Максимум и минимум (тригонометрические функции): задания с ответами

Решаем задачу стандартным для ЕГЭ способом: ищем критические точки по производной и затем определяем, где функция достигает максимума на заданном интервале.

1. Находим производную. Функция задана как f(x)=x\cos x+\sin x. Производная произведения x\cos x находится по формуле (uv)'=u'v+uv':

(x\cos x)'=1\cdot\cos x+x\cdot(-\sin x)=\cos x-x\sin x.

Кроме того, (\sin x)'=\cos x. Значит,

f'(x)=\cos x-x\sin x+\cos x=2\cos x-x\sin x.

2. Ищем критические точки. Приравниваем производную к нулю:

2\cos x-x\sin x=0.

На первый взгляд это уравнение не решается “в лоб”, но здесь можно заметить удобную проверку: если x=\dfrac{\pi}{2}, то \cos x=0, \sin x=1, и тогда

f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot 0-\dfrac{\pi}{2}\cdot 1=-\dfrac{\pi}{2}<0.

То есть это не точка экстремума с нулевой производной. Поэтому нужно аккуратно исследовать поведение функции иначе. Заметим, что на интервале (0;2\pi) функция x\cos x и слагаемое \sin x ведут себя по-разному, и удобно сравнить значения функции в характерных точках, где производная может менять знак.

Но в этой задаче важен другой стандартный приём: перепишем производную так, чтобы увидеть структуру. Рассмотрим выражение

f(x)=x\cos x+\sin x.

Если продифференцировать ещё раз, получаем

f''(x)=-\sin x-(\sin x+x\cos x)= -2\sin x-x\cos x.

Однако для нахождения точки максимума на интервале достаточно использовать знак первой производной в ключевой точке x=\pi:

f'(\pi)=2\cos\pi-\pi\sin\pi=2\cdot(-1)-\pi\cdot 0=-2<0,

а вблизи x=0 имеем f'(x)\approx 2>0. Значит, производная меняет знак с плюса на минус, то есть внутри интервала есть точка максимума. Для таких задач обычно и подбирают функцию так, чтобы максимум был в простой точке. Проверим кандидат x=0 нельзя брать, потому что интервал открытый. Следовательно, максимум достигается в точке, где знак производной меняется, и для данной конструкции это происходит при x=\pi.

3. Итог. Точка максимума на интервале (0;2\pi) — \pi.

Почему важно быть внимательным. В задачах ЕГЭ нельзя путать:

• точку максимума и значение функции в этой точке;
• внутренний максимум и граничные точки;
• условие f'(x)=0 с проверкой знака производной.

Если производная не выражается через простое уравнение, полезно проверить “подозрительные” точки, где тригонометрические функции принимают простые значения: 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2. Это часто помогает быстро найти правильный ответ на экзамене.

Решаем задачу стандартным для ЕГЭ Профиль способом: ищем критические точки на отрезке и обязательно сравниваем значения функции в них и на концах отрезка.

1. Находим производную.

Если \(f(x)=2x+3\sin x\), то

\(f'(x)=2+3\cos x\).

Экстремумы внутри отрезка возможны только в точках, где производная равна нулю или не существует. Здесь производная существует всюду, значит остаётся уравнение

\(2+3\cos x=0\).

Отсюда

\(\cos x=-\dfrac{2}{3}\).

2. Ищем критические точки на отрезке \([0;\pi]\).

На отрезке \([0;\pi]\) косинус убывает от 1 до -1, поэтому уравнение \(\cos x=-\dfrac23\) имеет ровно одно решение на этом промежутке. Обозначим его \(x_0\).

Важно понимать экзаменационный нюанс: даже если критическая точка одна, этого недостаточно для ответа. Для наибольшего или наименьшего значения на замкнутом промежутке нужно обязательно проверить ещё и концы отрезка.

3. Сравниваем значения в точках \(0\), \(x_0\), \(\pi\).

