Арксинус и арккосинус (тригонометрические обратные функции): задания с ответами

Используем ключевую идею: значение arccos всегда лежит в промежутке [0, π]. Поэтому, даже если внутри стоит синус, нужно сначала переписать его через косинус и затем выбрать именно тот угол, который находится в допустимой области значений арккосинуса.

Имеем:

sin(7π/12) = cos(π/2 - 7π/12).

Вычислим разность:

π/2 = 6π/12, значит π/2 - 7π/12 = 6π/12 - 7π/12 = -π/12.

Тогда

sin(7π/12) = cos(-π/12) = cos(π/12), потому что косинус — чётная функция.

Теперь выражение принимает вид

arccos(sin(7π/12)) = arccos(cos(π/12)).

Так как π/12 ∈ [0, π], арккосинус «узнаёт» этот угол напрямую, и получаем:

arccos(cos(π/12)) = π/12.

Ответ: π/12.

Почему здесь легко ошибиться: многие по привычке пишут arccos(cos x)=x всегда, но это верно только если x уже лежит в промежутке значений арккосинуса, то есть от 0 до π. Если бы после преобразования получился угол вне этого промежутка, пришлось бы заменять его на эквивалентный угол из [0, π]. Поэтому в задачах на композиции тригонометрических и обратных функций всегда нужно делать два шага: сначала свести к cos, затем обязательно проверить область значений arccos.

Ключевая идея здесь такая: функция arccos не «возвращает исходный угол автоматически», а выбирает главное значение из промежутка [0; π]. Именно это и нужно помнить при вычислении композиции arccos(cos x).

Сначала посмотрим на сам угол: π/5 лежит в промежутке [0; π], потому что он положителен и меньше π. А это означает важный факт: на основном промежутке арккосинуса выполняется равенство

arccos(cos x) = x, если x ∈ [0; π].

Следовательно,

arccos(cos (π/5)) = π/5.

Почему это не ловушка? Потому что косинус периодичен, и одному и тому же значению косинуса соответствуют бесконечно многие углы. Например, cos(π/5) = cos(2π - π/5), и даже cos(-π/5) тоже тот же самый. Но arccos из всех этих углов выберет только тот, который лежит в интервале [0; π]. Для π/5 это условие уже выполнено, поэтому ответ совпадает с исходным углом.

Именно здесь часто ошибаются: подменяют arccos(cos x) на просто x для любого x. Это неверно. Например, если бы угол был больше π или отрицательным, пришлось бы заменить его на эквивалентный угол из основного промежутка. В этой задаче такой дополнительный пересчёт не нужен, потому что π/5 уже находится в правильном диапазоне.

Ответ: π/5.

Ключевая идея здесь — помнить область значений арксинуса. По определению

arcsin x ∈ [−90°, 90°]

То есть функция arcsin не возвращает «любой» угол, синус которого равен заданному числу, а выбирает главное значение — единственный угол из стандартного интервала.

Рассмотрим выражение arcsin(sin 150°). Сначала упростим внутреннюю часть:

sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.

Значит, нам нужно найти arcsin(1/2). Теперь проверяем, какой угол из интервала [−90°, 90°] имеет синус, равный 1/2. Это 30°, потому что

sin 30° = 1/2,

и при этом 30° действительно лежит в допустимой области значений арксинуса.

Следовательно,

arcsin(sin 150°) = 30°.

Ответ: 30.

Типичная ошибка — написать 150. Это неверно, потому что 150° не принадлежит области значений арксинуса. Арксинус «сжимает» ответ в главный интервал. На ЕГЭ по профильной математике всегда полезно сразу проверять: лежит ли исходный угол в [−90°, 90°]. Если да — ответ часто совпадает с углом; если нет — нужно найти эквивалентный угол из этого интервала с тем же значением синуса.

Ключевая идея здесь — арккосинус не возвращает исходный угол автоматически. Он всегда даёт главное значение, то есть угол из промежутка [0,\pi].

Сначала найдём значение косинуса аргумента:

\(\cos\frac{7\pi}{6}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Теперь нужно вычислить arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right). Мы ищем такой угол \alpha, что:

1) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}\);

2) \(\alpha\in[0,\pi]\).

