Максимум и минимум (логарифмические функции): задания с ответами

Решаем задачу по стандартной схеме для минимума функции на замкнутом промежутке: сначала проверяем область определения, затем находим критические точки внутри отрезка, после этого сравниваем значения функции в критических точках и на концах отрезка. Это именно тот алгоритм, который на ЕГЭ надёжнее всего приводит к ответу и защищает от типичных ошибок.

1. Область определения. В функции есть логарифм \ln(x-1), поэтому нужно, чтобы x-1>0, то есть x>1. Отрезок [2;6] целиком лежит в области определения, значит функция на нём непрерывна, а следовательно, на замкнутом промежутке обязательно достигает и минимума, и максимума.

2. Производная. Найдём производную:

f'(x)=2x-4+\dfrac{2}{x-1}.

Это ключевой момент: у логарифма \ln(x-1) производная равна 1/(x-1), а не 1/x. Здесь часто делают ошибку, забывая про внутреннюю функцию x-1.

Приведём к общему знаменателю:

f'(x)=\dfrac{(2x-4)(x-1)+2}{x-1}=\dfrac{2x^2-6x+6}{x-1}=\dfrac{2(x^2-3x+3)}{x-1}.

3. Критические точки внутри отрезка. На отрезке [2;6] знаменатель x-1>0, значит знак производной определяется числителем x^2-3x+3. Рассмотрим его дискриминант:

D= (-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0.

Следовательно, квадратный трёхчлен x^2-3x+3 всегда положителен при всех x. Значит, на всём отрезке [2;6] имеем f'(x)>0, то есть функция строго возрастает.

Это важное теоретическое наблюдение: если производная не обращается в ноль и сохраняет знак, то искать внутренние точки экстремума уже не нужно — минимум на отрезке будет в левой границе.

4. Сравнение значений на концах. Раз функция возрастает на всём отрезке, наименьшее значение достигается при x=2. Проверим:

f(2)=2^2-4\cdot2+5+2\ln(2-1)=4-8+5+2\ln1=1+0=1.

Для полноты можно посмотреть и правый конец:

f(6)=36-24+5+2\ln5=17+2\ln5, что явно больше 1.

Ответ: наименьшее значение равно 1.

Как не ошибиться на ЕГЭ: 1) всегда сначала проверяйте, входит ли весь отрезок в область определения; 2) не забывайте, что у логарифма производная зависит от внутреннего выражения; 3) на замкнутом отрезке обязательно сравнивайте значения в критических точках и на концах; 4) если производная сохраняет знак, то функция монотонна, и это часто резко упрощает задачу.

Рассмотрим функцию f(x)=x-3\ln(x+1) и найдём её точку экстремума по производной. Для задач ЕГЭ это самый надёжный способ: сначала выясняем область определения, затем ищем критические точки из уравнения f'(x)=0, после чего проверяем знак производной или поведение функции в найденной точке.

1. Область определения. Логарифм определён только тогда, когда его аргумент положителен:

x+1>0, то есть x>-1.

Значит, рассматриваем только числа из промежутка (-1,+\infty). Это важный шаг: иногда корень уравнения для производной существует, но не принадлежит ОДЗ, и тогда он не может быть точкой экстремума исходной функции.

2. Находим производную. Производная суммы равна сумме производных:

f'(x)=1-3\cdot\frac{1}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}.

Здесь типичная ошибка — забыть, что (\ln(x+1))' = \frac{1}{x+1}, а не \frac{1}{x}. Внутри логарифма стоит не просто x, а x+1, поэтому можно либо сразу вспомнить формулу, либо применить правило цепочки: производная логарифма аргумента равна производной аргумента, делённой на аргумент.

3. Ищем критическую точку. Приравниваем производную к нулю:

1-\frac{3}{x+1}=0.

Тогда

1=\frac{3}{x+1},

x+1=3,

x=2.

Проверяем: 2\in(-1,+\infty), значит точка допустима.

