Уравнения с тригонометрией в показателе и степенях: задания с ответами

Ключевая идея таких заданий — не решать уравнение целиком, а переписать обе части с одинаковым основанием. Это позволяет сравнивать показатели степени и дальше работать уже с более простой записью.

Рассмотрим левую часть:

(\sqrt{5})^{2\sin x-1}.

Заметим, что \(\sqrt{5}=5^{1/2}\). Тогда

(\sqrt{5})^{2\sin x-1}=(5^{1/2})^{2\sin x-1}.

Теперь используем правило степени степени: \((a^m)^n=a^{mn}\), где важно умножать именно показатели, а не складывать их. Получаем

(5^{1/2})^{2\sin x-1}=5^{\frac{2\sin x-1}{2}}=5^{\sin x-\frac12}.

Итак, левая часть после упрощения равна

\(5^{\sin x-\frac12}\).

Почему это важно на ЕГЭ: часто в таких задачах учащиеся путают преобразование \((a^m)^n\) и записывают \(a^{m+n}\), что неверно. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что \(\sqrt{5}\) это не 5, а \(5^{1/2}\). Именно приведение основания к виду степени одного и того же числа делает сравнение показателей законным.

Самопроверка: если после преобразования основание остаётся тем же самым числом 5, а показатель получился линейным выражением через \(\sin x\), значит, преобразование выполнено корректно. В нашем случае правильный результат — \(5^{\sin x-\frac12}\).

Решим уравнение cos 2x = 1/2 как стандартное тригонометрическое уравнение вида cos t = a, где здесь удобно ввести обозначение t = 2x.

Для косинуса известно: cos t = 1/2 тогда и только тогда, когда t = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z. Это базовый факт с окружности: значение 1/2 косинус принимает в двух симметричных точках, а затем решения повторяются с периодом 2π.

Теперь возвращаемся к переменной x: поскольку t = 2x, получаем

2x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Делим обе части на 2:

x = ±π/6 + πk, k ∈ Z.

Это и есть общее решение. Часто в таких задачах делают две типичные ошибки. Первая — забывают, что аргумент был 2x, и оставляют период 2π вместо π после деления на 2. Вторая — записывают только одно семейство решений, например лишь x = π/6 + πk, забывая симметричное решение x = -π/6 + πk.

Проверка очень полезна для ЕГЭ: если подставить x = π/6, то 2x = π/3, и cos(π/3) = 1/2; если подставить x = -π/6, то 2x = -π/3, а cos(-π/3) = cos(π/3) = 1/2. Значит, обе серии решений верны.

Итак, правильный ответ: x = ±π/6 + πk, k ∈ Z.

Решим уравнение аналитически и затем аккуратно отберём корни на заданном отрезке. Для тригонометрических уравнений на промежутке это главный алгоритм ЕГЭ: сначала получаем общее решение, потом проверяем попадание в границы. Ошибка обычно возникает именно на втором шаге — из-за невнимания к отрезку и периодичности.

Имеем уравнение:

sin(2x) = 1.

Значение синуса равно 1 тогда и только тогда, когда аргумент имеет вид

2x = π/2 + 2πk, k ∈ ℤ.

Это стандартная формула общего решения для уравнения sin t = 1. Деление на 2 даёт

x = π/4 + πk, k ∈ ℤ.

Теперь отбираем решения на отрезке [π/4; 7π/4]. Подставляем целые значения k:

• при k = 0 получаем x = π/4 — подходит, потому что левая граница входит в отрезок;
• при k = 1 получаем x = 5π/4 — тоже подходит;
• при k = 2 получаем x = 9π/4, а это уже больше 7π/4, значит не подходит;
• при k = -1 получаем x = -3π/4, это меньше π/4, значит тоже не подходит.

Итак, на данном отрезке ровно два корня:

x = π/4 и x = 5π/4.

Ответ: эти два значения и нужно выбрать. Если в вариантах ответа среди прочих есть, например, 9π/4 или -3π/4, это типичные отвлекающие варианты: они действительно являются решениями общего уравнения, но не лежат на заданном отрезке. В заданиях ЕГЭ это одна из самых частых ловушек.

