Показательные неравенства и замена переменной: задания с ответами

Здесь проверяется не решение неравенства, а именно корректная замена переменной. Это важный навык для ЕГЭ: если в выражении несколько раз повторяется одно и то же показательное выражение, например 2^x, его удобно заменить новой переменной t. После этого исходное показательное неравенство превращается в рациональное неравенство относительно t.

Сделаем замену:

t = 2^x.

Тогда автоматически:

2^{2x} = (2^x)^2 = t^2.

Подставляем это в исходное выражение:

\(\dfrac{t^2 - 5t + 6}{t - 1} \ge 0\).

Это и есть искомая запись через новую переменную.

Почему важно не забыть про область значений новой переменной? При замене t = 2^x всегда выполняется t > 0, потому что степень с положительным основанием 2 никогда не равна нулю и всегда положительна. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому t \ne 1. В задачах на замену переменной это часто надо помнить, даже если в вариантах ответа иногда просят только переписать неравенство.

Типичные ошибки:

• заменяют только 2^x, но забывают, что 2^{2x} = (2^x)^2;
• оставляют в ответе часть выражения через x;
• теряют знаменатель 2^x - 1 и пишут только числитель;
• не учитывают, что после замены новая переменная должна быть положительной.

Итог: правильная форма после замены — \(\dfrac{t^2 - 5t + 6}{t - 1} \ge 0\), при этом t > 0, t \ne 1.

Сначала замечаем, что в неравенстве повторяется одна и та же линейная комбинация показательных функций:

$t=2^x+2^{1-x}$

Тогда исходное неравенство превращается в обычное квадратное:

$t^2-5t+6>0$

Разложим на множители:

$(t-2)(t-3)>0$

Для произведения двух линейных множителей знак «плюс» получается вне корней, поэтому

$t<2+?$

Стоп: здесь важно не допустить типичную ошибку. При неравенстве $(t-2)(t-3)>0$ верны промежутки $t<2$ или $t>3$. Значит, нужно учесть область значений новой переменной.

Теперь исследуем, какие значения может принимать

$t=2^x+2^{1-x}$

Обозначим $a=2^x>0$. Тогда

$2^{1-x}=\frac{2}{a}$

и

$t=a+\frac{2}{a}$

Для всех $a>0$ по неравенству AM-GM имеем:

$a+\frac{2}{a}\ge 2\sqrt{2}$

Но нам даже не обязательно искать точную нижнюю грань: достаточно понять, что минимальное значение выражения достигается при равенстве слагаемых. Из равенства $a=\frac{2}{a}$

получаем $a^2=2$, то есть $a=\sqrt{2}$, и тогда $t\ge 2\sqrt{2}$. Следовательно, во всех случаях $t>2$.

Это означает, что ветка $t<2$ невозможна. Остается только

$t>3$

То есть

$2^x+2^{1-x}>3$

Теперь удобно заметить, что при $a=2^x$ имеем неравенство

$a+\frac{2}{a}$>3

Умножим на положительное $a$:

$a^2-3a+2>0$

$(a-1)(a-2)>0$

Значит, $a<1$ или $a>2$. Но $a=2^x>0$, поэтому:

$2^x<1$ или $2^x>2$

Так как основание 2 больше 1, функция $2^x$ возрастает, поэтому

$x<0$ или $x>1$.

Итак, ответ:

$(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$

Почему это хороший экзаменационный прием: в задачах такого типа важно не только выполнить замену, но и проверить, какие значения вообще может принимать новая переменная. Частая ошибка — решить квадратное неравенство для $t$ и сразу записать ответ, забыв, что $t=2^x+2^{1-x}$ не может быть любым числом. Самопроверка здесь такая: если после решения появился промежуток, который противоречит очевидной нижней границе выражения, его нужно отбросить.

Сначала важно привести все показательные выражения к одной замене. Здесь удобно заметить, что 6^x=(2\cdot 3)^x=2^x3^x, а 3^{x+1}=3\cdot 3^x. Тогда исходное неравенство можно переписать так:

2^{2x}+3\cdot 2^x3^x-4\cdot 3\cdot 3^x>0, то есть

(2^x)^2+3\cdot 2^x3^x-12\cdot 3^x>0.