4. Определяем, минимум это или максимум. Можно исследовать знак производной:

f'(x)=1-\frac{3}{x+1}=\frac{x-2}{x+1}.

На области определения x>-1 знаменатель x+1>0, поэтому знак f'(x) определяется числителем x-2. Тогда:

при -1<x<2 имеем f'(x)<0, функция убывает;

при x>2 имеем f'(x)>0, функция возрастает.

Значит, в точке x=2 функция сначала убывает, потом возрастает, следовательно, это точка минимума.

Ответ: 2.

Почему это полезно для ЕГЭ. В логарифмических задачах чаще всего встречаются именно такие конструкции: линейная часть плюс логарифм. Тогда производная обычно приводит к уравнению, которое удобно решается без сложных преобразований. Всегда помните три проверки: ОДЗ, равенство производной нулю, смена знака производной. Если хотя бы одна из них не выполнена, нельзя уверенно говорить об экстремуме.

Рассмотрим функцию f(x)=x-2\ln(x-1) на отрезке [2;6]. Сначала нужно убедиться, что отрезок целиком лежит в области определения логарифма: здесь требуется x-1>0, то есть x>1. Все точки отрезка [2;6] подходят.

Дальше ищем возможные точки экстремума внутри отрезка. Производная равна

f'(x)=1-\dfrac{2}{x-1}.

Приравниваем её к нулю:

1-\dfrac{2}{x-1}=0 \Rightarrow x-1=2 \Rightarrow x=3.

Точка x=3 принадлежит отрезку, значит её обязательно нужно проверить вместе с концами отрезка. Это типичная ловушка в задачах ЕГЭ: даже если критическая точка найдена, максимум или минимум на отрезке может оказаться на границе.

Вычислим значения функции в трёх точках:

f(2)=2-2\ln 1=2,

f(3)=3-2\ln 2,

f(6)=6-2\ln 5.

Теперь сравним их. Удобно не пытаться «на глаз» сравнивать логарифмы, а использовать поведение производной. Для 2<x<3 имеем x-1<2, значит \dfrac{2}{x-1}>1, поэтому f'(x)<0. Для 3<x<6 наоборот f'(x)>0. Следовательно, в точке x=3 находится минимум, а на концах отрезка — значения больше.

Остаётся сравнить f(2) и f(6). Получаем: f(2)=2, а f(6)=6-2\ln 5. Так как \ln 5<3, то 6-2\ln 5>0, но это не помогает напрямую сравнить с 2. Сравним точно:

6-2\ln 5 > 2 \Leftrightarrow 4 > 2\ln 5 \Leftrightarrow 2 > \ln 5.

А это верно, поскольку e^2\approx 7.39>5, значит \ln 5<2. Следовательно, f(6)>2.

Итак, наибольшее значение функции на отрезке [2;6] равно 6-2\ln 5.

Ответ: 6-2\ln 5.

Как действовать на экзамене: сначала проверяйте область определения, затем производную, потом обязательно все кандидаты — критические точки внутри отрезка и концы отрезка. Для логарифмических функций особенно важно не терять знак при дифференцировании: производная \ln(x-1) равна \dfrac{1}{x-1}, а не \ln'(x-1) без учёта внутренней функции. Ещё одна частая ошибка — ограничиться критической точкой и забыть, что на отрезке экстремум может быть на границе.

Решаем задачу стандартным для ЕГЭ Профиль способом: сначала находим область определения, затем производную, потом исследуем знак производной. Именно так удобно искать точки экстремума для функций с логарифмом.

1. Область определения

У логарифма \ln(x+2) аргумент должен быть положительным:

x+2>0 \Rightarrow x>-2.

Значит, функция определена только при x>-2. Это важно: даже если уравнение производной даст красивый корень, его обязательно нужно проверить на принадлежность ОДЗ.

2. Находим производную

f(x)=3x-4\ln(x+2).