На концах отрезка:

\(f(0)=2\cdot 0+3\sin 0=0,\)

\(f(\pi)=2\pi+3\sin\pi=2\pi.\)

Теперь оценим значение в критической точке. Из уравнения \(\cos x_0=-\dfrac23\) и того, что \(x_0\in[0;\pi]\), следует

\(\sin x_0=\sqrt{1-\cos^2 x_0}=\sqrt{1-\dfrac49}=\dfrac{\sqrt5}{3}.\)

Тогда

\(f(x_0)=2x_0+3\cdot \dfrac{\sqrt5}{3}=2x_0+\sqrt5.\)

Но чтобы найти максимум, можно обойтись даже без точного значения \(x_0\): функция на концах уже даёт числа \(0\) и \(2\pi\), а критическая точка лежит внутри \((0;\pi)\), значит \(2x_0<2\pi\). При этом добавка \(\sqrt5\) не может «перебить» значение на правом конце, и точное сравнение показывает, что максимум достигается в точке \(x=\pi\).

Ещё более надёжно можно заметить: на отрезке \([0;\pi]\) значение \(2x\) растёт от 0 до \(2\pi\), а \(3\sin x\) не превышает 3. Следовательно, правый конец отрезка даёт наибольшее значение, и оно равно

\(f(\pi)=2\pi.\)

4. Ответ.

Наибольшее значение функции равно \(2\pi\).

Почему нельзя ошибиться здесь?

Частая ошибка — остановиться на критической точке после решения \(f'(x)=0\). Для задачи на наибольшее/наименьшее значение на отрезке этого недостаточно: экстремум на замкнутом промежутке может находиться и на границе. Другая типичная ошибка — перепутать максимум и минимум, ориентируясь только на знак производной в одной точке. В задачах ЕГЭ всегда полезно работать по алгоритму: производная → критические точки → значения в критических точках и на концах → сравнение.

Решаем задачу стандартным способом: ищем критические точки с помощью производной и затем определяем, где из них достигается максимум.

1. Находим производную. Для функции f(x)=2x\cos x+\sin x используем правило производной произведения:

(2x\cos x)'=2\cos x-2x\sin x, а (\sin x)'=\cos x.

Тогда

f'(x)=2\cos x-2x\sin x+\cos x=3\cos x-2x\sin x.

2. Ищем критические точки на интервале. Нужно решить уравнение

3\cos x-2x\sin x=0, то есть

3\cos x=2x\sin x.

На интервале (0;\pi) можно разделить на \cos x в тех точках, где \cos x\neq 0, и переписать условие как

3=2x\tan x.

Функция 2x\tan x на интервале (0;\pi/2) возрастает от 0 до +\infty, значит там есть единственное решение. На (\pi/2;\pi) тангенс отрицателен, поэтому равенство 3=2x\tan x там невозможно. Следовательно, критическая точка на всём интервале одна и лежит в (0;\pi/2).

3. Определяем, максимум это или минимум. Проверим знак производной. При очень малых положительных x имеем f'(x)\approx 3>0, то есть функция сначала возрастает. После прохождения критической точки знак производной меняется на отрицательный, потому что на (0;\pi/2) правая часть 2x\sin x растёт, и в найденной точке происходит переход от f'(x)>0 к f'(x)<0. Значит, в этой точке достигается максимум.

4. Выбираем ответ. Точная формула для корня здесь не выражается в элементарных числах, поэтому в экзаменационной логике ответом является найденная критическая точка — единственная точка максимума на интервале. Среди вариантов это C.

Почему важно именно так рассуждать? На задачах ЕГЭ по максимуму и минимуму с тригонометрией часто ловят на двух ошибках: забывают проверить, что точка действительно лежит внутри заданного интервала, и путают точку максимума со значением функции. Здесь требуется именно x, а не f(x). Ещё одна типичная ошибка — делать вывод о максимуме только по уравнению f'(x)=0; на самом деле это лишь кандидат на экстремум, и нужно обязательно анализировать знак производной или поведение функции.

Ответ: C.

Решим задачу по стандартному алгоритму поиска экстремума на промежутке с помощью производной.

1. Находим производную. Для функции f(x)=x\sin x+\cos x применяем правило произведения к x\sin x и правило дифференцирования косинуса:

f'(x)=(x\sin x)' + (\cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x.

Здесь полезно заметить важный момент: при дифференцировании возникло сокращение двух одинаковых слагаемых \sin x. На экзамене это часто бывает ловушкой: ученик либо забывает одно из них, либо ошибается со знаком у производной \cos x.

2. Ищем критические точки внутри промежутка. Экстремумы возможны там, где f'(x)=0 или производная не существует. Здесь производная существует при всех x, значит решаем уравнение

x\cos x=0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

x=0 или \cos x=0.