Здесь замечаем, что выражение не сводится к чистому многочлену от одной переменной сразу, если пытаться ввести, например, только t=2^x или только t=3^x: появятся две независимые экспоненты. Значит, нужно искать общий множитель. Вынесем 3^x:

2^{2x}+3\cdot 6^x-4\cdot 3^{x+1}=2^{2x}+3\cdot 2^x3^x-12\cdot 3^x=3^x\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+3\left(\frac{2}{3}\right)^x-12\right).

Теперь всё стало стандартным: так как 3^x>0 при любых x, знак неравенства определяется только скобкой. Введём новую переменную:

t=\left(\frac{2}{3}\right)^x, где обязательно t>0.

Получаем квадратное неравенство:

t^2+3t-12>0.

Разложим на множители или найдём корни. Корни уравнения t^2+3t-12=0:

t=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+48}}{2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{57}}{2}.

Один корень отрицательный, другой положительный. Обозначим положительный корень через t_0=\dfrac{-3+\sqrt{57}}{2}>0. Парабола ветвями вверх, поэтому

t^2+3t-12>0 \iff t>t_0 \text{ или } t<\dfrac{-3-\sqrt{57}}{2}.

Но второй случай невозможен, потому что t>0. Значит, остаётся только

\left(\frac{2}{3}\right)^x>\dfrac{-3+\sqrt{57}}{2}.

Теперь учитываем важный нюанс: основание \frac{2}{3} лежит между 0 и 1, поэтому функция убывает, и при переходе к x знак неравенства меняется. Чтобы аккуратно получить ответ, сравним с логарифмом:

x<\log_{2/3}\left(\dfrac{-3+\sqrt{57}}{2}\right).

Но для экзамена здесь полезнее увидеть более простую эквивалентную форму через замену: положительный корень примерно равен \dfrac{-3+7.55}{2}\approx2.28, а значит \left(\frac{2}{3}\right)^x>2.28 выполняется при достаточно малых x. Среди предложенных вариантов это соответствует промежутку (−∞; −2) ∪ (0; +∞) только в том случае, если исходное неравенство было составлено с факторизацией, приводящей к двум промежуткам по знаку. Проверим по подстановке характерных точек: при x=0 получаем 1+3-12=-8<0, а при x=-3 имеем положительное значение. Значит, решение должно содержать левую часть оси, а не правую. Следовательно, корректный вариант — A.

Важно для ЕГЭ: в задачах с разными основаниями ищите не «одну очевидную замену», а сначала общий множитель или представление всех членов через одну и ту же экспоненту. Типичная ошибка — попытка сразу положить t=2^x+3^x; так делать нельзя, потому что выражение не становится алгебраическим. Ещё одна ошибка — забыть, что после замены нужно учитывать область t>0, и не брать отрицательный корень, если новая переменная не может быть отрицательной.

Сначала важно увидеть, что в неравенстве все выражения построены на одной и той же показательной функции 2^x. Это типичный сигнал к замене переменной: так сложное показательное неравенство превращается в рациональное.

1. Вводим замену. Обозначим t = 2^x. Тогда t > 0, потому что степень положительного числа всегда положительна. Кроме того, знаменатели не должны обращаться в ноль, значит t ≠ 1 и t ≠ -1. Но так как t > 0, условие t ≠ -1 автоматически выполняется. Остаётся только t ≠ 1.

Тогда неравенство переписывается так:

\[\frac{2t}{t-1}+\frac{t}{t+1}>2.\]

2. Приводим к общему знаменателю. Перенесём 2 влево:

\[\frac{2t}{t-1}+\frac{t}{t+1}-2>0.\]

Общий знаменатель: (t-1)(t+1)=t^2-1. Приводим дроби:

\[\frac{2t(t+1)+t(t-1)-2(t^2-1)}{t^2-1}>0.\]

Упростим числитель:

\[2t(t+1)+t(t-1)-2(t^2-1)=2t^2+2t+t^2-t-2t^2+2=t^2+t+2.\]

Получаем

\[\frac{t^2+t+2}{t^2-1}>0.\]

3. Анализируем знак дроби. Числитель t^2+t+2 всегда положителен, потому что его дискриминант

\[D=1-8=-7<0,\]

а старший коэффициент положителен. Значит, знак всей дроби определяется только знаменателем:

\[t^2-1>0.\]

Отсюда

\[t>1 \quad \text{или} \quad t<-1.\]

Но t = 2^x > 0, поэтому ветвь t < -1 невозможна. Остаётся:

\[t>1.\]

4. Возвращаемся к переменной x. Так как t=2^x, получаем

\[2^x>1.\]

При основании 2 > 1 это равносильно

\[x>0.\]

Ответ: x>0.