Производная линейного слагаемого — это 3, а производная логарифма \ln(x+2) равна \frac{1}{x+2} по правилу цепочки. Поэтому:

f'(x)=3-4\cdot\frac{1}{x+2}=3-\frac{4}{x+2}.

3. Ищем критические точки

Экстремумы внутри области определения могут находиться там, где f'(x)=0 или где производная не существует, но сама функция определена. Здесь производная не существует при x=-2, однако эта точка не входит в область определения функции, поэтому её не рассматриваем как точку экстремума.

Решаем уравнение:

3-\frac{4}{x+2}=0

3=\frac{4}{x+2}

3(x+2)=4

3x+6=4

3x=-2

x=-\frac{2}{3}.

Это значение принадлежит области определения, так что кандидат найден.

4. Определяем, минимум это или максимум

Можно исследовать знак производной:

f'(x)=3-\frac{4}{x+2}.

При x>-2 знаменатель положителен. Возьмём точки по разные стороны от x=-\frac23:

Если x=-1, то f'(-1)=3-4=-1<0 — функция убывает.

Если x=0, то f'(0)=3-2=1>0 — функция возрастает.

Значит, производная меняет знак с «−» на «+», а это означает минимум в точке x=-\frac23.

Ответ: -\frac23.

Как не ошибиться на экзамене

1) Не забывайте ОДЗ логарифма: ошибка в области определения — одна из самых частых.

2) Не путайте абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке. Здесь спрашивают именно x, а не f(x).

3) Если f'(x)=0 даёт единственный корень, этого ещё недостаточно: нужно понять, максимум это или минимум, по знаку производной до и после точки.

4) Если производная не существует на границе области определения, это не всегда точка экстремума. Для экстремума нужна точка из области определения функции.

В подобных задачах удобно помнить общий шаблон: ОДЗ → производная → уравнение f'(x)=0 → проверка знака производной.

Ищем абсциссу точки экстремума, то есть значение x, при котором производная обращается в ноль и меняет знак. Для логарифмической функции это стандартный алгоритм ЕГЭ: сначала область определения, затем производная, затем исследование знака.

1. Область определения. Для логарифма нужно, чтобы аргумент был положительным:

\(x-1>0\Rightarrow x>1\).

Это важный шаг: иногда ученик находит формально правильную критическую точку, но забывает проверить, лежит ли она в области определения. Если точка вне области, она не может быть точкой экстремума функции.

2. Находим производную.

\(f'(x)=3\cdot\dfrac{1}{x-1}-2=\dfrac{3}{x-1}-2\).

Здесь типичная ошибка — неверно дифференцировать логарифм. Напоминаем правило: \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}\). Так как \(u=x-1\), то \(u'=1\), поэтому получается именно \(\dfrac{1}{x-1}\).

3. Приравниваем производную к нулю.

\(\dfrac{3}{x-1}-2=0\).

\(\dfrac{3}{x-1}=2\).

\(3=2(x-1)\).

\(3=2x-2\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\dfrac52\).

Полученная точка \(x=\dfrac52\) действительно принадлежит области определения, так как \(\dfrac52>1\).

4. Проверяем, что это именно экстремум. Можно исследовать знак производной:

\(f'(x)=\dfrac{3}{x-1}-2\).

При \(1<x<\dfrac52\) знаменатель положительный, дробь \(\dfrac{3}{x-1}\) больше 2, значит \(f'(x)>0\).
При \(x>\dfrac52\) дробь уже меньше 2, значит \(f'(x)<0\).

Следовательно, функция сначала возрастает, а потом убывает, значит в точке \(x=\dfrac52\) находится максимум. Для ответа на вопрос нужна именно абсцисса точки экстремума, то есть

\(\boxed{\dfrac52}\).

