Классическое определение вероятности: задания с ответами

Используем классическое определение вероятности: P = \frac{m}{n}, где n — общее число равновозможных исходов, а m — число благоприятных исходов.

В этой задаче случайный эксперимент — это достать один шар. Всего шаров 12, значит, общее число исходов равно 12.

Событие — шар оказался не красным. Не красные шары — это синие и зелёные: 5 + 3 = 8 шаров. Значит, благоприятных исходов 8.

Тогда вероятность равна:

P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.

Следовательно, правильный ответ: 2/3.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Сначала всегда находите общее число всех исходов.
• Потом аккуратно определяйте, что значит условие задачи. Здесь «не красный» — это все, кроме красных.
• Не забудьте, что вероятность не может быть больше 1 и должна соответствовать смыслу задачи.

Частая ошибка: некоторые ученики считают только синие шары и забывают про зелёные. Тогда получается неверное число благоприятных исходов. Ещё одна ошибка — делить 8 на 4, потому что красных 4, хотя нужны именно не красные шары.

Полезный приём для таких задач: если событие сформулировано через «не», проще сначала найти противоположные исходы, а потом исключить их из общего числа.

Для решения таких задач используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

В нашей задаче все шары одинаковые на вид, значит любой из 12 шаров может быть выбран с одинаковой вероятностью. Это важно: именно поэтому можно применять формулу P = k / n, где n — общее число исходов, а k — число благоприятных исходов.

1) Найдём общее число исходов.
Всего в коробке 12 шаров, значит n = 12.

2) Найдём число благоприятных исходов.
Нужно, чтобы шар оказался синим. Синих шаров 4, значит k = 4.

3) Подставим в формулу.
P = k / n = 4 / 12 = 1 / 3.

Значит, правильный ответ — 1/3.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перепутайте общее число шаров и число шаров нужного цвета;
• сначала определяйте, что является всеми возможными исходами, а потом — что является благоприятными;
• если дробь можно сократить, обязательно сократите её до конца;
• помните: вероятность всегда находится в промежутке от 0 до 1.

В этой задаче можно было бы ошибочно взять, например, 12/4 — это обратное отношение, но вероятность так не считается. Ещё одна типичная ошибка — считать неблагоприятные исходы: здесь их 8, но по условию нужен именно синий шар, поэтому нужны 4 благоприятных исхода.

Здесь применяется классическое определение вероятности: P = m/n, где n — число всех равновероятных исходов, а m — число благоприятных исходов.

1) Считаем все возможные исходы. На шкале 12 отметок, и стрелка может остановиться на любой из них с одинаковой вероятностью. Значит, n = 12.

2) Аккуратно разбираем границы дуги. По условию нужно попасть в дуговой интервал от 4 до 9 включительно, причём направление задано: идти по часовой стрелке от 4 к 9. Это означает, что в благоприятные исходы входят отметки 4, 5, 6, 7, 8, 9. Очень важно не забыть, что обе границы включены.

3) Считаем благоприятные исходы. Их 6.

4) Находим вероятность:

P = 6/12 = 1/2.

Итак, правильный ответ: 1/2.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — посчитать только внутренние отметки и забыть границы, получив 4 вместо 6. Другая ошибка — неправильно понять направление дуги и начать считать «короткую» дугу или пройти через ноль, хотя в задаче чётко сказано, что идём по часовой стрелке от 4 к 9. В подобных задачах всегда полезно сначала выписать все отметки, которые входят в интервал, а уже потом делить их число на общее количество отметок.

Стратегия самопроверки для ЕГЭ: если интервал записан как «от A до B включительно», то число благоприятных отметок обычно равно числу целых чисел от A до B, то есть B - A + 1, если движение идёт в обычном порядке и не происходит перехода через начало отсчёта. Здесь это даёт 9 - 4 + 1 = 6, что совпадает с подсчётом вручную.