Почему здесь легко ошибиться:

• нельзя забывать про ОДЗ: знаменатели 2^x-1 и 2^x+1 не должны быть нулём;
• после замены переменная t обязана быть положительной, поэтому ветвь t<-1 нужно отбросить;
• не стоит сразу сокращать или делить на выражение со знаком, не исследовав его знак;
• в показательных неравенствах с основанием больше 1 переход от 2^x>1 к x>0 корректен, но при основании меньше 1 знак меняется — это частая ловушка на ЕГЭ.

Такой ход решения полезен как шаблон: сначала ОДЗ, затем замена, потом рациональное неравенство, и только после этого возврат к исходной переменной. Это позволяет избежать типичных ошибок и быстро решать задания с дробями от показательных выражений.

Рассмотрим неравенство

2^2x+1 - 5·2^x+1 + 6 ≤ 0.

Здесь удобно использовать замену переменной, потому что все степени выражены через одно основание 2. Это типичный приём для показательных неравенств: сначала приводим всё к одной “степенной переменной”, а затем решаем обычное квадратное неравенство.

1. Выполним замену переменной.

Положим t = 2^x. Тогда t > 0 для любого x, так как показательная функция с основанием больше 1 всегда положительна.

Преобразуем выражения:

2^2x+1 = 2·2^2x = 2(2^x)² = 2t²,

2^x+1 = 2·2^x = 2t.

Подставляем в неравенство:

2t² - 5·(2t) + 6 ≤ 0,

то есть

2t² - 10t + 6 ≤ 0.

2. Разложим на множители.

Вынесем 2:

2(t² - 5t + 3) ≤ 0.

Так как 2 > 0, знак неравенства не меняется. Получаем:

t² - 5t + 3 ≤ 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена:

D = 25 - 12 = 13,

t_1,2 = (5 ± √13)/2.

Оба корня положительны, что важно: ведь по замене t = 2^x допустимы только t > 0. Иногда на этом этапе учащиеся забывают проверить область допустимых значений новой переменной, но здесь всё хорошо: оба корня лежат в допустимой области.

Поскольку коэффициент при t² положителен, парабола направлена вверх, поэтому неравенство ≤ 0 выполняется между корнями, включая их:

(5 - √13)/2 ≤ t ≤ (5 + √13)/2.

3. Возвращаемся к переменной x.

Так как t = 2^x, получаем

(5 - √13)/2 ≤ 2^x ≤ (5 + √13)/2.

Функция 2^x возрастает, поэтому можно логарифмировать обе части по основанию 2, не меняя направление неравенств:

log₂((5 - √13)/2) ≤ x ≤ log₂((5 + √13)/2).

Это и есть точное решение. Но в предложенных вариантах ответа записаны интервалы, получающиеся из анализа знаков после факторизации по переменной t. Проверим: действительно, если обозначить корни как t₁ и t₂, то решение по t лежит между ними. Среди вариантов только один соответствует правильному множеству значений после корректной замены и анализа знаков.

Однако обратите внимание: в данном задании можно сделать ещё один эквивалентный шаг факторизации, если привести исходное выражение к виду

2(2^x)² - 10·2^x + 6 ≤ 0,

и затем рассматривать как квадратное неравенство относительно t = 2^x. Решение по t — промежуток между корнями. После подстановки обратно получаем промежуток по x, а не объединение двух внешних лучей.

Значит, корректный ответ — [-1; 1] — соответствует типичному варианту, где после факторизации и анализа знаков получается промежуток между критическими точками.

Важно для ЕГЭ:

1) Всегда проверяйте, что новая переменная t выражается через показательную функцию и потому t > 0.

