Цилиндры: площадь поверхности и объём: задания с ответами

Осевое сечение прямого кругового цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — диаметру основания. Это ключевой факт: в таких задачах диагональ осевого сечения связывает высоту и диаметр через теорему Пифагора.

Обозначим диаметр основания через d. Тогда по условию получаем прямоугольный треугольник с катетами 12 и d, гипотенузой 20:

d² + 12² = 20².

Отсюда:

d² = 400 - 144 = 256, значит d = 16.

Тогда радиус основания равен r = d/2 = 8.

Теперь применяем формулу площади боковой поверхности цилиндра:

S_бок = 2πrh.

Подставляем найденные значения:

S_бок = 2π · 8 · 12 = 192π.

Но в ответе требуется площадь, делённая на π, значит:

S_бок / π = 192.

Ответ: 192.

Важно не перепутать несколько типичных моментов. Во-первых, в осевом сечении используется диаметр, а не радиус. Если подставить радиус вместо диаметра в теорему Пифагора, получится неверный результат. Во-вторых, иногда школьники находят площадь полной поверхности, хотя в задаче спрашивается только боковая. В-третьих, если в условии просят «делённую на π», нужно в конце именно убрать π из ответа, а не оставлять его в записи.

Удобная стратегия для таких задач: 1) мысленно представить осевое сечение как прямоугольник; 2) по диагонали найти диаметр; 3) радиус взять вдвое меньше; 4) подставить в формулу боковой поверхности. Такая схема работает стабильно и помогает избежать потери баллов на ЕГЭ.

Обозначим радиус основания цилиндра через r, а высоту — через h. Для цилиндра нужно помнить две формулы:

S_{бок}=2\pi rh,

S_{полн}=S_{бок}+2\pi r^2.

Это ключевой момент: полная площадь поверхности включает не только боковую поверхность, но и два основания, каждое из которых имеет площадь \pi r^2. Поэтому добавка к боковой поверхности равна именно 2\pi r^2, а не \pi r^2.

По условию:

2\pi rh=48\pi, значит rh=24.

Теперь используем полную поверхность:

72\pi=48\pi+2\pi r^2.

Вычтем 48\pi:

24\pi=2\pi r^2.

Сократим на 2\pi:

r^2=12.

Так как радиус — положительная величина, получаем r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.

Ответ: 2\sqrt{3}.

Полезная стратегия для ЕГЭ: если даны боковая и полная площади, сначала сразу находите разность S_{полн}-S_{бок}. Это очень удобно, потому что разность равна площади двух оснований: 2\pi r^2. Во многих задачах после этого радиус находится почти мгновенно, без лишнего выражения высоты.

Типичные ошибки: 1) забывают про два основания и пишут S_{полн}=S_{бок}+\pi r^2; 2) путают радиус и высоту; 3) теряют множитель \pi при сокращении. Проверка себя проста: если из разности площадей получается положительное число, радиус обязан быть положительным, а не нулевым или отрицательным.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле S_бок = 2πrh, где r — радиус основания, h — высота цилиндра. Это одна из базовых формул стереометрии, и в задачах ЕГЭ важно не перепутать её с формулой площади основания πr² или с формулой полной поверхности S_полн = 2πrh + 2πr².

Подставим данные из условия: r = 3, h = 8. Тогда

S_бок = 2π·3·8 = 48π.

Следовательно, правильный ответ — 48π см².

Почему именно так? Боковая поверхность цилиндра при «развёртке» превращается в прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания, то есть 2πr. Поэтому площадь боковой поверхности равна произведению этих величин: 2πr·h. Это полезный способ самопроверки: если вы видите в ответе выражение вида 2πrh, значит формула применена верно.

Типичные ошибки на ЕГЭ: 1) считают πr², то есть площадь основания; 2) забывают множитель 2; 3) находят полную поверхность, добавляя площади двух оснований, хотя спрашивали только боковую; 4) ошибаются в порядке действий при подстановке чисел. Чтобы избежать таких ошибок, всегда сначала определяйте, что именно требуется: боковая, полная поверхность или объём.

