Уравнения и системы с параметром: модули, логарифмы и графический метод: задания с ответами

Рассмотрим уравнение

|x-2| + \sqrt{a-x} = 1.

Нужно найти такие значения параметра a, при которых у него ровно два различных действительных решения. В задачах на число корней с модулем и корнем сначала всегда важно аккуратно выделить область допустимых значений, а уже потом анализировать количество пересечений графиков или случаев.

1. Область допустимых значений

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем

a-x \ge 0, то есть x \le a.

Кроме того, левая часть уравнения — сумма двух неотрицательных выражений, значит она не может быть меньше нуля. Правая часть равна 1, поэтому решения возможны только тогда, когда сумма действительно может быть равна 1.

2. Ключевая идея: сумма двух неотрицательных слагаемых равна 1

Обозначим

u = |x-2|, \quad v = \sqrt{a-x}.

Тогда уравнение имеет вид

u+v=1, \quad u\ge 0,\ v\ge 0.

Это очень полезная форма: раз сумма двух неотрицательных чисел равна 1, то каждое из них не превосходит 1. Значит

|x-2| \le 1, \quad \sqrt{a-x} \le 1.

Из первого неравенства

1 \le x \le 3.

Из второго

a-x \le 1, то есть x \ge a-1.

С учётом ОДЗ имеем

\max(1, a-1) \le x \le \min(3, a).

Но для точного подсчёта корней удобнее не только ограничиться этим, а раскрыть модуль по случаям.

3. Разбиение по знаку выражения под модулем

Модуль меняется в точке x=2.

Случай A: x \ge 2

Тогда |x-2| = x-2, и уравнение становится

x-2 + \sqrt{a-x} = 1,

то есть

x + \sqrt{a-x} = 3.

Обозначим t = \sqrt{a-x} \ge 0. Тогда x = a - t^2, и получаем

a - t^2 + t = 3,

или

t^2 - t + (3-a)=0.

Это квадратное уравнение относительно t. Его дискриминант

D = 1 - 4(3-a)=4a-11.

Чтобы были действительные t, нужно

a \ge \tfrac{11}{4}.

Но кроме этого, t должен удовлетворять условиям, вытекающим из x \ge 2 и x=a-t^2.

При разумном графическом взгляде проще заметить следующее: на полуоси x \ge 2 функция

f(x)=x-2+\sqrt{a-x}

не возрастает слишком просто, но количество решений в этом случае можно контролировать через вершину по t. Однако здесь есть более элегантный путь.

Случай B: x \le 2

Тогда |x-2| = 2-x, и уравнение даёт

2-x + \sqrt{a-x}=1,

то есть

\sqrt{a-x} = x-1.

Правая часть должна быть неотрицательной, значит x \ge 1. Итак, в этом случае решения возможны только при

1 \le x \le 2.

Теперь возведём в квадрат:

a-x = (x-1)^2.

Получаем квадратное уравнение

x^2 - x + 1 - a = 0.

Его корни

x = \frac{1 \pm \sqrt{4a-3}}{2}.

Чтобы были действительные корни, необходимо

4a-3 \ge 0, \quad a \ge \tfrac{3}{4}.

Теперь проверим, какие из этих корней действительно лежат в отрезке [1,2].

Для корня с минусом

x_1 = \frac{1 - \sqrt{4a-3}}{2} \le \frac12,

то есть он не подходит, потому что должен быть не меньше 1.

Для корня с плюсом

x_2 = \frac{1 + \sqrt{4a-3}}{2},

и условие x_2 \le 2 даёт

\sqrt{4a-3} \le 3, \quad a \le 3.

Значит в случае x \le 2 имеется ровно один кандидат на решение, если

\tfrac{3}{4} \le a \le 3.

4. Сколько корней всего?

Нам нужно ровно два различных корня.

Из анализа видно, что решение из области x \le 2 может быть только одно. Чтобы получить второй корень, он должен возникнуть из области x \ge 2.

Проверим, при каких a это происходит.

На отрезке x \ge 2 уравнение

x-2 + \sqrt{a-x} = 1

эквивалентно

x + \sqrt{a-x} = 3.

Положим снова t = \sqrt{a-x} \ge 0. Тогда

x = a - t^2,

и получаем

a - t^2 + t = 3.

Это означает

t^2 - t + (3-a)=0.

Чтобы были два различных значения t, нужно

D=4a-11>0,

то есть

a>\tfrac{11}{4}.

Однако для того, чтобы соответствующие x лежали в области x \ge 2 и x \le a, достаточно проверить предельные значения. При a=3 из случая x \le 2 получается единственный корень x=2, а из случая x \ge 2 второй корень появляется как x=3? Проверим напрямую: при a=3 уравнение

|x-2|+\sqrt{3-x}=1

даёт решение x=2, но второе решение отсутствует, значит a=3 не подходит.

Теперь посмотрим, когда вообще возможны два разных корня. Для этого графический смысл особенно полезен: функция

F(x)=|x-2|+\sqrt{a-x}

на своей области определения может пересекать горизонталь y=1 максимум в двух точках. Одна точка появляется на левой ветви при x\le 2, вторая — на правой при x\ge 2. Две точки получаются тогда и только тогда, когда вершина/излом в x=2 лежит ниже уровня 1, а на концах области значения по разные стороны от 1. В точке x=2 имеем

F(2)=\sqrt{a-2}.

Чтобы график пересекал y=1 в двух точках, нужно, чтобы в точке излома значение было строго меньше 1, то есть

\sqrt{a-2} < 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a < 3.

С другой стороны, если a<2, то точка x=2 вообще не принадлежит области определения. Тогда из-за условия x\le a<2 остается только левая ветвь, и двух корней быть не может. Значит необходимо

a\ge 2.