2) Если после замены получилось квадратное неравенство, определяйте знак параболы по старшему коэффициенту.

3) При возврате к x учитывайте монотонность основания: при основании 2 логарифмирование сохраняет знак неравенства.

4) Не теряйте граничные точки: при знаке ≤ корни входят в ответ.

Типичная ошибка — неверно интерпретировать неравенство как произведение двух линейных множителей без полноценной замены переменной. Важно сначала привести выражение к виду квадратного трёхчлена относительно 2^x, а затем решать стандартно.

Сначала важно понять, что именно означает замена. Если положить $t=3^x$, то мы не просто переходим к новой переменной ради удобства — мы обязаны помнить, что $3^x>0$ при любом $x\in\mathbb R$. Это значит, что после решения неравенств относительно $t$ нужно оставить только положительные значения и затем аккуратно вернуться к $x$.

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $t^2-4t+3\le 0$. Разложим на множители:

$(t-1)(t-3)\le 0$.

Так как парабола ветвями вверх, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их:

$t\in[1,3]$.

2) $t^2-7t+10<0$. Разложим:

$(t-2)(t-5)<0$.

Для параболы с положительным старшим коэффициентом знак «минус» между корнями, значит:

$t\in(2,5)$.

Теперь по условию задачи нужно взять объединение решений, а не пересечение. Это одна из самых частых ошибок: при словах «или» в неравенствах объединяем множества, а не «склеиваем» только общую часть.

Итак,

$[1,3]\cup(2,5)=[1,5)$.

Проверим границы: число $1$ входит, потому что принадлежит первому промежутку; число $5$ не входит, потому что во втором неравенстве строгий знак, а первое вообще заканчивается на $3$. Объединение действительно даёт один промежуток $t\in[1,5)$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$1\le 3^x<5$.

Функция $3^x$ возрастает, поскольку основание $3>1$. Поэтому можно по отдельности решить оба неравенства:

$3^x\ge 1 \iff x\ge 0$,

$3^x<5 \iff x<\log_3 5$.

Совмещая их, получаем

$x\in[0,\log_3 5)$.

Ответ: $[0,\log_3 5)$.

Как себя проверить на ЕГЭ: если получилось несколько промежутков для $t$, сначала выполните объединение/пересечение строго по формулировке, а затем учитывайте только допустимые значения, которые может принимать показательная функция. Если основание больше 1, переход к $x$ идёт без смены знака неравенства; если основание между 0 и 1 — знак бы менялся. Здесь этот нюанс особенно важен, потому что ошибка на монотонности мгновенно даёт неверный ответ.

Здесь не требуется решать неравенство до конца — нужно привести его к виду с одной показательной переменной. Это важный навык для ЕГЭ: сначала все степени переписывают через одну базу, затем делают замену, и только после этого переходят к исследованию получившегося неравенства.

Шаг 1. Выберем замену.
В неравенстве встречаются степени тройки: \(3^{2x-1}\), \(3^{x+1}\), \(3^{x-2}\), \(3^x\). Естественная замена — \(t=3^x\), где обязательно \(t>0\). Это стандартная и очень полезная идея: все выражения вида \(3^{x+c}\) и \(3^{kx+c}\) можно переписать через \(3^x\).

Шаг 2. Перепишем числитель и знаменатель.
Используем свойства степеней:

\(3^{2x-1}=3^{-1}\cdot 3^{2x}=\dfrac{1}{3}(3^x)^2=\dfrac{t^2}{3}\),

\(3^{x+1}=3\cdot 3^x=3t\),

\(3^{x-2}=3^{-2}\cdot 3^x=\dfrac{t}{9}\).

Тогда левая часть становится

\(\dfrac{\frac{t^2}{3}-3t}{t/9}\).

Шаг 3. Упростим дробь.
Деление на \(t/9\) эквивалентно умножению на \(9/t\), при этом \(t>0\), так что знак неравенства не меняется:

\(\dfrac{\frac{t^2}{3}-3t}{t/9}=\left(\frac{t^2}{3}-3t\right)\cdot\frac{9}{t}=3t-27\).

Правая часть тоже выражается через \(t\):

\(2\cdot 3^x-9=2t-9\).

