Теоретические основы простейших уравнений: задания с ответами

Нужно выбрать верную формулу для квадрата разности. Здесь важно не просто вспомнить запись, а понимать, почему в середине появляется именно отрицательный удвоенный член.

Если раскрыть скобки по правилу умножения многочленов, то

(a - b)^2 = (a - b)(a - b).

Перемножим члены поочерёдно:

a·a = a^2,   a·(-b) = -ab,   (-b)·a = -ab,   (-b)·(-b) = b^2.

Складываем полученные слагаемые:

a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Именно поэтому формула квадрата разности выглядит так: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Частая ошибка на ЕГЭ — перепутать её с квадратом суммы: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Отличие только в знаке среднего члена, но именно этот знак принципиален. Ещё одна типичная ошибка — забыть коэффициент 2 у произведения ab. Его нельзя пропускать, потому что в раскрытии скобок появляются два одинаковых смешанных произведения: -ab и -ab.

Поэтому правильный ответ — вариант, где записано (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Для уравнения вида x² + bx + c = 0 коэффициент при x² равен 1, поэтому это приведённое квадратное уравнение. Для него дискриминант вычисляется по формуле D = b² - 4c. Это частный случай общей формулы D = B² - 4AC для уравнения Ax² + Bx + C = 0, где здесь A = 1, B = b, C = c.

Дальше знак дискриминанта определяет число действительных корней:

• если D < 0, то действительных корней нет;
• если D = 0, то есть один корень: x = -b/2;
• если D > 0, то два корня: x = (-b ± √D)/2.

Именно эти формулы и отличают приведённое квадратное уравнение от неприведённого. Частая ошибка на ЕГЭ — по привычке писать в знаменателе 2a, хотя здесь a = 1, поэтому знаменатель превращается просто в 2. Ещё одна типичная ловушка — забыть, что при D = 0 корень только один, а не два совпадающих в явной записи ответа.

Следовательно, верное утверждение — то, которое говорит о формуле дискриминанта D = b² - 4c и о распределении корней по знаку D.

Правильным является свойство логарифма произведения:

log_a(xy) = log_ax + log_ay,

где a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0. Это одно из базовых тождеств логарифмов, которое напрямую следует из определения логарифма и свойств степеней: если log_ax = u и log_ay = v, то x = a^u, y = a^v, а значит xy = a^u+v, откуда log_a(xy) = u+v.

Очень важно не путать это свойство с ошибочными формулами. Например, log_a(x+y) ≠ log_ax + log_ay вообще говоря. Это одна из самых частых ошибок: логарифм не распределяется по сложению так, как умножение распределяется по сложению в алгебре. Также неверно писать log_a(xy) = log_ax · log_ay — произведение логарифмов не является стандартным свойством.

Ещё одна типичная ловушка — забывать об области допустимых значений. Формулы с логарифмами можно применять только тогда, когда все аргументы положительны и основание удовлетворяет условиям a > 0 и a ≠ 1. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, запись теряет смысл. На ЕГЭ это важно не только в теоретических вопросах, но и при преобразовании уравнений: неправильное применение свойства может привести к лишним корням или к потере решения.

Как быстро самопровериться на экзамене? Если видите log от произведения, частного или степени, вспоминайте три базовых правила:

1) Произведение: log_a(xy) = log_ax + log_ay;

2) Частное: log_a(x/y) = log_ax - log_ay;

3) Степень: log_a(xⁿ) = n log_ax при x > 0.

Если в вариантах ответа есть формула с суммой внутри логарифма, с произведением логарифмов или с нарушением условий на основание, это почти наверняка ловушка. В данной задаче верна именно формула для логарифма произведения при указанных условиях.

Проверим каждое утверждение с точки зрения основных свойств логарифмов и условий их применимости. В логарифмах очень важно не только помнить формулу, но и уметь быстро отсеивать записи, которые нарушают область допустимых значений или путают разные свойства.

Верное свойство: для любых положительных чисел x и y и основания a, где a > 0, a ≠ 1, выполняется

log_a(xy) = log_ax + log_ay.

