Условная вероятность: задания с ответами

Здесь требуется найти вероятность совместного наступления двух событий: участник А правильно решил первое задание и правильно решил второе. В задачах на последовательные испытания это почти всегда означает, что нужно перемножить вероятности, но важно понять, почему именно так.

Обозначим:

• A — правильно решено задание отборочного тура;
• B — правильно решено задание финала.

По условию:

• P(A)=0{,}8;
• P(B\mid A)=0{,}6, то есть вероятность успеха во втором испытании при условии, что первое уже успешно выполнено.

Тогда вероятность того, что произойдут оба события, равна формуле условной вероятности:

P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A).

Подставляем числа:

P(A \cap B)=0{,}8\cdot 0{,}6=0{,}48.

Ответ: 0,48.

Почему нельзя складывать? Это частая ошибка. Сложение вероятностей применяется для альтернативных событий типа «или первое, или второе», а здесь нужно, чтобы выполнились оба события подряд. Для «оба» используется умножение.

Полезная проверка для ЕГЭ: если вероятность каждого шага меньше 1, то вероятность выполнить оба шага тоже должна быть меньше каждой из них. У нас 0,48 действительно меньше 0,8 и меньше 0,6, значит ответ выглядит разумно.

Ещё один важный нюанс: во второй части задачи дана условная вероятность, а не просто вероятность второго события сама по себе. Это означает, что именно такая вероятность успеха на финале рассматривается после успешного отбора. Если бы в условии было сказано, что финал независим от отбора, тогда можно было бы писать P(A\cap B)=P(A)P(B). Но здесь зависимость уже учтена через P(B\mid A).

Стратегия для подобных задач на экзамене:

1. выписать все этапы по порядку;
2. понять, какие вероятности даны: обычные или условные;
3. для вероятности успеха во всех испытаниях использовать произведение;
4. проверить, что ответ лежит между 0 и 1.

Искомое событие — это «первые две попытки неудачны, а третья — успешна». В задачах на первый успех важно не просто знать вероятность успеха в одной попытке, а правильно описать всю последовательность исходов до нужного момента.

Обозначим вероятность успеха через p = 0,25. Тогда вероятность неудачи в одной попытке равна 1 - p = 0,75.

Чтобы первый успех пришёлся ровно на 3-ю попытку, должны произойти три события подряд:

• 1-я попытка — неудача: вероятность 0,75;
• 2-я попытка — неудача: вероятность 0,75;
• 3-я попытка — успех: вероятность 0,25.

Поскольку испытания независимы, вероятности перемножаются:

P = 0,75 · 0,75 · 0,25 = 0,75² · 0,25 = 0,140625.

Это частный случай формулы геометрического распределения:

P(k) = (1 - p)^{k - 1} · p,

где k — номер попытки, на которой произошёл первый успех. Здесь k = 3, поэтому получаем именно (1 - 0,25)² · 0,25.

Почему часто ошибаются:

• пишут 0,75³, забывая умножить на успех на последней попытке;
• пишут 0,25³, перепутывая успех и неудачу;
• используют формулу 1 - (1 - p)^{k - 1}, но это вероятность хотя бы одного успеха за несколько попыток, а не ровно на k-й;
• не замечают, что речь именно о первом успехе, поэтому все предыдущие попытки обязаны быть неудачными.

Ответ: 0,140625.

Здесь нужно найти вероятность совместного успеха на двух этапах. Ключевая идея такая: если требуется, чтобы произошло и первое событие, и второе, то при последовательных этапах с меняющимися условиями используем правило умножения вероятностей:

P(оба успеха) = P(успех на 1-м этапе) · P(успех на 2-м этапе при условии, что 1-й этап уже успешно пройден).

Это очень важный тип задач ЕГЭ: нельзя просто складывать вероятности и нельзя забывать, что после первого этапа условия изменились. Во втором этапе вероятность уже не та же самая, что в первом.

Подставим данные из условия:

P = 0,7 · 0,4.

Вычисляем:

0,7 · 0,4 = 0,28.