Это задача на классическое определение вероятности. Если все карандаши выбираются равновероятно, то вероятность события находят по формуле:

P = число благоприятных исходов / число всех равновероятных исходов.

Разберём задачу по шагам.

1. Найдём общее число карандашей.
Красных 8, синих 5, зелёных 7. Значит, всего:

8 + 5 + 7 = 20.

2. Определим число благоприятных исходов.
Нас интересует событие: «выбран синий карандаш». Таких карандашей 5, значит, благоприятных исходов тоже 5.

3. Составим дробь вероятности.

P = 5/20 = 1/4.

Значит, правильный ответ: 1/4.

Почему так? Потому что при случайном выборе одного предмета каждый карандаш имеет одинаковый шанс попасться. Вероятность — это не просто количество нужных предметов, а отношение нужных предметов к общему числу предметов.

Частые ошибки:

1) Берут только часть коробки и забывают сложить все карандаши. Нужно считать все объекты.

2) Путают числитель и знаменатель. В числителе всегда количество благоприятных исходов, в знаменателе — общее количество исходов.

3) Складывают числа вместо деления. В вероятности обычно нужно именно отношение, а не сумма.

4) Не сокращают дробь. В ОГЭ ответ часто удобно записать в виде несократимой дроби.

Как быстро решать такие задания на экзамене:

• сначала посчитайте все предметы;
• потом посчитайте только те, которые подходят под условие;
• запишите дробь и сократите её, если можно.

В этой задаче: 5 подходящих из 20 всех, значит вероятность равна 1/4.

Здесь используется геометрическое определение вероятности: если точка выбирается равномерно по площади, то вероятность попадания в нужную область равна отношению площади благоприятной области к площади всей области-носителя.

Обозначим:

• вся область — квадрат со стороной 10 см;
• благоприятная область — окружность радиуса 3 см, находящаяся внутри квадрата.

Тогда

P = S(окружности) / S(квадрата).

Площадь квадрата:

S_кв = 10² = 100.

Площадь круга:

S_кр = πr² = π·3² = 9π.

Следовательно,

P = 9π / 100.

Это и есть искомая вероятность.

Правильный ответ: 9π/100.

Почему так решают на ЕГЭ: в задачах на геометрическую вероятность важно не путать площадь с длиной, периметром или радиусом. Вероятность зависит именно от отношения площадей, а не от отношения линейных размеров. Частая ошибка — написать 3/10, потому что радиус меньше стороны квадрата в 10/3 раза. Но это неверно: при равномерном выборе точки сравниваются именно площади, а площадь круга растёт как квадрат радиуса.

Проверка здравым смыслом: окружность радиуса 3 см заметно меньше квадрата 10×10, значит вероятность должна быть меньше 1/2. Полученное число 9π/100 ≈ 0,283 действительно выглядит разумно.

Стратегия для самопроверки: 1) определить, какая фигура является всей областью; 2) найти площадь благоприятной области; 3) разделить; 4) убедиться, что ответ лежит между 0 и 1. Если получилось больше 1 или отрицательное число, значит где-то допущена ошибка.

Используем классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

В задаче выбирают одну деталь из 24. Значит, общее число исходов равно 24.

Нужно найти вероятность того, что деталь небракованная. Сначала определим, сколько таких деталей в коробке. Всего деталей 24, бракованных 7, значит небракованных:

24 − 7 = 17.

Теперь находим вероятность:

P = 17/24.

Это и есть ответ. В десятичной форме это примерно 0,7083, но в заданиях ОГЭ часто удобнее оставлять дробь, если в вариантах ответа она есть.

Как не ошибиться:

• не перепутайте событие: спрашивают про небракованную деталь, а не про бракованную;
• сначала найдите число подходящих предметов, а потом делите на общее число;
• проверьте, что вероятность не больше 1: дробь 17/24 подходит, потому что она меньше 1.

