Операции с событиями: противоположное, сумма, произведение: задания с ответами

Искомая вероятность находится не «в лоб», а через разность двух событий превышения. Здесь важно увидеть связь между событиями:

{X > 2} означает, что случайная величина принимает значения 3, 4, 5, ...

{X > 3} означает, что случайная величина принимает значения 4, 5, 6, ...

Значит, событие {X = 3} — это как раз те исходы, которые входят в {X > 2}, но не входят в {X > 3}. Поэтому:

P(X = 3) = P(X > 2) − P(X > 3).

Подставляем числа:

P(X = 3) = 0.35 − 0.12 = 0.23.

Почему именно вычитание? Событие {X > 3} является частью события {X > 2}. Когда мы вычитаем вероятность большего порога из вероятности меньшего порога, мы «убираем» все значения, которые строго больше 3, и оставляем только значение 3.

Общая формула для целочисленной случайной величины:

P(X = k) = P(X > k − 1) − P(X > k).

Это очень полезная формула на ЕГЭ: если даны вероятности превышения двух соседних порогов, можно сразу найти вероятность точного значения.

Типичные ошибки:

• складывать данные вероятности вместо вычитания;
• перепутать порядок вычитания и получить отрицательный ответ;
• ошибочно взять P(X ≥ 3) вместо P(X > 3) — здесь граница строгое неравенство, и это принципиально;
• не заметить, что событие «больше 3» является частью события «больше 2».

Самопроверка: вероятность точного значения должна быть неотрицательной и не больше каждой из данных вероятностей. Получили 0.23, и это разумно: 0 ≤ 0.23 ≤ 0.35.

Ответ: 0.23.

Здесь важно не перепутать три разных действия над событиями:

• произведение событий — когда нужно пройти последовательно несколько независимых шагов по одному пути;
• сумма событий — когда цель достигается несколькими альтернативными путями;
• противоположное событие — удобно, когда проще посчитать вероятность не попасть в цель, но в этой задаче это не обязательно.

Обозначим событие T как попадание в целевую вершину.

Из вершины S есть два равновероятных выбора: пойти в A или в B. Значит,

P(S→A)=1/2, P(S→B)=1/2.

Теперь рассмотрим, какими путями можно попасть в T.

1. S→A→T
2. S→B→T
3. S→A→C→T

Других путей в T нет: из A ещё можно уйти в тупик D, а из B — в E; из C можно попасть либо в T, либо в тупик F.

Считаем вероятность каждого пути по правилу умножения.

1) Путь S→A→T:
P = (1/2)·(1/3) = 1/6.

2) Путь S→B→T:
P = (1/2)·(1/2) = 1/4.

3) Путь S→A→C→T:
P = (1/2)·(1/3)·(1/2) = 1/12.

Эти пути взаимно исключают друг друга: в одном и том же запуске процесс может пройти только по одному из них. Поэтому вероятность попадания в T равна сумме вероятностей этих несовместных событий:

P(T)=1/6+1/4+1/12.

Приведём к общему знаменателю 12:

1/6=2/12, 1/4=3/12, 1/12=1/12, значит

P(T)=2/12+3/12+1/12=6/12=1/2.

Но среди ответов есть 1/2, а также 7/12 и 5/12. Проверим логику внимательно: в условии из A три равновероятных исхода, из B — два, из C — два. Тогда путь S→A→T действительно имеет вероятность 1/6, S→B→T — 1/4, S→A→C→T — 1/12. Сумма даёт 1/2.

Ответ: 1/2.

Как себя проверять на ЕГЭ:

• сначала выпишите все пути к цели;
• для каждого пути перемножьте вероятности вдоль ребёр;
• если путей несколько, сложите результаты;
• не забывайте про тупики: они не входят в целевое событие;
• если получается число больше 1 или меньше 0, значит, где-то пропущен путь или неверно посчитана развилка.

Типичная ошибка — складывать числа на развилке внутри одного пути вместо выбора одного ребра. На развилке события не складываются, а выбирается один вариант, поэтому там работает равномерное распределение вероятностей по исходящим рёбрам.

Обозначим событие A: «хотя бы один датчик не выйдет из строя». Прямая вероятность такого события иногда кажется неудобной, потому что оно состоит из нескольких вариантов: не выйдет из строя первый, или второй, или оба. В таких задачах в ЕГЭ Профиль очень полезно использовать противоположное событие.

Противоположное событие к A — это событие \(\overline{A}\): «оба датчика выйдут из строя». Эти события дополняют друг друга до полного набора исходов, поэтому

\(P(A)=1-P(\overline{A})\).

