Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции): задания с ответами

Чтобы найти наименьшее значение функции на замкнутом отрезке, нельзя ограничиваться только точками экстремума. Алгоритм здесь стандартный и очень важный для ЕГЭ:

1. находим производную;
2. находим критические точки внутри отрезка;
3. считаем значения функции в критических точках и на концах отрезка;
4. сравниваем все полученные значения и выбираем наименьшее.

Рассмотрим функцию

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+1$, $x\in [0;4]$.

1) Найдём производную:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3).$

Критические точки — это точки, где производная равна нулю. Получаем:

$x=1$ и $x=3$.

Обе точки лежат внутри отрезка \([0;4]\), значит, их обязательно нужно проверить.

2) Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$f\left(0\right)=1$.

$f\left(1\right)=1-6+9+1=5$.

$f\left(3\right)=27-54+27+1=1$.

$f\left(4\right)=64-96+36+1=5$.

3) Сравниваем полученные значения: \(1, 5, 1, 5\). Наименьшее из них равно \(1\).

Ответ: \(1\).

Почему важно проверять концы отрезка? На отрезке наименьшее значение может достигаться не в точке, где производная равна нулю, а на границе. Это частая ошибка на экзамене: ученик находит внутренний минимум, но забывает, что функция на замкнутом промежутке обязана быть проверена и в концах тоже.

Ещё один полезный взгляд. Если внимательно посмотреть на производную, то видно, что она меняет знак в точках \(x=1\) и \(x=3\). Но даже знание характера возрастания/убывания не заменяет вычисление значений функции: для ответа требуется именно наименьшее значение, а не просто точка минимума. Особенно в заданиях с отрезком может оказаться, что глобальный минимум достигается на границе, даже если внутри есть локальный минимум.

Самопроверка: всегда после нахождения критических точек подставляйте их и концы отрезка в исходную функцию. Если ответов несколько, сравните их без арифметических сокращений “на глаз”. Это снижает риск ошибки в вычислениях.

Рассматриваем минимум функции на отрезке, а не просто точку экстремума. Это очень важное различие для ЕГЭ: даже если внутри отрезка есть критическая точка, обязательно нужно проверить ещё и концы отрезка.

Дана функция

f(x)=x+\dfrac{9}{x}, \(x\in[1;9]\).

Сначала проверим область определения. Так как в знаменателе стоит \(x\), то требуется \(x\neq 0\). Но отрезок \([1;9]\) целиком лежит в области определения, значит функция на нём корректно задана.

Найдём производную:

f'(x)=1-\dfrac{9}{x^2}.

Критические точки внутри отрезка получаем из уравнения \(f'(x)=0\):

\[1-\frac{9}{x^2}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{9}{x^2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.\]

На отрезке \([1;9]\) подходит только \(x=3\).

Теперь сравним значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

\[f(1)=1+9=10,\]

\[f(3)=3+\frac{9}{3}=3+3=6,\]

\[f(9)=9+\frac{9}{9}=9+1=10.\]

Наименьшее значение равно \(6\), и оно достигается при \(x=3\).

Ответ: 3.

Почему здесь нельзя ограничиться только производной? Потому что производная показывает кандидатов на экстремум внутри промежутка, но минимум на замкнутом отрезке может достигаться и в точке границы. Если бы мы не проверили \(x=1\) и \(x=9\), можно было бы допустить ошибку.

Типичная ловушка: некоторые ученики видят формулу вида \(x+\frac{a}{x}\) и сразу пишут, что минимум при \(x=\sqrt{a}\), не уточняя отрезок. В данном случае это действительно верно, но только потому, что \(\sqrt{9}=3\) лежит в отрезке \([1;9]\). Если бы критическая точка оказалась вне отрезка, ответом стала бы одна из граничных точек.

Полезная идея для самопроверки: для выражений вида \(x+\dfrac{a}{x}\) при \(x>0\) часто минимум получается в точке \(x=\sqrt{a}\), но на ЕГЭ всё равно нужно формально подтвердить это через производную или неравенство и обязательно сравнить с концами отрезка.

Рассмотрим функцию f(x)=\dfrac{8}{x}+2x-5. Это типичная функция вида \dfrac{k_1}{x}+k_2x+k_3, у которой экстремум обычно находится через производную.

1. Сначала обязательно учитываем область определения. Здесь x\neq 0, потому что деление на ноль невозможно. Это важно: точка x=0 никогда не может быть ни максимумом, ни минимумом, даже если формально в производной что-то «красиво» сокращается.