Следовательно, искомая вероятность равна 0,28.

Почему именно умножение? Потому что мы ищем вероятность того, что произойдут оба события подряд. В таких задачах обычно удобно мыслить через дерево вероятностей: сначала выбирается исход первого этапа, а затем, в зависимости от него, — исход второго. Если нас интересует только ветка «успех–успех», то вероятность этой ветки равна произведению вероятностей на каждом звене.

Типичные ошибки:

• Складывают 0,7 и 0,4, получая 1,1 — это неверно: сумма вероятностей используется для несовместных событий в других ситуациях, а не для «успеха на обоих этапах».
• Берут 0,7 · 0,7, забывая, что во втором этапе вероятность изменилась.
• Путают событие «выиграть оба этапа» с событием «выиграть хотя бы один этап» — это разные задачи.

Как самопроверяться на экзамене: если в условии есть слова «если... то...», «после этого», «при новом условии», почти всегда второй этап имеет свою вероятность, и её нужно подставлять отдельно. Затем проверяйте: ответ должен быть в промежутке от 0 до 1. Здесь 0,28 — корректно.

Событие «для получения первого герба потребуется больше 3 бросков» означает, что в первых трёх бросках герб не выпал ни разу. Это ключевой момент: мы не считаем все возможные длинные серии, а сразу переводим условие задачи в очень простое событие — три последовательные неудачи.

Если вероятность герба равна 0,4, то вероятность не получить герб в одном броске равна 1 - 0,4 = 0,6. Поскольку броски независимы, вероятность трёх неудач подряд равна произведению вероятностей этих неудач:

0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,6³.

Итак, искомая вероятность равна 0,6³.

Почему нельзя взять 0,4³? Потому что 0,4 — это вероятность успеха, а нам нужно, наоборот, чтобы успеха не было в первых трёх попытках.

Почему нельзя написать 1 - 0,4³? Это была бы вероятность противоположного события: что герб появится не позже чем на третьем броске, то есть хотя бы один раз появится в первых трёх бросках. А в задаче спрашивают именно про случай, когда потребуется больше 3 бросков.

Общий приём для таких задач: если спрашивают вероятность того, что число попыток превысит k, нужно подумать о k первых попытках. Событие «превысит k» означает «во всех первых k попытках неудача». При независимых испытаниях ответ всегда равен p_{неудачи}^k.

Типичная ловушка на ЕГЭ: перепутать «больше k» и «не больше k». Если требуется больше 3 бросков, то первые 3 броска обязательно должны быть неудачными. Если же спрашивают «не более 3», тогда это противоположное событие и удобно считать как 1 - p_{неудачи}³.

Нужно найти вероятность совместного наступления двух успехов: попадания в первом выстреле и попадания во втором выстреле при условии, что первый выстрел был успешным.

Здесь очень важен ключевой момент: вероятность второго выстрела зависит от результата первого. Это типичная задача на условную вероятность и произведение вероятностей цепочки событий. Нельзя просто сложить вероятности и нельзя брать одну и ту же вероятность для обоих этапов, потому что условия во втором этапе меняются.

Обозначим:

• A — спортсмен попал в мишень на первом выстреле;
• B — спортсмен попал в мишень на втором выстреле.

По условию P(A)=0,6. Если первый выстрел был удачным, то вероятность попадания во втором выстреле равна P(B|A)=0,8.

Тогда вероятность того, что произойдут оба события, равна

P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=0,6·0,8=0,48.

Это и есть ответ.

Почему именно умножение? Формула P(A∩B)=P(A)P(B|A) применяется, когда нужно найти вероятность двух событий подряд, причём второе зависит от первого. В ЕГЭ это особенно часто встречается в задачах про испытания, турнирные туры, проверки качества, отбор и т.п.