Теперь используем условие независимости. Вероятность выхода из строя одного датчика равна 0.3, а датчики независимы, значит вероятность того, что оба выйдут из строя, равна произведению вероятностей:

\(P(\overline{A})=0.3\cdot 0.3=0.09\).

Тогда

\(P(A)=1-0.09=0.91\).

Ответ: 0.91.

Почему этот способ лучше? Если считать напрямую событие «хотя бы один не выйдет из строя», нужно аккуратно перечислять случаи и не ошибиться с пересечением событий. Через дополнение задача сводится к одному простому произведению. Это типичный приём для задач на слова «хотя бы один», «не менее одного», «по крайней мере один».

Полезная проверка: вероятность события «хотя бы один не выйдет из строя» должна быть большой, ведь каждый датчик с вероятностью 0.7 работает нормально. Полученное число 0.91 выглядит разумно. Если бы вы получили число меньше 0.5, это был бы сигнал перепроверить решение.

Частая ошибка — сложить 0.7 и 0.7 или 0.3 и 0.3. Так делать нельзя, потому что это не взаимоисключающие варианты, а для события «хотя бы один» удобнее идти через противоположное событие. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что независимость нужна именно для перемножения вероятностей.

Обозначим события и разберёмся, какие комбинации дают нужный результат. Здесь важно не путать сумму событий и произведение событий: если речь идёт о двух независимых бросках, то вероятность конкретной пары исходов находится как произведение вероятностей этих исходов. А чтобы найти вероятность события «сумма очков не меньше 4», нужно сложить вероятности всех подходящих комбинаций.

Возможные очки за один бросок: 3, 1, 0. Нужно, чтобы за два броска сумма была 4 или больше. Перечислим все подходящие пары:

• 3 и 3 → сумма 6;
• 3 и 1 → сумма 4;
• 1 и 3 → сумма 4.

Других вариантов нет: например, 3 и 0 дают 3, 1 и 1 дают 2, а любые пары с 0 и 1/0 тоже не дотягивают до 4.

Теперь найдём вероятности каждой из подходящих комбинаций. Так как броски независимы, вероятность конкретной последовательности равна произведению вероятностей её исходов:

• P(3,3) = 1/2 · 1/2 = 1/4;
• P(3,1) = 1/2 · 1/3 = 1/6;
• P(1,3) = 1/3 · 1/2 = 1/6.

Складываем:

P(S ≥ 4) = 1/4 + 1/6 + 1/6 = 1/4 + 1/3 = 7/12.

Ответ: 7/12.

Полезная проверка для ЕГЭ: сумма вероятностей всех возможных исходов двух бросков должна быть 1. Если вы решаете через противоположное событие, можно было бы найти вероятность S < 4 и вычесть из 1, но здесь прямой перебор короче и надёжнее. Типичная ошибка — забыть, что случаи 3+1 и 1+3 различны: они дают одинаковую сумму, но это разные исходы последовательных независимых испытаний, поэтому оба нужно учесть отдельно.

Здесь ключевая идея — не считать сразу «хотя бы один не ошибся» по отдельности, а использовать противоположное событие. Это один из самых надёжных приёмов в ЕГЭ по вероятности: если событие «хотя бы один хороший» формулируется неудобно, часто проще посчитать, когда происходит противоположное событие, а потом вычесть из 1.

Обозначим искомое событие через A: «хотя бы один датчик не сработает с ошибкой». Тогда противоположное событие Ā — это «оба датчика сработают с ошибкой». Именно это событие легче считать, потому что датчики независимы.

Вероятность ошибки одного датчика равна 0,2. Значит, вероятность ошибки обоих датчиков равна произведению вероятностей:

P(Ā) = 0,2 · 0,2 = 0,04.

Теперь применяем формулу для противоположного события:

P(A) = 1 − P(Ā) = 1 − 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96.

Почему нельзя просто сложить вероятности? Частая ошибка — написать 0,2 + 0,2 = 0,4. Но это не вероятность события «хотя бы один не ошибся». Во-первых, сумма вероятностей используется для несовместных событий, а здесь события «первый не ошибся» и «второй не ошибся» могут происходить одновременно. Во-вторых, даже если бы мы пытались считать напрямую, пришлось бы учитывать пересечение. Метод противоположного события обходится без лишних вычислений.

Полезная схема для таких задач:

1) Сначала формулируем событие, которое легче всего считать в противоположном виде.
2) Находим вероятность противоположного события как произведение, если испытания независимы.
3) Вычитаем из 1.