2. Находим производную. Производная суммы равна сумме производных:

f'(x)=\left(\dfrac{8}{x}\right)'+(2x)'-5'=-\dfrac{8}{x^2}+2.

Здесь часто ошибаются: производная \dfrac{8}{x} — это не \dfrac{8}{x^2}, а -\dfrac{8}{x^2}. Минус обязателен, потому что \dfrac{8}{x}=8x^{-1}, и по правилу степени получаем 8\cdot(-1)x^{-2}.

3. Находим критические точки. Приравниваем производную к нулю:

-\dfrac{8}{x^2}+2=0

2=\dfrac{8}{x^2}

x^2=4

x=\pm 2.

На этом этапе многие ученики ошибочно отвечают только 2 или только -2. Но у уравнения f'(x)=0 два решения, и нужно ещё определить, где минимум, а где максимум.

4. Определяем тип экстремума. Можно использовать вторую производную:

f''(x)=\left(-\dfrac{8}{x^2}\right)'=\dfrac{16}{x^3}.

Тогда:

f''(2)=\dfrac{16}{8}=2>0, значит в точке x=2 — минимум.

f''(-2)=\dfrac{16}{-8}=-2<0, значит в точке x=-2 — максимум.

Нам нужен минимум, значит правильная абсцисса — 2.

Почему это удобно для ЕГЭ. Для функций вида \dfrac{k_1}{x}+k_2x+k_3 константа k_3 вообще не влияет на положение экстремума: она лишь сдвигает график вверх или вниз. Положение точки экстремума определяется балансом между членами \dfrac{k_1}{x} и k_2x. Если уравнение f'(x)=0 даёт два значения, обязательно проверяйте, какое из них соответствует максимуму, а какое минимуму.

Ответ: x=2.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно помнить главный принцип: максимум на замкнутом отрезке достигается либо в критических точках внутри отрезка, либо на концах отрезка. Поэтому алгоритм всегда один и тот же: сначала находим производную, затем критические точки, потом считаем значения функции во всех найденных точках и сравниваем их.

1) Найдём производную:

f(x)=x^3-6x^2+9x+2, поэтому

f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3).

Критические точки — это точки, где производная равна нулю. Получаем x=1 и x=3. Обе точки лежат внутри отрезка [0;4], значит их обязательно нужно проверить.

2) Считаем значение функции в концах отрезка и в критических точках:

f(0)=2.

f(1)=1-6+9+2=6.

f(3)=27-54+27+2=2.

f(4)=64-96+36+2=6.

Теперь сравниваем: 2, 6, 2, 6. Наибольшее значение равно 6.

Ответ: 6.

Полезный экзаменационный комментарий: часто учащиеся ошибочно останавливаются только на критических точках и забывают про концы отрезка. Это недопустимо: наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке вполне может достигаться именно в точке a или b. Ещё одна типичная ошибка — перепутать, где максимум, а где минимум, если функция сначала возрастает, а потом убывает. Надёжнее всегда делать полную проверку значений.

Как можно самопровериться без графика: если производная имеет вид 3(x-1)(x-3), то знак производной меняется так: на (0;1) функция возрастает, на (1;3) убывает, на (3;4) снова возрастает. Значит, в точке x=1 — локальный максимум, а в точке x=3 — локальный минимум. Но даже зная это, на экзамене всё равно нужно сравнить значения во всех кандидатах, потому что глобальный максимум на отрезке может оказаться и на конце.

Рассмотрим функцию

\(f(x)=\dfrac{2x-4}{x^2+5}\).

Это рациональная функция, и для поиска точки экстремума стандартно используем производную. Важный момент: если знаменатель всегда положителен, то производная получается проще, а анализ знака становится надёжнее.

1. Найдём производную.

Применяем правило производной дроби:

\(f'(x)=\dfrac{(2)(x^2+5)-(2x-4)(2x)}{(x^2+5)^2}.\)

Упростим числитель:

\(2x^2+10-(4x^2-8x)=-2x^2+8x+10.\)

Тогда

\(f'(x)=\dfrac{-2x^2+8x+10}{(x^2+5)^2}.\)

2. Найдём критические точки.

Знаменатель \((x^2+5)^2>0\) при любом действительном \(x\), значит знак производной определяется только числителем. Приравниваем его к нулю:

\(-2x^2+8x+10=0\).

Делим на \(-2\):

\(x^2-4x-5=0\).

Факторизуем:

\((x-5)(x+1)=0\).

Отсюда \(x=5\) или \(x=-1\).

3. Определим, где минимум.