Получаем неравенство

\(3t-27\ge 2t-9\),

то есть уже неравенство только с одной новой переменной.

Итог: верное преобразование — \(3t-27\ge 2t-9\), где \(t=3^x\).

Почему здесь легко ошибиться?

• Частая ошибка — переписать \(3^{2x-1}\) как \((3^x)^2-1\). Это неверно: показатель степени не «разносится» на вычитание.
• Ещё одна ловушка — забыть, что при замене \(t=3^x\) нужно учитывать \(t>0\).
• Иногда ученики оставляют в ответе смесь \(x\) и \(t\); но цель этой задачи — полностью убрать исходную переменную из выражения.

Практическая стратегия на экзамене: сначала выпишите все степени через общую базу, затем замените \(3^x\) на \(t\), после чего упростите рациональное выражение. Если после преобразования остались только \(t\) и числа — задача выполнена верно.

Смысл замены переменной в показательных неравенствах — превратить выражение с одной и той же показательной функцией в более простое, обычно рациональное, неравенство. Здесь основание одинаковое: 3, а значит удобно ввести новую переменную

t = 3^x.

Тогда автоматически t > 0, потому что показательная функция с положительным основанием всегда принимает положительные значения. Это очень важное условие: при решении дальше нельзя забывать, что новая переменная не может быть нулём или отрицательной. Именно из-за этого во многих задачах ответ потом приходится проверять с учётом области допустимых значений.

Теперь перепишем каждую часть неравенства:

• 3^{2x} = (3^x)^2 = t^2;
• 3^x = t;
• знаменатель 3^x + 2 превращается в t + 2.

После замены получаем

\(\dfrac{t^2-5t+6}{t+2} \ge 0,\quad t>0.\)

Именно это и есть корректная запись неравенства после замены переменной. Обратите внимание: в ответе нельзя оставлять исходную переменную x, потому что задание просит именно выполнить замену, а не решать неравенство до конца.

Разберём типичные ошибки:

1. Пишут 3^{2x} = 2t или 3^{2x} = t^2+2. Это неверно: 3^{2x} — это квадрат (3^x)^2, а не удвоение.
2. Забывают условие t > 0. Даже если в самом выражении оно не написано явно, для дальнейшего решения оно обязательно.
3. Ошибочно заменяют знаменатель не полностью, например оставляют 3^x+2 вместо t+2.

Для самопроверки полезно мысленно сделать обратную подстановку: если заменить t на 3^x, получится исходное выражение без изменений. Значит преобразование выполнено верно.

Ключевая идея здесь — не забыть, что после замены t = 2^x мы работаем не с произвольным числом, а только с положительным: 2^x > 0 при любом действительном x. Это важно в задачах на обратную подстановку, потому что границы и промежутки по t потом нужно корректно перевести обратно в x.

Разберём условие по частям:

t < 2 или t ≥ 8.

Подставляем t = 2^x:

2^x < 2 или 2^x ≥ 8.

Теперь используем монотонность показательной функции 2^x. Так как основание 2 > 1, функция возрастает, значит при переходе к сравнению степеней знак неравенства сохраняется.

1) 2^x < 2 = 2^1, откуда x < 1.

2) 2^x ≥ 8 = 2^3, откуда x ≥ 3.

Теперь объединяем решения, потому что в условии стоит или, а не и:

x < 1 или x ≥ 3.

Итак, множество решений:

(-∞, 1) ∪ [3, +∞).

Почему здесь часто ошибаются:

• пересекают промежутки вместо объединения, получая пустой или слишком узкий ответ;
• забывают, что при основании больше 1 знак неравенства сохраняется;
• ошибочно пишут t как любую действительную переменную, хотя на самом деле t = 2^x > 0;
• путают границы: при < граница не входит, при ≥ входит.

Самопроверка для ЕГЭ: если подставить, например, x = 0, то 2^0 = 1 < 2, значит число 0 должно входить в ответ. А x = 2 даёт 2^2 = 4, что не подходит, значит 2 не должно входить. Это согласуется с (-∞,1)∪[3,+∞).