Совмещая получаем диапазон

2 \le a < 3.

Проверим границы:

• при a=2 уравнение становится |x-2|+\sqrt{2-x}=1, и действительно получается два корня: x=1 и x=2;
• при a=3 второй корень исчезает, остаётся не более одного.

Ответ:

2 \le a < 3.

Типичная ошибка: многие сначала возводят уравнение в квадрат, а потом забывают проверить, что найденные корни удовлетворяют исходному уравнению и области допустимых значений. В задачах с модулем и корнем это особенно опасно: квадрат может добавить лишние решения. Поэтому сначала удобно выделить геометрию/ОДЗ, а потом обязательно делать проверку на концах и в точках смены формулы.

Рассмотрим функцию

f(x)=|x-1|+|x+2|.

Нужно понять, при каких значениях a уравнение f(x)=a имеет ровно три различных корня. Это типичная задача на анализ графика функции с модулями: вместо прямого «решить уравнение» удобнее понять форму графика и горизонтальных уровней.

1. Найдём вид функции по промежуткам.

Точки смены знака под модулями — это x=-2 и x=1. Поэтому разбиваем числовую прямую на три промежутка.

Если x≤-2, то оба выражения внутри модулей отрицательны:

|x-1|=1-x,   |x+2|=-(x+2)=-x-2,

значит

f(x)=1-x-x-2=-2x-1.

Это прямая с угловым коэффициентом -2.

Если -2≤x≤1, то x+2≥0, а x-1≤0, поэтому

|x-1|=1-x,   |x+2|=x+2,

и тогда

f(x)=(1-x)+(x+2)=3.

То есть на отрезке [-2,1] функция постоянна и равна 3.

Если x≥1, то оба выражения неотрицательны, и

f(x)=x-1+x+2=2x+1.

Итак, график функции имеет «плато»: на отрезке [-2,1] значение постоянно и равно 3, а вне этого отрезка функция линейно возрастает при удалении от середины. Геометрически это сумма расстояний от точки x до точек -2 и 1, поэтому минимальное значение достигается на всем промежутке между этими точками и равно расстоянию между ними: 3.

2. Когда уравнение f(x)=a имеет три корня?

Рассмотрим возможные случаи:

• a<3. Тогда решений нет, потому что f(x)≥3 для всех x.

• a=3. Тогда все точки x∈[-2,1] являются решениями, а это бесконечно много корней, не три.

• a>3. Горизонтальная прямая y=a пересекает левую возрастающую ветвь один раз и правую возрастающую ветвь один раз. На плато y=3 пересечения уже нет, потому что a>3. Значит, ровно 2 корня.

Следовательно, значения параметра, при которых корней ровно три, не существует.

3. Почему это важно в ЕГЭ.

В задачах с модулями часто ошибаются в двух местах:

1) забывают, что на промежутке между точками смены знака функция может стать постоянной;

2) путают число корней при уровне, совпадающем с минимумом. Здесь именно a=3 даёт не три, а бесконечно много решений.

Поэтому ответ удобно проверять так: сначала найти минимальное значение функции, затем посмотреть, есть ли «плато». Если плато есть, то уровень минимума почти всегда даёт бесконечно много корней, а уровень выше минимума — обычно чётное число корней, если внешние ветви симметричны по смыслу.

Ответ: таких значений параметра нет.

Рассмотрим уравнение

|x^2 - 4x + 3| = a.

Здесь важно помнить две базовые идеи для задач ЕГЭ с модулем:

1. левая часть с модулем всегда неотрицательна, значит a ≥ 0;
2. число корней удобнее считать либо по разбиению на случаи, либо графически, сравнивая график параболы с горизонтальной прямой y = a.

Разберёмся аналитически. Сначала преобразуем квадратный трёхчлен:

x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3).

Нули выражения внутри модуля: x = 1 и x = 3. Значит график y = x^2 - 4x + 3 — парабола, пересекающая ось x в точках 1 и 3 и ветвями вверх. Между корнями она отрицательна, вне этого промежутка — положительна.

Уравнение |x^2 - 4x + 3| = a равносильно системе из двух уравнений:

x^2 - 4x + 3 = a

или

x^2 - 4x + 3 = -a.

То есть нужно посчитать, сколько решений дают оба уравнения и затем сложить, не забывая про возможные совпадения. Но удобнее использовать графическую интерпретацию.

График функции y = |x^2 - 4x + 3| состоит из двух «лепестков»:

• на участках x ≤ 1 и x ≥ 3 он совпадает с параболой y = x^2 - 4x + 3;
• на отрезке 1 ≤ x ≤ 3 он отражён вверх и равен -(x^2 - 4x + 3).

Минимум функции |x^2 - 4x + 3| равен 0 и достигается в точках x = 1 и x = 3. Между ними функция возрастает до вершины отражённой параболы, а затем снова убывает к нулю на концах и далее растёт.

Теперь исследуем число пересечений с горизонталью y = a:

• Если a = 0, то уравнение |x^2 - 4x + 3| = 0 имеет ровно 2 корня: x = 1 и x = 3.
• Если 0 < a < 1, горизонталь пересекает график в 4 точках: по две на каждом «лепестке».
• Если a = 1, горизонталь проходит через вершину внутренней части графика, и одно из пересечений становится касанием. В итоге получается 3 различных корня.
• Если a > 1, горизонталь снова даёт 2 различных корня, потому что она лежит выше внутренней вершины и пересекает только внешние ветви.

Почему при a = 1 получается именно 3 корня? Проверим явно:

|x^2 - 4x + 3| = 1

равносильно двум уравнениям:

x^2 - 4x + 3 = 1 → x^2 - 4x + 2 = 0,

x^2 - 4x + 3 = -1 → x^2 - 4x + 4 = 0.