Почему это полезно для ЕГЭ. В задачах с функциями вида \(a\ln(x+b)+cx+d\) производная всегда имеет вид \(\dfrac{a}{x+b}+c\). Поэтому удобно запоминать общий прием: приравниваем производную к нулю и выражаем \(x\). Но обязательно проверяем область определения \(x+b>0\), потому что логарифм не определен при неположительном аргументе. Если экстремум найден вне области, он не засчитывается.

Ответ: \(\dfrac52\).

Сначала обязательно проверяем область определения: логарифм определён только при положительном аргументе. Здесь стоит \((x-1)^2\), а это выражение равно нулю только при x=1 и положительно при всех остальных x\neq 1. Значит, область определения функции: x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty).

Далее находим производную. Для линейной части (2x+5)'=2. Для логарифма используем правило: (\ln u)'=u'/u. Здесь u=(x-1)^2, значит u'=2(x-1). Тогда

\[f'(x)=2-3\cdot\frac{2(x-1)}{(x-1)^2}=2-\frac{6}{x-1}.\]

Теперь ищем критические точки: приравниваем производную к нулю.

\[2-\frac{6}{x-1}=0\quad\Longrightarrow\quad 2=\frac{6}{x-1}\quad\Longrightarrow\quad x-1=3\quad\Longrightarrow\quad x=4.\]

Проверяем, принадлежит ли найденное значение области определения: 4\neq 1, значит, подходит. В этой задаче другой точки экстремума нет, потому что уравнение f'(x)=0 имеет единственное решение.

Можно также убедиться в типе экстремума по знаку производной. При x>1 производная имеет вид 2-6/(x-1): слева от 4 она отрицательна, справа положительна, значит в точке x=4 действительно минимум. Но в задании требовалась именно абсцисса точки экстремума, то есть ответ: 4.

Типичная ошибка на ЕГЭ — забыть область определения и попытаться «считать» x=1 точкой экстремума из-за степени в аргументе логарифма. Но \ln((x-1)^2) в точке x=1 не существует, поэтому граница области определения не может быть ответом. Ещё одна частая ошибка — неверно продифференцировать \ln((x-1)^2) как 2/(x-1) без учёта цепочки; здесь аккуратный расчёт даёт 2/(x-1) только после сокращения, а не «по памяти».

Решим задачу стандартным для ЕГЭ способом через производную. Для логарифмических функций это особенно важно: минимум находится не «на глаз», а после анализа области определения и знака производной.

1. Область определения. Логарифм определён только тогда, когда его аргумент положителен:

3x+1>0, откуда x>-\frac{1}{3}.

Это обязательный шаг. Частая ошибка — сразу дифференцировать функцию и забывать проверить, где она вообще существует. Если критическая точка окажется вне области определения, она не имеет смысла для задачи.

2. Находим производную.

f(x)=2x-\ln(3x+1),

f'(x)=2-\frac{3}{3x+1}.

Здесь важно аккуратно применить формулу производной логарифма сложной функции: если g(x)=3x+1, то (ln g(x))' = g'(x)/g(x)=3/(3x+1). Из-за минуса перед логарифмом знак у второго слагаемого остаётся отрицательным.

3. Ищем критическую точку. Приравниваем производную к нулю:

2-\frac{3}{3x+1}=0.

Тогда

2=\frac{3}{3x+1},

2(3x+1)=3,

6x+2=3,

6x=1,

x=\frac{1}{6}.

4. Проверяем, что точка принадлежит области определения. Число \(\frac{1}{6}\) действительно больше \(-\frac{1}{3}\), значит точка допустима.

5. Убеждаемся, что это именно минимум. Для этого можно исследовать знак производной:

f'(x)=2-\frac{3}{3x+1}.

Если x<\frac{1}{6}, то 3x+1<\frac{3}{2}, значит \frac{3}{3x+1}>2, поэтому f'(x)<0.

Если x>\frac{1}{6}, то 3x+1>\frac{3}{2}, значит \frac{3}{3x+1}<2, поэтому f'(x)>0.

Следовательно, функция убывает слева от \(\frac{1}{6}\) и возрастает справа от \(\frac{1}{6}\). Значит, в этой точке достигается минимум.