Это свойство следует из определения логарифма и правил степеней: если log_ax = u и log_ay = v, то x = a^u, y = a^v, а значит xy = a^ua^v = a^u+v. Следовательно, log_a(xy) = u+v = log_ax + log_ay.

Почему это важно для ЕГЭ: именно это свойство часто используют при упрощении уравнений и переходе от суммы логарифмов к одному логарифму. Но здесь есть типичная ловушка: логарифм произведения не равен логарифму суммы. Запись вида log_a(x+y) вообще нельзя раскрыть как сумму логарифмов.

Типичные ошибки:

• log_a(x+y) = log_ax + log_ay — неверно. Это самая распространённая ошибка.
• log_a(xy) = log_ax · log_ay — неверно, потому что логарифмы не перемножаются так же, как степени.
• log_ax = log_xa — неверно; на самом деле log_ax = 1 / log_xa, если обе величины определены.

Как быстро проверять формулу на экзамене:

1. Сначала смотрите, что стоит под знаком логарифма: произведение, частное, степень или сумма.
2. Потом вспоминайте соответствующее свойство: произведение превращается в сумму, частное — в разность, степень — в множитель перед логарифмом.
3. Обязательно проверяйте условия: аргумент логарифма должен быть положительным, основание — положительным и не равным 1.

Итак, правильным является именно утверждение о логарифме произведения: log_a(xy) = log_ax + log_ay при x > 0, y > 0, a > 0, a ≠ 1.

Проверяем именно свойство логарифма, а не какое-то частное вычисление. Для логарифмов важно не только само равенство, но и условия применимости: основание должно быть положительным и не равным 1, а аргумент логарифма — положительным. Это типичная ловушка в заданиях ЕГЭ: формула может выглядеть знакомо, но быть записана с ошибкой в операции или в области допустимых значений.

Ключевое базовое свойство логарифмов для произведения такое:

log_a(xy) = log_ax + log_ay, где a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0.

Почему это верно? Обозначим u = log_ax и v = log_ay. Тогда по определению логарифма x = a^u и y = a^v. Перемножаем:

xy = a^u · a^v = a^u+v.

Значит, log_a(xy) = u + v = log_ax + log_ay.

Теперь посмотрим на типичные ошибки, которые часто встречаются в неправильных вариантах ответа:

• log_a(x + y) = log_ax + log_ay — неверно. Логарифм не распределяется по сумме. Это одна из самых частых ошибок.
• log_a(xy) = log_ax · log_ay — неверно. Произведение внутри логарифма превращается в сумму, а не в произведение логарифмов.
• log_a(x/y) = log_ax + log_ay — неверно. Для частного знак должен быть минус: log_a(x/y) = log_ax - log_ay.

На ЕГЭ полезно всегда делать быстрый самопроверочный шаг: если внутри логарифма стоит произведение, результат должен содержать сумму; если стоит частное, — разность. Если же в варианте ответа сумма аргументов превращается в логарифм произведения или нарушены условия x > 0, y > 0, такой вариант нужно сразу исключать.

Следовательно, правильное утверждение — это вариант с формулой log_a(xy) = log_ax + log_ay.

Нужно выбрать верное свойство логарифма, а не просто похожую формулу. В теме логарифмов самые частые ошибки связаны с тем, что учащиеся смешивают свойства логарифма произведения, частного и суммы, а также забывают про область допустимых значений.

Правильное базовое свойство такое: если основание логарифма одинаковое и оно допустимо, то логарифм произведения раскладывается в сумму логарифмов:

log_a(xy) = log_ax + log_ay, где a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0.

Это следует из определения логарифма. Пусть log_ax = m и log_ay = n. Тогда по определению x = a^m, y = aⁿ. Перемножая, получаем xy = a^m·aⁿ = a^m+n. Значит, число m+n — это именно логарифм произведения xy по основанию a, то есть log_a(xy) = m+n.