Полезная проверка: уравнение sin(2x) = 1 имеет период по x равный π, поэтому на отрезке длины 3π/2 можно ожидать несколько решений через шаг π. На отрезке [π/4; 7π/4] действительно помещаются ровно два значения из последовательности π/4 + πk.

Как не ошибиться на экзамене:

1) сначала пишите общее решение, а не «угадывайте» корни;
2) всегда учитывайте, входит ли граница отрезка;
3) не забывайте, что период меняется после замены аргумента: для sin(2x) период по x равен π, а не 2π;
4) после отбора корней полезно быстро подставить их в исходное уравнение, чтобы исключить вычислительные ошибки.

Для уравнения cos x = -\frac12 нужно найти все углы на числовой окружности, в которых косинус равен -\frac12.

Косинус — это абсцисса точки на единичной окружности. Значение -\frac12 достигается в двух симметричных точках: при углах \frac{2\pi}{3} и \frac{4\pi}{3}. Это важно: если у тригонометрической функции на окружности два симметричных положения, то общее решение обычно распадается на две серии.

Так как косинус — периодическая функция с периодом 2\pi, к каждому базовому решению нужно прибавить 2\pi k, где k \in \mathbb{Z}. Получаем:

x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k или x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.

Частая ошибка на ЕГЭ — записать только одно решение, забыв про вторую точку на окружности, или указать неправильный шаг периода, например \pi вместо 2\pi. Для косинуса и синуса общий период именно 2\pi, поэтому при записи общего решения добавляется 2\pi k.

Итак, правильный ответ — вариант с двумя сериями решений: x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k и x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.

Ключевая идея здесь — не пытаться сравнивать основания как есть, а сначала привести обе части к одному и тому же основанию. Это типичная стратегия для показательных уравнений с тригонометрией в показателях: как только основания совпадают и это число > 0, ≠ 1, можно приравнивать показатели.

Имеем уравнение:

2^{sin x + 1} = 4^{cos x}.

Заметим, что 4 = 2². Тогда правая часть переписывается так:

4^{cos x} = (2²)^{cos x} = 2^{2cos x}.

После приведения к одному основанию получаем:

2^{sin x + 1} = 2^{2cos x}.

Так как основание 2 положительное и не равно единице, из равенства степеней следует равенство показателей:

sin x + 1 = 2cos x.

Теперь решаем тригонометрическое уравнение. Удобно перенести всё в одну сторону:

sin x - 2cos x = -1.

Здесь полезно помнить, что линейные комбинации a sin x + b cos x можно сводить к одной тригонометрической функции, но в этой задаче есть более короткий путь: проверим стандартные значения на промежутке и затем учтём периодичность.

Перепишем уравнение в виде

sin x = 2cos x - 1.

Рассмотрим кандидатов, где синус и косинус принимают «удобные» значения. Если cos x = 1, то левая часть равна sin x + 1 = 1, то есть sin x = 0, и это верно при x = 2πk. На промежутке [0; 4π] получаем x = 0, 2π, 4π.

Проверим, подходят ли они:

x = 0: 2^{sin 0 + 1} = 2¹ = 2, 4^{cos 0} = 4¹ = 4 — не подходит. Значит, просто подстановка кандидатов недостаточна, нужно решать аккуратно.

Сделаем преобразование точнее. Возведём обе части уравнения в логарифмическую форму через основание 2:

sin x + 1 = 2cos x.

Теперь перенесём и используем тождество sin x = cos(π/2 - x) не требуется; проще выразить через вспомогательный угол:

sin x - 2cos x = -1.

Представим левую часть как одну синусоиду:

sin x - 2cos x = √5·sin(x - φ),

где cos φ = 1/√5, sin φ = 2/√5. Тогда уравнение равносильно

√5·sin(x - φ) = -1, то есть

sin(x - φ) = -1/√5.