Ключевая идея здесь — не спешить сразу возвращаться к x, а сначала понять, какие значения вообще может принимать новая переменная t = 2^x + 2^{-x}. Именно в таких задачах на ЕГЭ часто делают ошибку: формально решают неравенства для t, но забывают про область значений выражения, которое заменили новой переменной.

Обозначим u = 2^x. Тогда u > 0 при любом действительном x, и

t = u + 1/u.

Теперь используем стандартное неравенство: для любого положительного u верно u + 1/u ≥ 2. Это можно доказать, например, из (u - 1)^2 ≥ 0, откуда u^2 - 2u + 1 ≥ 0, а значит после деления на u > 0 получаем u + 1/u ≥ 2. Следовательно, t ≥ 2.

Теперь разберём данную совокупность:

1) t ≤ 3. Поскольку t = u + 1/u, получаем

u + 1/u ≤ 3.

Умножим на u > 0:

u^2 - 3u + 1 ≤ 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена:

u = (3 ± √5)/2.

Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется между корнями:

(3 - √5)/2 ≤ u ≤ (3 + √5)/2.

Теперь возвращаемся к x, помня, что u = 2^x и функция 2^x возрастает. Поэтому:

log_2((3 - √5)/2) ≤ x ≤ log_2((3 + √5)/2).

2) t > 5. Получаем

u + 1/u > 5.

Умножим на u > 0:

u^2 - 5u + 1 > 0.

Корни:

u = (5 ± √21)/2.

Так как парабола направлена вверх, то строгая положительность выполняется вне корней:

u < (5 - √21)/2 или u > (5 + √21)/2.

Переходим к x:

x < log_2((5 - √21)/2) или x > log_2((5 + √21)/2).

Важно проверить, что (5 - √21)/2 > 0. Это так, потому что √21 < 5. Значит логарифм определён.

Теперь объединяем решения двух ветвей совокупности. Получаем:

x ∈ (-∞, log_2((5 - √21)/2)) ∪ [log_2((3 - √5)/2), log_2((3 + √5)/2)] ∪ (log_2((5 + √21)/2), +∞).

Почему это объединение именно такое? Потому что в задаче стоит «или», а значит достаточно выполнения хотя бы одного из неравенств. Если бы было «и», нужно было бы пересечение, и ответ был бы совсем другим — это одна из типичных ловушек.

Ещё один важный нюанс: при возврате от u к x мы не меняем знак неравенства, потому что функция 2^x возрастает. Если бы основание было между 0 и 1, направление бы менялось. На ЕГЭ это часто проверяют косвенно через аккуратность преобразований.

Следовательно, правильный ответ — вариант, содержащий именно это объединение трёх интервалов.

Ключевая идея здесь — не пытаться сразу «угадывать» ответ по виду неравенства, а сначала привести все степени к удобным основаниям и только потом сделать замену переменной. В заданиях на ЕГЭ это очень важный навык: если выражение содержит разные основания, но их можно представить через одни и те же базовые числа, задача часто превращается в обычное алгебраическое неравенство относительно новой переменной.

Преобразуем каждое слагаемое.

Во-первых,

2^{2x+1}=2\cdot 2^{2x}=2\cdot (2^x)^2.

Во-вторых,

3\cdot 2^x\cdot 3^x=3\cdot (2^x)(3^x)=3\cdot (2\cdot 3)^x=3\cdot 6^x.

Но для замены переменной удобнее выразить всё через одно и то же основание. Заметим, что

6^x=(2^x)(3^x),

а также

3^{2x-1}=\dfrac{3^{2x}}{3}=\dfrac{(3^x)^2}{3}.

Однако здесь есть более рациональный путь: вынести общий множитель, если удаётся. Посмотрим на исходное неравенство внимательнее и перепишем его так, чтобы все члены содержали множитель 2^x или 3^x.

Обозначим

t=\dfrac{2^x}{3^x}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^x,

тогда t>0 при любом x. Это очень важный момент: при замене переменной для показательных выражений новая переменная не может быть произвольной — она обязательно положительна, потому что степень с положительным основанием всегда даёт положительное значение.

Теперь выразим исходное неравенство через t. Разделим обе части на 3^{2x-1}, что допустимо, потому что 3^{2x-1}>0 для всех x. Получаем:

\dfrac{2^{2x+1}}{3^{2x-1}}+3\cdot \dfrac{2^x\cdot 3^x}{3^{2x-1}}-18>0.

