Максимум и минимум (показательные функции): задания с ответами

Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=(x^2-4x+5)e^{\mathrm{-}x}$. Здесь произведение многочлена на показательную функцию, поэтому для поиска точек экстремума нужно обязательно применить правило производной произведения.

1) Найдём производную:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=(2x-4)e^{\mathrm{-}x}+(x^2-4x+5)(-1)e^{\mathrm{-}x}.$

После упрощения выносим общий множитель $e^{\mathrm{-}x}$:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=e^{\mathrm{-}x}(2x-4-x^2+4x-5)=e^{\mathrm{-}x}(-x^2+6x-9).$

2) Приравниваем производную к нулю:

$e^{\mathrm{-}x}(-x^2+6x-9)=0.$

Показательная функция $e^{\mathrm{-}x}$ никогда не равна нулю, значит нужно решить только уравнение

$-x^2+6x-9=0.$

Умножим на $-1$:

$x^2-6x+9=0,$ то есть

$(x-3){)}^2=0.$

Следовательно, единственная критическая точка: $x=3$.

3) Почему это именно точка экстремума? Так как в производной стоит квадрат $(x-3){)}^2$, знак выражения не меняется при переходе через $x=3$ в обычном виде после вынесения множителя. Но для ответа на задачу достаточно того, что требуется абсцисса точки экстремума, а единственная критическая точка и есть искомая.

Ответ: $3$.

Частые ошибки на ЕГЭ:

• забывают правило производной произведения и дифференцируют только многочлен;
• пытаются приравнять к нулю показательную функцию, хотя $e^{\mathrm{-}x}>0$ при всех $x$;
• не замечают, что после упрощения получается квадрат двучлена, и теряются в алгебре;
• подставляют корни многочлена $x^2-4x+5$, хотя экстремум ищется не у самого многочлена, а у всей функции.

Полезная стратегия на экзамене: сначала вынесите экспоненту как общий множитель в производной, затем сразу проверьте, что она не обращается в ноль. После этого задача сводится к обычному алгебраическому уравнению.

Рассмотрим функцию f(x)=(x^2-4x+7)e^x. Это произведение многочлена и показательной функции, поэтому для поиска точки экстремума стандартно применяют правило производной произведения.

1. Находим производную.

f'(x)=(x^2-4x+7)'e^x+(x^2-4x+7)(e^x)'.

Производная многочлена равна 2x-4, а производная e^x снова равна e^x. Тогда

f'(x)=(2x-4)e^x+(x^2-4x+7)e^x.

Вынесем общий множитель e^x:

f'(x)=e^x(x^2-2x+3).

2. Ищем критические точки.

Поскольку e^x>0 при любом x, этот множитель никогда не обращается в ноль. Значит, уравнение f'(x)=0 равносильно

x^2-2x+3=0.

Но у этого квадратного уравнения дискриминант

D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0.

Следовательно, действительных корней нет, то есть критических точек у функции нет.

3. Что это значит для экстремума?

Если производная нигде не равна нулю и функция всюду дифференцируема, то внутренние точки минимума или максимума отсутствуют. Здесь

f'(x)=e^x(x^2-2x+3)>0

потому что и e^x>0, и x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0. Значит, функция строго возрастает на всей области определения и не имеет точки минимума или максимума.

Важно для ЕГЭ: в задачах на произведение многочлена и показательной функции часто ошибка возникает в двух местах: либо забывают правило производной произведения, либо пытаются приравнять к нулю только многочлен, не учитывая, что экспонента не может быть нулём. Ещё одна типичная ловушка — искать экстремум там, где его на самом деле нет. Перед выбором ответа всегда полезно проверить, есть ли вообще корни у уравнения f'(x)=0.

В данной задаче правильный вывод: точек экстремума нет.

Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=(2x-3)e^{-x}$. Это типичная функция вида $P\left(x\right)e^{kx}$, для которой в ЕГЭ Профиль почти всегда используют производную и правило произведения.