Типичные ошибки:

1. Складывают 0,6 и 0,8. Это неверно, потому что требуется не “одно из двух”, а “оба сразу”.
2. Берут 0,5 вместо 0,8, перепутав условие. Но 0,5 относится к ситуации, когда первый выстрел был промахом, а нам нужен случай, когда первый выстрел был попаданием.
3. Считают события независимыми. Здесь они не независимы, потому что второй выстрел зависит от результата первого.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если в задаче сказано “если произошло первое событие, то вероятность второго стала такой-то”, почти всегда нужно писать произведение вида P(первое)·P(второе при первом). Если требуется “успех на всех этапах”, то обычно ищется именно такая цепочка произведений.

Здесь речь идёт о классической схеме «повторяющиеся независимые испытания до первого успеха». Это именно та ситуация, для которой используется геометрическое распределение: нас интересует вероятность того, что первый успех случится на заданной попытке.

Чтобы успех оказался ровно на 4-й попытке, должны одновременно произойти два условия:

1) первые три попытки должны закончиться неудачей;
2) четвёртая попытка должна быть успешной.

Вероятность успеха в одной попытке равна 0,3, значит вероятность неудачи равна 1 − 0,3 = 0,7.

Поскольку испытания независимы, вероятности этих событий перемножаются:

P = 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,7³ · 0,3.

Вычислим:

0,7³ = 0,343, поэтому

P = 0,343 · 0,3 = 0,1029.

Ответ: 0,1029.

Почему так важно не перепутать формулу? Частая ошибка — умножить 0,3 четыре раза или написать 0,3³·0,7. Это неверно, потому что до нужной попытки должны быть именно неудачи, а успех нужен только на последней, четвёртой попытке. В подобных задачах удобно запоминать общий вид:

P(first success on k-th attempt) = (1 − p)^k−1 · p,

где p — вероятность успеха в одной попытке.

Проверка здравым смыслом: вероятность должна быть меньше 1 и достаточно небольшой, потому что требуется, чтобы три раза подряд не повезло, а потом повезло. Это хорошо согласуется с полученным числом 0,1029.

Как действовать на ЕГЭ: сначала выпишите, что должно произойти до нужной попытки, затем найдите вероятность неудачи, после чего перемножьте все множители по порядку. Если задача звучит «ровно на k-й попытке», почти всегда речь именно о последовательности из k−1 неудач и одного успеха.

Здесь важно увидеть, что речь идёт о совместном успехе на двух этапах, причём вероятность второго этапа зависит от результата первого. Это типичная задача на условную вероятность в профильном ЕГЭ: нельзя просто складывать вероятности и нельзя считать этапы независимыми, если в условии прямо сказано, что после первого успеха меняется соперник и, значит, меняется вероятность победы во втором матче.

Обозначим события:

• A — игрок выиграл первый матч;
• B — игрок выиграл второй матч.

По условию P(A)=0,6, а вероятность выиграть второй матч при условии, что первый уже выигран, равна P(B|A)=0,75.

Тогда вероятность выиграть оба матча находится по формуле умножения для совместного наступления событий:

P(A∩B)=P(A)·P(B|A).

Подставляем числа:

P(A∩B)=0,6·0,75=0,45.

Ответ: 0,45.

Почему здесь именно умножение? Потому что второй матч наступает после первого, и для того чтобы выиграть оба, нужно сначала выиграть первый, а затем — второй при новом условии. Вероятность успеха на обоих этапах равна произведению вероятности первого успеха и условной вероятности второго успеха после первого.

Типичные ошибки:

• Сложение: 0,6 + 0,75 — это не вероятность двух успехов, а совершенно другая величина, которая здесь не имеет смысла.
• Неверное умножение на вероятность поражения: иногда по невнимательности берут 1 − 0,75 = 0,25, хотя спрашивают именно вероятность победы во втором матче.
• Игнорирование условия: если бы во втором матче вероятность не менялась, это была бы другая задача. Здесь ключевое слово — если он выиграл первый матч.

Как самопроверяться на ЕГЭ: если в задаче есть фраза вида «если произошло событие A, то вероятность события B равна ...», почти всегда нужно искать условную вероятность и для «успеха во всех этапах» применять произведение. Если спрашивают именно «оба», «все», «и первый, и второй», то обычно нужен переход к совместному событию через формулу P(A∩B)=P(A)P(B|A).

