Основы производной (теория и физический смысл): задания с ответами

Горизонтальная касательная означает, что наклон касательной равен нулю. А наклон касательной к графику функции в точке — это и есть значение производной в этой точке. Поэтому условие горизонтальности касательной эквивалентно равенству f'(x₀) = 0.

Важно не путать значение функции и значение производной. Условие f(x₀) = 0 лишь говорит о том, что график проходит через ось Ox; это никак не связано само по себе с наклоном касательной. Точно так же знаки f'(x₀) > 0 и f'(x₀) < 0 означают соответственно возрастание и убывание функции, но не горизонтальность.

Для ЕГЭ полезно запомнить три базовые интерпретации: f'(x₀) > 0 — функция возрастает; f'(x₀) < 0 — убывает; f'(x₀) = 0 — касательная горизонтальна. Но здесь есть важный нюанс: f'(x₀) = 0 не означает автоматически экстремум. Экстремум возможен, но для этого нужен дополнительный анализ знака производной по разные стороны точки или других свойств функции. Это типичная ловушка в тестах.

Как рассуждать на экзамене: сначала определите, что именно описывает графический признак — рост/убывание или наклон касательной. Если речь о горизонтальной касательной, то сразу вспоминаем нулевой наклон, а значит нулевая производная. Если же в условии сказано, что график касается оси Ox, это уже не про производную, а про значение функции и возможный корень уравнения f(x)=0. Такие формулировки часто путают специально.

Итак, правильный ответ: f'(x₀) = 0.

По физическому смыслу производной скорость прямолинейного движения равна производной координаты по времени: v(t)=x'(t). Это один из самых важных связующих фактов в теме «производная и её физический смысл»: если дана координата как функция времени, то чтобы найти мгновенную скорость в конкретный момент, нужно не подставлять время сразу в исходную формулу, а сначала продифференцировать функцию.

Дано: x(t)=2t^3-9t^2+12t-1. Находим производную по правилу степени и линейности производной:

x'(t)=(2t^3)'-(9t^2)'+(12t)'-(1)'=6t^2-18t+12.

Теперь подставляем нужный момент времени t=2:

v(2)=x'(2)=6\cdot 2^2-18\cdot 2+12=6\cdot 4-36+12=24-36+12=0.

Значит, скорость в момент t=2 равна 0 м/с.

Почему ответ ноль не означает, что тело «не двигалось всё время»? Нулевая скорость в одной точке времени означает лишь, что в данный момент мгновенная скорость равна нулю. Тело могло до этого двигаться в положительном направлении, потом замедлиться, остановиться и затем снова изменить направление. В задачах на смысл производной важно различать значение функции и значение производной: исходная функция x(t) задаёт положение, а производная x'(t) — скорость изменения положения.

Типичные ошибки на ЕГЭ:

1) Подставляют t=2 в исходную функцию и получают координату, а не скорость. Это неверно, потому что спрашивают именно производную.

2) Ошибаются в дифференцировании: например, пишут производную от 2t^3 как 2t^2, забывая умножить на показатель степени. Правильно: (at^n)'=ant^{n-1}.

3) Не дифференцируют свободный член. Константа даёт ноль, потому что не меняется со временем.

4) Путают мгновенную скорость и среднюю. Средняя скорость на промежутке считалась бы по отношению изменения координаты к времени, а здесь требуется именно мгновенная скорость в точке, то есть производная.

Как быстро самопровериться на экзамене: если после вычислений получилась скорость с единицами «м/с», а не просто число, значит вы правильно держите физический смысл. Если получилось 0, это допустимо и даже очень частый ответ: в данной точке касательная к графику координаты горизонтальна, значит мгновенное изменение координаты равно нулю.

Физический смысл производной в задаче о прямолинейном движении такой: если координата точки зависит от времени по закону x(t), то мгновенная скорость равна производной координаты по времени:

v(t)=x'(t).

Это ключевая идея: нужно не подставлять время в саму координату, а сначала найти производную, потому что именно производная показывает, как быстро меняется координата в данный момент.

Для функции x(t)=2t²-3t+1 находим производную по правилу дифференцирования степенной функции:

x'(t)=4t-3.