Проверка здравым смыслом: если каждый датчик ошибается с вероятностью 0,2, то вероятность того, что оба ошибутся одновременно, должна быть маленькой — 0,04. Значит, вероятность того, что хотя бы один не ошибётся, должна быть близка к 1. Получили 0,96 — это разумный результат.

На что особенно обращать внимание на ЕГЭ: если в условии сказано «независимые», почти всегда можно перемножать вероятности. Если бы независимости не было, такой приём был бы некорректен. Ещё одна ловушка — перепутать событие «хотя бы один не ошибся» с событием «ровно один не ошибся»: это разные события. В нашей задаче «хотя бы один» включает случаи, когда не ошибся один датчик или оба сразу.

Здесь требуется найти вероятность объединения событий, то есть события A \cup B. По смыслу это означает: произойдёт хотя бы одно из событий A или B. Важно не перепутать объединение с пересечением: пересечение A \cap B — это когда оба события произошли одновременно.

Для двух событий существует основная формула:

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).

Почему нужно вычитать пересечение? Когда мы складываем P(A) и P(B), случаи, в которых произошли оба события, считаются дважды: один раз в P(A) и второй раз в P(B). Поэтому их нужно один раз вычесть, чтобы не было двойного счёта. Это типичная логическая ловушка в задачах ЕГЭ.

Подставим данные:

P(A \cup B)=0{,}48+0{,}37-0{,}15=0{,}70.

Ответ: 0,70.

Полезная проверка для самоконтроля: вероятность объединения не может быть меньше каждой из вероятностей P(A) и P(B), потому что «хотя бы одно» включает каждое событие целиком. Здесь получилось 0,70, а это действительно больше и 0,48, и 0,37. Ещё одна проверка: значение вероятности должно лежать в промежутке от 0 до 1, и это условие тоже выполнено.

Частые ошибки:

• просто сложить 0{,}48+0{,}37=0{,}85 и забыть вычесть пересечение;
• взять только P(A \cap B), хотя спрашивают не «оба», а «хотя бы одно»;
• перепутать знак и прибавить пересечение, что приводит к завышенной вероятности;
• не понимать смысл формулы и не замечать, что при сложении общие случаи учитываются дважды.

Стратегия для таких задач на экзамене проста: сначала перевести текст на язык событий, затем вспомнить формулу объединения, после этого аккуратно подставить числа и в конце сделать быструю проверку на здравый смысл.

Обозначим:

• A — поражена мишень A, P(A)=0,8;
• B — поражена мишень B, P(B)=0,7.

Требуется найти вероятность события Y: «поражена хотя бы одна из двух мишеней». В теории вероятностей это означает объединение событий:

Y = A ∪ B.

Здесь очень важно не перепутать «хотя бы одна» с «обе». Формулировка «хотя бы одна» всегда означает сумму событий, а не произведение.

Используем формулу вероятности суммы двух событий:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Так как выстрелы независимы, вероятность того, что попадут обе мишени, равна произведению вероятностей:

P(A ∩ B) = P(A)·P(B) = 0,8·0,7 = 0,56.

Тогда

P(Y) = 0,8 + 0,7 − 0,56 = 0,94.

Ответ: 0,94.

Почему нельзя просто сложить 0,8 и 0,7? Потому что при сложении мы дважды считаем случай, когда попали в обе мишени: он входит и в событие A, и в событие B. Именно поэтому и вычитают пересечение.

Частая ошибка на ЕГЭ: ученики либо пишут 0,8·0,7, думая, что «хотя бы одна» — это «обе», либо сразу складывают вероятности без вычитания пересечения. Правильная стратегия такая: сначала перевести текст задачи на язык событий, затем определить, это ∪ или ∩, и только потом применять формулы.

Самопроверка: вероятность события «хотя бы одна мишень поражена» должна быть больше каждой из отдельных вероятностей и не превышать 1. Число 0,94 этому соответствует, значит ответ правдоподобен.

Здесь используется очень важная связь между вероятностями вида «X>k» и вероятностью точного значения. Событие {X=4} можно представить как разность двух вложенных событий:

{X>3} — это все случаи, когда X равно 4, 5, 6 и т.д.; а {X>4} — это более «узкое» событие, в него входят случаи 5, 6 и т.д. Значит, если из {X>3} убрать {X>4}, останутся ровно те случаи, когда X=4.

По формуле для таких событий получаем:

P(X=4)=P(X>3)-P(X>4).

Подставляем числа:

P(X=4)=0.41-0.18=0.23.

Ответ: 0.23.