Подходящий угол — \(\alpha=\frac{5\pi}{6}\), потому что \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\) и этот угол действительно лежит в области значений арккосинуса.

Ответ: \(\frac{5\pi}{6}\).

Почему не \(\frac{7\pi}{6}\)? Потому что \(\frac{7\pi}{6}\notin[0,\pi]\). Это типичная ошибка: ученик находит угол с нужным косинусом и забывает, что обратная функция выбирает не любой, а главный угол.

Как быстро проверять такие задачи на ЕГЭ: если видите arccos(cos x), сначала определите, где расположен исходный угол, а затем «перенесите» его в интервал [0,\pi] по тому же значению косинуса. Если угол уже лежит в этом промежутке, то ответ совпадает с ним; если нет — нужно заменить его на эквивалентный главный угол.

В этой задаче важно также не перепутать ответ в радианах с градусами: \(150^\circ\) — это то же самое, что \(\frac{5\pi}{6}\), но в ответе требуется радианная мера.

Нужно вспомнить не область определения функции \arccos x, а именно её область значений. Это типичная ловушка в заданиях на обратные тригонометрические функции.

Для функции арккосинус по определению выбирается главное значение:
\arccos x \in [0; \pi].

Почему именно так? Потому что косинус на отрезке [0; \pi] принимает все значения от -1 до 1 ровно один раз, и именно на этом отрезке обратная функция задаётся однозначно. Поэтому при любых допустимых x значение y = \arccos x всегда лежит между 0 и \pi, включая концы.

Значит, верное двойное неравенство:

0 \le \arccos x \le \pi.

Проверим типичные ошибки:

• -1 \le x \le 1 — это область определения арккосинуса, а не его значения.
• -\frac{\pi}{2} \le \arccos x \le \frac{\pi}{2} — это похоже на диапазон арксинуса, но не арккосинуса.
• 0 < \arccos x < \pi — неверно, потому что при x=1 получаем \arccos 1=0, а при x=-1 получаем \arccos(-1)=\pi; концы нужны с включением.

Следовательно, правильный ответ — неравенство 0 \le \arccos x \le \pi.

Сначала найдём значение синуса угла 5π/6. Это угол из второй четверти, и его опорный угол равен π/6, поэтому

sin(5π/6)=sin(π/6)=1/2.

Теперь нужно вычислить arccos(1/2). По определению арккосинуса его значение всегда лежит в промежутке [0; π]. В этом промежутке косинус равен 1/2 при угле π/3, потому что

cos(π/3)=1/2.

Следовательно,

arccos(sin(5π/6))=arccos(1/2)=π/3.

Ответ: π/3.

Полезный экзаменационный смысл здесь такой: сначала мы вычисляем значение тригонометрической функции, а потом уже подбираем угол не любой, а именно тот, который лежит в области значений арккосинуса. Это очень важный нюанс. Например, для числа 1/2 косинус равен и при π/3, и при 5π/3, но арккосинус выбирает только π/3, потому что 5π/3 не принадлежит промежутку [0; π].

Типичная ошибка в таких заданиях — перепутать арккосинус с решением уравнения cos x=1/2. Уравнение имеет бесконечно много решений, а значение arccos — одно единственное, выбранное по правилу главного значения. Ещё одна частая ошибка — взять угол из неверной четверти или записать ответ в градусах вместо радиан.

Если хотите быстро самопровериться на экзамене, держите в голове два шага: 1) найти значение синуса; 2) среди углов с таким косинусом выбрать тот, что лежит в [0; π]. Тогда не будет путаницы с периодичностью и знаками.

Ключевая идея здесь — помнить, что арккосинус возвращает главное значение в промежутке [0, \(\pi\)]. Поэтому даже если косинус у двух углов одинаковый, arccos выберет не любой из них, а только тот, который лежит в указанном диапазоне.

Рассмотрим выражение arccos(cos(\(\tfrac{7\pi}{3}\))). Сначала упростим угол внутри косинуса с учётом периодичности: \(\tfrac{7\pi}{3} = 2\pi + \tfrac{\pi}{3}\). Так как cos(x) имеет период 2\pi, то

cos(\(\tfrac{7\pi}{3}\)) = cos(\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{1}{2}.

