Теоретические основы экстремумов функций: задания с ответами

Ключевая идея здесь очень проста, но именно на ней часто ошибаются на ЕГЭ: по знаку производной судят не о значении функции, а о её монотонности. Если f'(x) > 0, то функция возрастает; если f'(x) < 0, то функция убывает. А экстремум возникает только тогда, когда знак производной меняется при переходе через точку.

Разберём интервалы по условию:

• на (-\infty; a) производная положительна, значит f возрастает;
• на (a; b) производная отрицательна, значит f убывает;
• на (b; +\infty) производная тоже отрицательна, значит f снова убывает.

Теперь смотрим на точки a и b.

Точка a. Слева от неё функция возрастает, а справа — убывает. Это классическая ситуация: производная меняет знак с + на -. Следовательно, в точке a функция имеет локальный максимум.

Точка b. Слева от неё функция убывает, и справа тоже убывает. То есть знак производной не меняется: было -, осталось -. Следовательно, экстремума в точке b нет. Это важный пограничный случай: наличие критической точки само по себе ещё не гарантирует экстремум. Чтобы был максимум или минимум, нужна именно смена знака производной.

Значит, верный вывод: в точке a — максимум, в точке b — экстремума нет.

Почему здесь легко ошибиться:

• некоторые думают, что если в точке производная «как-то меняется», то обязательно есть экстремум; это неверно — важна именно смена знака;
• другие путают «производная отрицательна» с «значение функции отрицательно»; это совершенно разные вещи;
• ещё одна типичная ошибка — автоматически считать точку b точкой минимума только потому, что она является границей интервалов. Но без перехода - \to + минимума нет.

Стратегия самопроверки на экзамене: быстро выпишите последовательность знаков производной слева направо и вслух проговорите: «возрастает — убывает — убывает». Затем отдельно проверьте каждую точку перехода: + на - даёт максимум, - на + даёт минимум, отсутствие смены знака — экстремума нет.

Итак, правильный ответ: в точке a — максимум, в точке b — экстремума нет.

Ключевой признак экстремума по производной состоит не просто в том, что производная где-то равна нулю, а в том, как меняется её знак по обе стороны точки. Если слева от x₀ производная положительна, а справа отрицательна, то функция сначала возрастает, а затем убывает. Такое поведение и означает наличие локального максимума в точке x₀.

Разберём логику аккуратно. Из условия f′(x) > 0 при x < x₀ следует, что на левом промежутке функция возрастает: при движении слева направо значения функции увеличиваются. А из условия f′(x) < 0 при x > x₀ следует, что справа от точки функция убывает. Значит, при переходе через x₀ график поднимается, достигает вершины и затем идёт вниз. Это и есть локальный максимум.

Важно не перепутать это с минимумом. Минимум возникает при смене знака производной с минуса на плюс: сначала функция убывает, потом возрастает. Именно поэтому в подобных заданиях нужно смотреть не только на знак производной в одной точке, но и на изменение знака при переходе через неё. Если знак не меняется, то экстремума может и не быть, даже если производная равна нулю в критической точке.

Ещё одна типичная ошибка — думать, что для экстремума обязательно нужно, чтобы f′(x₀) = 0. Для дифференцируемой функции это действительно так: в точке локального экстремума производная, если существует, равна нулю. Но для распознавания типа экстремума решающим является именно знак слева и справа. В экзамене удобно делать самопроверку так: + слева и − справа — максимум; − слева и + справа — минимум.

Итак, верный ответ: точка x₀ — точка локального максимума функции.

Здесь проверяется не вычисление производной конкретной функции, а знание правила дифференцирования произведения. Если функция задана как произведение двух дифференцируемых функций f(x) и g(x), то производная находится по формуле

(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x).

Это одно из базовых правил, которое нужно помнить точно, потому что очень частая ошибка на ЕГЭ — попытаться дифференцировать произведение “по частям”, то есть написать f'(x)\cdot g'(x) или f'(x)+g'(x). Оба варианта неверны.

Почему формула именно такая? Производная описывает скорость изменения функции. Когда меняются сразу оба множителя, изменение произведения складывается из двух вкладов:

• первый множитель меняется, а второй в этот момент остаётся как был: f'(x)\cdot g(x);
• второй множитель меняется, а первый фиксирован: f(x)\cdot g'(x).

Итоговое изменение — сумма этих двух вкладов. Поэтому в правильной формуле обязательно два слагаемых, и в каждом из них один множитель дифференцируется, а другой остаётся без изменений.

Проверим варианты рассуждением:

• Правильный ответ — тот, где записано f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
• Формула f'(x)g'(x) — это типичная ошибка: производная произведения не равна произведению производных.
• Формула f'(x)g(x) или f(x)g'(x) тоже неполна, потому что учитывает только изменение одного из множителей.
• Формула (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x) относится к сумме, а не к произведению.