На промежутке [0; 4π] это даёт несколько решений, но среди вариантов ответа нужно выбрать именно набор корней, который получается после точного решения. Однако в данной задаче мы специально подбираем параметры так, чтобы после приведения к общему основанию уравнение распадалось на простое равенство показателей и давало единственный набор корней. Проверим другой путь: заметим, что если sin x = 1 и cos x = 0, то равенство неверно. Если sin x = 0 и cos x = 1/2, то 1 = 1 не получается.

Значит, аккуратное решение сводится к анализу уравнения sin x + 1 = 2cos x на заданном промежутке. Возведём обе части в квадрат:

(sin x + 1)² = 4cos²x.

Раскроем скобки и используем cos²x = 1 - sin²x:

sin²x + 2sin x + 1 = 4(1 - sin²x),

5sin²x + 2sin x - 3 = 0.

Решим квадратное уравнение относительно t = sin x:

5t² + 2t - 3 = 0.

Дискриминант:

D = 2² - 4·5·(-3) = 4 + 60 = 64.

t = (-2 ± 8)/10, то есть

t₁ = 3/5, t₂ = -1.

Нужно проверить оба корня в исходном уравнении sin x + 1 = 2cos x, потому что при возведении в квадрат могли появиться посторонние решения.

1) sin x = -1 даёт x = 3π/2 + 2πk. Тогда cos x = 0, и исходное уравнение превращается в 0 = 0? Проверим: левая часть sin x + 1 = 0, правая 2cos x = 0. Да, подходит.

2) sin x = 3/5 требует, чтобы одновременно выполнялось sin x + 1 = 2cos x. Подставив cos x = (sin x + 1)/2 = 4/5, видим, что sin²x + cos²x = 9/25 + 16/25 = 1, значит решение действительно существует. Однако нам нужны значения x на [0; 4π], и таких решений будет четыре: два на каждом периоде.

Для sin x = 3/5 и cos x = 4/5 получаем угол x = arctan(3/4) в I четверти и ещё x = π - arctan(3/4) во II четверти не подходит, потому что косинус там отрицателен. Значит, в пределах одного периода подходит только x = arctan(3/4), а из-за периодичности также x = arctan(3/4) + 2π.

Итак, на промежутке [0; 4π] решения:

x = 3π/2, x = arctan(3/4), x = arctan(3/4) + 2π, x = 3π/2 + 2π = 7π/2.

Если в вариантах ответа это набор записан в эквивалентной форме, выбираем его.

Важно для экзамена: при переходе к квадратному уравнению всегда проверяйте корни в исходном уравнении; иначе легко потерять знак или получить лишние решения. Также не забывайте, что на промежутке нужно учитывать периодичность тригонометрических функций и отбирать только те значения, которые действительно лежат в заданных границах.

Ключевая идея таких задач — не решать уравнение до конца, а переписать все степени через одно и то же основание. Тогда можно либо сравнить показатели, либо просто записать преобразованную левую часть в нужном виде. В подобных заданиях ЕГЭ очень часто теряют знак при переходе к общему основанию или неверно применяют правило (a^m)^n=a^{mn}.

В данном случае основания 8, 4, 2 удобно заменить степенями двойки:

8=2^3, \quad 4=2^2.

Тогда левая часть преобразуется так:

8^{1-\cos x}=(2^3)^{1-\cos x}=2^{3(1-\cos x)}=2^{3-3\cos x}.

Правая часть тоже приводится к основанию 2:

4^{2\sin x-1}\cdot 2^{3-\sin x}=(2^2)^{2\sin x-1}\cdot 2^{3-\sin x}=2^{2(2\sin x-1)}\cdot 2^{3-\sin x}.

Теперь упрощаем каждую степень:

2^{2(2\sin x-1)}=2^{4\sin x-2},

а произведение степеней с одинаковым основанием складывает показатели:

2^{4\sin x-2}\cdot 2^{3-\sin x}=2^{(4\sin x-2)+(3-\sin x)}=2^{3\sin x+1}.

Но в задаче спрашивается именно левая часть после преобразований. Поэтому достаточно записать:

8^{1-\cos x}=2^{3-3\cos x}.

Это и есть искомое выражение.

Ответ: 2^{3-3\cos x}.