Первое даёт два корня: x = 2 ± √2. Второе даёт один корень x = 2 (двукратный, но как различный корень он один). Итого 3 различных корня.

Теперь нужно условие меньше трёх различных корней. Это выполняется при:

• a = 0 — 2 корня;
• a > 1 — 2 корня.

При 0 < a < 1 корней 4, что не подходит. При a = 1 корней 3, а это тоже не подходит, потому что требуется строго меньше трёх.

Следовательно, ответ:

a = 0 или a > 1.

Типичная ошибка в таких задачах — забыть отдельно проверить граничные значения a = 0 и a = 1. Ещё одна частая ловушка — считать кратный корень дважды. В ЕГЭ под «числом различных корней» понимают именно число разных значений x, а не кратности.

Рассмотрим уравнение

|x - 2| = a x - 1.

Требуется найти такие значения параметра a, при которых число различных действительных корней меньше двух, то есть равно 0 или 1.

1. Геометрический смысл

Левая часть — это график функции y = |x - 2|, то есть V-образная ломаная с вершиной в точке (2, 0). Правая часть — прямая y = ax - 1. Количество решений уравнения равно числу точек пересечения этих графиков.

Поэтому задача сводится к исследованию числа пересечений прямой и V-образного графика в зависимости от наклона прямой.

2. Алгебраическое решение по случаям

Раскроем модуль:

|x - 2| =
{ 2 - x, если x < 2;
x - 2, если x ≥ 2. }

Случай 1: x ≥ 2

Тогда уравнение принимает вид

x - 2 = a x - 1.

Переносим:

(1 - a)x = 1.

Если a ≠ 1, то

x = 1 / (1 - a).

Но это решение должно удовлетворять условию x ≥ 2. Значит

1 / (1 - a) ≥ 2.

Решим неравенство внимательно, разбивая по знаку знаменателя:

или 1 - a > 0, тогда

1 ≥ 2(1 - a) ⇒ 1 ≥ 2 - 2a ⇒ 2a ≥ 1 ⇒ a ≥ 1/2,

и вместе с 1 - a > 0 получаем a < 1. Итак, в этом подслучае: 1/2 ≤ a < 1.

Или 1 - a < 0, тогда при умножении знак меняется:

1 ≤ 2(1 - a).

Но правая часть при a > 1 отрицательна или равна нулю, поэтому это невозможно. Значит, решений при a > 1 здесь нет.

Также при a = 1 имеем уравнение x - 2 = x - 1, что невозможно.

Итак, в области x ≥ 2 решение существует тогда и только тогда, когда 1/2 ≤ a < 1. При этом оно ровно одно.

Случай 2: x < 2

Тогда

2 - x = a x - 1.

Получаем

3 = (a + 1)x.

Если a ≠ -1, то

x = 3 / (a + 1).

Теперь нужно, чтобы x < 2, то есть

3 / (a + 1) < 2.

Решаем неравенство аккуратно.

Если a + 1 > 0, то

3 < 2a + 2 ⇒ a > 1/2.

С учетом a + 1 > 0 это просто a > 1/2.

Если a + 1 < 0, то знак меняется:

3 > 2a + 2 ⇒ a < 1/2.

Но при a + 1 < 0 это условие уже автоматически выполнено. Следовательно, в данном случае решение существует при всех a < 1/2.

Проверим особые значения:

при a = -1 получаем 2 - x = -x - 1, то есть 2 = -1, невозможно, значит решений нет;

при a = 1/2 получаем x = 2, но это не подходит для случая x < 2. Значит при a = 1/2 здесь решения нет.

Итак, в области x < 2 решение существует при a < 1/2, и оно ровно одно.

3. Подсчет числа различных корней

Теперь соберем результаты:

• при a < 1/2 есть ровно одно решение;
• при a = 1/2 решений нет;
• при 1/2 < a < 1 есть два решения: одно в области x < 2, другое в области x ≥ 2;
• при a ≥ 1 решений нет или одно нужно проверить отдельно.

Проверим a = 1: уравнение становится

|x - 2| = x - 1.

Для x ≥ 2: x - 2 = x - 1 — невозможно.

Для x < 2: 2 - x = x - 1, откуда 2x = 3, то есть x = 3/2, и это действительно меньше 2. Значит при a = 1 ровно одно решение.

Теперь a > 1: из первого случая решений нет, а во втором случае

x = 3/(a+1).

Так как a + 1 > 2, то x = 3/(a+1) < 3/2 < 2. Значит здесь всегда есть ровно одно решение.

Итак, число различных действительных корней меньше двух при всех a, кроме интервала 1/2 < a < 1, где корней два.

Ответ: a ≤ 1/2 или a ≥ 1.

4. Почему здесь легко ошибиться

Частая ошибка — найти корень формально и забыть проверить, удовлетворяет ли он области случая: например, при x < 2 нельзя оставить корень x = 2. Вторая типичная ошибка — посчитать, что одинаковые значения на границе автоматически дают два решения. На самом деле при a = 1/2 оба алгебраических выражения приводят к точке x = 2, но она принадлежит только случаю x ≥ 2, поэтому решений не два, а одно или ноль в зависимости от проверки. В задачах с модулем всегда нужно делать не только преобразование, но и обязательную проверку на принадлежность промежутку для каждого найденного корня.

Рассмотрим систему геометрически. Первое уравнение задаёт график функции

\(y=\dfrac{|x^2-4x|}{2}\).