Полезно помнить логику этого типа задач: вероятность точного значения всегда находится как разность двух соседних вероятностей превышения. Ошибка, которую часто допускают ученики, — пытаются складывать данные вероятности или перепутать границы неравенства. Здесь важно, что события именно >3 и >4, а не ≥. Для целочисленной случайной величины верна формула P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k). Она работает потому, что событие {X>k-1} распадается на два непересекающихся случая: {X=k} и {X>k}.

На ЕГЭ удобно делать самопроверку: результат должен быть неотрицательным и не больше каждой из исходных вероятностей. Здесь 0.23 действительно меньше 0.41 и больше 0, значит ответ разумен.

Разберём условие внимательно. Фраза «между двумя соседними студентами группы B окажутся ровно два студента группы A» означает, что если мы смотрим на двух студентов группы B, стоящих подряд по окружности между ними, то на одной из дуг стола между ними сидят ровно 2 студента группы A, а на другой дуге — оставшиеся 3 студента группы A вместе с третьим студентом группы B. Иначе говоря, два студента группы B должны образовать «блок», внутри которого на одном участке между ними сидят ровно 2 человека из группы A.

Для таких задач важно понимать, что при случайной рассадке за круглым столом все круговые перестановки равновероятны, и удобнее всего устранять вращательную симметрию: зафиксируем одного конкретного студента, например одного из группы B, на месте. Тогда остаётся рассадить остальных 7 человек по 7 местам.

Теперь применим идею события и дополнительного события. Нам нужно событие A: «между двумя соседними студентами группы B находятся ровно 2 студента группы A». Посчитать его напрямую иногда сложно, поэтому полезно сначала понять, какие конфигурации вообще возможны.

Пусть один студент B уже зафиксирован. Второго студента B можно посадить на одно из 7 оставшихся мест. После этого между этими двумя студентами по окружности будет либо 1, либо 2, либо 3, либо 4, либо 5 студентов из группы A на одной из дуг. Но нас интересует только случай, когда на одном из двух путей между двумя B ровно 2 студента A. Это значит, что второй студент B должен оказаться через 3 места от первого по кругу: между ними должны стоять ровно 2 студента A.

Сколько таких мест для второго B? На окружности из 8 мест относительно зафиксированного B есть ровно 2 места, при которых между двумя B по одной из дуг окажутся ровно 2 студента A: по часовой стрелке через 3 позиции и против часовой стрелки через 3 позиции. Эти два положения различны, потому что круг не имеет выделенного направления, но сами места разные.

Итак, благоприятный выбор места для второго студента B — 2 варианта из 7 возможных. После этого оставшиеся 6 человек можно рассадить любым образом; для вероятности это уже неважно, потому что при фиксированном втором месте число завершений одинаково для всех вариантов. Значит, вероятность равна отношению числа благоприятных положений второго B к общему числу возможных положений:

P = 2/7.

Почему здесь не нужно умножать на количество способов рассадить остальных? Потому что при классическом определении вероятности мы делим число благоприятных равновозможных исходов на число всех равновозможных исходов. Если после фиксации одного человека все последующие размещения остаются симметричными, то достаточно сравнить только те варианты, которые определяют событие. Эта мысль особенно полезна в задачах с круговым столом: сначала убираем вращательную симметрию, затем считаем положения ключевого участника или ключевой пары.

Типичная ошибка — считать, что если между B должно быть 2 человека A, то второй B обязан стоять строго «через три места», но забывать, что по окружности есть два направления. Вторая ошибка — решать как линейную расстановку и получить неверную вероятность. Третья — не зафиксировать одного участника, из-за чего число исходов будет завышено в 8 раз.

Итак, правильный ответ: 2/7.

Искомое событие — это «хотя бы один датчик избежит неблагоприятного исхода», то есть хотя бы один не выйдет из строя. В задачах такого типа почти всегда удобнее считать не напрямую, а через противоположное событие.

1) Какое событие противоположное?
Если хотя бы один датчик не вышел из строя, то противоположное событие — это ситуация, когда оба датчика вышли из строя. Именно это событие проще всего посчитать, потому что датчики независимы.

2) Находим вероятность противоположного события.
Вероятность выхода из строя одного датчика равна 0,2. Тогда вероятность того, что конкретный датчик не выйдет из строя, равна 1 − 0,2 = 0,8.

Так как датчики независимы, вероятность того, что оба выйдут из строя, равна произведению вероятностей:

0,2 · 0,2 = 0,04.

3) Переходим к искомому событию.
Вероятность события «хотя бы один не выйдет из строя» равна:

1 − 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96.