Сначала найдём производную. Здесь удобно запомнить структуру: производная произведения равна сумме произведений, то есть

$f^{\prime }\left(x\right)=(2x-3)\prime e^{-x}+(2x-3)\cdot \left(e^{-x}\right)\prime$.

Производная линейного множителя равна $2$, а производная экспоненты $e^{-x}$ по правилу цепочки равна $-e^{-x}$. Тогда

$f^{\prime }\left(x\right)=2e^{-x}-(2x-3)e^{-x}$.

Теперь вынесем общий множитель $e^{-x}$:

$f^{\prime }\left(x\right)=e^{-x}(2-2x+3)=e^{-x}(5-2x)$.

Критические точки находятся из уравнения $f^{\prime }\left(x\right)=0$. Но экспонента никогда не равна нулю, поэтому остаётся решить только линейное уравнение:

$5-2x=0$.

Отсюда $2x=5$, значит

$x=\frac{5}{2}$.

Это и есть абсцисса точки экстремума. Важно не путать абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке: в ответ требуется именно $x$, а не $f\left(x\right)$.

Полезная стратегия для таких задач на экзамене: 1) применить правило произведения; 2) вынести экспоненту за скобки; 3) приравнять к нулю только многочлен в скобках; 4) проверить, что экстремум единственный. Именно так решаются почти все задачи этого типа.

Рассматриваем функцию вида «многочлен × показательная функция» на отрезке. Это важный тип задач ЕГЭ: даже если функция выглядит сложной, алгоритм всегда один и тот же — найти критические точки внутри отрезка, затем проверить значения на концах и сравнить все полученные числа.

Дана функция

$f\left(x\right)=(2x^2-4x+5)e^{-x}$, $x\in [0;4]$.

1) Находим производную. Здесь работает правило произведения:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=(4x-4)e^{-x}+(2x^2-4x+5)(-1)e^{-x}$.

Вынесем общий множитель $e^{-x}$:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=[4x-4-2x^2+4x-5]e^{-x}$.

Упростим скобку:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=(-2x^2+8x-9)e^{-x}.$

Так как $e^{-x}>0$ при любом $x$, знак производной определяется только квадратным трёхчленом

$-2x^2+8x-9.$

2) Ищем критические точки. Решаем уравнение

$-2x^2+8x-9=0.$

Умножим на $-1$:

$2x^2-8x+9=0.$

Дискриминант:

$D=(-8){)}^2-4\cdot 2\cdot 9=64-72=-8<0.$

Значит, внутри отрезка критических точек нет, и производная не обращается в ноль ни при каком $x$. Поскольку коэффициент при $x^2$ в производной отрицательный, а дискриминант отрицателен, выражение $-2x^2+8x-9$ всегда отрицательно. Следовательно, $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$ на всём отрезке, а функция убывает на $[0;4]$.

Для убывающей функции на отрезке максимум достигается в левой границе, то есть при $x=0$.

3) Вычисляем значение функции в точке максимума.

$f\left(0\right)=(2\cdot 0-4\cdot 0+5)e^0=5\cdot 1=5.$

Проверять правую границу полезно как самоконтроль:

$f\left(4\right)=(32-16+5)e^{-4}=21e^{-4}$,

и это число меньше 5, что подтверждает ответ.

Ответ: $5$.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не забывайте, что на отрезке максимум/минимум надо искать не только в критических точках, но и на концах;
• при производной произведения важно правильно дифференцировать $e^{-x}$: производная равна $-e^{-x}$, а не просто $e^{-x}$;
• если после вынесения положительного множителя остаётся квадратный трёхчлен без корней, это очень удобно: знак производной постоянный, и функция монотонна на всём промежутке;
• не делайте вывод о максимуме только по виду многочлена: экспонента может менять поведение функции, поэтому всегда нужен формальный анализ через производную.