Это не одна парабола, а две ветви, потому что модуль меняет знак выражения \(x^2-4x=x(x-4)\) на промежутке между корнями \(0\) и \(4\). Поэтому полезно сначала записать функцию покусково:

\(y=\dfrac{x^2-4x}{2}\), если \(x\le 0\) или \(x\ge 4\),

\(y=\dfrac{-x^2+4x}{2}\), если \(0\le x\le 4\).

Второе уравнение задаёт семейство прямых

\(y=a(x-2)+3\).

Значит, надо найти, при каких \(a\) прямая пересекает график ровно в двух точках.

1) Пересечения с внутренней дугой \(y=\dfrac{-x^2+4x}{2}\) на \([0,4]\).

Подставим:

\(\dfrac{-x^2+4x}{2}=a(x-2)+3\).

Умножим на 2 и перенесём всё в одну сторону:

\(-x^2+4x=2ax-4a+6\),

\(x^2+(2a-4)x+(6-4a)=0\).

Это квадратное уравнение. Его дискриминант:

\(D=(2a-4)^2-4(6-4a)=4(a-1)(a+1)\).

Следовательно, для действительных корней нужно \(a\le -1\) или \(a\ge 1\). Но нам важно не просто наличие корней, а количество корней на отрезке \([0,4]\), потому что именно там описана внутренняя ветвь.

Удобнее заметить, что прямая должна пересечь вогнутую параболу максимум в двух точках, а на границе \(x=0\) и \(x=4\) значение функции равно 0. Тогда часто возникают граничные случаи, где одна из точек пересечения “прилипает” к концу отрезка.

Проверим важные точки: при \(x=0\) имеем на графике \(y=0\), а на прямой \(y=-2a+3\). Равенство даёт \(a=\dfrac32\). При \(x=4\) на графике тоже \(y=0\), а на прямой \(y=2a+3\), откуда \(a=-\dfrac32\).

Это значит, что при \(a=\pm\dfrac32\) прямая проходит через один из концов дуги. Чтобы получить ровно две точки пересечения всей системы, нужно, чтобы к этой граничной точке добавилась ещё одна точка пересечения с другой ветвью.

2) Пересечения с внешними ветвями.

Рассмотрим, например, левую ветвь \(y=\dfrac{x^2-4x}{2}\) при \(x\le 0\). После подстановки получаем ту же квадратную зависимость, но теперь нужно учитывать только корни \(x\le 0\). Аналогично справа — корни \(x\ge 4\).

Уравнение после упрощения:

\(x^2+(2a-4)x+(6-4a)=0\).

Его корни можно найти по Виету. Заметим, что при \(x=2\) левая часть равна \(4+4a-8+6-4a=2\), то есть вершина расположена не на оси симметрии пересечений, поэтому удобно искать специальные значения параметра, когда один из корней совпадает с границей \(0\) или \(4\).

Подставляя \(x=0\), получаем \(6-4a=0\), то есть \(a=\dfrac32\). Тогда вторым корнем будет \(x=4-2a=1\) по сумме корней, и он лежит в промежутке \([0,4]\). Значит, при \(a=\dfrac32\) есть ровно две точки пересечения: одна в точке \((0,0)\), вторая — внутри дуги.

Подставляя \(x=4\), получаем \(16+8a-16+6-4a=0\), то есть \(a=-\dfrac32\). Тогда второй корень равен \(x=2a-2=-5\), что лежит слева от нуля, но он соответствует левому внешнему участку. В этом случае пересечения дают две точки: одна в точке \((4,0)\), вторая — на левой ветви.

Теперь нужно исключить случаи, когда пересечений не две, а три или одна. Например, при \(a=1\) дискриминант равен нулю, и прямая касается внутренней параболы, но пересечений с внешними ветвями нет; значит, решений только одно, а не два. При \(a=-1\) аналогично возникает касание на другом участке.

Итак, ровно две различные точки пересечения система имеет при

\(a=-\dfrac32\) и \(a=\dfrac32\).

Ответ: \(a=\pm\dfrac32\).

Как не ошибиться на ЕГЭ: если в первом уравнении есть модуль, не пытайтесь сразу работать с одним графиком без разбиения по знаку. Сначала найдите, где выражение внутри модуля меняет знак, затем отдельно анализируйте куски графика и только после этого считайте число точек пересечения. Особенно опасны граничные случаи, когда прямая проходит через точку излома: там легко либо “добавить” лишнее решение, либо забыть одно из них.

Рассмотрим уравнение

x² - 2|x| + a = 0.

Главная идея здесь — использовать симметрию по модулю. Так как в уравнении присутствует только x² и |x|, удобно сделать замену t = |x|, где t >= 0. Тогда x² = (|x|)² = t², и уравнение превращается в

t² - 2t + a = 0,   t >= 0.

Теперь мы ищем не просто корни по t, а те корни, которые могут породить действительные значения x. Важно помнить:

• если t > 0, то ему соответствуют два корня: x = t и x = -t;
• если t = 0, то корень только один: x = 0;
• если t < 0, то такие значения невозможны, потому что t = |x|.

Поэтому нам нужно исследовать, при каких a квадратное уравнение

t² - 2t + a = 0

имеет ровно один положительный корень и один нулевой корень? Нет, это не подходит: нулевой корень вместе с положительным даст всего 3 различных корня по x только если положительный корень один, а нулевой тоже есть. Значит, нам нужна ситуация, когда уравнение по t имеет корни t = 0 и t = p, где p > 0.

Обозначим корни по t через t₁ и t₂. Чтобы среди корней по x было ровно три различных значения, возможны только такие варианты:

• один корень t = 0 и один положительный корень t = p > 0;
• два положительных корня t₁ ≠ t₂, но тогда по x было бы 4 различных корня, что не подходит;
• двукратный положительный корень даёт только 2 различных корня по x, тоже не подходит.

