Скалярное произведение: свойства и вычисления в координатах: задания с ответами

Скалярное произведение двух векторов удобно выражать формулой

u · v = |u| · |v| · cos α,

где α — угол между векторами. Это ключевая формула, и в задачах на ЕГЭ её важно помнить именно вместе со смыслом: скалярное произведение зависит не только от длин векторов, но и от угла между ними.

По условию векторы перпендикулярны, значит α = 90°. Тогда cos 90° = 0. Подставляем в формулу:

u · v = 7 · 4 · 0 = 0.

Итак, скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю, независимо от их длин. Это очень важное свойство: если в условии прямо сказано, что векторы перпендикулярны, то вычисления длин обычно не нужны для ответа, они могут служить лишь «отвлекающей» информацией.

Почему это работает: при угле 90° один вектор не имеет проекции на направление другого, поэтому произведение, измеряющее «согласованность направлений», обращается в ноль.

Типичная ошибка: перемножить длины и забыть про косинус угла. Если просто написать 7 · 4 = 28, это будет неверно, потому что формула без угла неполная.

Самопроверка для ЕГЭ: если в задаче есть слова «перпендикулярны», «образуют прямой угол», «ортогональны», то скалярное произведение сразу равно 0. Это один из самых быстрых способов решать такие задания без лишних вычислений.

Используем формулу скалярного произведения двух векторов на плоскости:

a · b = a_x·b_x + a_y·b_y.

Это одна из базовых формул векторной алгебры: мы не ищем длины и не используем угол, если векторы уже заданы координатами. Главное — аккуратно перемножить соответствующие координаты.

Подставим данные:

a · b = 3·(−2) + (−4)·5.

Считаем по шагам:

3·(−2) = −6,

(−4)·5 = −20.

Тогда

a · b = −6 + (−20) = −26.

Ответ: −26.

Полезно помнить типичные ошибки. Во-первых, нельзя перемножать координаты «крест-накрест» или складывать все числа подряд без формулы. Во-вторых, особенно важно следить за знаками: отрицательная координата при умножении часто меняет ответ. В-третьих, не стоит путать скалярное произведение с векторным: в школьной программе ЕГЭ по профилю здесь нужен именно числовой результат.

Проверка на здравый смысл тоже помогает: если один вектор направлен «вправо и вниз», а второй «влево и вверх», скалярное произведение часто получается отрицательным. Здесь так и вышло, что согласуется с вычислением.

Сначала важно вспомнить, что векторное сложение и скалярное произведение — это разные операции. Ошибка многих учеников состоит в том, что они либо пытаются перемножать координаты «по смыслу», не пользуясь формулой, либо сначала находят не ту величину. В таких задачах правильный путь всегда один: сначала сложить векторы, затем взять скалярное произведение полученного вектора с третьим.

Найдём сумму векторов:

a + b = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2).

Теперь применяем формулу скалярного произведения в координатах:

(x₁, y₁) · (x₂, y₂) = x₁x₂ + y₁y₂.

Тогда

(a + b) · c = (2, 2) · (2, 5) = 2·2 + 2·5 = 4 + 10 = 14.

Ответ: 14.

Почему именно так? Скалярное произведение определяется через координаты как сумма произведений соответствующих координат. Если сначала сложить векторы, мы получаем новый вектор, который и нужно подставить в формулу. Это особенно удобно, потому что в выражении (a + b) · c можно также использовать распределительное свойство:

(a + b) · c = a · c + b · c.

Проверим тем же способом для самоконтроля:

a · c = 3·2 + (-2)·5 = 6 - 10 = -4,

b · c = (-1)·2 + 4·5 = -2 + 20 = 18,

значит

(a + b) · c = -4 + 18 = 14.

Это хороший способ проверки на экзамене: если вы посчитали двумя разными путями и получили один и тот же ответ, вероятность ошибки резко падает.

Типичные ловушки здесь такие: 1) забыть скобки и посчитать только один из векторов; 2) перепутать сложение координат с умножением; 3) ошибиться со знаком при сложении отрицательных чисел; 4) считать, что скалярное произведение — это «просто произведение» координат, хотя на самом деле нужно сложить два произведения соответствующих координат.

Итак, правильный ответ — 14.

Используем основную формулу скалярного произведения через длины векторов и угол между ними:

a \cdot b = |a|\,|b|\cos\varphi.

Это именно та формула, которую нужно вспоминать в задачах, где даны длины векторов и угол, а координаты не нужны. Частая ошибка на ЕГЭ — по привычке искать координаты или путать косинус с синусом. Здесь важен именно косинус угла между векторами.

