Комбинации круглых тел: площади поверхностей и объёмы: задания с ответами

Обозначим через O центр основания конуса, через S — вершину, а через A — любую точку окружности основания. По условию центр сферы тоже находится в точке O, а сама сфера проходит и через вершину конуса, и через окружность основания. Значит, её радиус равен как расстоянию OS, так и расстоянию OA.

Из условия о расположении сферы следует важная геометрическая связь: OS = OA = r, где r — радиус сферы. Но в прямом круговом конусе отрезок OS — это высота h, а OA — радиус основания R. Поэтому здесь автоматически получаем

h = R = r.

Теперь используем образующую конуса. Образующая l, высота h и радиус основания R образуют прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора

l² = h² + R².

Так как h = R, получаем

l² = 2r².

При l = 10 имеем

100 = 2r², то есть r² = 50.

Следовательно,

r = 5√2.

Ответ: 5√2.

Почему здесь нельзя просто взять половину образующей? Это типичная ошибка. Радиус сферы не связан напрямую с образующей как половина или удвоение: сначала нужно понять, что центр сферы совпадает с центром основания, а значит радиус сферы равен и высоте конуса, и радиусу основания. Только после этого работает Пифагор.

Как проверять себя на ЕГЭ: если в задаче сказано, что сфера проходит через вершину и окружность основания, а её центр — в центре основания, то почти всегда нужно приравнять высоту и радиус основания конуса. Тогда задача сводится к одному уравнению через образующую.

Ключевая идея здесь очень простая, но именно на ней часто теряют баллы: если у цилиндра и конуса одинаковые основание и высота, то в формулах объёма отличаются только коэффициенты.

Формулы такие:

V_{цилиндра} = S_осн · h,

V_конуса = 1/3 · S_осн · h.

Значит, при одинаковых S_осн и h объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра. Это не зависит ни от радиуса, ни от конкретной высоты: если параметры одинаковы, отношение объёмов всегда одно и то же.

В задаче дан объём цилиндра: 54 см³. Тогда

V_конуса = 54 / 3 = 18 см³.

Ответ: 18 см³.

Полезно проверять себя так: если конус и цилиндр стоят на одном и том же основании и одинаково «высоки», то конус всегда занимает лишь треть объёма цилиндра, потому что его «наклонные стенки» сужают тело к вершине. Типичная ошибка — взять половину или забыть коэффициент 1/3 и написать тот же объём, что у цилиндра. Ещё одна ловушка — пытаться искать радиус или высоту, хотя в этой задаче они не нужны: достаточно сравнения формул.

Для экзамена удобно запомнить короткое правило: при одинаковых основании и высоте конус = 1/3 цилиндра. Если же в условии сказано наоборот, что дан объём конуса, то объём цилиндра будет в 3 раза больше.

Обозначим радиус основания через r, а высоту через h. По условию цилиндр и конус имеют одинаковые основание и высоту, а также h = r.

Сначала используем формулу площади боковой поверхности цилиндра:

S_цил = 2πrh.

Так как h = r, получаем

S_цил = 2πr².

По условию это равно 36π, значит

2πr² = 36π, откуда r² = 18, то есть r = 3√2 (берём положительное значение, так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдём образующую конуса. В сечении через ось конуса получается прямоугольный треугольник с катетами r и h, поэтому по теореме Пифагора:

l = √(r² + h²).

Так как h = r, то

l = √(r² + r²) = r√2.

Подставим найденный радиус: l = 3√2 · √2 = 6.

Теперь используем формулу боковой поверхности конуса:

S_кон = πrl.

Тогда

S_кон = π · 3√2 · 6 = 18π√2.

Ответ: 18π√2.

Почему часто ошибаются: 1) путают высоту конуса с образующей и пишут S = πrh, как для цилиндра; 2) забывают, что у конуса нужна именно образующая, а не высота; 3) неверно извлекают корень из r² = 18; 4) не учитывают, что в геометрических задачах длины положительны.

Стратегия для ЕГЭ: если в задаче даны цилиндр и конус с одинаковыми r и h, сначала выразите r или h из формулы цилиндра, затем найдите образующую конуса через Пифагора и только после этого подставляйте в формулу боковой поверхности конуса. Это позволяет избежать типичной подмены формул и быстро проверить себя на логическую согласованность.

Ключевая идея здесь очень простая, но именно на ней часто делают ошибки: если у цилиндра и конуса одинаковые площадь основания S и высота h, то их объёмы отличаются только постоянным коэффициентом из формулы.