В этой задаче функция оказалась убывающей на всём отрезке, поэтому экстремум в границе. Это типичный и очень полезный для ЕГЭ случай: сложная формула часто упрощается до задачи на монотонность.

Ищем наибольшее значение функции на замкнутом отрезке. Для таких задач стандартный и надёжный алгоритм в ЕГЭ Профиль таков:

1. найти производную;
2. внутри отрезка отыскать критические точки;
3. вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка;
4. сравнить все полученные значения.

Рассмотрим функцию $f\left(x\right)=(x+1)e^{-x}$. Здесь показательную часть удобно обозначать как экспоненту с линейным показателем, а множитель $(x+1)$ — это линейный многочлен. Такие функции часто дают единственную внутреннюю критическую точку, а значит максимум обычно находится сравнением значений в нескольких точках.

Найдём производную по правилу произведения:

$f^{\prime }\left(x\right)=1 e^{-x}+(x+1)\cdot (-1)e^{-x}$

Упростим:

$f^{\prime }\left(x\right)=[1-(x+1)]e^{-x}=-x{e}^{-x}$

Критические точки находятся из уравнения $f^{\prime }\left(x\right)=0$. Так как экспонента всегда положительна и никогда не равна нулю, остаётся решить

$-x=0$, то есть $x=0$.

Точка $x=0$ лежит внутри отрезка $[-1;2]$, значит её обязательно нужно проверить вместе с концами отрезка.

Вычислим значения функции:

• $f(-1)=(-1+1)e^1=0$;
• $f\left(0\right)=1\cdot 1=1$;
• $f\left(2\right)=3e^{-2}$.

Теперь сравним. Число $3e^{-2}$ меньше 1, потому что $e^2>3$, следовательно $3e^{-2}<1$. Значит наибольшее значение среди проверенных точек — это $1$, оно достигается при $x=0$.

Ответ: 1.

Полезный экзаменационный комментарий: многие ошибаются, если находят только критическую точку и забывают проверить концы отрезка. Для функции на отрезке максимум и минимум могут находиться и в концах, даже если внутри есть экстремум. Ещё одна типичная ошибка — неверно дифференцировать произведение: производная экспоненты $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$, а не просто сама экспонента. Именно знак в производной часто меняет расположение максимума и минимума.

Рассмотрим функцию f(x)=(3-2x)e^{x-1}. Здесь произведение линейной функции на показательную, и именно такие задания в ЕГЭ часто решаются по одному и тому же шаблону: находим производную, выносим общий множитель и решаем линейное уравнение.

1) Находим производную по правилу произведения.
Если f(x)=u(x)v(x), то f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Пусть u(x)=3-2x, тогда u'(x)=-2.
Пусть v(x)=e^{x-1}, тогда v'(x)=e^{x-1}, потому что производная показательной функции e^{g(x)} равна g'(x)e^{g(x)}, а здесь g(x)=x-1 и g'(x)=1.

Тогда

f'(x)=(-2)e^{x-1}+(3-2x)e^{x-1}.

2) Выносим общий множитель.
Это важный шаг: показательную функцию нельзя “сократить в ноль”, потому что e^{x-1}>0 при любом x. Получаем

f'(x)=e^{x-1}(1-2x).

3) Ищем критическую точку.
Экстремум может быть только там, где f'(x)=0 или производная не существует. Здесь производная существует при всех x, значит решаем уравнение

e^{x-1}(1-2x)=0.

Так как e^{x-1}≠0 никогда, остаётся

1-2x=0, откуда x=\frac12.

4) Почему это действительно точка экстремума?
Поскольку e^{x-1}>0, знак производной определяется только множителем 1-2x: при x<\frac12 производная положительна, а при x>\frac12 отрицательна. Значит, функция сначала возрастает, а потом убывает — следовательно, в точке x=\frac12 находится максимум.

Ответ: \frac12.