Подставим данные:

\(a \cdot b = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ\).

Теперь вычислим косинус угла. Угол 150^\circ находится во II четверти, поэтому косинус отрицательный:

\(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Тогда

\(a \cdot b = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Сократим и перемножим:

\(2\) и \(2\) сокращаются, а \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, значит

\(a \cdot b = 5\cdot (-3) = -15\).

Ответ: -15.

Почему остальные варианты неверны:

• -5\sqrt{3} — типичная ошибка, если не домножить на обе длины или перепутать вычисление косинуса.
• 15 — получается, если забыть, что косинус 150° отрицателен.
• 5\sqrt{3} — может появиться при неверном использовании синуса или при частичном вычислении без учёта знака.

Полезная проверка для экзамена: если угол между векторами тупой, то скалярное произведение должно быть отрицательным. Здесь угол 150° — тупой, значит знак ответа обязан быть минус. Это хороший способ быстро обнаружить ошибку ещё до окончательного подсчёта.

Используем основную формулу скалярного произведения через длины векторов и угол между ними:

\(a\cdot b = |a|\,|b|\cos\varphi\), где \(\varphi\) — угол между векторами.

Это самая удобная формула, когда даны именно длины и угол. В таких задачах не нужно переходить к координатам: если в условии нет координат, то попытка «придумать» их обычно только увеличивает риск ошибки.

Подставляем данные:

\(a\cdot b = 4\cdot 3\cdot \cos 60^\circ\).

Знаем, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Тогда

\(a\cdot b = 12\cdot \frac{1}{2} = 6\).

Ответ: \(6\).

Почему именно так: скалярное произведение зависит не только от длин векторов, но и от угла между ними. Если угол острый, косинус положителен, и произведение тоже положительно. Если бы угол был тупой, например \(120^\circ\), то косинус был бы отрицательным, и скалярное произведение получилось бы отрицательным. Это важный смысловой контроль: знак ответа должен соответствовать типу угла.

Типичные ошибки:

1) Путают косинус и синус. Формула именно с косинусом: \(a\cdot b = |a|\,|b|\cos\varphi\), а не с синусом.

2) Берут модуль косинуса. Так делать нельзя: знак косинуса важен. Для тупого угла ответ должен быть отрицательным.

3) Забывают один из множителей. Нужно перемножить и длины, и косинус. Например, ответ \(4\cos 60^\circ\) или \(3\cos 60^\circ\) — неполный.

4) Ошибаются в значении стандартного угла. Полезно помнить таблицу: \(\cos 0^\circ=1\), \(\cos 60^\circ=\frac12\), \(\cos 90^\circ=0\), \(\cos 120^\circ=-\frac12\).

Стратегия самопроверки на ЕГЭ: после подстановки быстро оцените знак и порядок числа. Здесь длины 4 и 3 дают произведение 12, а умножение на \(\frac12\) должно уменьшить число вдвое, значит 6 — реалистичный ответ. Если у вас получилось 12, 3, 1.5 или отрицательное число, значит где-то допущена ошибка в формуле или в значении косинуса.

Здесь важно увидеть не координаты и не длину диагонали, а именно геометрический смысл скалярного произведения.

Векторы AB и AD — это смежные стороны квадрата, выходящие из одной вершины A. По определению квадрата угол между ними равен 90°, а их длины равны стороне квадрата, то есть обе равны 7.

Используем формулу скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

AB · AD = |AB| · |AD| · cos 90°.

Подставляем значения:

7 · 7 · 0 = 0.

Значит, скалярное произведение равно 0.

Почему ответ всегда ноль в таких задачах? Если два вектора перпендикулярны, то угол между ними прямой, а cos 90° = 0. Поэтому скалярное произведение любых перпендикулярных векторов равно нулю, независимо от их длин. Это одно из важнейших свойств скалярного произведения, которое часто используется на ЕГЭ.

Типичные ошибки:

1) Путать скалярное произведение с произведением длин. Нельзя писать просто 7 · 7 = 49, потому что нужно еще умножить на cos угла.

2) Забывать, что в квадрате смежные стороны перпендикулярны. Именно это делает ответ нулевым.

3) Подставлять длину стороны в формулу, но не учитывать, что угол между векторами равен 90°, а не 0°.

Самопроверка на экзамене: если в условии сказано, что векторы являются сторонами квадрата, прямоугольника или вообще образуют прямой угол, сразу вспоминайте: скалярное произведение равно 0.