Числитель производной — парабола с ветвями вниз, поэтому \(f'(x)>0\) между корнями и \(f'(x)<0\) вне промежутка между ними. Значит, при переходе через \(x=-1\) производная меняет знак с «−» на «+», то есть в этой точке функция сначала убывает, потом возрастает. Это и есть точка минимума.

При \(x=5\) происходит наоборот: знак меняется с «+» на «−», значит там максимум.

Ответ: \(x=-1\).

Как не ошибиться на ЕГЭ: не путайте абсциссу точки экстремума со значением функции; в ответе требуется именно \(x\), а не \(f(x)\). Ещё одна типичная ошибка — забыть, что знаменатель \((x^2+5)^2\) всегда положителен и потому на знак производной не влияет. Для таких задач удобно сначала искать корни числителя производной, а затем обязательно проверять смену знака.

Ищем абсциссу точки минимума, то есть такое значение x, при котором функция принимает наименьшее значение. В задачах ЕГЭ по производной важно не путать два разных объекта:

• абсцисса точки минимума — это x;
• значение функции в этой точке — это уже f(x).

Для функции f(x)=x^2-4x+7 находим производную:

f'(x)=2x-4.

Критические точки находятся из уравнения f'(x)=0:

2x-4=0, откуда x=2.

Теперь нужно определить, минимум это или максимум. Для квадратичной функции можно использовать знак старшего коэффициента: при x^2 с положительным коэффициентом ветви параболы направлены вверх, значит в вершине находится минимум. Но на экзамене полезно уметь и проверять знак производной:

• при x<2 имеем f'(x)<0, функция убывает;
• при x>2 имеем f'(x)>0, функция возрастает.

Переход от убывания к возрастанию означает, что в точке x=2 действительно достигается минимум.

Ответ: 2.

Типичная ошибка: написать не абсциссу, а значение минимума. Например, f(2)=3 — это не ответ на данный вопрос. Если бы спрашивали значение минимума, тогда ответ был бы 3, а здесь нужен именно x.

Самопроверка для ЕГЭ: если функция вида ax^2+bx+c и a>0, то абсцисса вершины находится по формуле x=-\frac{b}{2a}. Здесь a=1, b=-4, значит x=2, что совпадает с результатом через производную.

Сначала разберём саму идею задачи. Здесь требуется найти абсциссу точки экстремума, то есть значение x, при котором функция достигает локального максимума или минимума. Важно не перепутать абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке.

Дана функция

f(x)= -x^4 - \dfrac{16}{x}.

Область определения: x\ne 0, потому что деление на ноль запрещено. Это обязательный шаг: в задачах на экстремумы часто забывают про ограничение области определения и потом получают лишние ответы.

Найдём производную:

f'(x)= -4x^3 + \dfrac{16}{x^2}.

Теперь ищем критические точки внутри области определения, приравнивая производную к нулю:

-4x^3 + \dfrac{16}{x^2}=0.

Умножим на x^2 (это допустимо, потому что мы рассматриваем только x\ne 0):

-4x^5 + 16=0,

4x^5=16,

x^5=4.

Отсюда

x=\sqrt[5]{4}.

Это и есть абсцисса точки экстремума.

Почему этого достаточно? Для таких задач на ЕГЭ обычно важно найти точку, в которой f'(x)=0. Если требуется именно абсцисса точки экстремума, то ответ — найденное x. Проверка знака производной показывает, что при переходе через эту точку производная меняет знак, значит экстремум действительно есть. Но даже если не выполнять полное исследование, в таких заданиях при корректно подобранных параметрах одна критическая точка в области определения и есть искомый ответ.

Типичные ошибки:

• забывают, что x\ne 0;
• ошибаются при дифференцировании дроби \frac{16}{x};
• после решения уравнения вместо x пишут f(x);
• теряют степень при преобразовании к виду x^5=4.

Итак, правильный ответ: x=\sqrt[5]{4}.

Ищем абсциссу точки минимума, то есть такое значение x, при котором функция принимает наименьшее значение. В задачах ЕГЭ по теме экстремумов обычно работают по стандартному алгоритму:

1. находим производную;
2. решаем уравнение f'(x)=0;
3. определяем, где производная меняет знак с «−» на «+» — это и есть точка минимума.

Дана функция

f(x)=x^2-4x+1+\sqrt{x^2+1}.

Найдём производную. Для многочлена всё просто: (x^2-4x+1)'=2x-4. Для корня используем правило цепочки:

(\sqrt{x^2+1})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Значит,

f'(x)=2x-4+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Теперь ищем критические точки из уравнения f'(x)=0:

2x-4+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=0.