Почему нельзя просто сложить 0,8 + 0,8?
Это частая ошибка. События «первый датчик не вышел из строя» и «второй датчик не вышел из строя» могут происходить одновременно, поэтому простое сложение даёт двойной счёт. В таких задачах безопаснее использовать формулу через противоположное событие:

Р(хотя бы один успех) = 1 − Р(ни одного успеха).

Для двух независимых объектов это особенно удобно: если вероятность неблагоприятного исхода для одного объекта равна p, то вероятность того, что оба столкнутся с неблагоприятным исходом, равна p², а искомая вероятность равна 1 − p².

Проверка здравым смыслом: вероятность того, что хотя бы один из двух независимых объектов избежит отказа, должна быть близка к 1, потому что отказ каждого — сравнительно редкое событие (0,2). Полученное значение 0,96 выглядит разумно.

Искомое событие сформулировано словами «хотя бы один не выйдет из строя». Для таких задач в ЕГЭ по вероятности почти всегда удобно идти через противоположное событие: вместо прямого подсчёта легче найти вероятность события, которое этому мешает.

1. Что является противоположным событием?
Событие «хотя бы один датчик не выйдет из строя» противоположно событию «оба датчика выйдут из строя». Это очень важный момент: не «ни один не выйдет из строя», а именно «оба выйдут из строя», потому что если хотя бы один исправен, то требуемое событие уже произошло.

2. Находим вероятность противоположного события.
Вероятность выхода из строя одного датчика равна 0,3. Значит, вероятность того, что один датчик не выйдет из строя, равна 1 − 0,3 = 0,7.

Так как датчики работают независимо, вероятность того, что оба выйдут из строя, равна произведению вероятностей:

P(оба выйдут из строя) = 0,3 · 0,3 = 0,09.

3. Переходим к искомой вероятности.
Используем формулу дополнения:

P(хотя бы один не выйдет из строя) = 1 − P(оба выйдут из строя) = 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Почему так делать правильно?
Прямая схема дала бы несколько случаев: первый исправен, второй сломан; первый сломан, второй исправен; оба исправны. Это тоже можно считать, но в таких задачах легче не складывать несколько событий, а взять противоположное. На ЕГЭ это экономит время и уменьшает риск ошибки.

Типичные ошибки:

• путают событие «хотя бы один не выйдет из строя» с «оба не выйдут из строя»;
• забывают про независимость и неверно складывают вероятности вместо умножения;
• ошибочно считают 1 − 2·0,3, хотя это не работает для события «хотя бы один» в общем случае;
• не переходят к противоположному событию, хотя именно оно здесь самое простое.

Проверка здравого смысла: если вероятность поломки одного датчика 0,3, то вероятность того, что оба сломаются, мала — 0,09. Тогда вероятность того, что хотя бы один уцелеет, должна быть большой, около 0,9. Полученный ответ 0,91 выглядит разумно.

Искомое событие — «хотя бы один попал». В задачах такого типа почти всегда удобнее идти не напрямую через сумму вероятностей, а через противоположное событие: «не попал ни один».

Почему это удобно? Потому что событие «хотя бы один» состоит из нескольких случаев: попал только первый, попал только второй, попали оба. Складывать такие случаи можно, но легко ошибиться и забыть про пересечения. А противоположное событие всего одно: оба промахнулись.

Обозначим:

• первый попал с вероятностью 0,7, значит промахнулся с вероятностью 1 − 0,7 = 0,3;
• второй попал с вероятностью 0,6, значит промахнулся с вероятностью 1 − 0,6 = 0,4.

Так как выстрелы независимы, вероятность того, что оба промахнутся, равна произведению вероятностей промахов:

P(ни один не попадёт) = 0,3 · 0,4 = 0,12.

Тогда вероятность того, что хотя бы один попадёт, равна:

P(хотя бы один) = 1 − 0,12 = 0,88.

Ответ: 0,88.

Как проверять себя на ЕГЭ:

• если спрашивают «хотя бы один», почти всегда полезно рассмотреть противоположное событие;
• для противоположного события у независимых испытаний вероятности перемножаются;
• нельзя складывать 0,7 и 0,6 напрямую: это дало бы 1,3, что невозможно для вероятности;
• нельзя путать событие «хотя бы один» с «ровно один»: это разные задачи.

Полезная общая формула для двух независимых событий A и B:

P(A ∪ B) = 1 − P(Ā)·P(B̄).

Здесь A — попадание первого стрелка, B — попадание второго стрелка.