Используем формулу скалярного произведения в координатах:

(a₁, a₂) · (b₁, b₂) = a₁b₁ + a₂b₂.

Здесь u = (x, 5), v = (2, -3), поэтому

u · v = x·2 + 5·(-3).

По условию это равно -19, значит получаем уравнение:

2x - 15 = -19.

Теперь решаем линейное уравнение:

2x = -19 + 15 = -4, откуда x = -2.

Ответ: -2.

Почему здесь получается именно линейное уравнение? Потому что одна координата неизвестна, а скалярное произведение в координатах — это сумма попарных произведений. Когда все, кроме одной координаты, известно, остаётся выражение вида ax + b = c. Это типичная и очень важная ситуация на ЕГЭ: нужно не искать «что-то геометрическое», а просто аккуратно перевести условие на язык алгебры.

Типичные ошибки:

• умножают координаты «крест-накрест» вместо соответствующих: например, пишут x·(-3) + 5·2, хотя правильно x·2 + 5·(-3);
• теряют знак минус при вычислении 5·(-3);
• ошибаются при переносе -15 в правую часть: важно помнить, что прибавляем одно и то же к обеим частям уравнения;
• забывают проверить, что ответ действительно даёт нужное скалярное произведение.

Проверка: подставим x = -2: (-2, 5) · (2, -3) = (-2)·2 + 5·(-3) = -4 - 15 = -19. Совпадает с условием, значит ответ верный.

Используем основную формулу скалярного произведения двух векторов на плоскости:

a · b = x₁x₂ + y₁y₂.

Здесь a = (4; −3), значит x₁ = 4, y₁ = −3; а b = (−2; 5), значит x₂ = −2, y₂ = 5. Подставляем:

a · b = 4·(−2) + (−3)·5 = −8 − 15 = −23.

Ответ отрицательный, и это нормально: скалярное произведение не обязано быть положительным. Оно зависит от координат и знаков, а не только от длин векторов. Частая ошибка на ЕГЭ — забыть скобки при умножении на отрицательное число, например записать 4·(−2) + −3·5 и ошибиться в вычислениях. Другая типичная ошибка — перемножать «крест-накрест» или пытаться сразу находить угол между векторами, хотя в этой задаче это не нужно.

Полезная самопроверка: если один вектор направлен «вправо-вверх», а другой «влево-вверх», скалярное произведение может оказаться отрицательным из-за того, что их горизонтальные составляющие противоположны. В задачах такого типа самый надёжный способ — аккуратно подставить координаты в формулу и отдельно проверить знаки каждого произведения.

Используем две стандартные формулы из векторной алгебры:

1) Скалярное произведение в координатах: если a = (a₁, a₂) и b = (b₁, b₂), то

a·b = a₁b₁ + a₂b₂.

2) Квадрат длины вектора: если b = (b₁, b₂), то

|b|² = b₁² + b₂².

Сначала находим неизвестную координату x из условия на скалярное произведение:

(2, −1)·(x, 3) = 7.

По формуле получаем:

2x + (−1)·3 = 7.

2x − 3 = 7.

Отсюда:

2x = 10,   x = 5.

Теперь подставляем найденную координату в формулу квадрата длины вектора b:

|b|² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34.

Ответ: 34.

Почему важно именно так решать? Частая ошибка на ЕГЭ — пытаться сразу вычислить длину вектора, не найдя неизвестную координату. Но длина зависит от всех координат, поэтому сначала из скалярного произведения нужно получить уравнение на неизвестную переменную. Ещё одна типичная ловушка — забыть знак минус во второй координате первого вектора: здесь получается не 2x + 3, а именно 2x − 3, потому что в формуле есть произведение (−1)·3.

Полезная проверка: после нахождения x можно мысленно проверить, что скалярное произведение действительно равно 7: 2·5 + (−1)·3 = 10 − 3 = 7. Если проверка сходится, значит, координата найдена верно, и дальше можно безопасно считать квадрат длины.

Используем основную формулу скалярного произведения через длины векторов и угол между ними:

\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.\]

Это одна из самых важных формул по теме: она позволяет находить скалярное произведение, если известны не координаты, а именно длины векторов и угол между ними. В ЕГЭ это особенно удобно, потому что часто в условии прямо даны геометрические данные.