Формулы таковы:

• объём цилиндра: V_цил = S·h;
• объём конуса: V_кон = 1/3 · S·h.

Поскольку S и h у тел одинаковые, можно сразу сравнить формулы: объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра.

Тогда

V_кон = 81 / 3 = 27 см³.

Ответ: 27 см³.

Почему это важно на ЕГЭ: здесь не нужно искать радиус, высоту или подставлять числа в длинные выражения. Если тела имеют одинаковое основание и одинаковую высоту, достаточно помнить отношение объёмов: конус : цилиндр = 1 : 3. Это экономит время и уменьшает риск вычислительных ошибок.

Типичные ловушки:

• путать конус с цилиндром и писать объём без коэффициента 1/3;
• умножать 81 на 3 вместо деления на 3;
• ошибочно считать, что при одинаковом основании и высоте объёмы равны.

Проверка ответа: объём конуса должен быть меньше объёма цилиндра в 3 раза, значит число 27 выглядит логично: 27 · 3 = 81.

Ключевая идея здесь очень простая, но на ЕГЭ её важно видеть быстро: если у цилиндра и конуса одинаковое основание и одинаковая высота, то их объёмы отличаются только коэффициентом в формуле.

Формулы такие:

V_{цилиндра} = S_осн · h

V_конуса = (1/3) · S_осн · h

Так как основание и высота одинаковые, величины S_осн и h у этих тел одинаковы. Значит, объём конуса составляет ровно одну треть объёма цилиндра:

V_конуса = (1/3) · V_{цилиндра} = (1/3) · 84 = 28.

Ответ: 28 см³.

Полезная проверка для самоконтроля: объём конуса при тех же основании и высоте всегда меньше объёма цилиндра в 3 раза. Если в ответе получилось число больше 84 или не кратное 28 в этой задаче, значит где-то была ошибка в коэффициенте. Частая ловушка на экзамене — перепутать формулу и забыть множитель 1/3 у конуса. Иногда ученики начинают искать радиус и высоту отдельно, хотя здесь это не нужно: задача решается сразу по отношению объёмов.

Итак, стратегия для таких задач на ЕГЭ профильного уровня: 1) заметить одинаковые основание и высоту; 2) вспомнить, что у конуса в формуле стоит коэффициент 1/3; 3) взять треть от известного объёма. Это самый быстрый и надёжный путь.

Если шар вписан в цилиндр, это означает, что цилиндр «обнимает» шар со всех сторон: боковая поверхность цилиндра касается шара по окружности, а основания цилиндра касаются шара в верхней и нижней точках. Из этой геометрической связи сразу следуют два важных соотношения.

1) Радиус цилиндра равен радиусу шара, то есть R = 5 см. Это частая ловушка: некоторые ученики по ошибке берут диаметр шара как радиус цилиндра. Но цилиндр должен быть равен шару по ширине, значит именно радиус одинаковый.

2) Высота цилиндра равна диаметру шара, то есть h = 2R = 10 см. Это тоже нужно понимать геометрически: шар касается обоих оснований цилиндра, поэтому расстояние между основаниями совпадает с расстоянием между верхней и нижней точками шара.

Теперь используем формулу объёма цилиндра:

V = πR²h.

Подставляем найденные значения:

V = π · 5² · 10 = π · 25 · 10 = 250π.

По условию ответ нужно записать в виде V/π, значит делим полученный объём на π:

V/π = 250.

Ответ: 250.

Как проверять себя на экзамене: при вписанном шаре в цилиндр всегда быстро вспоминайте пару связей R цилиндра = r шара и h цилиндра = 2r шара. После этого объём находится почти в один шаг. Ошибка обычно возникает не в формуле, а именно в неверном считывании геометрических размеров.

Обозначим радиус шара через R, а высоту конуса — через h. По условию R = 10 см, а радиус основания конуса тоже равен R. Это очень важная особенность задачи: основание конуса имеет радиус, равный радиусу шара, значит в осевом сечении конуса основание изображается отрезком длины 2R.

Ключевая идея таких задач — перейти к осевому сечению. Если рассмотреть сечение шара плоскостью, проходящей через ось конуса, то:

• шар даст окружность радиуса R;
• конус даст равнобедренный треугольник;
• вершина конуса лежит на окружности;
• концы диаметра основания конуса тоже лежат на окружности, потому что радиус основания равен радиусу шара.