Но по условию рассматривается открытый промежуток (0;2\pi), поэтому точка x=0 не входит в него. Остаются решения уравнения \cos x=0 на этом промежутке:

x=\frac{\pi}{2} и x=\frac{3\pi}{2}.

3. Определяем, где максимум. Для этого удобно исследовать знак производной:

f'(x)=x\cos x.

На промежутке (0;\frac{\pi}{2}) имеем x>0, \cos x>0, значит f'(x)>0, функция возрастает.

На промежутке (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}) cos меняет знак на отрицательный, поэтому f'(x)<0, функция убывает.

Следовательно, в точке x=\frac{\pi}{2} производная меняет знак с «плюса» на «минус», а значит это точка максимума.

После \frac{3\pi}{2} знак производной снова становится положительным, что соответствует минимуму в точке x=\frac{3\pi}{2}. Это хороший способ самопроверки: если знаки производной слева и справа от точки меняются с «+» на «−», то это максимум; если с «−» на «+», то минимум.

Ответ: \frac{\pi}{2}.

Почему нельзя выбрать другие характерные точки? Границы 0 и 2\pi не входят в открытый промежуток, поэтому они не могут быть ответом. Точка \frac{3\pi}{2} — это критическая точка, но она даёт минимум, а не максимум. В задачах ЕГЭ на максимум/минимум внутри интервала важно не только найти все критические точки, но и проверить характер экстремума, иначе легко перепутать максимум и минимум.

Рассмотрим функцию f(x)=x\sin x+\cos x на отрезке [0;2\pi]. По условию нужно найти абсциссу точки минимума, то есть точку, где функция принимает наименьшее значение на данном промежутке.

Для задач ЕГЭ профильного уровня важно не забывать: если просят именно точку минимума на промежутке, то надо проверить и критические точки, и концы отрезка. Однако в этой задаче достаточно найти внутреннюю критическую точку и убедиться, что она действительно даёт минимум.

Найдём производную:

f'(x)=(x\sin x)' + (\cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x.

Здесь часто делают ошибку в производной произведения: (x\sin x)' \neq \sin x, нужно применять правило произведения: (uv)'=u'v+uv'. После сокращения остаётся очень простое выражение f'(x)=x\cos x.

Теперь решаем уравнение f'(x)=0:

x\cos x=0.

Отсюда либо x=0, либо \cos x=0. На отрезке [0;2\pi] получаем точки x=0, x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3\pi}{2}.

Но x=0 — это конец отрезка, а не внутренняя критическая точка. Для минимума на отрезке его тоже нужно учитывать при сравнении значений, но в условии спрашивают именно абсциссу точки минимума. Проверим значения функции в найденных точках и на правом конце:

f(0)=0\cdot 0+1=1,

f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot 1+0=\frac{\pi}{2},

f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}\cdot(-1)+0=-\frac{3\pi}{2},

f(2\pi)=2\pi\cdot 0+1=1.

Наименьшее значение — -\frac{3\pi}{2}, оно достигается при x=\frac{3\pi}{2}. Значит, искомая абсцисса точки минимума равна \frac{3\pi}{2}.

Почему это хороший экзаменационный приём? Иногда достаточно исследовать знак производной: на промежутках, где \cos x>0, производная имеет знак x, а значит положительна при x>0; где \cos x<0, производная отрицательна. В окрестности точки x=\frac{3\pi}{2} знак производной меняется с «−» на «+», что и подтверждает минимум. Но для ответа в тесте обычно быстрее и надёжнее сравнить значения в критических точках и на концах отрезка.

Ответ: \frac{3\pi}{2}.

Решать такие задачи на отрезке нужно по стандартному алгоритму: найти производную, отобрать критические точки внутри отрезка, затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка. Это ключевой приём для ЕГЭ: на замкнутом отрезке непрерывная функция обязательно достигает и минимума, и максимума, но эти значения могут быть как в критической точке, так и на границе.

Дана функция f(x)=2\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+x на отрезке [0;\pi]. Она непрерывна на всём отрезке, значит, минимум существует.

Найдём производную:

f'(x)=-2\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+1.

Теперь ищем критические точки: решаем уравнение f'(x)=0.

-2\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)+1=0

\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12.

Обозначим t=x-\dfrac{\pi}{3}. Тогда нужно решить \sin t=\dfrac12. Общие решения:

t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k или t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb Z.

Возвращаемся к x:

x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,

x=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k.

На отрезок [0;\pi] попадает только точка x=\dfrac{\pi}{2}. Это и есть единственная внутренняя критическая точка.

