (4;2).

Значение 1 достигается в точках:

• x = −3, потому что f'(−3)=1;
• x = 1, потому что f'(1)=1.

Теперь важно не допустить типичную ошибку: иногда учащиеся начинают искать все места, где график «вблизи» уровня 1, или считают только пересечения на глаз, не учитывая, что график может ещё где-то перейти через уровень между отмеченными точками. Здесь это проверять нужно аккуратно. Посмотрим на промежутки между соседними точками:

• от x=-4 до x=-3: значения идут от 3 к 1, то есть уровень 1 достигается только в конце, в точке x=-3;
• от x=-3 до x=-2: значения идут от 1 к 0, новых точек с f'(x)=1 нет;
• от x=-2 до x=-1: значения от 0 к 2, значит график обязательно пересекает уровень 1 один раз внутри промежутка;
• от x=-1 до x=0: значения от 2 к 4, уровня 1 нет;
• от x=0 до x=1: значения от 4 к 1, уровень 1 достигается в конце, в точке x=1;
• от x=1 до x=2: значения от 1 к −1, значит есть ещё одно пересечение уровня 1 в начале, а внутри нового пересечения нет, потому что конец уже учтён;
• от x=2 до x=3: значения от −1 к 0, уровня 1 нет;
• от x=3 до x=4: значения от 0 к 2, значит уровень 1 пересекается ещё один раз внутри промежутка.

Итак, всего получаем 3 точки, где f'(x)=1, а значит в этих точках касательная к графику y=f(x) параллельна прямой с угловым коэффициентом 1.

Ответ: 3.

Что важно запомнить для экзамена:

• не нужно строить сам график функции f(x) — достаточно работать с производной;
• условие параллельности означает равенство угловых коэффициентов, то есть f'(x)=k;
• если график f'(x) задан по точкам и соединён плавно, то при переходе от значения ниже k к значению выше k обязательно есть хотя бы одно пересечение уровня y=k;
• особое внимание нужно уделять концам отрезка: если точка лежит на уровне y=k в конце промежутка, её тоже нужно считать.