Теперь подставляем t=2:

v(2)=4·2-3=8-3=5.

Ответ: 5 м/с.

Почему это важно именно для ЕГЭ Профиль: в таких задачах часто специально проверяют, понимает ли ученик разницу между координатой и скоростью. Частая ошибка — вычислить x(2) и принять это за ответ. Но x(2) даёт положение точки, а не скорость. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что производная от константы равна нулю, или неверно продифференцировать линейный и квадратичный члены.

Полезная самопроверка: если координата измеряется в метрах, а время — в секундах, то производная x'(t) должна иметь единицы м/с. В нашем случае получилось число 5, значит скорость в момент времени t=2 равна 5 м/с.

При прямолинейном движении координата s(t) меняется со временем, а скорость v(t) равна производной координаты: v(t)=s'(t). Это один из самых важных смыслов производной в задачах ЕГЭ: производная показывает мгновенную скорость изменения величины.

В задаче дана функция координаты: s(t)=t^2-6t+5. Чтобы найти скорость, нужно не подставлять значение времени сразу в исходную формулу, а сначала найти производную:

s'(t)=2t-6.

Теперь используем условие задачи: скорость равна -2 м/с. Значит, составляем уравнение:

2t-6=-2.

Решаем его:

2t=4,

t=2.

Проверка по смыслу: время получилось положительным, значит ответ физически допустим. В таких задачах важно помнить, что время не может быть отрицательным, даже если алгебраически уравнение даёт формально несколько корней. Здесь корень один, и он подходит.

Ответ: 2.

Типичные ошибки: 1) путают координату и скорость и приравнивают исходную функцию к заданному числу; 2) неверно дифференцируют квадратичную функцию, забывая, что производная t^2 равна 2t; 3) решают уравнение, но не проверяют, что найденное время имеет смысл в рамках задачи. В ЕГЭ полезно всегда делать короткую самопроверку: “Что у меня нашлось — координата или скорость?” и “Подходит ли ответ по физическому смыслу?”

Ключевая идея здесь такая: значение производной в точке показывает наклон касательной к графику функции в этой точке. Если касательная горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю, значит и производная в этой точке равна нулю.

По условию в точке x_0 касательная горизонтальна. Это уже напрямую даёт ответ: f'(x_0)=0. При этом очень важно не сделать типичную ошибку: нулевая производная не обязана означать максимум или минимум. Она лишь говорит, что касательная параллельна оси Ox. Точка может быть экстремумом, а может и не быть им.

В данном задании специально сказано, что слева и справа от x_0 функция возрастает. Это означает, что производная вблизи точки положительна по обе стороны, но в самой точке она равна нулю. Такой случай возможен, например, у функции с «приплюснутой» точкой перегиба. Это важное теоретическое замечание для ЕГЭ: знак производной на промежутке и значение производной в отдельной точке — не одно и то же.

Как рассуждать на экзамене:

1. Смотрим на графический признак: горизонтальная касательная.
2. Переводим его на язык производной: наклон касательной равен 0.
3. Записываем ответ: f'(x_0)=0.

Полезная самопроверка: если бы касательная шла вверх слева направо, производная была бы положительной; если вниз — отрицательной; если горизонтально — равной нулю. Но экстремум определяется не только значением производной в точке, а ещё и сменой знака производной вокруг неё. Поэтому в задачах на соответствие особенно важно не путать f'(x_0)=0 с утверждением «в точке максимум/минимум».

Скорость прямолинейного движения — это производная координаты по времени: v(t)=x'(t). Это ключевой смысл производной в физике: производная показывает мгновенную скорость изменения величины. В задаче дана именно координата x(t), поэтому искать нужно не саму координату, а её производную.

Найдём производную функции:

x(t)=t^3-6t^2+9t+2

По правилу дифференцирования степенной функции:

• (t^3)'=3t^2,
• (-6t^2)'=-12t,
• (9t)'=9,
• (2)'=0.

Значит,

v(t)=x'(t)=3t^2-12t+9.

Теперь подставляем t=2:

v(2)=3·2^2-12·2+9=3·4-24+9=12-24+9=-3.