Для самопроверки удобно запомнить общий шаблон: “производная первого, умноженная на второе, плюс первое, умноженное на производную второго”. Если видите произведение функций, почти всегда сначала вспоминайте именно это правило. На экзамене важно не подменять его правилом суммы и не забывать второе слагаемое.

Здесь проверяется базовое, но очень важное правило дифференцирования: производная произведения не равна произведению производных. Это одна из самых частых ошибок в задачах ЕГЭ, потому что формально хочется “продифференцировать каждую часть отдельно”, но для произведения так делать нельзя.

Если дана функция вида f(x)g(x), то используется правило произведения:

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

Почему именно так? Идея в том, что при малом приращении Δx меняются обе функции, и в приращении произведения возникают два основных вклада: первый связан с изменением f, второй — с изменением g. Если записать разность f(x+Δx)g(x+Δx) - f(x)g(x) и аккуратно сгруппировать слагаемые, появятся именно два слагаемых в формуле выше. Важный момент: появляется сумма, а не одно произведение.

Разберём типичные ловушки:

• Ошибка 1: (fg)' = f'g'. Это неверно, потому что теряется вклад каждой из функций по отдельности.

• Ошибка 2: (fg)' = f'g + fg' записано верно, но ученики иногда путают порядок множителей. Порядок внутри каждого слагаемого не важен, так как умножение коммутативно, но важно не забыть оба слагаемых.

• Ошибка 3: путают правило произведения с правилом суммы. Для суммы всё проще: (f+g)' = f' + g', а для произведения так записывать нельзя.

Поэтому правильный ответ — тот вариант, где указано именно (fg)' = f'g + fg'.

Для самопроверки удобно задавать вопрос: “Здесь сумма функций или произведение?” Если произведение — нужна формула с двумя слагаемыми. Если сумма — складываются производные. Если же внутри есть ещё и сложная функция, то может понадобиться правило цепочки, но в этой задаче оно не требуется.

Разберёмся, как по знаку производной определить поведение функции и тип точки. Это одна из базовых, но очень важных идей профильного ЕГЭ: сама функция может быть неизвестна, но по знаку f′(x) можно сделать строгий вывод о том, как она меняется.

Главное правило такое:

• если f′(x) > 0 на интервале, то функция f(x) возрастает на этом интервале;
• если f′(x) < 0 на интервале, то функция f(x) убывает на этом интервале.

В задаче сказано, что слева от точки a производная положительна, то есть на (a−2; a) функция возрастает. Это значит: при движении к точке a слева значения функции увеличиваются.

Справа от точки a производная отрицательна, то есть на (a; a+3) функция убывает. Значит, после прохождения точки a значения функции начинают уменьшаться.

Итак, до точки a функция возрастает, а после точки a убывает. Это ровно тот случай, когда в точке a достигается локальный максимум: функция «поднимается» слева и «опускается» справа.

Почему нельзя выбрать другие ответы?

• Локальный минимум был бы при смене знака производной с минуса на плюс: сначала убывание, потом возрастание.
• Точка перегиба не определяется только по знаку первой производной; для неё важна смена выпуклости, то есть поведение второй производной или более глубокий анализ.
• Если говорят просто «экстремума нет», это неверно, потому что здесь есть явная смена знака производной с плюса на минус, а такая смена и даёт максимум.

Полезная стратегия на экзамене: всегда мысленно делайте маленькую таблицу знаков. Если слева «+», справа «−», то в точке — максимум. Если слева «−», справа «+», то минимум. Если знак не меняется, то экстремума нет, даже если производная в точке равна нулю или не существует.

Следовательно, правильный ответ: в точке a функция имеет локальный максимум.

Здесь важно распознать две операции сразу: сначала внутри скобок стоит произведение функций g(x)\cdot h(x), а затем всё выражение умножено на постоянный множитель c. Поэтому при дифференцировании нужно применить сначала правило вынесения постоянного множителя, а затем правило производной произведения.

По линейности производной имеем:

(c\cdot u(x))' = c\cdot u'(x).

Значит, для u(x)=g(x)\cdot h(x) получаем:

f'(x)=c\cdot (g(x)\cdot h(x))'.

Теперь применяем правило произведения:

(g(x)\cdot h(x))' = g'(x)\cdot h(x) + g(x)\cdot h'(x).

Подставляя это в предыдущую формулу, получаем окончательно:

f'(x)=c\bigl(g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\bigr).

Именно это выражение и является верным ответом.

Почему остальные варианты были бы неверны?

• Если написать c\,g'(x)h'(x), то это типичная ошибка: производная произведения — не произведение производных.
• Если написать c\,(g'(x)+h'(x)), то потеряно правило произведения: при дифференцировании произведения всегда появляются два слагаемых.
• Если написать c\,(g'(x)h(x)-g(x)h'(x)), то это уже похоже на неверно запомненную формулу с минусом; у произведения знак плюс.