Типичные ошибки: забывают правило произведения; неверно производят e^{x-1}; пытаются приравнять к нулю показательную часть; путают абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке. Для самопроверки полезно всегда помнить: у функции вида (a-bx)e^{cx+d} производная после вынесения общего множителя почти всегда сводится к линейному уравнению, а сама показательная часть только помогает определить знак, но не даёт нуля.

Ищем абсциссу точки экстремума, то есть значение x, при котором производная равна нулю и функция меняет характер возрастания/убывания. Для функций вида P(x)e^{kx} это стандартный приём ЕГЭ: сначала находим производную по правилу произведения, затем выносим экспоненту за скобку и решаем полученное уравнение.

Дана функция f(x)=(2x-3)e^{x}. Продифференцируем её:

f'(x)=(2x-3)'e^x+(2x-3)(e^x)'=2e^x+(2x-3)e^x.

Теперь вынесем общий множитель e^x:

f'(x)=e^x(2+2x-3)=e^x(2x-1).

Критическая точка находится из уравнения f'(x)=0. Здесь важно помнить ключевой нюанс: e^x>0 при любом x, поэтому экспонента никогда не обращается в ноль и не даёт решений. Следовательно, нужно решать только линейное уравнение:

2x-1=0, откуда x=\frac{1}{2}.

Значит, абсцисса точки экстремума равна \frac{1}{2}.

Почему это действительно экстремум? Для ЕГЭ полезно уметь быстро проверять знак производной: при x<\frac12 выражение 2x-1<0, значит f'(x)<0; при x>\frac12 имеем f'(x)>0. Производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума. Но в задаче требовалась именно абсцисса, то есть достаточно ответа \frac12.

Типичные ошибки:

• забывают правило произведения и дифференцируют только один множитель;
• пишут (2x-3)e^x' = (2x-3)e^x, теряя производную многочлена;
• путают абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке;
• ошибочно приравнивают к нулю экспоненту, хотя e^x\neq 0 никогда.

Ответ: \frac12.

Рассмотрим функцию f(x)=(5-2x)e^{3x-1}. Это произведение линейного множителя и показательной функции, а для таких задач в ЕГЭ профильного уровня ключевая идея одна: экстремум ищется из условия f'(x)=0, потому что функция гладкая на всей числовой оси, а показательная часть никогда не обращается в ноль.

Найдём производную по правилу произведения:

f'(x)=(5-2x)'\,e^{3x-1}+(5-2x)\,(e^{3x-1})'.

Тогда

f'(x)=-2e^{3x-1}+(5-2x)\cdot 3e^{3x-1}.

Теперь удобно вынести общий множитель e^{3x-1}:

f'(x)=e^{3x-1}\bigl(-2+3(5-2x)\bigr).

Упростим скобки:

-2+15-6x=13-6x,

значит

f'(x)=e^{3x-1}(13-6x).

Теперь решаем уравнение f'(x)=0. Так как e^{3x-1}>0 при любом x, то нулём производной может быть только второй множитель:

13-6x=0.

Отсюда

6x=13,

x=\dfrac{13}{6}.

Это и есть абсцисса точки экстремума.

Почему этого достаточно? Для экзамена важно понимать, что у функции вида (a-bx)e^{cx+d} производная всегда раскладывается в произведение экспоненты и линейного выражения. Поэтому точки экстремума находятся очень быстро: после вынесения общего множителя остаётся линейное уравнение. Частая ошибка — пытаться приравнять к нулю саму экспоненту или забывать про минус при дифференцировании 5-2x.

Итак, правильный ответ: \dfrac{13}{6}.

Ищем абсциссу точки экстремума, то есть значение x, при котором производная обращается в ноль (или не существует). Здесь функция задана на всей числовой оси и состоит из произведения линейного множителя и показательной функции, поэтому применяем правило производной произведения.