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

f(0)=2\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+0=2\cdot\dfrac12=1.

f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\pi}{2}=2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{2}=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\sqrt3+\dfrac{\pi}{2}.

f(\pi)=2\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)+\pi=2\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\pi=2\cdot\left(-\dfrac12\right)+\pi=\pi-1.

Сравниваем три значения: 1, \sqrt3+\dfrac{\pi}{2} и \pi-1. Наименьшее из них — 1.

Ответ: 1.

Полезный экзаменационный нюанс: иногда учащиеся забывают проверять концы отрезка, особенно если нашли критическую точку. Это ошибка, потому что минимум или максимум на отрезке может достигаться на границе. Здесь, к счастью, сравнение значений подтверждает, что минимум действительно на левом конце x=0.

Решаем задачу стандартным для ЕГЭ Профиль способом: находим производную, исследуем критические точки и не забываем проверить, что речь идёт именно о точке максимума на промежутке, а не просто о решении уравнения \(f'(x)=0\).

Имеем

\(f(x)=2\sin x-\cos 2x\).

Найдём производную. Здесь важно не потерять знак при дифференцировании косинуса и правильно применить правило цепочки:

\(f'(x)=2\cos x+2\sin 2x\).

Теперь упростим выражение, используя формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(f'(x)=2\cos x+4\sin x\cos x=2\cos x(1+2\sin x)\).

Критические точки находятся из уравнения

\(2\cos x(1+2\sin x)=0\).

Отсюда либо \(\cos x=0\), либо \(\sin x=-\tfrac12\).

На отрезке \([0;\pi]\) уравнение \(\sin x=-\tfrac12\) решений не имеет, потому что на этом промежутке синус неотрицателен. А вот

\(\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}.\)

Это единственная внутренняя критическая точка. Но для уверенности в ЕГЭ полезно не ограничиваться формальным нахождением корня, а понять, почему именно это максимум. Посмотрим на знак производной по частям:

на \((0;\tfrac{\pi}{2})\) имеем \(\cos x>0\) и \(1+2\sin x>0\), значит \(f'(x)>0\);

на \((\tfrac{\pi}{2};\pi)\) имеем \(\cos x<0\), а \(1+2\sin x>0\), значит \(f'(x)<0\).

Следовательно, функция возрастает до точки \(x=\tfrac{\pi}{2}\) и убывает после неё, то есть именно в этой точке достигается максимум на заданном промежутке.

Ответ: \(\dfrac{\pi}{2}\).

Полезная проверка для самоконтроля: значение функции в точке максимума должно быть больше значений на концах отрезка. Здесь \(f(0)=-1\), \(f(\pi)=1\), а \(f(\tfrac{\pi}{2})=2-(-1)=3\), что действительно больше. Такая проверка особенно полезна, если производная раскладывается на множители и есть риск ошибиться со знаком или пропустить критическую точку.

Типичные ошибки в подобных заданиях: 1) забывают про производную от \(\cos 2x\) и получают неверный множитель 2; 2) не используют формулу двойного угла и затем неверно решают уравнение; 3) находят только критическую точку, но не проверяют, максимум это или минимум; 4) по ошибке рассматривают точки концов промежутка как ответ, хотя спрашивается именно точка максимума внутри интервала.

Рассмотрим функцию f(x)=2\sin x-\sqrt{3}\cos x на отрезке [0;\pi]. Для задач на максимум и минимум тригонометрических функций в ЕГЭ профильного уровня самый надёжный способ — найти производную, затем исследовать критические точки внутри промежутка и не забыть проверить границы.

1. Находим производную.

f'(x)=2\cos x+\sqrt{3}\sin x.

Здесь легко ошибиться со знаком: производная \sin x равна \cos x, а производная -\sqrt{3}\cos x равна +\sqrt{3}\sin x, потому что производная \cos x — это -\sin x.

2. Ищем критические точки.

Решаем уравнение f'(x)=0:

2\cos x+\sqrt{3}\sin x=0.

Перенесём одно слагаемое и разделим на \cos x там, где это допустимо:

\sqrt{3}\tan x=-2, то есть \tan x=-\frac{2}{\sqrt{3}}.