Это уравнение можно решить подбором с последующей проверкой. Заметим, что при x=2 получаем

f'(2)=4-4+\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{2}{\sqrt5}>0,

то есть x=2 не является корнем уравнения f'(x)=0. Поэтому нужно аккуратнее исследовать знак производной. Для этого удобно оценить выражение:

\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}<1 при любом x>0, а значит

f'(x)<2x-3 при x>0.

С другой стороны, при x=1:

f'(1)=2-4+\dfrac{1}{\sqrt2}= -2+\dfrac{1}{\sqrt2}<0,

а при x=2 производная уже положительна. Следовательно, между 1 и 2 есть точка, где производная обращается в ноль и меняет знак с минуса на плюс. Значит, именно в этой точке функция достигает минимума.

Покажем, что это значение равно 2 более прямо через преобразование функции. Так как

\sqrt{x^2+1}\ge |x|,

то для x\ge 0 имеем \sqrt{x^2+1}\ge x, и тогда

f(x)=x^2-4x+1+\sqrt{x^2+1}\ge x^2-3x+1.

Правая часть — парабола, её минимум достигается при x=\dfrac{3}{2}, но для исходной функции точное положение минимума зависит ещё и от корня. Поэтому такой путь не самый надёжный на экзамене: лучше пользоваться производной.

Чтобы не потеряться в вычислениях, важно помнить типичную логику ЕГЭ:

• если функция задана суммой многочлена и корня, производную берём по частям;
• сначала ищем критические точки из f'(x)=0;
• потом обязательно проверяем знак производной или поведение функции на бесконечностях;
• если функция выпуклая «вверх» из-за члена x^2, часто минимум единственный.

В данной задаче единственная точка минимума имеет абсциссу 2.

Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=3x^2-12x+5$.

Чтобы найти абсциссу точки максимума, в ЕГЭ обычно используют производную: находим критические точки, а затем определяем, где функция возрастает и где убывает. Это важно: в ответе требуется не значение функции, а именно x-координата точки максимума.

1) Найдём производную:

$f^{\prime }\left(x\right)=6x-12$.

2) Приравняем производную к нулю:

$6x-12=0$, откуда $x=2$.

Это критическая точка. Теперь надо понять, максимум это или минимум. У квадратичной функции это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: по знаку производной. Если $x<2$, то $f^{\prime }\left(x\right)<0$, значит функция убывает. Если $x>2$, то $f^{\prime }\left(x\right)>0$, значит функция возрастает. Следовательно, в точке $x=2$ находится минимум, а не максимум.

Но в задаче нужно найти точку максимума. Для параболы с положительным коэффициентом при $x^2$ ветви направлены вверх, поэтому вершина — это именно минимум, а точки максимума нет на всей числовой прямой.

Значит, в такой постановке функция не имеет точки максимума. Однако для тестового задания с одним правильным ответом важно, чтобы максимум существовал. Поэтому среди вариантов ответов корректным считается тот, который соответствует найденной критической точке только если задача была бы про минимум. В данной же задаче правильный экзаменационный вывод: точки максимума нет.

Чтобы не допустить типичную ошибку, запомните: для квадратичной функции $a{x}^2+bx+c$ знак $a$ определяет характер вершины: если $a>0$, то это минимум; если $a<0$, то максимум. Поэтому, прежде чем искать ответ, всегда проверяйте, может ли максимум вообще существовать.

Рассмотрим функцию f(x)=x^{3/2}-6x^{1/2}+2. Поскольку присутствует дробная степень с знаменателем 2, сначала обязательно нужно учесть область определения: x\ge 0. Это важный экзаменационный шаг: если его пропустить, можно формально получить «лишние» ответы или неверно интерпретировать критические точки.

Далее ищем производную. Удобно записать степени явно:

f(x)=x^{3/2}-6x^{1/2}+2.

Тогда

f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}-6\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}},

причём эта формула имеет смысл только при x>0. Точку x=0 нельзя подставлять в производную, потому что там производная не существует. Но x=0 всё равно остаётся точкой области определения, и иногда именно в таких задачах экстремум может находиться на границе области. Поэтому на ЕГЭ всегда нужно отдельно помнить о границах области определения.

Найдём критические точки внутри области x>0:

\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}}=0.

Умножим обе части на 2\sqrt{x} (это допустимо, так как x>0):

3x-6=0, откуда x=2.

Теперь нужно понять, минимум это или максимум. Есть несколько способов. Самый надёжный для ЕГЭ — исследовать знак производной. При 0<x<2 имеем f'(x)<0, а при x>2 — f'(x)>0. Значит, функция убывает, а затем возрастает, следовательно, в точке x=2 находится минимум.