Типичная ошибка — взять 7/24, если автоматически прочитать задачу про бракованные детали. Но здесь нужно именно противоположное событие, поэтому числитель должен быть 17.

Здесь удобно использовать классическое определение вероятности:

P = k / n, где n — общее число равновозможных исходов, а k — число благоприятных исходов.

Сначала найдём, сколько всего карандашей в коробке: 12. Это и есть общее число исходов.

Теперь нужно понять, что значит событие «карандаш не будет синим». Это означает, что мы выбираем любой карандаш, кроме синего. Синих карандашей 5, значит, не синих осталось:

12 - 5 = 7.

Теперь считаем вероятность:

P = 7 / 12.

Ответ: 7/12.

Почему так важно смотреть на дополнение? В задачах этого типа часто проще сначала найти количество объектов с противоположным свойством, а потом вычесть его из общего числа. Если событие — «не синий», то благоприятными будут все не синие предметы.

Частые ошибки:

• путают событие «не синий» с событием «синий»;
• делят число синих карандашей на общее число, хотя спрашивают про противоположное событие;
• забывают, что вероятность — это именно отношение, а не разность.

Как проверять себя на ОГЭ: если в условии есть слова «не», «не будет», «не попался», «не выбрали», сначала подумайте о противоположном событии. Затем найдите нужное число объектов и подставьте в формулу k / n.

Используем классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов.

1. Определяем все возможные исходы.
Карточку выбирают одну, и любая из 18 карточек может попасться с одинаковой вероятностью. Значит, всего исходов 18.

2. Находим благоприятные исходы.
Нас интересует событие «выпала синяя карточка». Синих карточек в коробке 5, значит благоприятных исходов тоже 5.

3. Составляем дробь.
P = 5/18.

4. Проверяем ответ.
Вероятность должна быть меньше 1, и здесь это так: 5/18 < 1. Это разумный ответ.

Почему нельзя делить на 5?
Иногда ученики путают число благоприятных исходов и общее число карточек. Делить нужно именно благоприятные исходы на все возможные исходы, то есть 5 на 18, а не наоборот.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

• сначала найди, сколько всего объектов;
• потом определи, сколько подходит под условие;
• запиши вероятность как дробь подходящие/всего;
• если нужно, сократи дробь или переведи в десятичную.

Ответ: 5/18.

Используем классическое определение вероятности: если все исходы равновозможны, то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

1) Найдём общее число шаров. В коробке 5 красных, 4 синих и 3 зелёных шара, значит всего:

5 + 4 + 3 = 12.

2) Определим благоприятные исходы. Нас интересует случай, когда вынутый шар синий. Таких шаров 4, значит благоприятных исходов 4.

3) Составим дробь по формуле:

P = 4 / 12 = 1 / 3.

Ответ: 1/3.

Полезно помнить, что в задачах ОГЭ часто ошибаются в двух местах: берут не общее число предметов, а только часть; или путают благоприятные и неблагоприятные исходы. Здесь важно было считать именно синие шары, а не все, кроме синих. Ещё одна типичная ошибка — не сократить дробь. Записывать ответ лучше в виде несократимой дроби или десятичной дроби, если это удобно.

Алгоритм для таких задач всегда один: сначала найти всё количество предметов, потом — сколько из них подходят по условию, затем разделить второе на первое. Если тренироваться по такому плану, можно быстро и без ошибок решать задания на классическую вероятность.

Рассмотрим классическое определение вероятности: если все элементарные исходы равновероятны, то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

Здесь эксперимент состоит из двух независимых подбрасываний правильной монеты. У каждого подбрасывания 2 равновероятных исхода: орёл (О) или решка (Р). Значит, всего возможных упорядоченных исходов:

OO, OR, RO, RR.

Их ровно 4, и все они равновероятны. Теперь разберём условие задачи: число орлов должно быть не меньше 1 и не больше 2. При двух бросках число орлов может быть 0, 1 или 2, но нас устраивают случаи с 1 орлом и 2 орлами.