Нужно найти вероятность того, что произойдут оба успеха подряд: сначала попадание в первом выстреле, затем попадание во втором. В таких задачах ключевая идея — не складывать вероятности, а учитывать цепочку событий.

Обозначим:

• A — участник попал в первый раз;
• B — участник попал во второй раз.

По условию вероятность первого попадания равна P(A)=0,5.

Дальше важно заметить, что вероятность второго попадания зависит от результата первого выстрела. Если после первого выстрела мишень сбита, то во втором раунде вероятность попадания равна 0,4. Если не сбита — 0,7. Но для события «попасть в обоих выстрелах» нам нужен именно путь, где первый выстрел успешен и затем выполняется условие второго этапа, связанное с этим результатом. Значит, для совместного успеха берём вероятность первого успеха и вероятность второго успеха при соответствующем условии.

Искомая вероятность равна произведению:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = 0,5 · 0,4 = 0,2.

Ответ: 0,20.

Почему здесь нельзя просто сложить 0,5 и 0,4? Потому что сложение вероятностей используется для объединения событий («или»), а здесь спрашивают о совместном наступлении событий («и»). Для «и» в задачах с последовательными этапами почти всегда работает правило умножения: сначала успех на первом этапе, потом успех на втором при нужном условии.

Типичная ловушка: ученики иногда подставляют вероятность второго этапа без учёта зависимости от первого или выбирают число 0,7, потому что оно тоже есть в условии. Но 0,7 относится к другому случаю — когда первый этап закончился не так, как требуется для события «успех на обоих этапах». Поэтому всегда сначала точно формулируйте событие, а потом выбирайте нужную условную вероятность.

Как самопроверяться на ЕГЭ: если в задаче просят вероятность двух последовательных успехов, проверьте три вещи: 1) что именно считается успехом; 2) меняется ли условие после первого этапа; 3) какая условная вероятность соответствует именно нужной ветви. После этого обычно нужно только одно действие — умножение.

Здесь речь идёт о событии «первый успех на k-й попытке», то есть до нужной попытки должны быть только неудачи, а на самой k-й — успех. Это типичная ситуация геометрического распределения.

Обозначим вероятность успеха в одной попытке через p = 0.3. Тогда вероятность неудачи равна 1 - p = 0.7.

Чтобы первый успех произошёл ровно на 4-й проверке, нужно, чтобы:

1) первые три проверки были неуспешными;
2) четвёртая проверка была успешной.

Так как проверки независимы, вероятности этих событий перемножаются:

P = (1 - p)^{4-1} · p = 0.7^3 · 0.3.

Считаем:

0.7^3 = 0.343, значит

P = 0.343 · 0.3 = 0.1029.

Итак, ответ: 0.1029.

Почему нельзя брать другие формулы? Частая ошибка — написать 0.7^4. Это вероятность четырёх неудач подряд, но тогда успеха на 4-й попытке вообще нет. Ещё одна ошибка — 0.3^4: это вероятность четырёх успехов подряд, что тоже не соответствует условию. Иногда путают с вероятностью «успех произойдёт не позже 4-й попытки», которая равна 1 - 0.7^4. Но здесь спрашивают именно о ровно 4-й попытке, а это совсем другое событие.

Полезная схема для самопроверки: если спрашивают «ровно на k-й попытке», то всегда пишем:

(неудача)^{k-1} · успех.

Это универсальная формула для первого успеха в серии независимых испытаний.

Событие «автомат выдаст больше 3 деталей» означает, что первая бракованная деталь не появится в первых трёх попытках. Это ключевая идея задач на число попыток до первого успеха (или до первого брака): чтобы процесс продолжался дольше заданного числа шагов, все первые шаги должны закончиться неудачей.

В данной задаче вероятность брака одной детали равна 0,2. Тогда вероятность небракованной детали в одной попытке равна 1 - 0,2 = 0,8.

Так как попытки независимы, вероятность того, что первые три детали окажутся небракованными, равна произведению этих вероятностей:

0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,8³.