Полезная проверка для себя: если вы видите степень вида (2^k)^{f(x)}, то показатель обязательно умножается на k. Ошибка типа (2^3)^{1-\cos x}=2^{3-\cos x} — очень частая и приводит к неверному ответу.

Сначала важно заметить главный приём этой темы: если основания степеней связаны, уравнение удобно свести к одному основанию. Здесь 4 = 2^2, значит

4^{\cos x} = (2^2)^{\cos x} = 2^{2\cos x}.

Тогда исходное уравнение принимает вид

2^{\sin x + 1} = 2^{2\cos x}.

Так как основание 2 положительно и не равно 1, функция 2^t строго возрастает. Значит, равенство степеней возможно только тогда, когда равны показатели:

\sin x + 1 = 2\cos x.

Теперь решаем тригонометрическое уравнение. Перенесём всё в одну сторону:

\sin x - 2\cos x = -1.

Такое уравнение можно решать разными способами. Для ЕГЭ полезно видеть, что левая часть — линейная комбинация \sin x и \cos x, которую можно привести к виду одной синусоиды, но здесь есть более быстрый путь: проверим стандартные значения.

Заметим, что при x = \pi имеем \sin \pi = 0, \cos \pi = -1, поэтому

\sin \pi + 1 = 1, 2\cos \pi = -2,

то есть не подходит. Проверим x = \frac{3\pi}{2}: \sin x = -1, \cos x = 0, тогда

\sin x + 1 = 0, 2\cos x = 0.

Это решение подходит.

Теперь найдём все решения аккуратно. Преобразуем уравнение к одной тригонометрической функции. Запишем

\sin x + 1 = 2\cos x.

Перенесём единицу:

\sin x = 2\cos x - 1.

Удобно использовать метод подстановки t = \tan\frac{x}{2}, но для задач этого типа чаще быстрее опереться на геометрическое преобразование:

\sin x - 2\cos x = -1.

Представим левую часть как одну синусоиду:

\sin x - 2\cos x = \sqrt{5}\,\sin(x-\varphi),

где \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt5}, \sin\varphi = \frac{2}{\sqrt5}. Тогда уравнение становится

\sqrt{5}\,\sin(x-\varphi) = -1, то есть

\sin(x-\varphi) = -\frac{1}{\sqrt5}.

Это даёт два семейства решений. Однако при отборе на промежутке [0;4\pi] важно не потерять ни одно значение и не забыть про период 2\pi. Для этой задачи удобно заметить, что исходное уравнение можно проверить на углах, где \sin x и \cos x принимают простые значения. Подходящие решения на заданном промежутке оказываются

x = \frac{3\pi}{2} и x = \frac{7\pi}{2}.

Проверим: для x = \frac{7\pi}{2} снова \sin x = -1, \cos x = 0, значит равенство выполняется.

Итак, множество корней на [0;4\pi] равно \left\{\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{2}\right\}.

Типичные ошибки в таких задачах: 1) не привести основания к одному числу; 2) после этого приравнять не показатели, а сами выражения неверно; 3) забыть, что после нахождения общих решений нужно отобрать только те, что лежат в заданном промежутке; 4) потерять решения из-за неверного периода тригонометрической функции. Главный экзаменационный навык здесь — сначала сделать показательное уравнение линейным относительно показателей, а уже затем решать тригонометрию и проверять промежуток.

Ключевая идея здесь — сравнить показатели степеней, потому что основания одинаковые и больше 0, но не равны 1. Для функции 2^t она строго возрастает, значит из равенства

2^{sin x} = 2^1/2

следует равенство показателей:

sin x = 1/2.

Это очень важный типичный шаг для ЕГЭ: если основания одинаковые и подходят под условия монотонности, не нужно пытаться «логарифмировать наугад» — достаточно приравнять показатели. Ошибка многих учеников состоит в том, что они либо забывают про монотонность, либо сразу выписывают все общие решения, не проверяя промежуток.

Решим тригонометрическое уравнение:

sin x = 1/2.

Общее решение даётся двумя сериями:

x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.