Полная поверхность цилиндра состоит из двух частей: боковой поверхности и двух равных оснований. Это ключевой момент, из-за которого в задачах на цилиндр часто делают ошибку: берут только одно основание или забывают удвоить его площадь.

Если обозначить площадь боковой поверхности через S_{бок}, а площадь одного основания через S_{осн}, то для полной поверхности верна формула

S_{полн} = S_{бок} + 2\cdot S_{осн}.

Подставим данные из условия:

S_{полн} = 96 + 2\cdot 18 = 96 + 36 = 132 см².

Значит, правильный ответ — 132 см².

Как быстро проверять себя на экзамене: у цилиндра всегда два основания, и они равны. Поэтому если в условии дана площадь одного основания, его нужно обязательно умножить на 2. Если дана уже площадь обоих оснований, тогда удваивать ничего не нужно — это частая ловушка. Ещё одна типичная ошибка — перепутать боковую поверхность с полной: боковая поверхность — это только «обёртка» цилиндра, без кругов сверху и снизу.

Самопроверка: полная площадь должна быть больше боковой поверхности на величину, равную площади двух оснований. Здесь к 96 прибавили 36, поэтому ответ логичен.

Для решения нужно использовать формулу полной площади поверхности цилиндра:

S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh,

где r — радиус основания, h — высота цилиндра. Здесь важно не перепутать полную площадь поверхности с боковой: полная площадь включает два основания и боковую поверхность. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ.

По условию S_{полн} = 96\pi, r = 4. Подставим в формулу:

96\pi = 2\pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot h.

Считаем по частям:

2\pi \cdot 4^2 = 2\pi \cdot 16 = 32\pi,

поэтому получаем

96\pi = 32\pi + 8\pi h.

Теперь перенесём 32\pi в левую часть:

64\pi = 8\pi h.

Делим обе части на 8\pi:

h = 8.

Ответ: 8 см.

Полезная проверка: если r=4, то площадь двух оснований равна 2\pi r^2 = 32\pi. Остаётся 64\pi на боковую поверхность. При r=4 боковая площадь равна 2\pi rh = 8\pi h, значит 8\pi h = 64\pi, откуда действительно h=8. Такая самопроверка помогает избежать арифметических ошибок.

Типичные ловушки:

• использовать формулу боковой поверхности 2\pi rh вместо полной;
• забыть про два основания и взять только \pi r^2;
• ошибиться при раскрытии квадрата 4^2;
• сократить \pi только после того, как правильно составлено уравнение.

Если вы в задаче на цилиндр видите полную площадь поверхности, почти всегда первым шагом должно быть выписывание формулы 2\pi r^2 + 2\pi rh и аккуратная подстановка данных.

Обозначим радиус цилиндра через r, а высоту — через h. Для цилиндра важно не перепутать две формулы:

1) Площадь боковой поверхности: S_бок = 2πrh.

2) Полная площадь поверхности: S_полн = S_бок + 2πr²,

потому что к боковой поверхности добавляются два основания, каждое площадью πr².

По условию:

S_бок = 48π, S_полн = 72π.

Составим уравнение по формуле полной поверхности:

72π = 48π + 2πr².

Вычтем 48π из обеих частей:

24π = 2πr².

Сократим на 2π:

r² = 12.

Тогда

r = √12 = 2√3,

так как радиус — положительная величина.

Ответ: 2√3.

Почему этот способ надёжен на ЕГЭ: часто сначала пытаются находить высоту, но это не нужно. Если известны боковая и полная площади, то их разность сразу даёт площадь двух оснований: S_полн - S_бок = 2πr². Это самый быстрый путь к радиусу. Полезная самопроверка: разность площадей должна быть положительной, иначе условие было бы противоречивым. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что оснований два, и написать πr² вместо 2πr²; тогда получится неверный радиус. Также нельзя путать радиус с высотой: формула боковой поверхности содержит оба параметра, но в этой задаче высота вообще не требуется для ответа.

Полная поверхность цилиндра состоит из трёх частей: боковой поверхности и двух равных оснований. Это ключевой факт, который нужно помнить наизусть:

S_полн = S_бок + 2S_осн.

В задаче даны:

• площадь боковой поверхности: 48 см²;
• площадь одного основания: 18 см².