Следовательно, искомая вероятность равна 0,8³.

Почему нельзя взять 0,2³? Потому что 0,2 — это вероятность брака, а нам нужно наоборот, чтобы брак не появился в первых трёх попытках. Частая ошибка — перепутать успех и неудачу в модели.

Почему не 0,8⁴? Потому что условие «больше 3 деталей» требует лишь трёх первых неудач. Четвёртая попытка уже не нужна: если первые три детали не бракованные, то автомат действительно выдал больше 3 деталей, независимо от результата четвёртой попытки.

Полезное правило для ЕГЭ: если требуется вероятность того, что число попыток превысит k, нужно взять вероятность неудачи в одной попытке и возвести её в степень k. То есть для события «процесс доживёт до (k+1)-й попытки» считаем вероятность k подряд неудач.

Здесь ответ: 0,8³.

Обозначим событие A: «для первого попадания потребуется больше 2 попыток». Это означает, что в первых двух попытках стрелок промахнётся. Именно так всегда решаются задачи на “число попыток превысит заданное значение”: если первый успех ещё не произошёл к моменту 2-й попытки, то первые 2 исхода должны быть неудачами.

Вероятность попадания в одной попытке равна 0,7, значит вероятность промаха равна 1 - 0,7 = 0,3.

Поскольку попытки независимы, вероятность двух промахов подряд равна произведению вероятностей:

P(A) = 0,3 · 0,3 = 0,3² = 0,09.

Ответ: 0,09.

Почему это важно понимать глубже: в задачах такого типа часто путают событие «больше 2 попыток» с событием «не более 2 попыток». На самом деле это противоположные события. Если требуется больше 2 попыток, то успеха не должно быть в первых двух испытаниях. Поэтому здесь всегда работает схема q^k, где q — вероятность неудачи, а k — число первых попыток, которые должны закончиться неудачей.

Типичные ошибки:

• берут 0,7² вместо 0,3², перепутав успех и неудачу;
• складывают вероятности вместо умножения;
• считают вероятность успеха «ровно на третьей попытке», хотя это другое событие. Для «ровно на третьей» нужно было бы первые две попытки проиграть, а третью — выиграть.

Проверка здравого смысла: событие «нужно больше 2 попыток» не может быть слишком вероятным, потому что успех достаточно частый (0,7). Получив 0,09, мы видим, что вероятность мала — это логично: два промаха подряд при вероятности промаха 0,3 случаются редко.

Обозначим событие A: «для первого успеха потребуется больше 2 попыток». Это значит, что успех не произошёл ни в первой, ни во второй попытке. Иначе говоря, первые две попытки должны оказаться неудачными.

Это ключевой момент во всех задачах такого типа: если процесс продолжается до первого успеха, то событие «понадобится больше k попыток» эквивалентно цепочке из k неудач подряд. Поэтому здесь нужно не рассуждать о всех возможных вариантах после второй попытки, а просто увидеть, что первые две попытки обязаны быть неудачными.

Вероятность успеха равна 0,7, значит вероятность неудачи в одной попытке равна

1 - 0,7 = 0,3.

Попытки независимы, поэтому вероятность двух неудач подряд равна произведению вероятностей:

P(A) = 0,3 · 0,3 = 0,3² = 0,09.

Ответ: 0,09.

Почему здесь легко ошибиться:

• некоторые вместо вероятности неудачи берут вероятность успеха 0,7 и получают неверный ответ 0,49;
• другие считают, что нужно «после двух попыток всё равно может случиться успех», но это уже не влияет на событие «больше 2 попыток»: нас интересует только то, что первые две попытки не дали успеха;
• иногда пытаются складывать вероятности, хотя при независимых последовательных событиях с фиксированным порядком нужно именно умножать.

Общая формула для ЕГЭ: если вероятность успеха в одной попытке равна p, то вероятность неудачи равна 1-p. Тогда вероятность того, что первый успех произойдёт позже чем через k попыток, равна

(1-p)^k.

Здесь k = 2, поэтому получаем (1-0,7)² = 0,09.