Ответ: \(\frac{1}{6}\).

Полезная стратегия для ЕГЭ: если функция имеет вид линейная часть ± логарифм линейного выражения, почти всегда достаточно найти производную, приравнять её к нулю и затем обязательно проверить область определения. Удобно также помнить, что у таких функций минимум/максимум часто единственный, потому что производная — дробно-линейная и меняет знак один раз.

Типичные ошибки: 1) забыть про ОДЗ; 2) потерять множитель при дифференцировании логарифма; 3) ответить значением функции вместо значения аргумента; 4) не проверить, что критическая точка действительно лежит в области определения.

Рассмотрим функцию f(x)=2\ln(x-1)-x+5. Чтобы найти абсциссу точки экстремума, нужно действовать по стандартной схеме исследования функции с помощью производной.

1. Сначала находим область определения. Логарифм определён только при положительном аргументе, значит x-1>0, то есть x>1. Это важный шаг: иногда ученики сразу дифференцируют и находят формально критическую точку, но забывают проверить, принадлежит ли она области определения. Здесь это особенно важно, потому что у логарифма есть естественная граница.

2. Находим производную. Производная \ln(x-1) равна \frac{1}{x-1}, а значит

f'(x)=2\cdot\frac{1}{x-1}-1=\frac{2}{x-1}-1.

3. Приравниваем производную к нулю. Точки экстремума внутри области определения находятся из уравнения f'(x)=0:

\frac{2}{x-1}-1=0, откуда \frac{2}{x-1}=1, значит x-1=2, то есть x=3.

4. Проверяем, действительно ли это экстремум. Можно посмотреть на знак производной. При 1<x<3 имеем x-1<2, значит \frac{2}{x-1}>1 и f'(x)>0, функция возрастает. При x>3 получаем f'(x)<0, функция убывает. Следовательно, в точке x=3 достигается максимум.

Ответ: x=3.

Типичные ошибки: 1) потерять знак при дифференцировании логарифма; 2) забыть про область определения x>1; 3) перепутать абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке; 4) не проверить знак производной и назвать критическую точку экстремумом без обоснования. Для экзамена полезно помнить общий шаблон: если f(x)=a\ln(x+b)+cx+d, то f'(x)=\frac{a}{x+b}+c, а точка экстремума находится из \frac{a}{x+b}+c=0, если полученное значение лежит в области определения.

Решаем задачу по стандартной схеме для экстремумов на замкнутом промежутке: сначала область определения, затем производная, критические точки, и только после этого — сравнение значений в критических точках и на концах отрезка.

1. Область определения. В логарифме стоит выражение x-1, значит нужно x-1>0, то есть x>1. Отрезок [2;5] целиком лежит в области определения, поэтому функция на нём непрерывна, и наибольшее значение обязательно достигается либо в критической точке, либо на концах отрезка.

2. Находим производную.
f'(x)=2x-4+\frac{2}{x-1}.

Частая ошибка — забыть, что производная от 2\ln(x-1) равна 2/(x-1), а не 2\ln(x-1) и не 2/(x). Здесь важно правильно применить правило производной сложной функции.

3. Ищем критические точки. Решаем уравнение

2x-4+\frac{2}{x-1}=0.

Умножим на x-1 (это допустимо на рассматриваемом отрезке, так как x-1>0):

(2x-4)(x-1)+2=0.

Раскрываем скобки:

2x^2-6x+4+2=0, то есть 2x^2-6x+6=0.

Разделим на 2:

x^2-3x+3=0.

Дискриминант:

D=9-12=-3<0.

Значит, действительных критических точек нет. Это важный момент: если производная не обращается в ноль на отрезке, то на непрерывном отрезке функция монотонна. Здесь можно проверить знак производной, но даже без этого достаточно сравнить значения на концах отрезка.