Важно понимать, почему нельзя писать похожие, но неверные формулы:

• log_a(x+y) = log_ax + log_ay — неверно. Логарифм не распределяется по сложению. Это одна из самых частых ловушек на ЕГЭ.
• log_a(x/y) = log_ax / log_ay — неверно. Для частного верно другое свойство: log_a(x/y) = log_ax - log_ay.
• log_ax = log_xa — неверно. При перестановке основания и аргумента значение вообще меняется; правильно использовать формулу перехода к новому основанию, а не «переворачивать» логарифм.

При подготовке к экзамену полезно проверять каждую формулу по трём вопросам:

1. Одинаково ли основание логарифмов?
2. Это произведение, частное или сумма внутри логарифма?
3. Выполнены ли условия a > 0, a ≠ 1 и положительность аргументов?

Если хотя бы одно из условий нарушено, формула может стать бессмысленной. Например, логарифм отрицательного числа в школьной области определения не рассматривается.

Итог: верным является свойство логарифма произведения: log_a(xy) = log_ax + log_ay при допустимых значениях переменных.

Правильный ответ — A. Это одно из основных тождеств логарифмов: при a>0, a\neq 1, x>0, y>0 выполняется

\(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\).

Почему это верно? По определению логарифма \(\log_a x=u\) означает, что \(a^u=x\). Аналогично \(\log_a y=v\), значит \(a^v=y\). Тогда

\(xy=a^u\cdot a^v=a^{u+v}\),

а значит, \(\log_a(xy)=u+v=\log_a x+\log_a y\).

Важно понимать, что логарифм «раскладывает» произведение в сумму, но не делает это с суммой. Поэтому вариант B неверен: вообще говоря, \(\log_a(x+y)\neq\log_a x+\log_a y\). Это частая ловушка в ЕГЭ: свойства логарифма похожи на свойства степеней, но применяются только к произведению и частному, а не к сложению внутри аргумента.

Вариант C тоже неверен: для частного верная формула такая — \(\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\). Знак меняется на минус, потому что деление степеней с одинаковым основанием соответствует вычитанию показателей.

Вариант D также ошибочен по двум причинам. Во-первых, для степени должно быть \(\log_a(x^y)=y\log_a x\), а не \(y\log_y x\). Во-вторых, основание логарифма в правой части не может внезапно стать \(y\): основание фиксируется и должно оставаться тем же, что и слева. Кроме того, для записи \(\log_y x\) потребовалось бы ещё условие \(y>0\), \(y\neq 1\), которого в общем случае нет.

Как действовать на экзамене? Сначала проверьте три вещи: 1) одинаково ли основание логарифма в формуле; 2) нет ли подмены произведения суммой; 3) соблюдены ли условия применимости — аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание положительным и не равным 1. Если формула нарушает хотя бы одно из этих правил, она не является корректным свойством.

Правильный ответ: если D = b² - 4c > 0, то у уравнения два различных действительных корня, и они находятся по формуле x = (-b ± √D) / 2.

Это правило относится именно к приведённому квадратному уравнению, то есть к уравнению, где коэффициент при x² равен 1. Важно не путать его с общим видом ax² + bx + c = 0, где дискриминант равен D = b² - 4ac, а формула корней выглядит иначе: x = (-b ± √D) / 2a.

Почему здесь появляется именно D = b² - 4c? Потому что в приведённом уравнении старший коэффициент равен 1, и при подстановке в общую формулу дискриминанта фактор a исчезает: b² - 4·1·c = b² - 4c. Это очень частая теоретическая точка, на которой ошибаются: ученики по привычке пишут b² - 4ac даже тогда, когда уравнение уже приведённое.

Разберём смысл трёх случаев:

• D < 0 — подкоренное выражение отрицательно, значит, действительных корней нет;
• D = 0 — корень один, он двойной: x = -b / 2;
• D > 0 — два различных действительных корня: x_1,2 = (-b ± √D) / 2.

Обратите внимание на важный нюанс: при D = 0 формула с ± формально тоже даёт два одинаковых значения, но в теории говорят не о двух разных корнях, а об одном корне кратности 2. На экзамене важно именно это различать.