Подставим данные из условия:

\[\vec a\cdot\vec b=4\cdot 3\cdot \cos 120^\circ.\]

Теперь вспомним значение косинуса тупого угла:

\[\cos 120^\circ=-\frac12.\]

Тогда

\[\vec a\cdot\vec b=12\cdot\left(-\frac12\right)=-6.\]

Ответ: \(-6\).

Почему знак получился отрицательным? Потому что угол между векторами тупой, а при тупом угле косинус отрицателен. Это важный смысловой момент: скалярное произведение показывает не только «размер» совместного направления, но и то, насколько векторы сонаправлены. Если угол больше \(90^\circ\), произведение становится отрицательным; если ровно \(90^\circ\), то оно равно нулю.

Типичные ошибки:

• путают косинус с синусом и пишут \(|a||b|\sin\varphi\) — это неверно для скалярного произведения;
• берут модуль косинуса и теряют знак, из-за чего тупой угол ошибочно даёт положительный ответ;
• забывают умножить на обе длины векторов;
• подставляют \(\cos 120^\circ=\frac12\) вместо \(-\frac12\).

Как себя проверять на экзамене: если угол острый, ответ должен быть положительным; если прямой — нулём; если тупой — отрицательным. Такая быстрая проверка помогает сразу заметить грубую ошибку в знаке.

Ключевая идея здесь очень простая, но именно на таких задачах часто теряют баллы из-за невнимательности: нужно не «перемножить длины», а применить формулу скалярного произведения.

Для любых двух векторов u и v верно:

u · v = |u| |v| cos θ,

где θ — угол между векторами. В квадрате соседние стороны перпендикулярны, значит угол между векторами AB и AD равен 90°.

Тогда:

AB · AD = |AB| · |AD| · cos 90°.

Длины сторон квадрата равны 6, значит |AB| = 6 и |AD| = 6. Но самое важное — cos 90° = 0. Поэтому:

AB · AD = 6 · 6 · 0 = 0.

Ответ: 0.

Почему это важно понимать глубже: если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение всегда равно нулю, независимо от длин. Это один из самых полезных признаков векторной геометрии. На ЕГЭ его часто используют в обе стороны: если произведение равно нулю, а векторы ненулевые, то они перпендикулярны.

Типичные ошибки:

• пишут 6 · 6 = 36, забывая про косинус угла;
• путают скалярное произведение с произведением длин;
• не замечают, что стороны квадрата образуют прямой угол;
• используют знак «минус» по привычке, хотя для перпендикулярных векторов знак не важен — результат всё равно ноль.

Проверка себя: если угол 90°, то скалярное произведение обязано быть нулём. Если у вас получился не ноль, значит, где-то пропущен множитель cos θ или неверно определён угол между векторами.

Используем основную формулу связи скалярного произведения с длинами векторов и косинусом угла между ними:

\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.\]

Это одна из самых важных формул темы: она позволяет находить скалярное произведение, даже если координаты векторов неизвестны. В задаче уже даны все три компонента формулы: длина первого вектора, длина второго вектора и косинус угла между ними.

Подставим данные:

\[\vec a\cdot\vec b=7\cdot 4\cdot \frac{3}{7}.\]

Сначала удобно сократить \(7\) в числителе и знаменателе:

\[7\cdot 4\cdot \frac{3}{7}=4\cdot 3=12.\]

Ответ: \(12\).

Почему это работает. Скалярное произведение показывает, насколько векторы “смотрят” в одном направлении. Если угол острый, то косинус положителен, и скалярное произведение тоже положительно; если угол тупой, то косинус отрицателен, и произведение будет отрицательным; если векторы перпендикулярны, то косинус равен нулю, и скалярное произведение равно нулю. Здесь косинус положителен, значит и ответ должен быть положительным — это полезная самопроверка.

Типичная ошибка. Некоторые учащиеся путают косинус угла с самим углом или забывают умножить на обе длины векторов. Ещё одна частая ошибка — неверно работать с дробью: например, сначала вычислить \(7\cdot 4=28\), а потом не заметить, что \(28\cdot \frac{3}{7}=12\). В таких задачах важно не торопиться и проверять, что ответ по смыслу реалистичен: скалярное произведение не может превышать произведение модулей, то есть \(|\vec a|\,|\vec b|=28\), а 12 этому условию соответствует.

Стратегия на экзамене. 1) Вспомнить формулу \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi\). 2) Аккуратно подставить числа. 3) Сократить дробь или выполнить умножение в удобном порядке. 4) Проверить знак и порядок величины результата. Такой алгоритм позволяет избегать большинства ошибок в заданиях на скалярное произведение.