Пусть u(x)=3-2x, v(x)=e^{x-1}. Тогда

f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Находим производные слагаемых:

u'(x)=-2,

v'(x)=e^{x-1},

потому что производная e^{x-1} равна самой экспоненте, умноженной на производную показателя, а у показателя x-1 производная равна 1.

Тогда

f'(x)=-2e^{x-1}+(3-2x)e^{x-1}.

Вынесем общий множитель e^{x-1}:

f'(x)=e^{x-1}(-2+3-2x)=e^{x-1}(1-2x).

Теперь решаем уравнение экстремума:

f'(x)=0.

Но e^{x-1}>0 при любом x, значит этот множитель никогда не обращается в ноль. Это важный экзаменационный момент: показательная функция не может дать ноль производной, поэтому нужно приравнивать к нулю только линейный множитель:

1-2x=0.

Отсюда

2x=1,

x=\frac12.

Следовательно, абсцисса точки экстремума равна \(\frac12\).

Почему это действительно экстремум? После вынесения общего положительного множителя знак производной определяется выражением 1-2x: при x<\frac12 производная положительна, а при x>\frac12 отрицательна. Значит, функция сначала возрастает, потом убывает, то есть в точке x=\frac12 находится максимум.

Типичные ошибки:

• забывают правило произведения;
• ошибочно считают, что производная e^{x-1} равна e^{x-1}(x-1);
• пытаются приравнять к нулю саму экспоненту, хотя она всегда положительна;
• путают абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке.

Для самопроверки можно быстро оценить знак производной: до \frac12 она положительна, после — отрицательна. Это подтверждает, что найденное значение верно.

Ищем абсциссу точки экстремума, то есть значение x, при котором производная равна нулю (или не существует). Здесь функция задана на всей числовой оси и является произведением двух гладких функций, значит производная существует при всех x. Следовательно, экстремум можно найти из уравнения f'(x)=0.

Дана функция f(x)=(3-2x)e^{x-1}. Это типичный для ЕГЭ профильный случай: линейный множитель умножается на показательную функцию. Для таких задач полезно помнить, что e^{x-1}>0 при любом x, а значит при решении уравнения производной можно без опасений делить на этот множитель — он никогда не обращается в ноль.

Найдём производную по правилу произведения:

f'(x)=(3-2x)'e^{x-1}+(3-2x)(e^{x-1})'.

Вычисляем производные частей: (3-2x)'=-2, а (e^{x-1})'=e^{x-1}, потому что производная показательной функции с основанием e совпадает с самой функцией, умноженной на производную показателя. Здесь показатель x-1 имеет производную 1, поэтому дополнительных множителей не возникает.

Тогда

f'(x)=-2e^{x-1}+(3-2x)e^{x-1}.

Вынесем общий множитель:

f'(x)=e^{x-1}(1-2x).

Теперь приравниваем производную к нулю:

e^{x-1}(1-2x)=0.

Так как e^{x-1}>0 для всех x, нулём может быть только второй множитель:

1-2x=0.

Отсюда 2x=1, значит

x=\dfrac{1}{2}.

Итак, абсцисса точки экстремума равна \dfrac{1}{2}.

Почему это действительно точка экстремума? Для подобных задач часто достаточно найти критическую точку, но полезно понимать знак производной. Поскольку f'(x)=e^{x-1}(1-2x), знак производной определяется только выражением 1-2x: при x<1/2 производная положительна, а при x>1/2 — отрицательна. Значит, функция сначала возрастает, потом убывает, и в точке x=1/2 достигается максимум.

Типичные ошибки в таких заданиях:

• забыть правило произведения и продифференцировать только один множитель;
• ошибиться в производной e^{x-1}, например написать e^{x-1}(x-1) вместо e^{x-1};
• попытаться приравнять к нулю показательную часть, хотя она всегда положительна;
• перепутать абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке.

