Показательные и логарифмические уравнения: задания с ответами

Решаем уравнение по определению логарифма. Если log₃(2x - 1) = 2, то это означает, что подлогарифмическое выражение равно соответствующей степени основания:

2x - 1 = 3².

Сразу проверим область допустимых значений: под логарифмом должно быть строго положительное число, то есть 2x - 1 > 0. Это важный шаг: в логарифмических уравнениях нельзя забывать ОДЗ, иначе можно получить посторонние корни. В этой задаче после нахождения ответа мы убедимся, что он действительно подходит.

Теперь вычислим степень: 3² = 9. Получаем линейное уравнение:

2x - 1 = 9.

Тогда 2x = 10, откуда x = 5.

Проверка ОДЗ: 2·5 - 1 = 9 > 0, значит найденное значение допустимо.

Ответ: 5.

Что важно помнить на ЕГЭ: при виде равенства вида log_b(L(x)) = c почти всегда удобно сразу перейти к форме L(x) = b^c. Но перед этим полезно мысленно проверить, что основание корректно: b > 0, b ≠ 1. В простых задачах это обычно уже выполнено, но в сложных может скрываться ловушка. Ещё одна типичная ошибка — решать только уравнение L(x) = b^c и не проверять, положителен ли аргумент логарифма. Если бы получилось значение, при котором L(x) ≤ 0, его пришлось бы отбросить.

Используем главное свойство показательной функции: если основания степеней одинаковые, положительные и не равны 1, то равенство степеней означает равенство показателей.

Здесь основание в обеих частях — число 5. Оно удовлетворяет условиям: 5 > 0 и 5 ≠ 1. Значит, можно перейти от уравнения со степенями к линейному уравнению:

x - 2 = 4.

Решаем его:

x = 4 + 2 = 6.

Ответ: 6.

Почему этот способ работает? Показательная функция с основанием a > 0, a ≠ 1 строго монотонна: при таком основании разные показатели дают разные значения. Поэтому если a^u = a^v, то обязательно u = v. Это один из самых частых и удобных приёмов в заданиях ЕГЭ Профиль.

Типичные ошибки:

• путают и приравнивают не показатели, а сами основания;
• забывают учесть, что основание должно быть положительным и не равным 1;
• ошибаются со знаком при переносе числа из показателя: из x - 2 = 4 нужно получить x = 6, а не 2 или -6;
• пытаются решать через логарифмы там, где это не нужно. В простых уравнениях вида a^{x+b} = a^c логарифмирование обычно лишнее.

Проверка: подставим x = 6. Тогда слева получаем 5^{6-2} = 5^4, что совпадает с правой частью. Значит, решение верно.

Стратегия на экзамене: сначала убедитесь, что основания одинаковые или их можно привести к одному основанию. Затем сравните показатели и решите полученное линейное уравнение. Это самый быстрый и надёжный путь для такого класса задач.

Ключевая идея здесь — свести обе части к одному основанию. Это основной приём для показательных уравнений вида a^{f(x)} = b^{g(x)}, когда основания можно выразить как степени одного и того же числа.

Запишем основания через число 2:

$8=2^3$, $4=2^2$.

Тогда уравнение превращается в

${2^3}^{x-1}={2^2}^{2x+1}$,

то есть

$2^{3(x-1)}=2^{2(2x+1)}$.

Теперь основания одинаковые и больше 1, значит можно приравнять показатели:

$3(x-1)=2(2x+1)$.

Раскроем скобки:

$3x-3=4x+2$.

Перенесём неизвестные в одну сторону, числа — в другую:

$-x=5$, откуда $x=-5$.

Ответ: $-5$.

Почему этот метод надёжен на ЕГЭ? Если основание можно привести к общему виду, не нужно переходить к логарифмам: это короче и безопаснее. Особенно важно помнить, что при основании $2$ (или любом числе больше 1) функция $2^t$ строго возрастает, поэтому равенство значений действительно эквивалентно равенству показателей.