Значит, нужно, чтобы у квадратного уравнения по t один корень был нулём. Для этого свободный член должен быть равен нулю:

a = 0.

Проверим: при a = 0 получаем

t² - 2t = 0,   t(t - 2) = 0.

Отсюда t = 0 или t = 2.

Возвращаемся к x:

• при t = 0: x = 0;
• при t = 2: x = 2 и x = -2.

Итого получаем ровно три различных действительных корня: -2, 0, 2.

Почему другие значения a не подходят? Если a ≠ 0, то у квадратного уравнения по t свободный член не равен нулю, значит корень t = 0 не появляется. Тогда возможны только такие сценарии:

• два положительных корня — это 4 различных корня по x;
• один положительный и один отрицательный корень — отрицательный нужно отбросить, останется только 2 корня по x;
• двукратный положительный корень — снова только 2 корня по x.

Следовательно, единственное значение параметра:

a = 0.

Ответ: a = 0.

Типичная ловушка: некоторые считают, что если у уравнения по t два корня, то и по x всегда будет два корня. Это неверно: каждый положительный корень t даёт пару корней x = ±t. Поэтому нужно обязательно учитывать, сколько из корней по t положительные, нулевые или отрицательные.

Проверка на экзамене: всегда после замены t = |x| возвращайтесь к числу корней по x. Именно на этом шаге чаще всего теряют или, наоборот, удваивают решения.

Рассмотрим уравнение

|x-2| = a - x.

Требуется найти такие значения параметра a, при которых число различных действительных корней меньше двух, то есть корней либо нет, либо ровно один.

Ключевая идея: модуль удобно раскрывать по случаям, но здесь есть более быстрый графический смысл. Левая часть — это график функции y = |x-2|, правая — прямая y = a - x. Число решений равно числу точек пересечения этих графиков. Однако для точного ответа удобнее сделать аналитический разбор по случаям.

1) Случай x ≥ 2. Тогда |x-2| = x-2, и уравнение принимает вид

x - 2 = a - x.

Отсюда

2x = a + 2,    x = (a+2)/2.

Но этот корень подходит только при условии x ≥ 2. Значит

(a+2)/2 ≥ 2 ⇔ a ≥ 2.

То есть при a ≥ 2 в правой ветви может быть один корень.

2) Случай x < 2. Тогда |x-2| = 2-x, и получаем

2 - x = a - x.

После сокращения -x получаем

2 = a.

Здесь важно заметить тонкость: если a = 2, то равенство выполняется при любом x < 2. Значит решений бесконечно много. Это частая ловушка: многие по ошибке думают, что здесь получается один корень, но на самом деле исчезает переменная, и возникает целый промежуток решений.

Если же a ≠ 2, то в области x < 2 решений нет.

Теперь соберем все случаи.

• Если a < 2, то в первом случае корня нет, во втором тоже нет. Итого решений 0, а это меньше двух.
• Если a = 2, то решений бесконечно много: все x < 2, поэтому условие «меньше двух различных корней» не выполнено.
• Если a > 2, то в первом случае получаем ровно один корень, а во втором решений нет. Итого 1 корень, что подходит.

Итак, требуемое множество значений параметра:

a < 2 или a > 2,

то есть

a ≠ 2.

Ответ: все действительные значения параметра, кроме a = 2.

Как проверять себя на ЕГЭ. Для уравнений с модулем и параметром полезно всегда отдельно смотреть: не возникло ли после преобразований условие, при котором переменная сокращается и получается тождество. Именно такие случаи часто дают не один корень, а бесконечно много, и их легко пропустить. Также важно не забывать про ограничения на каждую ветвь после раскрытия модуля: найденный корень обязательно проверяется на принадлежность своему промежутку.

Сначала заметим главное ограничение: из-за корня \sqrt{4-x} обязательно должно быть 4-x\ge 0, то есть x\le 4. Это важный первый шаг в задачах с параметром: если забыть область определения, легко «добавить» лишние корни справа от 4.

Дальше удобно разбить задачу по точкам, где меняются знаки подмодульных выражений: x=1 и x=4 (а также нули квадратичного выражения x^2-4x+a, зависящие от параметра). Но для подсчёта числа корней в ЕГЭ часто выгоднее смотреть на структуру правой части и оценивать левую.

Рассмотрим левую часть как функцию f(x)=|x^2-4x+a|, а правую как g(x)=\sqrt{4-x}+|x-1| на области x\le 4. Нам нужно, чтобы графики пересеклись ровно три раза. Ключевой момент: правая часть всегда неотрицательна и на промежутке 1\le x\le 4 имеет вид

g(x)=\sqrt{4-x}+x-1.

Эта функция убывает по корню и растёт по линейной части; в сумме на [1,4] она имеет минимум вблизи правого конца и принимает значения от 3 до 4 (точнее: g(4)=3, g(1)=3+\sqrt3). На x\le 1 она равна \sqrt{4-x}+1-x и заметно больше, чем на [1,4].

Теперь про левую часть. Для того чтобы число пересечений стало равным трём, удобно добиться такого положения, когда выражение x^2-4x+a меняет знак в области определения ровно так, чтобы модуль создавал «V-перелом» и давал три пересечения с правой частью. Посмотрим на точки, где левая часть равна нулю: x^2-4x+a=0, то есть (x-2)^2=4-a. Отсюда видно:

• если a>4, то нулей у квадратичного выражения нет, и |x^2-4x+a|=x^2-4x+a;
• если a=4, то |x^2-4x+a|=(x-2)^2;
• если a<4, то есть два симметричных нуля x=2\pm\sqrt{4-a}.