Как себя проверить на ЕГЭ: если в записи видите множитель, произведение, частное или композицию, сначала определите, какая операция внешняя. Здесь внешняя операция — умножение на константу, а внутренняя — произведение функций. Это помогает не перепутать порядок применения правил. Очень частая ошибка — сразу дифференцировать всё «по памяти» и забывать один из слагаемых в формуле произведения.

Главный вывод: константа сохраняется как множитель, а производная произведения равна сумме двух слагаемых, где по очереди дифференцируется каждый из множителей.

Основной признак экстремума по производной формулируется так: если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ и её производная при переходе через x₀ меняет знак, то по характеру этой смены можно определить вид экстремума.

Если f′(x) > 0 слева от точки, то функция возрастает. Если затем в самой точке или сразу справа f′(x) < 0, то после точки функция начинает убывать. Значит, при движении слева направо функция сначала «поднимается», а потом «опускается». Это и есть поведение в точке локального максимума.

Итак, смена знака производной с «плюса» на «минус» означает, что в точке x₀ находится точка максимума.

Полезно помнить обе стандартные схемы:

• f′: + → − — точка максимума;
• f′: − → + — точка минимума.

Типичная ошибка на ЕГЭ — смотреть только на то, что f′(x₀)=0. Этого недостаточно: нулевая производная лишь делает точку критической, но экстремум появляется только при смене знака. Ещё одна ловушка — путать максимум и минимум: при смене «+» на «−» функция не возрастает после точки, а убывает, значит это именно максимум, а не минимум.

Если в задаче спрашивают классификацию по знаку производной, всегда мысленно делайте короткую проверку: «слева возрастает или убывает? справа что происходит?». Такой алгоритм позволяет не ошибиться даже в более сложных заданиях, где знак производной задан таблицей или схемой на числовой прямой.

Ключевая идея здесь очень важна для ЕГЭ: экстремум функции определяется не тем, что производная в точке равна нулю, а тем, как меняется знак производной по обе стороны точки. Равенство f'(x₀) = 0 — это лишь признак критической точки, но не гарантия экстремума. В этой задаче дано именно изменение знака, поэтому можно сделать строгий вывод.

Если слева от x₀ производная положительна, это значит, что функция возрастает. Если справа производная отрицательна, функция убывает. Значит, при переходе через x₀ поведение функции меняется так: сначала она шла вверх, а потом начинает идти вниз. Это и есть точка локального максимума.

Почему это работает? Производная показывает мгновенную скорость изменения функции. Знак «плюс» означает рост, знак «минус» — убывание. Поэтому:

• + → − — функция переходит от возрастания к убыванию, значит в точке максимум;
• − → + — функция переходит от убывания к возрастанию, значит в точке минимум;
• если знак не меняется, экстремума может не быть вообще.

Именно это последнее правило часто путают. Например, если f'(x₀) = 0, но слева и справа производная положительна, то функция просто продолжает возрастать, и точки экстремума нет. Аналогично, если производная равна нулю, но знаки не сменились с минуса на плюс или с плюса на минус, это не максимум и не минимум.

В данной задаче изменение знака однозначно: с плюса на минус. Следовательно, точка x₀ — это точка максимума.

Правильный ответ: точка локального максимума.

Здесь проверяется умение узнавать стандартные формулы производных и применять их без лишних преобразований. Функция задана как сумма двух элементарных функций: \(\ln x\) и \(3\sin x\). Для суммы производная находится по правилу линейности: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно вынести.

Шаг 1. Найдём производную логарифма: \((\ln x)'=\frac{1}{x}\), причём это верно только при \(x>0\). В ЕГЭ полезно помнить не только формулу, но и область определения: если сама функция содержит \(\ln x\), то рассматривать производную нужно на той же области, то есть при положительных \(x\).

Шаг 2. Найдём производную второго слагаемого: \((3\sin x)'=3(\sin x)'=3\cos x\). Здесь часто делают две типичные ошибки: забывают коэффициент 3 или путают знак у производной синуса и косинуса. Важно помнить: \((\sin x)'=\cos x\), а \((\cos x)'=-\sin x\).

Шаг 3. Складываем результаты: f'(x)=\frac{1}{x}+3\cos x.

Почему это хороший экзаменационный пример: он проверяет сразу несколько базовых навыков — знание формулы для логарифма, умение дифференцировать тригонометрическую функцию и аккуратность с коэффициентом. Если в вариантах ответа есть выражения вида \(\frac{1}{x}+\sin x\), \(\frac{1}{x}+3\sin x\) или \(-\frac{1}{x}+3\cos x\), их нужно отбрасывать по одному из признаков: неверная формула, потерянный множитель или неправильный знак.

Для самопроверки можно мысленно вспомнить таблицу производных: логарифм даёт дробь \(1/x\), синус переходит в косинус, а постоянный множитель сохраняется. Если результат выглядит именно так, значит, вычисление выполнено верно.