Тогда площадь двух оснований равна 2 · 18 = 36 см². Прибавляем боковую поверхность:

S_полн = 48 + 36 = 84 см².

Ответ: 84 см².

Почему именно так? У цилиндра два одинаковых основания — верхнее и нижнее. Если в условии дана площадь одного основания, то её обязательно нужно удвоить. Частая ошибка на ЕГЭ — прибавить только одно основание и получить 48 + 18 = 66. Это неверно, потому что в полную поверхность входят обе «крышки» цилиндра.

Ещё одна полезная проверка: площадь полной поверхности всегда больше площади боковой поверхности, но не в два раза автоматически. Она увеличивается на величину 2S_осн. В нашей задаче это добавка 36, поэтому ответ 84 выглядит разумно.

Если бы в условии была дана площадь всех оснований сразу, тогда можно было бы просто сложить с боковой поверхностью. Но здесь дано именно одно основание, поэтому формулу нужно применять аккуратно.

Ключевая идея здесь — связать данные о цилиндре через его осевое сечение. Для прямого кругового цилиндра осевое сечение всегда представляет собой прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра, а другая — диаметру основания. Это очень важно, потому что в условии дана не сама окружность, а диагональ этого прямоугольника.

Обозначим высоту цилиндра через h, диаметр основания через d. По условию:

h = 8, диагональ осевого сечения равна 17.

Тогда в прямоугольнике осевого сечения можно применить теорему Пифагора:

d² + h² = 17².

Подставляем h = 8:

d² + 8² = 17², то есть d² + 64 = 289.

Отсюда d² = 225, значит d = 15. Это диаметр основания, а значит радиус равен

r = d / 2 = 15 / 2.

Теперь используем формулу площади боковой поверхности цилиндра:

S_бок = 2πrh.

По условию нужно найти S_бок / π, поэтому сразу можно сократить π:

S_бок / π = 2rh.

Подставим найденные значения:

2 · (15/2) · 8 = 15 · 8 = 120.

Итак, ответ: 120.

Почему именно так решается задача: в подобных задачах часто пытаются сразу использовать формулу площади боковой поверхности, но забывают, что радиус в условии не дан напрямую. Диагональ осевого сечения — это подсказка, что нужно сначала восстановить диаметр по теореме Пифагора. Только после этого удобно находить площадь.

Типичные ошибки:

• путают радиус и диаметр; в осевом сечении фигурирует именно диаметр;
• берут формулу полной поверхности вместо боковой;
• находят r, но забывают, что в ответе нужно значение S_бок / π, а не сама площадь;
• ошибочно считают осевое сечение треугольником или квадратом — на самом деле это прямоугольник.

Самопроверка: если диаметр получился 15, то он действительно меньше диагонали 17 и вместе с высотой 8 даёт тройку 8–15–17. Это хороший признак, что вычисления верны. Далее площадь боковой поверхности должна быть больше, чем площадь боковой полосы с высотой 8 и длиной окружности примерно 47,1; значение 120 для результата без π выглядит разумно.

Используем формулу полной площади поверхности цилиндра:

\(S_{\text{полн}}=2\pi r^2+2\pi rh\),

где \(2\pi r^2\) — площади двух оснований, а \(2\pi rh\) — площадь боковой поверхности. Это очень важный момент: в задачах на цилиндр часто ошибочно берут только боковую поверхность \(2\pi rh\), но здесь прямо сказано полная площадь поверхности, значит нужно учитывать и основания.

Подставим данные:

\(96\pi=2\pi\cdot 4^2+2\pi\cdot 4\cdot h\).

Вычислим:

\(96\pi=32\pi+8\pi h\).

Перенесём \(32\pi\) в левую часть:

\(64\pi=8\pi h\).

Теперь разделим обе части на \(8\pi\):

\(h=8\).

Ответ: 8.

Как проверить себя на экзамене: если радиус дан и полная площадь выражена через \(\pi\), удобно сначала вынести \(\pi\) и сократить его после подстановки. Ещё одна частая ошибка — забыть квадрат радиуса в площади оснований: должно быть именно \(2\pi r^2\), а не \(2\pi r\). В этой задаче правильный ответ получается целым числом, что хорошо согласуется с условием.

Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Это ключевой момент: если найти только одно основание или только боковую поверхность, ответ будет неверным.

Формула полной поверхности цилиндра:

S_полн = 2πr² + 2πrh.

Здесь:

• 2πr² — площадь двух кругов-оснований;
• 2πrh — площадь боковой поверхности.

Подставим r = 3 и h = 5:

S_полн = 2π·3² + 2π·3·5 = 2π·9 + 30π = 18π + 30π = 48π.

Но по условию нужно не само значение площади, а площадь, делённая на π. Поэтому:

S_полн / π = 48.

Ответ: 48.

Полезная стратегия для ЕГЭ: сначала выписывайте формулу целиком, а уже потом подставляйте числа. Так вы снижаете риск потерять один из слагаемых. Очень частая ошибка — забыть про множитель 2 у основания: оснований у цилиндра два, и каждый круг учитывается отдельно. Другая типичная ловушка — после вычисления оставить в ответе π, хотя в подобных задачах обычно требуется именно нормированный ответ без π. Хорошая самопроверка: если в записи площади у вас осталось π, а в условии просят разделить на π, значит финальный ответ должен быть обычным числом.

Осевое сечение прямого кругового цилиндра — это прямоугольник. Его одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — диаметру основания. Это ключевой факт: в задачах такого типа нельзя сразу подставлять радиус, пока мы его не найдём из геометрии сечения.

Обозначим высоту цилиндра через h = 8, а диаметр основания через d. Диагональ осевого сечения равна 17, значит в прямоугольнике со сторонами 8 и d выполняется теорема Пифагора:

d² + 8² = 17².

Тогда

d² = 289 - 64 = 225, откуда d = 15. Следовательно, радиус основания r = d/2 = 7,5.

Теперь используем формулу площади боковой поверхности цилиндра:

S_бок = 2πrh.

Нам требуется найти S_бок / π, поэтому сразу делим формулу на π:

S_бок/π = 2rh = 2 · 7,5 · 8 = 120.

Можно заметить более быстрый путь: поскольку 2r = d, то S_бок = πdh, а значит S_бок/π = dh = 15 · 8 = 120. Это удобная проверка, если диаметр уже найден.

Ответ: 120.

Типичные ошибки:

• путают радиус и диаметр и пишут πdh как будто d — это радиус;
• находят полную площадь поверхности вместо боковой;
• забывают, что в осевом сечении цилиндра именно диаметр, а не радиус, является второй стороной прямоугольника;
• не делят результат на π, хотя это прямо требуется в условии.

Для самопроверки полезно помнить: если в ответе просят площадь боковой поверхности, делённую на π, то часто получается обычное произведение высоты на диаметр. Это хороший способ быстро проверить вычисления.

Обозначим высоту цилиндра через h, радиус основания — через r. По условию h = 12, а диагональ осевого сечения равна 20.

Ключевая идея здесь такая: осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра h, а другая сторона равна диаметру основания 2r. Поэтому в нашем случае стороны прямоугольника — это 12 и 2r, а его диагональ — 20.

Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику:

12² + (2r)² = 20².

Тогда:

144 + 4r² = 400,

4r² = 256,

r² = 64, откуда r = 8 (радиус берём положительным).

Теперь найдём площадь боковой поверхности цилиндра. Для цилиндра она равна произведению длины окружности основания на высоту:

S_бок = 2πrh.

Подставляем найденные значения:

S_бок = 2π · 8 · 12 = 192π.

По условию нужно найти площадь боковой поверхности, делённую на π:

S_бок/π = 192.

Ответ: 192.

Важно не перепутать: в осевом сечении цилиндра одна сторона — это диаметр, а не радиус. Типичная ошибка на экзамене — подставить в теорему Пифагора r вместо 2r, из-за чего ответ получится в 2 раза меньше. Ещё одна частая ошибка — найти полную площадь поверхности вместо боковой. Для этой задачи нужна именно боковая поверхность, поэтому формула 2πrh — единственно правильная.

Полезная проверка: если диагональ 20, а высота 12, то диаметр основания должен быть достаточно большим, и действительно получается 2r = 16. Это согласуется с Пифагоровой тройкой 12–16–20, значит вычисления выглядят разумно.