Перечислим благоприятные исходы:

• OR — один орёл;
• RO — один орёл;
• OO — два орла.

Благоприятных исходов 3. Тогда

P = 3/4 = 0,75.

Почему здесь важно именно перечисление исходов? Потому что в задачах на классическую вероятность нередко путают событие «число орлов от 1 до 2» с чем-то вроде «вероятность орла в одном броске». Нужно считать именно комбинации результатов всего эксперимента, а не отдельные бросания по отдельности.

Полезная стратегия для ЕГЭ: сначала выписать все элементарные исходы, затем перевести словесное условие в список подходящих комбинаций, после чего просто разделить количество подходящих исходов на общее число исходов. Это особенно надёжно, когда испытаний мало и можно легко ничего не пропустить.

Ответ: 0,75.

Это задача на геометрическую вероятность. В таких задачах вероятность события равна отношению площади благоприятной области к площади всей области, если точка выбирается равновероятно по всей фигуре.

Здесь вся область — это квадрат со стороной a, а благоприятная область — вписанная в него окружность. Значит, нужно найти

P = S_окр / S_кв.

Так как окружность вписана в квадрат, её диаметр равен стороне квадрата, то есть d = a, а радиус r = a/2. Это очень важный момент: в формуле площади круга используется именно радиус, а не диаметр. Одна из самых частых ошибок на ЕГЭ — подставить в формулу площадь круга как πa² или потерять квадрат у радиуса.

Теперь найдём площади:

S_окр = π(a/2)² = πa²/4,

S_кв = a².

Тогда

P = (πa²/4) / a² = π/4.

Обратите внимание на красивое свойство: сторона квадрата сократилась, поэтому ответ не зависит от конкретного значения a. Это нормально для задач на отношение площадей — в вероятности остаётся только безразмерная величина.

Ответ: π/4.

Как проверять себя на экзамене: если вероятность получилась больше 1, значит где-то допущена ошибка; если в ответе нет числа π, нужно перепроверить, не была ли потеряна площадь круга; если получили 1/4, скорее всего, забыли множитель π; если получили π/2, часто это связано с ошибкой в радиусе.

Здесь используется классическое определение вероятности: если все элементарные исходы равновероятны, то

\(P(A)=\dfrac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{число всех исходов}}\).

Важно сразу понять, что считается элементарным исходом. При бросании двух кубиков исходом является упорядоченная пара вида \((a,b)\), где \(a\) — результат первого кубика, \(b\) — второго. Поэтому всего исходов

\(6\cdot 6=36\).

Теперь разбираем условие: сумма очков не меньше 9, то есть возможны суммы 9, 10, 11, 12.

Перечислим число пар для каждой суммы:

• сумма 9: \((3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\) — 4 исхода;
• сумма 10: \((4,6),(5,5),(6,4)\) — 3 исхода;
• сумма 11: \((5,6),(6,5)\) — 2 исхода;
• сумма 12: \((6,6)\) — 1 исход.

Итого благоприятных исходов: \(4+3+2+1=10\).

Тогда

\(P=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}\approx 0{,}278\).

Если ответы даны с округлением до тысячных, то записываем 0,278.

Почему здесь часто ошибаются?

• Считают, что исходов 6+6=12, хотя на самом деле нужно перемножать: результаты двух независимых испытаний образуют пары.
• Забывают, что порядок важен: \((3,6)\) и \((6,3)\) — разные исходы.
• Неверно считают количество комбинаций для сумм 9, 10, 11, 12.
• Ошибаются в округлении: \(5/18\approx 0{,}2777...\), а не 0,28 при требовании трёх знаков после запятой.

Стратегия на ЕГЭ: сначала фиксируйте общее число равновероятных исходов, затем аккуратно перечисляйте все подходящие комбинации. Если условие задано через сумму, удобно разбивать событие на несколько случаев и складывать число благоприятных исходов по каждому случаю.