Для самопроверки можно запомнить удобную схему: у функции вида (a-bx)e^{cx+d} после дифференцирования почти всегда получается e^{cx+d}, умноженная на линейное выражение. Поэтому уравнение f'(x)=0 сводится к обычному линейному уравнению. В этой задаче ответ легко проверяется: он должен быть простым рациональным числом, и действительно получаем \dfrac{1}{2}.

Рассматриваем функцию вида $(A-x)e^{x+B}$. Для таких задач на ЕГЭ Профиль важно не подменять поиск точки максимума поиском значения функции: требуется именно абсцисса, то есть число $x$, при котором функция наибольшая.

Найдём производную по правилу произведения:

$f^{\prime }\left(x\right)=(-1)e^{x+1}+(5-x)e^{x+1}$.

Вынесем общий множитель $e^{x+1}$:

$f^{\prime }\left(x\right)=(4-x)e^{x+1}$.

Теперь используем ключевую идею: экспонента $e^{x+1}$ всегда положительна при любых $x$. Значит знак производной определяется только множителем $(4-x)$.

Находим критическую точку из уравнения $f^{\prime }\left(x\right)=0$:

$(4-x)e^{x+1}=0$.

Так как экспонента никогда не равна нулю, остаётся:

$4-x=0$, откуда $x=4$.

Проверим характер точки. Если $x<4$, то $4-x>0$, значит $f^{\prime }\left(x\right)>0$ и функция возрастает. Если $x>4$, то $4-x<0$, значит $f^{\prime }\left(x\right)<0$ и функция убывает. Следовательно, в точке $x=4$ действительно достигается максимум.

Ответ: $4$.

Типичные ошибки: 1) забывают правило произведения; 2) пытаются приравнять к нулю экспоненту, хотя это невозможно; 3) путают абсциссу точки максимума со значением функции в этой точке; 4) не проверяют смену знака производной, хотя именно это надёжно подтверждает максимум.

Полезное обобщение для ЕГЭ: если $f\left(x\right)=(A-x)e^{x+B}$, то $f^{\prime }\left(x\right)=(A-x-1)e^{x+B}$, поэтому точка максимума всегда имеет абсциссу $x=A-1$. Это удобная проверка, если на экзамене нужно быстро контролировать ответ.

Рассмотрим функцию f(x)=(2x-1)e^{-x}. Это произведение многочлена и показательной функции, поэтому для поиска точки экстремума стандартно используем производную и правило произведения.

1. Находим производную. Пусть u(x)=2x-1, v(x)=e^{-x}. Тогда u'(x)=2, а v'(x)=-e^{-x}. По правилу произведения:

f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2e^{-x}-(2x-1)e^{-x}.

Вынесем общий множитель e^{-x}:

f'(x)=e^{-x}(2-(2x-1))=e^{-x}(3-2x).

2. Ищем критическую точку. Экстремум возможен там, где f'(x)=0 или производная не существует. Здесь производная существует при всех x, значит решаем только уравнение:

e^{-x}(3-2x)=0.

Экспонента e^{-x} никогда не равна нулю, поэтому остаётся:

3-2x=0, откуда x=rac{3}{2}.

3. Почему это действительно точка экстремума? Так как множитель e^{-x}>0 при любом x, знак производной определяется только выражением 3-2x. При x<rac32 производная положительна, а при x>rac32 отрицательна. Значит, функция сначала возрастает, потом убывает, то есть в точке x=rac32 достигается максимум.

Ответ: x=rac32.

Типичные ошибки: 1) забыть правило произведения; 2) попытаться приравнять к нулю экспоненту e^{-x}, хотя она всегда положительна; 3) перепутать абсциссу точки экстремума со значением функции в этой точке; 4) не проверить смену знака производной, если нужно обосновать максимум или минимум.

Как действовать на ЕГЭ быстро: для функций вида P(x)e^{kx} почти всегда удобно после дифференцирования вынести e^{kx} за скобку. Тогда уравнение f'(x)=0 сводится к решению более простого алгебраического уравнения для многочлена в скобках.