Проверим диапазоны параметра по числу корней. После приведения к равенству
|x^2-4x+a| = \sqrt{4-x}+|x-1|,

на отрезке [1,4] правая часть меняется сравнительно плавно, а левая при a, близких к 4, имеет минимум около x=2. Важная идея: три пересечения обычно возникают тогда, когда график левой части «проваливается» ниже правой и затем поднимается, создавая два пересечения по сторонам от минимума, а ещё одно — в области x<1.

Проверим граничные значения. При a=5 получаем |x^2-4x+5|=x^2-4x+5=(x-2)^2+1. Тогда на [1,4] уравнение становится
(x-2)^2+1=\sqrt{4-x}+x-1.

Левая часть в точке x=2 равна 1, правая — \sqrt2+1, то есть справа больше; у границ x=1 и x=4 левая часть больше. Следовательно, на [1,4] получается два пересечения. Ещё одно пересечение может появиться на x<1, и действительно оно там есть, потому что при x\to -\infty левая часть растёт как x^2, а правая — лишь как \sqrt{-x}+|x-1|\sim -x, так что при удалении влево левая часть сильно больше правой; в окрестности x=1 правая часть оказывается выше. Значит, на этом промежутке есть ровно одно пересечение. Итого при a=5 имеем ровно три корня.

Почему не другие значения? Если a>5, левая часть поднимается вверх, и пересечений становится меньше: на [1,4] обычно остаётся не более двух, а на x<1 одно. Если a<5, левая часть опускается, и либо одно из пересечений исчезает, либо появляется дополнительное касание/пересечение, так что число корней уже не равно трём. Граничный случай a=5 — как раз тот, где выполняется нужный баланс.

Итак, единственное значение параметра: a=5.

Ответ: a=5.

Типичная ошибка: пытаться сразу раскрывать модули без учёта области определения корня и без анализа точек смены знака. В задачах на число корней важно не только решить уравнение в каждом случае, но и понять, как графики движутся при изменении параметра.

Рассмотрим уравнение

\(|x^2-4x+3|=m-1\).

Нужно найти такие значения параметра, при которых число различных действительных корней меньше трёх.

Ключевая идея здесь — не сразу раскрывать модуль «в лоб», а понять, какие значения может принимать левая часть. Выражение под модулем удобно преобразуется:

\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\).

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она равна нулю в точках \(x=1\) и \(x=3\), отрицательна на интервале \((1,3)\) и положительна вне его. После взятия модуля получается неотрицательная функция, причём значение \(0\) достигается в двух точках, а на промежутке между ними график «отражается» вверх.

Обозначим

\(t=m-1\).

Тогда надо исследовать уравнение

\(|x^2-4x+3|=t\).

Так как модуль не может быть отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы

\(t\ge 0\), то есть \(m\ge 1\).

Дальше удобно перейти к системе из двух случаев:

\(x^2-4x+3=t\) или \(x^2-4x+3=-t\).

Это равносильно решению двух квадратных уравнений:

\(x^2-4x+(3-t)=0,\)

\(x^2-4x+(3+t)=0.\)

Найдём число корней в зависимости от \(t\).

1) Уравнение \(x^2-4x+(3-t)=0\).

Дискриминант:

\(D_1=16-4(3-t)=16-12+4t=4(1+t)\).

При \(t\ge 0\) он положителен, значит это уравнение всегда даёт два различных корня.

2) Уравнение \(x^2-4x+(3+t)=0\).

Дискриминант:

\(D_2=16-4(3+t)=4(1-t)\).

Отсюда возможны три случая:

— если \(0\le t<1\), то \(D_2>0\), значит есть ещё два различных корня;

— если \(t=1\), то \(D_2=0\), значит есть один корень;

— если \(t>1\), то \(D_2<0\), значит корней нет.

Теперь важно не допустить типичную ошибку: корни двух квадратных уравнений нужно не просто сложить, а затем проверить, не совпадают ли они. Но здесь совпадение возможно только в специальных граничных случаях, и его проще увидеть через исходную геометрию.

Поскольку

\(x^2-4x+3=(x-2)^2-1\),

то

\(|x^2-4x+3|=|(x-2)^2-1|\).

График функции \(y=|x^2-4x+3|\) имеет минимум \(0\) в точках \(x=1\) и \(x=3\), а максимумы внутри промежутка зависят от горизонтального уровня \(t\). Поэтому:

— при \(0<t<1\) горизонтальная прямая \(y=t\) пересекает график в 4 точках;

— при \(t=1\) — в 3 точках;

— при \(t>1\) — в 2 точках;

— при \(t=0\) — в 2 точках;

— при \(t<0\) решений нет.

Нам требуется меньше трёх различных корней, то есть подходят случаи, когда число решений равно 0, 1 или 2.

Из анализа получаем:

— при \(t<0\) решений нет, значит условие выполнено, но это невозможно, потому что левая часть неотрицательна и для равенства нужно \(t\ge 0\);

— при \(t=0\) есть 2 различных корня;

— при \(t=1\) есть 3 корня, это не подходит;

— при \(t>1\) есть 2 корня.

Следовательно, условие «меньше трёх различных корней» выполняется при

\(t=0\) или \(t>1\).

Возвращаясь к параметру \(m\), получаем:

\(m-1=0\) или \(m-1>1\),

\(m=1\) или \(m>2\).

Ответ: \(m=1\) или \(m>2\).

Почему здесь легко ошибиться:

1) забыть, что правая часть должна быть неотрицательной, то есть \(m\ge 1\);

2) неправильно посчитать число корней по каждому случаю после раскрытия модуля;

3) не заметить, что при \(t=1\) возникает ровно 3 корня, а это уже не подходит, потому что требуется именно меньше трёх, то есть не 3 и не больше;

4) путать число корней квадратных уравнений с числом различных корней исходного уравнения.