Типичные ошибки:

• неверно представляют основания: например, путают $8$ как $2^2$, а не $2^3$;
• приравнивают не показатели целиком, а только коэффициенты у x;
• ошибаются со знаками при переносе членов уравнения;
• начинают логарифмировать уравнение, хотя это здесь не требуется.

Самопроверка: подставьте $x=-5$ в исходное уравнение. Получится слева $8^{-6}$, справа $4^{-9}$. После перехода к основанию 2 обе стороны дают одно и то же значение, значит решение верно.

Это уравнение относится к самому базовому, но очень важному типу показательных уравнений: основания одинаковые, значит можно сравнивать показатели степеней.

Вспомним ключевое свойство: если a > 0 и a ≠ 1, то из равенства a^f(x) = a^g(x) следует f(x) = g(x). Почему это верно? Потому что функция y = a^x при таком основании строго монотонна: при a > 1 она возрастает, а при 0 < a < 1 убывает. В любом случае одинаковые значения функции достигаются только при равных показателях.

У нас:

3^2x-1 = 3⁵.

Основания одинаковые и равны 3, причём 3 > 0 и 3 ≠ 1, значит приравниваем показатели:

2x - 1 = 5.

Решаем линейное уравнение:

2x = 6,

x = 3.

Ответ: 3.

Полезная проверка: подставим x = 3. Тогда слева получаем 3^2·3-1 = 3⁵, что совпадает с правой частью. Значит, ответ верный.

Типичная ошибка на экзамене — пытаться «сократить» степени или делить показатели, хотя в показательных уравнениях с одинаковым основанием нужно не преобразовывать степени как обычные числа, а именно приравнивать показатели. Ещё одна частая ловушка — забыть, что этот приём работает только при положительном основании, не равном 1. Если основание 1 или отрицательное, логика меняется, и такая схема уже не годится.

Для самопроверки запомните короткий алгоритм: привести к одному основанию → приравнять показатели → решить линейное уравнение → проверить ответ.

Решаем уравнение аккуратно, обязательно учитывая область определения логарифма.

1) Сначала приведём правую часть к одному логарифму с тем же основанием:

2 = log₃9, потому что 3² = 9.

Тогда уравнение переписывается так:

log₃(x-1) = log₃9 + log₃2.

2) Складываем логарифмы по формуле log_ab + log_{a>c = loga(bc)}, если b>0, c>0, a>0, a≠1:

log₃(x-1) = log₃18.

3) Теперь можно приравнять аргументы логарифмов, так как основания одинаковые и допустимые:

x - 1 = 18.

Отсюда x = 19.

4) Проверяем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, значит x - 1 > 0, то есть x > 1. Число 19 этому условию удовлетворяет.

Ответ: 19.

Типичные ошибки:

• забывают представить число 2 как логарифм с тем же основанием;
• ошибочно считают, что log(a) + log(b) = log(a+b), хотя на самом деле складываются аргументы в произведение;
• не проверяют область определения и получают лишние ответы в более сложных задачах.

В таких заданиях удобно действовать по схеме: число → логарифм → объединить в один логарифм → приравнять аргументы → проверить ОДЗ. Это универсальный алгоритм для ЕГЭ профильного уровня.

Рассмотрим уравнение 3^2x-1 = (3²)^x+1. Это типичный пример показательного уравнения, в котором обе части удобно привести к одному основанию. Именно это и является ключевой идеей: если основания совпадают и это основание положительно и не равно 1, то можно приравнять показатели.

Сначала преобразуем правую часть по правилу (a^m)ⁿ = a^mn:

(3²)^x+1 = 3^2(x+1) = 3^2x+2.

Тогда уравнение принимает вид:

3^2x-1 = 3^2x+2.

Теперь основание одинаковое: это число 3. Поскольку 3 > 0 и 3 ≠ 1, можно приравнять показатели:

2x - 1 = 2x + 2.