Теперь важно понять геометрию расположения. Так как все размеры симметричны относительно оси, центр шара лежит на оси конуса. В осевом сечении центр шара находится на середине отрезка, соединяющего вершину конуса с центром основания. Если обозначить центр шара через O, вершину конуса через A, а центр основания через B, то точки A, O, B лежат на одной прямой, причём OA = R и OB — это расстояние от центра шара до плоскости основания.

Поскольку радиус основания равен радиусу шара, в осевом сечении основание конуса — это хорда окружности длины 2R. А любая хорда, равная диаметру, проходит через центр окружности. Значит, плоскость основания проходит через центр шара. Тогда центр основания конуса совпадает с центром шара, то есть B = O.

Отсюда следует, что высота конуса равна расстоянию от вершины до центра шара, то есть

h = OA = R?

Стоп — здесь легко допустить типичную ошибку. Если основание конуса лежит в плоскости, проходящей через центр шара, то точки основания лежат на «экваторе» шара, а вершина находится на противоположной стороне сферы по оси. В таком случае высота конуса — это не радиус шара, а диаметр шара. Почему? Потому что вершина лежит на поверхности шара, а плоскость основания проходит через центр шара. Следовательно, от вершины до плоскости основания расстояние равно сумме двух отрезков по радиусу: от вершины до центра шара и от центра до плоскости основания. Оба равны R.

Итак,

h = R + R = 2R = 20 см.

Ответ: 20.

Полезная проверка для ЕГЭ: если радиус основания конуса равен радиусу шара, то основание должно быть «максимальной» хордой шара, то есть диаметром. Значит, плоскость основания проходит через центр шара. Тогда высота конуса всегда равна диаметру шара. Это быстрый способ самопроверки без длинных вычислений.

Если шар вписан в цилиндр, то это означает два геометрических условия:

1. радиус цилиндра равен радиусу шара;
2. высота цилиндра равна диаметру шара.

Это ключевая идея таких задач: сначала надо не спешить с формулой, а восстановить размеры цилиндра из условия касания. Многие ошибки здесь связаны именно с тем, что ученик берёт высоту равной радиусу, хотя на самом деле шар касается двух оснований цилиндра, значит расстояние между основаниями — это весь диаметр.

Обозначим радиус шара через R=5 см. Тогда:

• радиус цилиндра r=5 см;
• высота цилиндра h=2R=10 см.

Теперь используем формулу объёма цилиндра:

V=πr²h.

Подставляем найденные значения:

V=π·5²·10=π·25·10=250π.

По условию ответ нужно записать в виде числа, делённого на π. Значит, требуемое число равно 250.

Проверка логики: у цилиндра радиус и высота выражены через один и тот же параметр R, поэтому объём всегда можно быстро записать как V=2πR³. Здесь это даёт 2π·5³=250π, что совпадает с вычислением выше.

Типичные ловушки:

• взять высоту цилиндра равной 5, а не 10;
• перепутать радиус и диаметр;
• забыть, что в ответе требуется число без множителя π.

Итак, ответ: 250.

Если шар вписан в цилиндр, то у них есть две ключевые связи:

1. радиус цилиндра равен радиусу шара: R;

2. высота цилиндра равна диаметру шара: h = 2R.

Это стандартная геометрическая модель, и именно её нужно использовать. Частая ошибка на ЕГЭ — подставить в формулу объёма шара вместо цилиндра или забыть, что высота цилиндра вдвое больше радиуса шара.

Запишем объём цилиндра:

V = πR²h.

Так как h = 2R, получаем:

V = πR²·2R = 2πR³.

По условию объём равен 54π, значит:

2πR³ = 54π.

Сократим на π и разделим на 2:

R³ = 27.

Тогда

R = 3.

Итак, радиус шара равен 3.

Почему ответ получается именно так: при вписывании шара в цилиндр объём цилиндра выражается через один параметр — радиус шара. Это удобный приём: не нужно вводить отдельно радиус основания и высоту, потому что они уже связаны. На экзамене полезно сначала переводить всё в один параметр, а затем решать уравнение.

Самопроверка: если R = 3, то высота цилиндра 6, а объём действительно равен π·3²·6 = 54π. Значит, решение верно.

Ключевая идея здесь — понять, какие точки принадлежат сфере и как из условия про положение центра восстановить её радиус.