Итак, скорость в момент t=2 равна -3 м/с. Знак «минус» означает, что в этот момент тело движется в сторону, противоположную положительному направлению оси. На ЕГЭ это важный нюанс: если спрашивают именно скорость в школьной физике, часто имеют в виду алгебраическую скорость, то есть производную координаты. Если бы спрашивали модуль скорости, ответ был бы 3 м/с.

Типичные ошибки:

• подставить t=2 в исходную функцию и получить координату, а не скорость;
• ошибиться в производной t^2 и написать 6t вместо 12t;
• забыть, что производная константы равна нулю;
• не учесть знак результата и по привычке записать только модуль.

Правильный алгоритм в таких задачах всегда один: узнать физический смысл величины → найти производную → подставить нужный момент времени. Это надёжная стратегия для заданий на производную в точке.

Здесь нужно вспомнить физический смысл производной: если s(t) — координата точки, то её мгновенная скорость равна первой производной координаты по времени:

v(t)=s'(t).

Это главный перевод с физического языка на математический. Типичная ошибка на ЕГЭ — подставить время в саму функцию координаты и получить положение точки, хотя спрашивают именно скорость. Ещё одна ошибка — попытаться найти приращение по двум значениям времени, хотя в задаче дано именно мгновенное значение скорости в конкретный момент, значит нужна производная.

Найдём производную функции:

s(t)=2t^3-9t^2+12t-1, поэтому

s'(t)=6t^2-18t+12.

Теперь подставим t=2:

v(2)=6·2^2-18·2+12=6·4-36+12=24-36+12=0.

Следовательно, скорость точки в момент времени t=2 равна 0 м/с.

Почему ответ может быть нулевым? Это не означает, что точка «не движется всегда» — нулевая мгновенная скорость лишь говорит, что в данный момент направление движения может меняться или движение на мгновение остановилось. На экзамене это важно: знак и значение производной несут физический смысл, а не только число.

Полезная стратегия самопроверки: после вычисления производной можно быстро оценить, не ошиблись ли вы в знаках. Например, если в исходной функции старший член 2t^3, то в производной должен появиться член 6t^2; если этого нет, значит, где-то допущена ошибка в правилe дифференцирования степенной функции.

Геометрический смысл производной в точке таков: f'(x_0)=\tan \alpha, где \alpha — угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox. Это одна из самых важных связей в теме «Производная и её смысл»: производная показывает не просто «скорость изменения», но и наклон касательной.

В задаче дан угол 45^\circ, значит нужно найти его тангенс:

f'(x_0)=\tan 45^\circ=1.

Ответ: 1.

Полезно помнить несколько типичных значений: \tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}, \tan 45^\circ=1, \tan 60^\circ=\sqrt{3}. На ЕГЭ часто путают сам угол и его тангенс: если угол равен 45^\circ, то производная не равна 45, а равна именно 1. Ещё одна частая ошибка — подставлять вместо угла градусы без тригонометрии. Формула всегда одна: сначала определить угол наклона, затем взять тангенс.

Есть и обратная задача: если известно значение производной, то угол находят из равенства \tan \alpha=f'(x_0). Например, если f'(x_0)=\sqrt{3}, то \alpha=60^\circ. Это удобно для самопроверки: положительная производная означает, что касательная возрастает вправо, а отрицательная — убывает. Если бы в задаче был отрицательный угол наклона, производная тоже была бы отрицательной.

Скорость при прямолинейном движении равна производной координаты по времени: v(t)=x'(t). Это и есть физический смысл производной: она показывает, как быстро меняется координата в данный момент времени.

Найдём производную функции x(t)=2t^3-3t^2+4t-5 по частям:

(2t^3)'=6t^2, (-3t^2)'=-6t, (4t)'=4, (-5)'=0.

Значит, v(t)=x'(t)=6t^2-6t+4.

Теперь подставим заданный момент времени t=2:

v(2)=6\cdot 2^2-6\cdot 2+4=6\cdot 4-12+4=24-12+4=16.

Ответ: 16.

Полезно помнить типичную ловушку: нельзя просто подставить t=2 в формулу координаты и считать это скоростью. Координата и скорость — разные физические величины. Сначала всегда находят производную, а уже потом вычисляют её значение в нужный момент времени. Ещё одна частая ошибка — неверно дифференцировать степень: (t^n)'=nt^{n-1}, то есть показатель степени уменьшается на 1, а множитель перед степенью становится коэффициентом.