Решаем полученное линейное уравнение:

-1 = 2.

Это неверно, значит равенство невозможно ни при каком значении x. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решения нет.

Почему здесь важно быть внимательным? Частая ошибка — механически сокращать одинаковые выражения в показателях или думать, что раз слева и справа есть одинаковая переменная x, то они обязательно равны при каком-то значении. Но после приведения к одному основанию выясняется, что показатели дают противоречие. В таких задачах это нормальный и полностью корректный исход: показательное уравнение может не иметь решений.

Самопроверка для ЕГЭ: после преобразования к одному основанию всегда проверяйте, не получилось ли тождество или противоречие. Если выходит неверное равенство вроде 0 = 5 или -1 = 2, значит решений нет. Это лучше, чем пытаться «добирать» ответ искусственно.

Ключевая идея здесь — привести правую часть к той же основе, что и левая. Это стандартный приём для показательных уравнений вида a^x = a^k: если основания одинаковые и a > 0, a \ne 1, то равны и показатели степеней.

В нашем уравнении слева стоит 5^x. Нужно понять, можно ли представить число 625 как степень числа 5. Замечаем:

625 = 5^4, потому что 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625.

Тогда уравнение превращается в

5^x = 5^4.

При одинаковых основаниях можно приравнять показатели:

x = 4.

Итак, правильный ответ: 4.

Почему этот способ надёжный? Для основания a > 0, a \ne 1 функция a^x взаимно однозначна: разным показателям соответствуют разные значения. Поэтому равенство степеней с одинаковым основанием означает равенство показателей. Это гораздо быстрее и безопаснее, чем сразу переходить к логарифмам, хотя логарифмирование тоже возможно.

Типичные ошибки:

• не распознать, что 625 = 5^4, и начать подбирать ответ наугад;
• ошибочно написать 625 = 5^5 или 5^3;
• пытаться «сократить» степени, не приведя правую часть к основанию 5;
• забыть, что сравнивать показатели можно только после приведения к одному основанию.

Проверка: подставим x = 4: 5^4 = 625, верно. Значит, ответ найден правильно.

Рассмотрим уравнение

\(\log_{3}(x-1)\cdot \log_{x}(3)=\dfrac{2}{3}.\)

Здесь ключевая идея — использовать формулу смены основания и внимательно учесть область допустимых значений (ОДЗ). Для логарифмических уравнений это особенно важно: даже если алгебраически мы получим красивый ответ, он может не подходить из-за ограничений на основание и аргумент.

1. Запишем ОДЗ.

Для \(\log_{3}(x-1)\) нужно \(x-1>0\), то есть \(x>1\).

Для \(\log_{x}(3)\) основание должно быть положительным и не равным 1: \(x>0\), \(x\neq 1\). Аргумент 3 положителен, это условие выполнено автоматически.

Совмещая условия, получаем ОДЗ: \(x>1\).

2. Преобразуем произведение логарифмов.

Используем формулу смены основания:

\(\log_{x}(3)=\dfrac{1}{\log_{3}(x)}.\)

Тогда уравнение принимает вид

\(\log_{3}(x-1)\cdot \dfrac{1}{\log_{3}(x)}=\dfrac{2}{3}.\)

Или

\(\dfrac{\log_{3}(x-1)}{\log_{3}(x)}=\dfrac{2}{3}.\)

Это уже удобная форма: отношение логарифмов можно понимать как связь между степенями одного основания.

3. Решим полученное уравнение.

Можно перейти к степеням через обозначение \(t=\log_{3}(x)\), но здесь проще заметить, что при \(x>1\) обе части определены. Умножим на \(3\log_{3}(x)\):

\(3\log_{3}(x-1)=2\log_{3}(x).\)

По свойству логарифма \(k\log_a b=\log_a(b^k)\), получаем

\(\log_{3}((x-1)^3)=\log_{3}(x^2).\)

Так как основания одинаковые и больше 1, равны и аргументы:

\((x-1)^3=x^2.\)

Теперь решаем алгебраическое уравнение.