Пусть O — центр основания конуса, S — вершина конуса, а A — любая точка окружности основания. По условию центр сферы совпадает с центром основания, то есть центр сферы — это точка O. Тогда радиус сферы — это расстояние от O до любой точки сферы.

Так как сфера описана около конуса, она проходит через вершину S и через окружность основания. Значит, расстояния OS и OA равны радиусу сферы. Но в условии сказано, что центр сферы находится в центре основания, а это означает, что точки окружности основания находятся на сфере на расстоянии, равном радиусу основания конуса. Поэтому надо аккуратно выделить геометрические связи.

В прямом круговом конусе отрезок SO — это высота h, а OA — радиус основания R. Для точки A на окружности основания расстояние от центра сферы O до A равно R, значит радиус сферы равен R. Но вершина S тоже лежит на сфере, значит OS тоже равно радиусу сферы. Следовательно, h = R.

Теперь используем образующую l = 10. В осевом сечении конуса получаем прямоугольный треугольник с катетами h и R и гипотенузой l. Так как h = R, имеем:

l² = h² + R² = R² + R² = 2R².

Тогда

R = l/√2 = 10/√2 = 5√2.

Следовательно, радиус сферы равен 5√2.

Почему это типичная ловушка? Многие по ошибке думают, что радиус сферы равен либо половине образующей, либо самой образующей. Это неверно: сначала нужно установить, какие именно расстояния равны радиусу сферы, а затем связать их с элементами конуса. В этой задаче решающим является условие о совпадении центра сферы с центром основания конуса, из-за чего возникает равенство h = R.

Проверка ответа: если h = R, то l = R√2. При l = 10 получаем R = 5√2, что действительно согласуется с формулой для прямоугольного треугольника.

Если цилиндр описан около шара, это означает, что шар касается боковой поверхности цилиндра и обоих его оснований. В такой ситуации размеры цилиндра однозначно выражаются через радиус шара.

1) Радиус основания цилиндра равен радиусу шара: R = 5.

2) Высота цилиндра равна диаметру шара: h = 2R = 10.

3) Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами 2R и h. Поскольку здесь h = 2R, получаем квадрат со стороной 10.

4) Диагональ осевого сечения находим по теореме Пифагора:

d = √(10² + 10²) = √200 = 10√2.

Ответ: 10√2.

Полезно помнить общий результат: для цилиндра, описанного около шара радиуса R, диагональ его осевого сечения равна 2R√2. Частая ошибка — брать за диагональ просто высоту или удваивать радиус только один раз. Ещё одна типичная ловушка — забыть, что осевое сечение цилиндра имеет стороны именно диаметр основания и высоту, а не радиус и высоту. На экзамене удобно сначала выписать геометрические связи: r = R, h = 2R, а затем сразу применить Пифагора к прямоугольнику осевого сечения.

Рассмотрим геометрию конфигурации внимательно. Основание конуса совпадает с большим кругом шара, значит радиус основания конуса равен радиусу шара: r=R. Вершина конуса лежит на поверхности шара, а плоскость основания проходит через центр шара (потому что это большой круг). Тогда высота конуса равна расстоянию от вершины до плоскости большого круга, то есть тоже h=R.

Это ключевой момент, который часто путают: некоторые ученики ошибочно считают, что высота равна диаметру шара. Это было бы верно, если бы вершина и основание находились на противоположных сторонах шара по оси, но здесь основание проходит через центр, а вершина лежит на противоположной стороне сферы относительно этой плоскости, поэтому именно h=R.

Теперь запишем объём конуса:

V_{\text{конуса}}=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi R^2\cdot R=\frac13\pi R^3.

Объём шара:

V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3.

Сравним эти выражения. Видно, что

V_{\text{шара}}=4\,V_{\text{конуса}}.

Значит, если объём конуса равен 36\pi, то объём шара равен

4\cdot 36\pi=144\pi.

Ответ: 144\pi.

Полезная проверка для ЕГЭ: в таких задачах удобно сначала искать не сами размеры, а отношение объёмов. Если радиус основания конуса равен радиусу шара и высота конуса тоже равна радиусу шара, то отношение объёмов всегда фиксировано: шар в 4 раза больше конуса. Это экономит время и снижает риск арифметической ошибки.

Типичные ловушки: 1) подставить вместо высоты диаметр и получить неверный коэффициент; 2) перепутать формулу объёма конуса с формулой объёма цилиндра; 3) забыть, что радиус основания здесь совпадает с радиусом шара, а не с его диаметром.