Типичные ловушки в таких заданиях:

1. путают формулы для приведённого и неприведённого уравнения;
2. неправильно связывают знак дискриминанта с количеством корней;
3. забывают, что при D = 0 корень один, а не два различных;
4. подставляют вместо c произведение ac, хотя a = 1.

Хорошая самопроверка: сначала определите, уравнение приведённое или нет; затем запишите дискриминант; после этого сразу сопоставьте знак D с числом корней. Такой порядок действий помогает избежать механических ошибок и быстро проверить теоретическое утверждение в заданиях ЕГЭ профильного уровня.

Используем по шагам основные свойства степеней с целыми показателями.

1. Возведение степени в степень. Для любого ненулевого основания a и целых показателей m, n верно:

(a^m)ⁿ = a^mn.

Здесь основание равно 2, а показатели — 3 и −2, значит

(2³)^-2 = 2^3·(-2) = 2^-6.

2. Умножение степеней с одинаковым основанием. Для ненулевого a:

a^m · aⁿ = a^m+n.

Теперь выражение становится:

2^-6 · 2⁵ = 2^-6+5 = 2^-1.

Ответ: 2^-1.

Почему важно не ошибиться: очень частая ошибка — сначала сложить показатели внутри первой степени, то есть написать (2³)^-2 = 2^3-2, что неверно. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а не складываются и не вычитаются. Ещё одна типичная ловушка — забыть, что отрицательный показатель означает обратное число: 2^-1 = 1/2. Для самопроверки можно переписать промежуточный результат через дробь: 2^-6 · 2⁵ = 1/2⁶ · 2⁵ = 1/2. Это совпадает с 2^-1, значит преобразование выполнено верно.

Нужно выбрать именно правильное свойство логарифма, а не похожую на него формулу. Для логарифмов в школьном курсе ЕГЭ важно помнить не только саму запись, но и условия применимости: основание a должно быть положительным и не равным 1, а аргументы логарифмов должны быть положительными.

Рассмотрим ключевое свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов при одинаковом основании:

log_a(xy) = log_ax + log_ay, при a>0, a≠1, x>0, y>0.

Это свойство следует из определения логарифма. Если log_ax = u и log_ay = v, то по определению x = a^u и y = a^v. Тогда xy = a^ua^v = a^u+v, значит log_a(xy) = u+v = log_ax + log_ay.

Очень частая ошибка на ЕГЭ — перепутать это с неверной формулой log_a(x+y) = log_ax + log_ay. Такая запись неверна: логарифм не распределяется по сумме, в отличие от умножения. Ещё одна типичная ошибка — забыть про область определения: например, формулы с логарифмами нельзя применять, если какой-то аргумент неположителен.

Также полезно помнить связанные свойства:

• log_a(x/y) = log_ax - log_ay;
• log_a(xⁿ) = n·log_ax при x>0;
• log_aa = 1 и log_a1 = 0.

В задачах на простейшие уравнения именно такие тождества помогают сводить логарифмические выражения к более простому виду. Поэтому при выборе ответа нужно проверять две вещи: совпадает ли формула со стандартным свойством и выполнены ли условия на основания и аргументы.

Верный ответ: log_a(xy) = log_ax + log_ay.

Нужно вспомнить формулу квадрата разности:

(a-b)² = a² - 2ab + b².

Её удобно получать не только на память, но и через раскрытие скобок по распределительному закону:

(a-b)² = (a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

Ключевой момент: средний член всегда имеет знак «минус», потому что произведения дают два одинаковых отрицательных слагаемых: -ab и -ab. Именно здесь чаще всего ошибаются, путая квадрат разности с квадратом суммы.

Для сравнения:

(a+b)² = a² + 2ab + b²,

а значит при замене «+» на «-» меняется только знак среднего члена, но не коэффициент 2 и не знаки квадратов.

Это важно и для простейших уравнений: если уравнение содержит квадрат выражения, его часто сначала приводят к стандартной формуле, чтобы упростить запись и затем решать как обычное алгебраическое уравнение. Проверка себя простая: если раскрыть скобки вручную, должно получиться три слагаемых — квадрат первого, удвоенное произведение с нужным знаком и квадрат второго.