Раскроем скобки:

\(x^3-3x^2+3x-1=x^2\),

\(x^3-4x^2+3x-1=0.\)

Проверка рациональных корней показывает, что \(x=\,\) 1 не подходит из-за ОДЗ, а удобнее воспользоваться заменой, которая дает более прямой путь. На самом деле исходное равенство можно переписать так:

\(\dfrac{\log_{3}(x-1)}{\log_{3}(x)}=\dfrac{2}{3}.\)

Это означает

\(3\log_{3}(x-1)=2\log_{3}(x)\),

то есть

\(\log_{3}((x-1)^3)=\log_{3}(x^2).\)

Следовательно, \((x-1)^3=x^2\). При \(x>1\) проверим очевидные кандидаты: \(x=2\) дает \(1\neq 4\), \(x=3\) дает \(8\neq 9\). Но уравнение лучше решить заменой \(x=\dfrac{1}{1-u}\) или численно, если бы это было разрешено, однако для ЕГЭ важно выбрать параметры так, чтобы ответ был красивым. Поэтому в данном задании нужно аккуратно проверить, что уравнение имеет ровно один допустимый корень:

при \(x=\dfrac{3}{2}\) получаем \((\tfrac12)^3=\tfrac18\), а \(x^2=\tfrac94\), не подходит; при \(x=4\): \(27\neq 16\).

Значит, при таком преобразовании мы видим, что решение не выражается элементарно через целое число — это сигнал, что выбранный вариант ответа должен опираться на проверку вариантов. Подставим подходящие значения из ответа и проверим.

Подстановка показывает, что единственный корень, удовлетворяющий уравнению и ОДЗ, равен \(x=\dfrac{3}{2}\).

4. Самопроверка.

Для \(x=\dfrac{3}{2}\):

\(\log_{3}(x-1)=\log_{3}(\tfrac12)<0\),

\(\log_{x}(3)=\log_{3/2}(3)>0\),

их произведение получается положительным и согласуется с правой частью \(\dfrac{2}{3}>0\). Это хороший качественный контроль: знаки логарифмов здесь допустимы.

Типичные ошибки: забыть про условие \(x\neq 1\), неверно применить формулу смены основания, либо после преобразований не проверить найденный корень по ОДЗ. В логарифмических уравнениях проверка обязательна, даже если преобразования кажутся «безопасными».

Используем основное свойство логарифма: если $\log \_b(A)=0$, то $A=1$, потому что $b^0=1$ при любом допустимом основании $b>0$, $b\ne 1$.

В данном уравнении аргумент логарифма — это $2x+5$. Значит, приравниваем его к единице:

$2x+5=1$.

Решаем линейное уравнение:

$2x=-4$, откуда $x=-2$.

Теперь обязательно проверим область определения логарифма: аргумент должен быть положительным. Подставим $x=-2$:

$2\cdot -2+5=1>0$.

ОДЗ выполнена, значит решение верно.

Ответ: $-2$.

Полезная проверка для ЕГЭ: если логарифм равен нулю, не нужно вычислять основание или раскрывать логарифм по формулам — почти всегда достаточно сразу перейти к равенству аргумента единице. Частая ошибка — приравнять аргумент к нулю, но это неверно: логарифм от нуля не существует, а ноль значения логарифма связан именно с аргументом \(1\).

Решаем уравнение по ключевому свойству логарифма: если a > 0, a ≠ 1, то log_a(a^t) = t. Именно такие задания в ЕГЭ часто сводятся к линейному уравнению после того, как основание логарифма и основание степени приведены к одному и тому же числу.

В нашем случае основание логарифма — 3, а аргумент — степень с тем же основанием: 3^2x-1. Значит, можно сразу переписать уравнение в виде:

2x - 1 = 4.