4. Считаем значения функции на концах.

f(2)=2^2-4\cdot2+1+2\ln(1)=4-8+1+0=-3.

f(5)=5^2-4\cdot5+1+2\ln(4)=25-20+1+2\ln 4=6+2\ln 4.

Так как \ln 4>0, то 6+2\ln 4>6, а значит это значение больше, чем -3.

5. Ответ. Наибольшее значение функции на отрезке [2;5] равно 6+2\ln 4.

Как быстро самопровериться на ЕГЭ: если производная не имеет корней на отрезке, не нужно искать «скрытую» точку экстремума — сравнивайте только концы. Ещё один полезный контроль: логарифм на правом конце обычно растёт, но здесь он добавляется к квадратичной части, поэтому окончательное решение всё равно требует точного вычисления значений.

Решаем задачу стандартным для ЕГЭ способом: на замкнутом промежутке нужно сравнить значения функции в критических точках внутри отрезка и на его концах. Ошибка многих учеников — сразу подставить только концы или, наоборот, найти стационарную точку и забыть проверить, попадает ли она в отрезок и даёт ли именно минимум.

1) Сначала убедимся, что функция определена на всём отрезке. Здесь есть логарифм \ln x, значит требуется x>0. Отрезок [1;3] полностью лежит в области определения, значит можно применять метод производной без дополнительных ограничений.

2) Найдём производную:

f'(x)=2x-4+\dfrac{2}{x}.

Типичная ловушка — забыть, что (\ln x)'=1/x, а не \ln x или 1.

3) Ищем критические точки: приравниваем производную к нулю:

2x-4+\dfrac{2}{x}=0.

Умножим на x>0:

2x^2-4x+2=0, то есть x^2-2x+1=0.

Получаем (x-1)^2=0, значит единственная критическая точка — x=1. Она лежит на отрезке, но важно помнить: если критическая точка совпадает с концом отрезка, её всё равно нужно учитывать вместе с другим концом.

4) Сравним значения функции в точках x=1 и x=3.

f(1)=1-4+5+2\ln 1=2, так как \ln 1=0.

f(3)=9-12+5+2\ln 3=2+2\ln 3.

Так как \ln 3>0, то f(3)>2. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно 2.

Итог: правильный ответ — 2.

Полезная стратегия для таких задач на экзамене: 1) проверить область определения; 2) найти производную; 3) решить уравнение f'(x)=0; 4) оставить только точки внутри отрезка; 5) вычислить значения в этих точках и на концах. Даже если функция выглядит «красиво», без сравнения всех нужных значений легко потерять балл.

Решаем задачу по стандартному алгоритму для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке: найти критические точки внутри отрезка, затем посчитать значения функции в них и на концах отрезка, после чего сравнить все полученные числа.

1. Проверяем область определения. В функции есть логарифм \ln x, поэтому нужно x>0. Отрезок [1;4] целиком лежит в области определения, значит функция на нём непрерывна, а значит обязательно достигает и максимума, и минимума. Это важный теоретический момент: на замкнутом отрезке для непрерывной функции экстремумы всегда существуют.

2. Находим производную. f'(x)=2x-6+\dfrac{5}{x}. Здесь типичная ошибка — забыть, что производная \ln x равна 1/x, а не \ln x или 1.

3. Ищем критические точки внутри отрезка. Решаем уравнение 2x-6+\dfrac{5}{x}=0. Умножим на x (это допустимо, так как на нашем отрезке x>0): 2x^2-6x+5=0. Дискриминант: D=(-6)^2-4\cdot2\cdot5=36-40=-4<0. Значит, действительных корней нет, то есть критических точек на отрезке нет.

Это не означает, что ответ уже найден: нужно обязательно проверить концы отрезка. Частая ошибка на ЕГЭ — считать, что если критических точек нет, то достаточно одного конца или достаточно «по виду» угадать ответ. Это неверно.