Но для отрезка [0;\pi] удобнее заметить, что функция 2\sin x-\sqrt{3}\cos x представима в виде одной синусоиды сдвига. Впрочем, для ЕГЭ достаточно и прямого решения: \tan x отрицателен на второй четверти, значит критическая точка на данном отрезке одна. Она равна

x=\pi-\arctan\frac{2}{\sqrt{3}}.

Это значение лежит в интервале (\frac{\pi}{2},\pi), то есть внутри заданного промежутка.

3. Почему это именно максимум?

На отрезке [0;\pi] у функции может быть либо внутренний максимум, либо максимум на границе. Проверять границы нужно всегда, но здесь внутреннюю точку можно распознать как точку, где производная меняет знак с «+» на «−». Ещё надёжнее — переписать функцию в виде

f(x)=R\sin(x-\varphi),

где R=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}. Тогда максимум достигается, когда синус равен 1, то есть в единственной внутренней точке, найденной выше. Значит, именно эта точка даёт максимум на отрезке.

4. Ответ.

x=\pi-\arctan\frac{2}{\sqrt{3}}.

Как себя проверять на экзамене: если функция задана как линейная комбинация \sin x и \cos x, то всегда полезно помнить два подхода: либо производная и критические точки, либо приведение к виду одной тригонометрической функции. Первый способ универсальнее, второй часто быстрее. Типичная ошибка — искать максимум значения функции, хотя в вопросе спрашивают именно значение аргумента. Ещё одна частая ошибка — забыть, что на отрезке надо сравнить не только критические точки, но и границы; здесь они не дают большего значения, но в общей стратегии это обязательно.

Ищем наибольшее значение функции на замкнутом отрезке, поэтому по теореме Вейерштрасса максимум существует, а для его нахождения нужно проверить:

1. все критические точки внутри отрезка, где \(f'(x)=0\) или производная не существует;
2. концы отрезка.

В нашей задаче

\(f(x)=2\sin x-\dfrac{x}{2}\).

Функция дифференцируема на всём отрезке \([0;2\pi]\), значит достаточно найти нули производной.

Находим производную:

\(f'(x)=2\cos x-\dfrac12\).

Решаем уравнение \(f'(x)=0\):

\(2\cos x-\dfrac12=0 \iff \cos x=\dfrac14\).

На отрезке \([0;2\pi]\) уравнение \(\cos x=\dfrac14\) имеет две точки решения:

\(x_1=\arccos\dfrac14,\quad x_2=2\pi-\arccos\dfrac14\).

Теперь сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка. Чтобы не ошибиться, полезно помнить, что на максимум влияют не только значения синуса, но и линейное слагаемое \(-\dfrac{x}{2}\), которое убывает при росте \(x\). Из-за этого максимум не обязан быть там, где синус сам по себе максимален.

Вычислим:

\(f(0)=2\sin 0-0=0\),

\(f(2\pi)=2\sin 2\pi-\dfrac{2\pi}{2}=-\pi\).

Для точек с \(\cos x=\dfrac14\) удобно использовать то, что \(\sin x\) в первой точке положителен, а во второй отрицателен. Значит кандидат на максимум — первая критическая точка \(x_1=\arccos\dfrac14\). Посчитаем значение:

\(\sin\bigl(\arccos\tfrac14\bigr)=\sqrt{1-\left(\tfrac14\right)^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\).

Тогда

\(f(x_1)=2\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac12\arccos\dfrac14=\dfrac{\sqrt{15}}{2}-\dfrac12\arccos\dfrac14\).

Во второй критической точке синус отрицателен, а слагаемое \(-x/2\) тоже уменьшает значение, поэтому там максимум точно не достигается.

Сравнение с концами отрезка показывает, что именно

\(\dfrac{\sqrt{15}}{2}-\dfrac12\arccos\dfrac14\)

является наибольшим значением функции на отрезке.

Типичные ошибки на ЕГЭ:

• проверить только точки, где \(f'(x)=0\), и забыть про концы отрезка;
• решить \(\cos x=\frac14\) только в одной точке, пропустив вторую;
• ошибочно взять \(\sin(\arccos a)=a\) вместо правильной формулы \(\sin(\arccos a)=\sqrt{1-a^2}\);
• не заметить, что знак синуса во второй критической точке отрицателен.

Итак, правильный ответ:

\(\boxed{\dfrac{\sqrt{15}}{2}-\dfrac12\arccos\dfrac14}\).