Теперь отбираем корни на отрезке [π; 2π].

1) Для x = π/6 + 2πk: ближайшее значение при k = 0 равно π/6, оно меньше π. При k = 1 получаем 13π/6, это уже больше 2π. Значит, на данном отрезке таких корней нет.

2) Для x = 5π/6 + 2πk: при k = 0 получаем 5π/6, это меньше π. При k = 1 получаем 17π/6, это больше 2π. И снова на отрезке решений нет.

Однако здесь важно заметить, что мы работаем именно с отрезком [π; 2π], а оба стандартных решения уравнения sin x = 1/2 на одном периоде лежат в интервале (0; π). На отрезке [π; 2π] синус не принимает значение 1/2.

Ответ: корней на отрезке нет.

Проверка через график тоже подтверждает результат: на промежутке от π до 2π график синуса не поднимается выше оси абсцисс, а значение 1/2 положительное. Поэтому пересечений нет.

Как действовать на экзамене: сначала приводите тригонометрическую часть к простому уравнению, затем выписывайте общие решения, и только потом отбирайте корни по промежутку. Если промежуток задан через π, удобно сразу сравнивать числа в кратных π и помнить, где лежат стандартные точки π/6, π/2, 5π/6 относительно границ.

Ключевая идея здесь — не пытаться «решать степень» напрямую, а использовать свойство показательной функции с одинаковым положительным основанием.

Так как основание равно 2 и больше 1, функция 2^t строго возрастает. Значит, равенство

2^sin x = 2^cos x

эквивалентно равенству показателей:

sin x = cos x.

Это важный экзаменационный приём: если основания одинаковые и положительные, можно сравнивать показатели, но только потому, что функция с таким основанием взаимно однозначна на всей области определения. Ошибка многих учеников — пытаться приравнять не показатели, а сами тригонометрические функции к каким-то особым значениям, например записывать лишние случаи вроде sin x = 0 или cos x = 0. Здесь таких отдельных ветвей нет: уравнение сводится ровно к одному тригонометрическому условию.

Далее упростим:

sin x = cos x

Переносим в одну сторону или делим на cos x, но только если помним, что случай cos x = 0 надо проверять отдельно. Однако здесь он не подходит, потому что при cos x = 0 левая и правая части исходного уравнения равны 2^±1 и не совпадают. Поэтому безопаснее использовать тождество:

sin x - cos x = 0

или

tan x = 1,

откуда

x = π/4 + πk, k ∈ Z.

Но в задаче спрашивается именно об эквивалентных условиях, то есть о том, к какому более простому тригонометрическому уравнению сводится исходное. Правильный ответ: sin x = cos x.

Почему это важно для ЕГЭ Профиль: в задачах на эквивалентность нужно не просто получить верное множество решений, а корректно сохранить логическую равносильность на каждом переходе. Если основание показательной функции одинаковое и > 1, сравнение показателей даёт равносильный переход. Если бы основание было, например, 1 или выражение могло бы быть не определено, ход решения изменился бы. Поэтому всегда проверяйте: 1) основание одно и то же; 2) оно положительно и не равно 1; 3) переход к показателям действительно равносилен.

Итог: исходное уравнение эквивалентно условию sin x = cos x.

Решение начинается с приведения правой части к той же основе, что и левая часть. Здесь удобно заметить, что

\(\dfrac{1}{4}=2^{-2}\).

Тогда исходное уравнение переписывается как

\(2^{\sin x}=2^{-2}.\)

Это ключевой момент: если основания одинаковые и положительные (а у нас основание \(2>0\), \(2\neq1\)), то можно приравнять показатели:

\(\sin x=-2.\)

Теперь смотрим на тригонометрическое уравнение. Значения функции синуса всегда лежат в промежутке \([-1;1]\). Число \(-2\) этому условию не удовлетворяет, значит уравнение \(\sin x=-2\) не имеет действительных решений.

Следовательно, и исходное показательное уравнение не имеет корней ни на данном отрезке, ни вообще на множестве действительных чисел.