Для самопроверки удобно помнить графическую картину: у функции \(y=|x^2-4x+3|\) есть два нуля и «горб» между ними. Горизонтальная прямая выше уровня 1 пересекает график в двух точках, на уровне 1 — в трёх, ниже 1 — в четырёх или двух в зависимости от уровня. В нашем условии важны именно уровни, дающие не более двух пересечений.

Рассмотрим систему как задачу о точках пересечения графиков. Первая функция

\(y=|x-1|+1\)

— это V-образный график с вершиной в точке \((1,1)\). Вторая функция

\(y=ax+2\)

— прямая, и параметр a задаёт её наклон. Число решений системы равно числу точек пересечения прямой с графиком модуля.

Запишем первую функцию по частям:

\(y=\begin{cases} -x+2, & x<1,\\ x, & x\ge 1.\end{cases}\)

Теперь пересечение с прямой \(y=ax+2\) нужно искать отдельно на каждом луче.

1) Левая ветвь \((x<1)\):

\(-x+2=ax+2\)

\(-(a+1)x=0\)

Отсюда либо \(x=0\), либо равенство становится тождественным при \(a=-1\). Но случай \(a=-1\) надо проверять отдельно: тогда прямая \(y=-x+2\) совпадает с левой ветвью на всём промежутке \(x<1\), то есть решений бесконечно много, а нам нужно ровно два. Значит, \(a=-1\) не подходит.

При \(a\neq -1\) получаем единственную точку на левой ветви: \(x=0\), \(y=2\). Она действительно принадлежит области \(x<1\), значит это одно решение для любого \(a\neq -1\).

2) Правая ветвь \((x\ge 1)\):

\(x=ax+2\)

\((1-a)x=2\)

Если \(a=1\), то уравнение превращается в \(x=x+2\), решений нет. Если \(a\neq 1\), то

\(x=\dfrac{2}{1-a}\).

Чтобы это решение относилось к правой ветви, нужно \(x\ge 1\):

\(\dfrac{2}{1-a}\ge 1\).

Решим неравенство аккуратно по случаям.

Если \(1-a>0\), то есть \(a<1\), можно умножать без смены знака:

\(2\ge 1-a\iff a\ge -1\).

Значит, при \(-1\le a<1\) правая ветвь даёт одно решение.

Если \(1-a<0\), то есть \(a>1\), тогда \(\dfrac{2}{1-a}<0\), а это не может быть \(\ge 1\). Следовательно, при \(a>1\) решений на правой ветви нет.

Итак, получаем:

• левая ветвь даёт одно решение при любом \(a\neq -1\);
• правая ветвь даёт ещё одно решение тогда и только тогда, когда \(-1<a<1\) или \(a=-1\)? Нет, при \(a=-1\) решений бесконечно много, поэтому его исключаем;
• при \(a=1\) правая ветвь не даёт решения;
• при \(a<-1\) правая ветвь не даёт решения.

Нам нужно ровно две точки пересечения. Это возможно тогда и только тогда, когда есть по одному решению на каждой ветви, то есть при

\(-1<a<1\).

Проверим границы и типичные ошибки:

• при \(a=-1\) прямая совпадает с левой ветвью и решений бесконечно много;
• при \(a=1\) прямая параллельна правой ветви, поэтому справа пересечения нет;
• если не учитывать условие \(x\ge 1\), можно ошибочно принять любое найденное корневое значение;
• если не разделить модуль на случаи, легко потерять случай совпадения с ветвью графика.

Ответ: \(-1<a<1\).

Рассмотрим уравнение

x² - 4|x| + a = 0.

Здесь модуль стоит только у x, поэтому естественный ход — разбить область на два случая: x ≥ 0 и x < 0. Это стандартный приём для задач ЕГЭ на число корней: модуль убирается, а затем нужно очень аккуратно склеить решения и не посчитать один и тот же корень дважды.

1) Случай x ≥ 0. Тогда |x| = x, и уравнение превращается в

x² - 4x + a = 0.

Это квадратное уравнение. Его дискриминант равен

x = 2 ± √(4 - a).

Но не все они автоматически подходят: оба корня должны быть неотрицательными, поскольку мы рассматриваем случай x ≥ 0. Значит, надо дополнительно учитывать, какие из найденных корней действительно лежат в этой области.

2) Случай x < 0. Тогда |x| = -x, и получаем

x² + 4x + a = 0.

Это тоже квадратное уравнение, его дискриминант такой же:

x = -2 ± √(4 - a).

Теперь из них нужно оставить только отрицательные.

Удобнее увидеть структуру графически. Положим t = |x| ≥ 0. Тогда исходное уравнение можно переписать как

t² - 4t + a = 0.

Ровно три различных корня у исходного уравнения будут тогда и только тогда, когда одно из значений t равно 0, а другое положительно. Почему? Потому что:

• если есть один положительный t, он даёт два корня x = ±t;
• если есть t = 0, он даёт один корень x = 0;
• итого получается 3 различных корня.

Значит, нужно, чтобы квадратное уравнение по t

t² - 4t + a = 0

имело корни t = 0 и t > 0. Подставим t = 0:

a = 0.

Тогда уравнение по t становится

t(t - 4) = 0,

то есть t = 0 и t = 4. Это даёт исходные корни x = 0, x = 4, x = -4 — ровно три различных действительных корня.

Проверим, могут ли быть ещё какие-то значения параметра. Если a ≠ 0, то корень t = 0 отсутствует, а значит:

• либо будет 0, 2 или 4 корня;
• но не ровно 3.

Следовательно, единственное значение параметра:

a = 0.

Ответ: A.