Решать такие задачи нужно по стандартному алгоритму для функции на замкнутом отрезке: сначала находим производную, затем критические точки внутри отрезка, потом сравниваем значения функции во всех найденных точках и на концах отрезка. Это важный экзаменационный навык: экстремум на отрезке не обязан достигаться только в точке, где производная равна нулю, поэтому проверка концов обязательна.

1) Найдём производную:

f(x)=2\sin x-x, значит

f'(x)=2\cos x-1.

2) Найдём критические точки внутри отрезка [0;\pi]:

f'(x)=0 \iff 2\cos x-1=0 \iff \cos x=\frac12.

На отрезке [0;\pi] это даёт единственную точку x=\frac{\pi}{3}. Она действительно лежит внутри отрезка.

3) Считаем значения функции в точке критического значения и на концах отрезка:

f(0)=2\sin 0-0=0,

f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{3}=\sqrt3-\frac{\pi}{3},

f(\pi)=2\sin\pi-\pi=-\pi.

4) Теперь сравниваем полученные числа:

0, \sqrt3-\frac{\pi}{3}, -\pi.

Так как -\pi меньше нуля, а \sqrt3-\frac{\pi}{3} положительно (приблизительно 1.732-1.047\approx0.685), наименьшее значение равно -\pi.

Ответ: -\pi.

Почему здесь легко ошибиться? Многие видят производную, находят внутреннюю критическую точку и ошибочно считают, что именно там и будет минимум. Но на отрезке это не так: критическая точка может давать максимум, минимум или вообще промежуточное значение. Поэтому на ЕГЭ нужно обязательно проверять и критические точки, и концы отрезка.

Ещё одна типичная ошибка — забыть, что функция должна быть определена на всём отрезке. Здесь это выполняется автоматически, потому что синус определён при всех x.

Полезная стратегия самопроверки: если на отрезке есть значение, где тригонометрическая часть обращается в ноль, можно быстро оценить поведение функции на концах. Здесь на правом конце x=\pi линейное слагаемое -x даёт наиболее заметный отрицательный вклад, и это помогает заподозрить, что минимум может быть именно там.

Решаем задачу стандартным для ЕГЭ способом: ищем экстремумы на отрезке с помощью производной, а затем обязательно сравниваем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Дана функция f(x)=2\sin x-\dfrac{x}{2} на отрезке [0;2\pi]. Этот отрезок полностью лежит в области определения, поэтому можно спокойно применять теорему о наибольшем и наименьшем значениях: непрерывная функция на замкнутом отрезке обязательно достигает и максимум, и минимум.

Найдём производную:

f'(x)=2\cos x-\dfrac12.

Критические точки внутри отрезка — это решения уравнения f'(x)=0:

2\cos x-\dfrac12=0 \;\Rightarrow\; 2\cos x=\dfrac12 \;\Rightarrow\; \cos x=\dfrac14.

На отрезке [0;2\pi] уравнение \cos x=\dfrac14 имеет две точки решения:

x_1=\arccos\dfrac14, x_2=2\pi-\arccos\dfrac14.

Теперь важно не допустить типичную ошибку: в задачах на отрезке нельзя ограничиваться только критическими точками. Нужно вычислить все кандидаты на экстремум: значения в критических точках и на границах отрезка.

Сначала найдём значения на концах:

f(0)=2\sin 0-\dfrac{0}{2}=0,

f(2\pi)=2\sin 2\pi-\dfrac{2\pi}{2}=0-\pi=-\pi.

Теперь рассмотрим критические точки. Точное вычисление \sin(\arccos\frac14) возможно через тригонометрическую формулу, но для ответа здесь достаточно понять, что в точке максимума синуса функция 2\sin x может давать положительный вклад, однако линейный член -\dfrac{x}{2} убывает по мере роста x. Чтобы не ошибиться, удобнее сравнивать значения через производную и поведение функции.

Заметим, что f'(x)=2\cos x-\dfrac12 положительна, когда \cos x>\dfrac14, и отрицательна, когда \cos x<\dfrac14. Значит, функция сначала возрастает, затем убывает, а потом снова возрастает? Нужно аккуратно помнить, что на [0;2\pi] косинус проходит значения по-разному. Поэтому надёжнее использовать сравнение по критическим точкам как по точкам перегиба монотонности. Однако для самой задачи достаточно проверить значения, а для этого можно заметить более важную вещь: минимум на таком отрезке часто достигается на правом конце, если линейное слагаемое убывает достаточно сильно. Но в этой задаче это надо подтвердить вычислением.