4. Вычисляем значения на концах отрезка.
При x=1: f(1)=1-6+5\ln1=-5, так как \ln1=0.
При x=4: f(4)=16-24+5\ln4=-8+5\ln4. Поскольку \ln4\approx1{,}386, получаем f(4)\approx-8+6{,}93=-1{,}07.

5. Сравниваем значения. f(1)=-5, f(4)\approx-1{,}07. Большее значение — -8+5\ln4.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке [1;4] равно -8+5\ln4.

Как быстро себя проверять на экзамене: если производная не обращается в ноль на отрезке, то у непрерывной функции на этом отрезке максимум и минимум достигаются на концах. Но всё равно нужно сравнить оба конца. Ещё одна полезная проверка — знак производной: здесь 2x-6+5/x на всём [1;4] оказывается положительной? Нет, из-за отсутствия корней этого недостаточно для вывода без проверки, потому что квадратное уравнение после умножения на x не имеет действительных корней, а значит производная не меняет знак на промежутке. Однако для ответа на задачу всё равно безопаснее и правильнее именно сравнить значения на концах.

Рассмотрим функцию \(f(x)=x-2\ln(x-1)\) на отрезке \([2;5]\). По условию требуется найти наибольшее значение на отрезке, а для этого всегда нужно действовать по стандартной схеме: сначала проверить область определения, затем найти критические точки внутри отрезка, после чего сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Область определения. Логарифм определён только при положительном аргументе: \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Отрезок \([2;5]\) целиком лежит в области определения, значит функция на нём корректно задана.

2. Находим производную. Производная суммы равна сумме производных, а для логарифма нужно помнить правило: \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\). Тогда

\[f'(x)=1-2\cdot\frac{1}{x-1}=1-\frac{2}{x-1}=\frac{x-3}{x-1}.\]

Очень важный момент: многие ученики теряют множитель 2 или забывают, что производная \(\ln(x-1)\) равна \(\frac{1}{x-1}\), а не просто \(\ln(x-1)\). Это типичная ошибка на ЕГЭ.

3. Критические точки. Критические точки — это точки, где \(f'(x)=0\) или производная не существует, если сама функция определена. Здесь производная существует при всех \(x>1\), поэтому решаем только уравнение

\[\frac{x-3}{x-1}=0.\]

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

\[x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.\]

Точка \(x=3\) лежит внутри отрезка \([2;5]\), значит её обязательно нужно проверить вместе с концами отрезка.

4. Сравниваем значения функции.

\[f(2)=2-2\ln 1=2-0=2,\]

\[f(3)=3-2\ln 2,\]

\[f(5)=5-2\ln 4.\]

Теперь нужно определить, какое из этих значений наибольшее. Удобно заметить, что

\[f'(x)=\frac{x-3}{x-1}.\]

На отрезке \([2;3)\) числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит \(f'(x)<0\), и функция убывает. На \((3;5]\) производная положительна, значит функция возрастает. Следовательно, точка \(x=3\) — это минимум на отрезке, а максимум достигается на одном из концов. Осталось сравнить значения на концах.

Сравним \(f(2)=2\) и \(f(5)=5-2\ln 4\). Так как \(\ln 4\approx 1.386\), получаем \(5-2\ln 4\approx 5-2.772=2.228\), то есть это больше, чем 2. Значит наибольшее значение достигается в точке \(x=5\).

Можно также сделать это без приближений: \(5-2\ln 4>2\iff 3>2\ln 4\iff \ln 4<\frac32\), а это верно, потому что \(4<e^{3/2}\). Но для ЕГЭ обычно достаточно корректного сравнения по производной и/или простого численного прикидочного анализа.

Ответ: \(3\).

Как решать такие задачи на экзамене: всегда помните, что на отрезке максимум и минимум ищутся не только по критическим точкам, но и на концах отрезка. Если забыть проверить границы, можно потерять правильный ответ. Для логарифмических функций особенно важно сначала выписать область определения, даже если отрезок выглядит «безопасным» — это помогает избежать грубых ошибок.