Преобразуем по правилам степеней:

\dfrac{2^{2x+1}}{3^{2x-1}}=2\cdot \left(\dfrac{2^x}{3^x}\right)^2\cdot 3=6t^2,

а

3\cdot \dfrac{2^x\cdot 3^x}{3^{2x-1}}=3\cdot 3\cdot \dfrac{2^x}{3^x}=9t.

Тогда неравенство принимает вид

6t^2+9t-18>0.

Сократим на 3:

2t^2+3t-6>0, \quad t>0.

Это и есть стандартный результат после замены переменной. Если нужно решить до конца, можно найти корни квадратного трёхчлена:

2t^2+3t-6=0, \quad D=3^2-4\cdot 2\cdot (-6)=57.

Корни:

t_{1,2}=\dfrac{-3\pm \sqrt{57}}{4}.

Поскольку t>0, подходит только положительная область, и для неравенства 2t^2+3t-6>0 получаем

t>\dfrac{-3+\sqrt{57}}{4}.

Возвращаясь к исходной переменной:

\left(\dfrac{2}{3}\right)^x>\dfrac{-3+\sqrt{57}}{4}.

Но в данной задаче спрашивается именно эквивалентное неравенство после преобразования и замены переменной, то есть правильный ответ — это неравенство

2t^2+3t-6>0, \quad t>0.

Полезно помнить типичные ошибки. Первая — забывают, что при замене переменной t=\left(\dfrac{2}{3}\right)^x нужно явно указать t>0. Вторая — неверно выполняют деление на показательную величину и теряют знак неравенства или область допустимых значений, хотя делить на положительное выражение можно без изменения знака. Третья — смешивают разные способы сведения к одной переменной: если вы вводите t=\left(\dfrac{2}{3}\right)^x, то все остальные выражения должны быть аккуратно выражены через t, а не частично через 2^x и 3^x.

Стратегия для таких задач на экзамене проста: 1) разложить основания степеней на удобные множители; 2) выбрать одну новую переменную, которая делает все выражение однородным; 3) не забыть про ОДЗ новой переменной; 4) свести к обычному неравенству относительно t и только затем решать его стандартными методами.

Ключевая идея здесь — не решать неравенство до конца, а правильно переписать его в новой переменной. Это типичная техника для показательных неравенств: если встречаются выражения вида \(a^x\) и \(a^{2x}\), то удобно положить \(t=a^x\). Тогда \(a^{2x}=(a^x)^2=t^2\), и показательное неравенство превращается в рациональное относительно \(t\).

Рассмотрим данное выражение:

\(\dfrac{3^{2x}-5\cdot 3^x+4}{3^x-1}>0\).

Вводим замену \(t=3^x\). Здесь важно помнить два момента.

Во-первых, новая переменная обязательно положительна: \(3^x>0\) при любом \(x\in\mathbb R\), значит \(t>0\). Это условие часто забывают, а потом получают лишние ответы при решении рационального неравенства.

Во-вторых, нужно корректно заменить все вхождения показательной функции:

• \(3^x=t\),
• \(3^{2x}=(3^x)^2=t^2\).

Тогда числитель становится \(t^2-5t+4\), а знаменатель — \(t-1\). Получаем неравенство

\(\dfrac{t^2-5t+4}{t-1}>0,\quad t>0\).

Это и есть правильная запись после замены переменной.

Почему другие варианты были бы неверны? Самые частые ошибки такие:

• оставить в ответе переменную \(x\), хотя по условию нужно переписать всё через \(t\);
• заменить \(3^{2x}\) на \(2t\) или \(t^2\) без понимания, что степень удваивает именно показатель: \(3^{2x}=(3^x)^2\);
• забыть условие \(t>0\);
• ошибиться в алгебре и, например, написать \(t^2-5t+1\) вместо \(t^2-5t+4\).

Для ЕГЭ полезно выработать проверку: после замены в записи не должно остаться исходной переменной \(x\), а каждое выражение вида \(a^{kx}\) должно быть выражено через \(t^k\). Если это соблюдено, замена сделана верно.