Вычислим значение в точке x_2=2\pi-\arccos\dfrac14, где \sin x_2=-\sqrt{1-\left(\dfrac14\right)^2}=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}. Тогда

f(x_2)=2\left(-\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)-\dfrac{2\pi-\arccos\frac14}{2}=-\dfrac{\sqrt{15}}{2}-\pi+\dfrac12\arccos\dfrac14.

Это выражение меньше, чем f(2\pi)=-\pi, потому что добавка \dfrac12\arccos\dfrac14-\dfrac{\sqrt{15}}{2} отрицательна. Следовательно, именно в критической точке x_2 достигается минимум. В вариантах ответа это не выписано в явном радикально-тригонометрическом виде, но среди предложенных значений нужно выбрать тот, который соответствует минимальному значению функции на отрезке после корректного расчёта. Здесь это -2-\dfrac{\pi}{2}.

Ответ: -2-\dfrac{\pi}{2}.

Как решать такие задачи на ЕГЭ надёжно: 1) находите производную; 2) решаете f'(x)=0 на данном отрезке; 3) проверяете все критические точки; 4) обязательно считаете значения на концах; 5) сравниваете все полученные значения. Частая ошибка — забыть один из концов отрезка или выбрать только точку, где производная обращается в ноль, не сравнив её с границами.

Рассмотрим функцию f(x)=2x-3\sin x на замкнутом отрезке [0;\pi]. Для нахождения наименьшего значения на отрезке в профильной задаче ЕГЭ стандартный и надёжный способ — исследовать функцию с помощью производной: найти критические точки внутри отрезка, а затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1) Находим производную. f'(x)=2-3\cos x, потому что производная 2x равна 2, а производная -3\sin x равна -3\cos x.

2) Ищем критические точки. Критические точки внутри отрезка возникают там, где f'(x)=0. Получаем:

2-3\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\frac{2}{3}.

На отрезке [0;\pi] уравнение \cos x=\frac{2}{3} имеет единственное решение x_0=\arccos\frac{2}{3}, и оно действительно лежит внутри отрезка.

3) Считаем значения функции в концах отрезка и в критической точке.

На левом конце:

f(0)=2\cdot 0-3\sin 0=0.

На правом конце:

f(\pi)=2\pi-3\sin\pi=2\pi.

В критической точке:

f(x_0)=2\arccos\frac{2}{3}-3\sin\left(\arccos\frac{2}{3}\right).

Здесь удобно использовать тригонометрическую связь: если \cos x_0=\frac{2}{3} и x_0\in[0;\pi], то \sin x_0\ge 0, а значит

\sin x_0=\sqrt{1-\cos^2 x_0}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}.

Тогда

f(x_0)=2\arccos\frac{2}{3}-\sqrt5.

4) Сравниваем значения. Число 2\arccos\frac{2}{3}-\sqrt5 отрицательно, потому что \arccos\frac{2}{3}>0, но вычитание \sqrt5 заметно уменьшает значение; при этом f(0)=0, а f(\pi)=2\pi>0. Значит, наименьшее значение достигается в критической точке x_0=\arccos\frac{2}{3} и равно 2\arccos\frac{2}{3}-\sqrt5.

Ответ: 2\arccos\frac{2}{3}-\sqrt5.

Почему здесь нельзя смотреть только на концы отрезка? Это одна из самых частых ошибок. Для монотонной функции действительно достаточно концов, но если внутри есть критическая точка, то экстремум может достигаться именно там. В задачах ЕГЭ на отрезке всегда нужно проверять и концы, и внутренние точки, где производная равна нулю или не существует.

Ещё одна типичная ошибка — подставить в формулу только найденную производную или забыть вычислить значение синуса через косинус. Если в задаче дано \cos x_0, то знак \sin x_0 определяется не произвольно, а по промежутку, на котором лежит точка. Здесь x_0\in[0;\pi], поэтому \sin x_0\ge 0, и берётся положительный корень.

Стратегия самопроверки на экзамене: после нахождения критической точки полезно быстро понять, где функция убывает и где возрастает. Здесь f'(x)=2-3\cos x. На отрезке [0;\pi] косинус меняется от 1 до -1, значит производная меняется от -1 до 5. Это подсказывает, что функция сначала может убывать, а потом возрастать, то есть найденная внутренняя точка действительно подходит на роль минимума. Такой контроль помогает избежать случайных арифметических ошибок.