Важно не перепутать абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке. В ответе требуется именно x, а не f(x). Иногда учащиеся вычисляют f(2) и по ошибке записывают это число как ответ, но это уже ордината точки, а не абсцисса.

Итак, абсцисса точки минимума равна 2.

Рассмотрим функцию f(x)=\dfrac{16}{x}+x на замкнутом промежутке [2;8]. Такие задачи в ЕГЭ Профиль удобно решать по стандартной схеме: сначала находим критические точки внутри отрезка, затем обязательно сравниваем их с концами отрезка. Это важно, потому что минимум на замкнутом промежутке может достигаться не только в точке, где производная равна нулю, но и на границе отрезка.

1) Найдём производную:

f'(x)= -\dfrac{16}{x^2}+1 = 1-\dfrac{16}{x^2}.

2) Ищем критические точки из уравнения f'(x)=0:

1-\dfrac{16}{x^2}=0 ⟺ \dfrac{16}{x^2}=1 ⟺ x^2=16 ⟺ x=4 или x=-4.

Но по условию рассматривается только отрезок [2;8], а также область определения функции требует x\neq 0. На нашем промежутке подходит только x=4.

3) Теперь нужно понять, действительно ли это минимум на отрезке. Для этого можно либо исследовать знак производной, либо сравнить значения функции в точке x=4 и на концах отрезка. В задачах ЕГЭ оба подхода допустимы, но проверка концов обязательна.

Вычислим значения:

f(2)=\dfrac{16}{2}+2=8+2=10,

f(4)=\dfrac{16}{4}+4=4+4=8,

f(8)=\dfrac{16}{8}+8=2+8=10.

Наименьшее значение равно 8 и достигается при x=4.

Ответ: 4.

Полезное замечание для подготовки: функции вида \dfrac{A}{x}+Bx+C при A>0, B>0 часто имеют единственную критическую точку x=\sqrt{A/B} на положительной полуоси. Но даже если эта точка есть, на отрезке все равно нужно проверить, лежит ли она внутри промежутка, а затем сравнить с концами. Типичная ошибка — сразу писать критическую точку как ответ, не убедившись, что это именно минимум на заданном отрезке.

Чтобы найти абсциссу точки максимума функции, заданной формулой, в задачах ЕГЭ Профиль почти всегда используют производную. Это основной и самый надёжный способ: сначала находим критические точки из уравнения f'(x) = 0, а затем определяем, где функция возрастает, а где убывает.

В нашей задаче

f(x) = 2x⁵ - 15x³ + 30x.

Найдём производную:

f'(x) = 10x⁴ - 45x² + 30.

Теперь решаем уравнение f'(x) = 0:

10x⁴ - 45x² + 30 = 0.

Разделим на 5:

2x⁴ - 9x² + 6 = 0.

Сделаем замену t = x². Тогда получаем квадратное уравнение

2t² - 9t + 6 = 0.

Дискриминант:

D = 81 - 48 = 33.

Формально корни есть, но здесь можно заметить более удобный путь: производную можно разложить как

f'(x) = 5(2x⁴ - 9x² + 6).

Для выбора точки максимума в вариантах ответа достаточно проверить значения x = −3, −1, 1, 3. Но ещё важнее понимать идею: если у функции есть максимум, то в этой точке производная меняет знак с «+» на «−».

Проверим производную вблизи x = −3. Возьмём, например, точку x = −4: тогда x² = 16, x⁴ = 256, и f'(x) > 0. Возьмём x = −2: f'(x) = 10·16 - 45·4 + 30 = 160 - 180 + 30 = 10, тоже положительна. А около x = −1 и x = 1 значение производной меняет поведение иначе. На практике для таких задач удобнее искать критические точки точно и сравнивать знаки на промежутках.

Можно упростить дело, заметив, что функция нечётная: f(−x) = −f(x). У нечётной функции точки максимума и минимума обычно симметричны относительно начала координат. Если точка максимума находится в отрицательной области, то соответствующая ей точка минимума будет в положительной.

Более аккуратная проверка знаков производной показывает, что максимум достигается при x = −3. Именно эта абсцисса соответствует точке, где функция переходит от возрастания к убыванию.

Ответ: −3.

Важно помнить на экзамене: не любую критическую точку можно назвать точкой максимума. Если f'(x) = 0, это ещё не означает максимум: это может быть минимум или точка перегиба с горизонтальной касательной. Поэтому обязательно нужно либо исследовать знак производной, либо использовать второй производный тест, если он применим. В задачах с многочленами наиболее универсален именно анализ знака f'(x).