Почему это важный экзаменационный приём? Во многих задачах ЕГЭ после приведения к общей базе получается уравнение вида \(f(x)=c\), и нужно не автоматически искать формулы решений, а сначала проверить, возможна ли вообще такая равенство по области значений тригонометрической функции. Это помогает быстро отсечь неверные ответы и избежать лишних вычислений.

Типичная ошибка — пытаться решать \(\sin x=-2\) по формуле общего решения, хотя такой точки на единичной окружности не существует. Ещё одна частая ошибка — неверно преобразовать \(\frac14\) и получить, например, \(2^{-1}\) вместо \(2^{-2}\).

Итак, верного ответа среди вариантов должен быть вариант «нет решений».

Нужно найти все значения угла \(x\), при которых косинус равен \(-\frac12\). Для тригонометрических уравнений такого вида главный шаг — вспомнить точки на единичной окружности, где функция принимает заданное значение, а затем правильно учесть периодичность.

Уравнение \(\cos x = -\frac12\) имеет два базовых решения на промежутке \([0;2\pi)\):

\(x = \frac{2\pi}{3}\) и \(x = \frac{4\pi}{3}\).

Почему именно два? Потому что косинус — это абсцисса точки на окружности, и значение \(-\frac12\) достигается симметрично относительно оси \(Ox\): в II и III четвертях.

Теперь учитываем период косинуса. Период функции \(\cos x\) равен \(2\pi\), значит к каждому базовому решению можно прибавить \(2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Получаем общее решение:

\(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Именно это и есть правильный ответ.

Типичные ошибки на ЕГЭ:

• забывают одно из двух решений и пишут только одну серию;
• добавляют неверный период, например \(\pi\) вместо \(2\pi\) для косинуса;
• путают знак и пишут \(\frac{\pi}{3}\) или \(\frac{5\pi}{3}\), хотя это углы с косинусом \(\frac12\), а не \(-\frac12\).

Самопроверка: подставьте, например, \(x=\frac{2\pi}{3}\): \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\). Для \(x=\frac{4\pi}{3}\) тоже получаем \(-\frac12\). Значит обе серии верны.

Сначала важно понять, что требуется именно установить равносильность, то есть найти уравнение, у которого точно такое же множество решений, без потери и без появления лишних решений.

Данное уравнение:

\[4^{\sin x}=2^{2\sin x}.\]

Здесь удобно заметить, что основания можно привести к одной и той же степени: \(4=2^2\). Тогда левая часть становится

\[(2^2)^{\sin x}=2^{2\sin x}.\]

Теперь обе части уравнения действительно совпадают тождественно, потому что правая часть уже равна \(2^{2\sin x}\). Значит исходное уравнение верно при любом значении \(x\), то есть его множество решений — все действительные числа.

Следовательно, равносильным будет любое уравнение, тоже истинное при всех \(x\). Например,

\[2^{2\sin x}=2^{2\sin x}.\]

Но в заданиях на равносильность обычно среди вариантов есть и внешне похожие, но неверные преобразования. Поэтому полезно помнить несколько типичных ловушек.

1. Нельзя “сокращать” основание и сразу приравнивать показатели, если основания не приведены к одному виду.
Например, из \(4^{\sin x}=2^{2\sin x}\) нельзя делать вывод вида \(\sin x=2\sin x\): это выглядело бы как сравнение показателей, но только после корректного приведения к общему основанию. Здесь же после приведения уравнение оказалось тождеством.

2. Нельзя забывать, что \(a^{u}=a^{v}\) при \(a>0, a\neq 1\) влечёт \(u=v\) только если основания одинаковые.
Именно поэтому сначала приводят к одному основанию, а затем анализируют показатели.

3. Если исходное уравнение уже тождественно, то равносильным может быть только тождественное уравнение.
Например, уравнение \(\sin x=0\) неравносильно исходному, потому что оно отбирает лишь часть решений, а здесь решений бесконечно много — все \(x\).

Итак, правильный выбор — тот вариант, который является тождеством, например \(2^{2\sin x}=2^{2\sin x}\). Это и есть равносильная запись исходного уравнения.