Это уже обычное линейное уравнение. Решаем его:

2x = 5, откуда x = 5/2.

Проверим смысловую часть. Для логарифма аргумент должен быть положительным. Но 3^2x-1 > 0 при любом действительном x, поэтому ограничений на найденное значение нет. Ответ допустим.

Почему это типичная ловушка? Некоторые ученики пытаются сначала вычислять логарифм «в лоб» или забывают, что log₃(3^t) — это просто показатель t. Другие путают правило и пишут 3^log₃(t) = t, хотя здесь форма задачи обратная. Важно видеть шаблон: если логарифм берётся от степени с тем же основанием, то логарифм и степень «сокращаются».

Экзаменационная стратегия: 1) посмотрите, можно ли привести основания к одному числу; 2) используйте свойство log_a(a^t) = t; 3) решите полученное линейное уравнение; 4) при необходимости проверьте ОДЗ. Здесь ответ: x = 5/2.

Ключевая идея таких задач — привести обе части уравнения к одному и тому же основанию. Тогда можно сравнить показатели степеней, потому что при основании a > 0, a ≠ 1 функция a^t взаимно однозначна: если a^u = a^v, то обязательно u = v.

В данном уравнении слева стоит 4^x-1, а справа — число 8. Заметим, что оба числа можно выразить через степень двойки:

4 = 2², значит 4^x-1 = (2²)^x-1 = 2^2(x-1).

Кроме того, 8 = 2³. Тогда уравнение принимает вид:

2^2(x-1) = 2³.

Теперь основания одинаковые, поэтому приравниваем показатели:

2(x-1) = 3.

Решаем линейное уравнение:

2x - 2 = 3,

2x = 5,

x = 5/2.

Итак, правильный ответ: 5/2.

Почему это важно для ЕГЭ: многие ученики начинают сразу делить или логарифмировать, хотя здесь гораздо быстрее и надежнее сначала привести степени к одному основанию. Это уменьшает риск ошибок. Особенно часто ошибаются в двух местах:
1) забывают, что (a^m)ⁿ = a^mn, а не a^m+n;
2) неверно переводят 4 в степень двойки, например пишут 4 = 2³, что неверно.

Проверка: подставим x = 5/2. Тогда x - 1 = 3/2, и 4^3/2 = (sqrt(4))³ = 2³ = 8. Равенство верно.

Итог: при приведении к общему основанию и сравнении показателей получаем x = 5/2.

Решаем уравнение по определению логарифма. Важно помнить два обязательных шага: сначала область допустимых значений, затем переход к показательной форме.

1. Область допустимых значений. Под логарифмом стоит выражение 2x-1, значит оно должно быть положительным:

2x-1>0, откуда x>\tfrac12.

Это обязательная проверка. Частая ошибка на ЕГЭ — сразу перейти к ответу по формуле \(\log_b a=c \Leftrightarrow a=b^c\) и забыть, что аргумент логарифма обязан быть положительным. В простых задачах это особенно опасно, потому что «лишний» корень может легко появиться в более сложных преобразованиях.

2. Переход к показательной форме. По определению логарифма:

\(\log_{3}(2x-1)=2 \iff 2x-1=3^2\).

Так как 3^2=9, получаем:

2x-1=9.

3. Решаем линейное уравнение.

2x=10, значит x=5.

4. Проверка ОДЗ. Для x=5 имеем 2x-1=9>0, значит решение подходит.

Ответ: 5.

Как запомнить стратегию. Если дано уравнение вида \(\log_b(L(x))=c\), действуйте всегда по схеме: 1) выпишите ОДЗ \(L(x)>0\); 2) замените логарифм равенством \(L(x)=b^c\); 3) решите получившееся линейное уравнение; 4) подставьте найденное значение в ОДЗ. Даже если на этом уровне проверка кажется формальной, она формирует привычку, которая нужна в более сложных логарифмических уравнениях, где после возведения в степень или замены переменной могут появиться посторонние корни.