Проверка здравым смыслом тоже полезна: если выражение для скорости получилось числом, это означает мгновенную скорость в выбранных единицах длины за единицу времени. В задачах ЕГЭ по этой теме именно такой алгоритм и требуется: сначала установить связь v(t)=x'(t), затем аккуратно взять производную, затем подставить время.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. А угловой коэффициент касательной, если угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox равен α, выражается формулой:

f′(x₀) = tg α.

В задаче дано α = 60°, значит

f′(x₀) = tg 60° = √3.

Почему именно тангенс? Если мысленно взять прямоугольный треугольник на касательной, то тангенс угла показывает отношение «подъём/пробег», то есть наклон прямой. Производная измеряет этот наклон в точке, поэтому для касательной и используется именно tg α.

Типичная ошибка на ЕГЭ — перепутать сам угол и его тангенс. Например, написать ответ 60 вместо √3. Ещё одна ошибка — забыть, что производная может быть отрицательной, если касательная идёт вниз вправо: тогда угол наклона находится между 90° и 180°, и тангенс будет отрицательным. В нашей задаче касательная возрастает, поэтому производная положительна.

Итак, правильный ответ: √3.

Производная в точке показывает угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Если касательная идёт слева направо вверх, её наклон положителен, значит и производная положительна:

f'(x₀) > 0.

Это одна из базовых и очень важных связей в теме производной:

• если функция возрастает в окрестности точки, то обычно f'(x₀) > 0;
• если функция убывает, то f'(x₀) < 0;
• если касательная горизонтальна, то f'(x₀) = 0.

Важно не путать значение функции и значение производной. То, что точка может находиться выше или ниже оси x, ничего не говорит о знаке производной. Решает именно наклон касательной.

Ещё одна типичная ошибка на ЕГЭ — думать, что f'(x₀) = 0 только в точке экстремума. На самом деле нулевая производная означает лишь горизонтальную касательную, но сама точка может быть не экстремумом, а, например, точкой перегиба с горизонтальной касательной. Поэтому в таких заданиях нужно сначала смотреть на геометрию касательной, а уже потом делать вывод о знаке производной.

Стратегия самопроверки простая: мысленно двигайтесь по касательной слева направо. Если она поднимается — производная положительна; если опускается — отрицательна; если идёт ровно — равна нулю. Для ЕГЭ это самый надёжный и быстрый способ.

Скорость движения точки по прямой связана с производной пути формулой v(t)=s'(t). Это один из самых важных смыслов производной в задачах на движение: производная показывает мгновенную скорость изменения функции. Если рассматривается график пути s(t), то моменты, когда скорость равна нулю, — это те моменты, когда s'(t)=0.

Геометрически это означает, что касательная к графику пути в данной точке горизонтальна. На гладком графике такие точки обычно совпадают с локальными максимумами и минимумами функции s(t). Именно поэтому в подобных заданиях нужно искать не «где график пересекает ось», а все внутренние вершины и впадины.

В условии сказано, что на промежутке (0;10) локальные экстремумы находятся в точках t=2, t=4, t=7 и t=9. Это четыре внутренние точки, в которых касательная горизонтальна, значит s'(t)=0 и скорость равна нулю.

Важно не допустить типичную ошибку: не нужно учитывать концы промежутка. В точках t=0 и t=10 даже если график там «поворачивает» или кажется почти горизонтальным, это не подходит, потому что по условию рассматривается именно открытый промежуток (0;10). На ЕГЭ это особенно важно: если экстремум находится на границе области определения, его нельзя автоматически считать моментом, когда производная равна нулю, так как производная в граничной точке может вообще не рассматриваться в обычном смысле.

Ещё одна тонкость: нулевая скорость не означает, что путь равен нулю. Путь s(t) может быть большим, но если график в этот момент имеет горизонтальную касательную, то s'(t)=0. Поэтому задача решается по форме графика, а не по его высоте.

Итак, внутренних точек экстремума четыре, следовательно, скорость обращается в ноль 4 раза.

Ответ: 4.