Типичные ошибки:

• забывают, что при t > 0 появляется пара корней ±t;
• считают корни двух случаев отдельно и не замечают, что x=0 может появиться только один раз;
• не проверяют, что корни после раскрытия модуля действительно лежат в нужной полуплоскости;
• вместо числа различных корней считают количество корней с кратностями.

В задачах на число корней с модулем очень полезно переходить к переменной t = |x|: это позволяет увидеть симметрию графика и быстро понять, когда число корней увеличивается за счёт пары ±t, а когда появляется отдельный корень в нуле.

Рассмотрим функцию

f(x)=|x-1|+\sqrt{x+2}.

Нужно найти такие значения параметра a, при которых уравнение f(x)=a имеет ровно два различных корня. Это типичная задача на «число пересечений горизонтальной прямой с графиком функции».

1. Сначала найдём область определения.

Так как есть корень \sqrt{x+2}, необходимо

x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2.

Значит, рассматриваем только x\in[-2,+\infty).

2. Разберём модуль по точке смены знака.

Модуль |x-1| раскрывается по-разному на промежутках x<1 и x\ge 1:

• если -2\le x<1, то |x-1|=1-x, и тогда f(x)=1-x+\sqrt{x+2};
• если x\ge 1, то |x-1|=x-1, и тогда f(x)=x-1+\sqrt{x+2}.

3. Исследуем поведение на каждом промежутке.

На [-2,1] имеем

f(x)=1-x+\sqrt{x+2}.

Эта функция сначала может возрастать или убывать неочевидно, поэтому удобно посмотреть на производную:

f'(x)=-1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}.

При x\in[-2,1] величина \sqrt{x+2} меняется от 0 до \sqrt3, поэтому производная меняет знак один раз. Но для задачи ЕГЭ важнее не формально вычислять экстремумы на всей части, а понять значения на концах и возможность двух пересечений.

Посчитаем значение функции в ключевой точке x=1:

f(1)=|1-1|+\sqrt3=\sqrt3.

Посчитаем также на левом конце области определения x=-2:

f(-2)=|{-3}|+0=3.

Теперь на правом промежутке x\ge 1:

f(x)=x-1+\sqrt{x+2}.

Здесь оба слагаемых возрастают, значит вся функция строго возрастает на [1,+\infty). Следовательно, на этом промежутке уравнение f(x)=a может иметь не более одного решения.

4. Сколько решений может быть всего?

На левом промежутке [-2,1] функция идёт от значения 3 при x=-2 к значению \sqrt3 при x=1. При этом из-за поведения функции на этом отрезке возможны два пересечения горизонтали y=a с левой ветвью только тогда, когда уровень a лежит выше минимума этой ветви и ниже её значений на концах. Для точного ответа нужно найти минимум всей функции.

Заметим, что на левой ветви

f(x)=1-x+\sqrt{x+2}.

Положим t=\sqrt{x+2}\ge 0, тогда x=t^2-2, и

f=1-(t^2-2)+t=3-t^2+t=\dfrac{13}{4}-(t-\dfrac12)^2.

Это очень удобное преобразование: вместо сложного выражения мы получили параболу по t. Отсюда видно, что на левой ветви максимум равен 13/4 и достигается при t=1/2, то есть при

x=t^2-2=\dfrac14-2=-\dfrac74.

А на концах левой ветви значения равны 3 и \sqrt3. Значит, левая ветвь поднимается от 3 до максимума 13/4, а затем убывает до \sqrt3. Поэтому горизонталь y=a пересечёт её:

• в двух точках, если \sqrt3<a<3 и уровень проходит через «горб»;
• в одной точке при a=\sqrt3, a=3 или a=13/4;
• ни в одной точке, если a<\sqrt3 или a>13/4.

Но надо учитывать и правую ветвь x\ge 1, где функция строго возрастает от \sqrt3 и выше. Значит:

• если a<\sqrt3, решений нет;
• если a=\sqrt3, одно решение при x=1;
• если \sqrt3<a<3, то у левой ветви обычно два решения, а у правой — ещё одно, итого три решения. Это нам не подходит;
• если a=3, нужно проверить отдельно: x=-2 даёт решение, а справа от 1 из-за возрастания тоже есть одно решение, на левой внутренней части ещё одно может появиться или нет. Проверим аккуратно.

5. Проверка особых уровней.

Рассмотрим функцию на левой ветви через t:

f=\dfrac{13}{4}-(t-\dfrac12)^2.

Уравнение f=3 даёт

\dfrac{13}{4}-(t-\dfrac12)^2=3 \Rightarrow (t-\dfrac12)^2=\dfrac14.

Отсюда t=0 или t=1. Это соответствует x=-2 и x=-1. Значит, на левой ветви при a=3 уже два решения. На правой ветви при a=3 также есть решение x=\text{единственное}, потому что правая ветвь начинается с \sqrt3<3 и строго возрастает. Итого получаем три решения, а не два.

Теперь уровень a=13/4: на левой ветви это вершина, значит одно решение, и на правой ветви тоже одно решение, потому что 13/4>\sqrt3. Итого два решения.

6. Итог.

Ровно два различных решения у уравнения будут тогда и только тогда, когда

a=\dfrac{13}{4}.

Ответ: только это значение параметра.

Почему здесь легко ошибиться?

Частая ошибка — посмотреть только на левую ветвь и забыть, что правая ветвь тоже даёт решение почти для всех a\ge \sqrt3. В задачах на число корней нужно считать все пересечения графика с горизонтальной прямой, а не только «удобную» часть. Ещё одна ошибка — принять уровень a=3 за подходящий из-за двух пересечений на одной ветви, но на самом деле добавляется ещё одно пересечение справа.