Теперь нужно найти число из отрезка [0, \(\pi\)], косинус которого равен \(\tfrac{1}{2}\). На этом отрезке таким углом является только \(\tfrac{\pi}{3}\), потому что cos(\tfrac{\pi}{3}) = \tfrac{1}{2}, и этот угол действительно лежит в диапазоне главных значений арккосинуса.

Следовательно,

arccos(cos(\tfrac{7\pi}{3})) = \tfrac{\pi}{3}.

Ответ: \(\tfrac{\pi}{3}\).

Типичные ошибки: 1) написать \(\tfrac{7\pi}{3}\) как ответ, забыв про диапазон [0, \(\pi\)]; 2) перепутать арккосинус с обратной функцией без ограничения и считать, что можно оставить любой сонаправленный угол; 3) дать ответ в градусах вместо радиан. Для самопроверки всегда делайте два шага: сначала сокращайте угол по периодичности косинуса, затем выбирайте эквивалентный угол именно из отрезка [0, \(\pi\)].

Ключевая идея здесь — помнить, что арккосинус не является просто обратной функцией к косинусу на всей числовой прямой. Функция cos x периодична, поэтому одно и то же значение косинуса может соответствовать бесконечно многим углам. Чтобы композиция arccos(cos x) была однозначной, у арккосинуса есть главное значение: оно всегда лежит в отрезке [0, π].

Разберём пример: 7π/4 — это угол больше π, поэтому он не может быть ответом арккосинуса напрямую. Сначала найдём, чему равен косинус этого угла:

cos(7π/4) = cos(2π - π/4) = cos(π/4) = √2/2.

Теперь надо найти такое число из промежутка [0, π], косинус которого равен √2/2. На этом отрезке косинус принимает значение √2/2 при угле π/4, и именно он является главным значением арккосинуса:

arccos(√2/2) = π/4.

Значит,

arccos(cos(7π/4)) = π/4.

Ответ: π/4.

Важно для ЕГЭ: типичная ошибка — писать 7π/4 или -π/4, ориентируясь только на равенство косинусов. Это неверно, потому что арккосинус по определению возвращает только значение из [0, π]. Ещё одна ловушка — перепутать π/4 и 3π/4: у обоих углов косинус не одинаковый, а для косинуса важны не только модуль, но и расположение на единичной окружности. Полезная проверка: найденный ответ должен лежать в [0, π] и иметь тот же косинус, что и исходный угол.

Ключевая идея здесь — помнить, что арксинус не возвращает любой угол с данным синусом, а выбирает главное значение из стандартного промежутка

[-90°, 90°].

Это самая частая ловушка в задачах на обратные тригонометрические функции: если просто увидеть sin 150° и написать arcsin(sin 150°)=150°, то это будет ошибкой, потому что 150° не принадлежит области значений арксинуса.

Разберём по шагам.

1) Сначала найдём значение синуса:

sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2.

2) Теперь нужно вычислить:

arcsin(1/2).

Арксинус — это угол из промежутка [-90°, 90°], синус которого равен 1/2. Такой угол — 30°, потому что sin 30° = 1/2 и 30° действительно лежит в допустимом интервале.

Значит,

arcsin(sin 150°) = 30°.

Почему не 150°? Потому что для арксинуса важно не просто равенство синусов, а ещё и условие выбора главного угла. У углов 30° и 150° синус одинаковый, но арксинус выбирает только тот из них, который попадает в свой стандартный промежуток.

Полезная стратегия для ЕГЭ:

— если угол уже лежит в [-90°, 90°], то arcsin(sin α)=α;

— если нет, сначала найдите эквивалентный угол с тем же синусом, но из допустимого интервала;

— удобно сводить углы к опорным, используя формулы вида sin(180°-x)=sin x.

Частая ошибка: путать арксинус с «обратной функцией в обычном смысле» и забывать об ограничении области значений. Именно это проверяют в таких заданиях.

По определению arcsin x — это такое число t из промежутка [-π/2; π/2], для которого sin t = x. Поэтому при вычислении arcsin(sin θ) нельзя просто «сократить» arcsin и sin: нужно найти главное значение, то есть угол из допустимого интервала с тем же синусом.

Здесь θ = 5π/6. Заметим, что этот угол не принадлежит промежутку [-π/2; π/2], значит ответом не может быть сам 5π/6. Найдём угол из основного промежутка с тем же синусом.

Имеем: sin(5π/6) = 1/2. Теперь нужно вспомнить, какой угол из интервала [-π/2; π/2] имеет синус 1/2. Это π/6, потому что sin(π/6) = 1/2 и π/6 действительно лежит в допустимом промежутке.

Следовательно, arcsin(sin(5π/6)) = π/6.

Почему не −π/6? Угол −π/6 имеет синус −1/2, а не 1/2. Это типичная ошибка: путают знак из-за симметрии на окружности.

Почему не 5π/6? Потому что арксинус всегда возвращает только главное значение в интервале [-π/2; π/2]. Именно это ограничение делает обратную тригонометрическую функцию однозначной.

Практическая стратегия для ЕГЭ: 1) сначала вычислите значение синуса; 2) затем подберите угол с тем же синусом в основном интервале; 3) обязательно проверьте, что ответ попадает в [-π/2; π/2]. Если ответ не попадает, он не может быть значением arcsin.

Ключевая идея здесь очень важная для всей темы обратных тригонометрических функций: арккосинус не является просто “обратной операцией” к косинусу на всей числовой прямой. Функция cos периодична, поэтому одному и тому же значению косинуса соответствуют бесконечно многие углы. Чтобы ответ был однозначным, у функции arccos заранее выбран основной промежуток значений: [0; π].

Поэтому выражение arccos(cos x) надо понимать так: мы берём число cos x и ищем тот угол из отрезка [0; π], косинус которого такой же.

Рассмотрим наш угол 5π/6. Он уже лежит в основном промежутке [0; π], потому что 0 < 5π/6 < π. Это означает, что никаких “перестроек” делать не нужно: арккосинус просто вернёт этот же угол.

Следовательно,

arccos(cos 5π/6) = 5π/6.

Ответ: 5π/6.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ловушка — пытаться применить “сокращение” и написать, что arccos(cos x)=x всегда. Это неверно. Например, при x=7π/6 такой приём уже сломается, потому что 7π/6 не принадлежит [0; π], и тогда арккосинус вернёт другой, эквивалентный по косинусу угол из основного промежутка.

Ещё одна типичная ошибка — путать основное значение с любым углом, имеющим тот же косинус. Для экзамена важно помнить именно правило выбора: arccos всегда выдаёт угол только из [0; π]. Если исходный угол уже в этом промежутке, ответ совпадает с ним; если нет — нужно заменить его на эквивалентный угол из основного промежутка.

Полезная самопроверка на ЕГЭ: после нахождения ответа быстро убедитесь, что он действительно лежит в [0; π]. Для 5π/6 это верно, значит результат корректен.

Нужно вычислить arccos(cos(7π/6)). Здесь важно помнить не только таблицу значений косинуса, но и главное значение функции арккосинуса.

1. Какой диапазон у arccos?
Функция arccos по определению возвращает угол только из промежутка [0; π]. Это ключевой момент: если даже исходный угол больше π или отрицательный, ответом всё равно будет не он сам, а эквивалентный угол из этого основного диапазона.

2. Найдём косинус исходного угла.
Угол 7π/6 = π + π/6 лежит в III четверти. В III четверти косинус отрицателен, и

cos(7π/6) = -cos(π/6) = -√3/2.

3. Какой угол из [0; π] имеет такой же косинус?
Нужно найти угол β из промежутка [0; π], для которого cos β = -√3/2. Такой угол известен: это 5π/6, потому что

cos(5π/6) = -√3/2, и 5π/6 ∈ [0; π].

Следовательно,

arccos(cos(7π/6)) = 5π/6.

Ответ: 5π/6.

Почему часто ошибаются?
1) Пишут 7π/6 как ответ, забывая, что arccos не может выдавать значение вне [0; π].
2) Путают arccos(cos x) с тождеством x. Это неверно: такое равенство верно только для некоторых x из основного диапазона [0; π].
3) Забывают, что у косинуса два угла с одинаковым значением в пределах одного периода, но арккосинус выбирает только один — главный.

Проверка себя на экзамене: если получившийся ответ не лежит в [0; π], значит, он не может быть значением arccos. Всегда сводите угол к этому промежутку и только потом записывайте результат.