Длина дуги, площадь сектора и свойства хорд: задания с ответами

Площадь сектора находим по формуле

S = (α / 360°) · πR²,

где α — центральный угол, R — радиус окружности. Здесь важно не перепутать центральный угол с вписанным: формула именно для сектора, образованного двумя радиусами, а не для сегмента.

Подставим данные: R = 12, α = 150°.

Сначала найдём площадь всего круга:

πR² = π · 12² = 144π.

Теперь берём долю круга, соответствующую углу 150°:

150 / 360 = 5 / 12.

Тогда

S = (5/12) · 144π = 60π.

Итак, правильный ответ: 60π.

Почему здесь часто ошибаются:

• делят на 180 вместо 360, путая с формулами для углов в треугольнике;
• забывают возвести радиус в квадрат;
• находят не долю круга, а просто умножают радиус на угол, что для площади не подходит;
• путают градусы и радианы. В этой задаче угол дан в градусах, поэтому сразу используем формулу с 360°.

Самопроверка: угол 150° — это чуть меньше половины круга (половина — 180°), значит площадь сектора должна быть чуть меньше половины площади круга. Площадь круга равна 144π, половина — 72π, а наш ответ 60π действительно меньше 72π. Это хороший способ быстро проверить разумность результата на экзамене.

Ключевая идея здесь — не искать хорду напрямую по рисунку, а перевести задачу на язык центрального угла. Для хорды, на которую опирается вписанный угол, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в 2 раза больше вписанного.

В условии дано: ∠ABC = 60°. Это вписанный угол, опирающийся на хорду AC. Тогда соответствующий центральный угол ∠AOC равен

∠AOC = 2 · 60° = 120°.

Теперь используем формулу длины хорды через радиус и центральный угол:

AC = 2R sin(∠AOC/2).

Подставляем R = 5 и ∠AOC = 120°:

AC = 2 · 5 · sin 60° = 10 · √3/2 = 5√3.

Итак, AC = 5√3 см.

Почему именно синус, а не косинус? Формула хорды выводится из равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: половина хорды — это катет в прямоугольном треугольнике, а половина центрального угла стоит при вершине окружности. Поэтому длина хорды выражается через sin половины центрального угла, то есть через sin вписанного угла. Это важный нюанс: в этой формуле можно писать и AC = 2R sin ∠ABC, если ∠ABC — именно вписанный угол, а не центральный.

Частые ошибки в таких задачах:

1) Забывают удвоить вписанный угол и подставляют 60° как центральный. Тогда получают неверный результат.

2) Используют косинус вместо синуса. Для длины хорды нужна именно тригонометрическая связь через синус.

3) Путают радиус и диаметр. В формуле стоит 2R, а не просто R.

Быстрая самопроверка: при угле 60° хорда должна быть меньше диаметра 10 см, но больше радиуса 5 см, потому что она соответствует довольно большой дуге. Ответ 5&radm;3 ≈ 8,66 см этому соответствует.

Здесь площадь нужно найти по клетчатой сетке, а сама фигура — квадрат со стороной, равной числу клеток. Это самый надёжный способ в задачах такого типа: сначала определить длину стороны в единицах сетки, а затем воспользоваться формулой площади квадрата.

По рисунку видно, что вершины квадрата лежат в узлах сетки и каждая сторона проходит от одной вертикальной/горизонтальной линии сетки до другой, охватывая 4 единичных отрезка. Значит, сторона квадрата равна 4.

Площадь квадрата вычисляется по формуле

S = a²,

где a — сторона. Тогда

S = 4² = 16.

Итак, площадь закрашенной фигуры равна 16 квадратных единиц.

На что важно обратить внимание на экзамене: не путайте длину стороны и площадь. Если сторона равна 4, это не значит, что площадь тоже 4. Для квадрата площадь растёт как квадрат стороны. Ещё одна типичная ошибка — считать не по узлам, а по закраске «на глаз». В клетчатых задачах лучше всегда опираться на координаты узлов или на точный счёт клеток.

Проверка: если фигура действительно квадрат со стороной 4, то в нём помещается 4×4 = 16 единичных квадратов. Это согласуется с формулой площади.

Обозначим через s площадь одной клетки сетки. Тогда все линейные размеры, измеренные по рисунку в клетках, переводятся в обычные единицы умножением на корень из s по длинам и на s по площадям. В этой задаче удобнее сразу работать с площадью, потому что дана именно площадь сектора.

У сектора есть формула площади:

S = (α/360°)·πR²,

где α — центральный угол сектора, R — радиус круга.

По условию α = 60°, а радиус равен 6 клеткам. Значит, в “клеточных” единицах радиус равен 6, но нам нужно выразить его в обычных единицах длины через сторону клетки. Пусть сторона клетки равна a. Тогда

R = 6a.

Подставим это в формулу площади сектора:

6π = (60°/360°)·π·(6a)².

Сократим дробь 60/360 = 1/6:

6π = (1/6)·π·36a² = 6πa².

Теперь делим обе части на 6π:

a² = 1.

Но a² — это и есть площадь одной клетки сетки, значит ответ:

1.

Почему здесь важно не ошибиться: часто ученики подставляют радиус 6 прямо в формулу и получают S = 6π, забывая, что 6 — это число клеток, а не длина в единицах площади. В таких задачах всегда нужно связать геометрический размер на рисунке с реальной единицей измерения: если сторона клетки равна a, то все длины выражаются через a, а площади — через a².

Полезная самопроверка: для сектора в 60° это ровно одна шестая круга. Если радиус 6 клеток, площадь круга была бы 36π в квадратных “клеточных” единицах, а сектор — 6π. Так как по условию именно такая площадь и дана, это означает, что одна клетка имеет площадь 1, что согласуется с вычислением.

Рассмотрим, как связаны вписанный угол и хорда, на которую он опирается.

Если вписанный угол равен 30°, то соответствующий ему центральный угол, опирающийся на ту же хорду, вдвое больше. Это одно из базовых свойств окружности: центральный угол всегда в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

Значит, центральный угол равен 60°.

Теперь используем формулу длины хорды через радиус и центральный угол:

l = 2R\sin(\varphi/2),

где R — радиус окружности, а \varphi — центральный угол, опирающийся на данную хорду.

Подставим значения:

l = 2 \cdot 5 \cdot \sin(60°/2) = 10\sin 30°.

Так как \sin 30° = 1/2, получаем:

l = 10 \cdot 1/2 = 5.

Ответ: 5 см.

Почему здесь легко ошибиться: многие учащиеся забывают, что вписанный угол надо сначала удвоить, чтобы получить центральный. Другая типичная ошибка — подставить в формулу сам вписанный угол вместо центрального или перепутать синус с косинусом. Для самопроверки полезно помнить: при угле 30° хорда в окружности радиуса 5 см получается длиной ровно 5 см, то есть равной радиусу — это разумный результат, не противоречащий геометрии.

Удобнее всего заметить, что четырёхугольник ABCD — это трапеция: основания AB и DC лежат на горизонтальных прямых y = 0 и y = 4, значит они параллельны. Это типичная ситуация в задачах на площадь по клеткам: если фигура задана координатами, всегда стоит сначала искать простую геометрическую структуру, а не сразу считать клетки «на глаз».

1. Находим длины оснований.
Отрезок AB идёт от точки (0,0) до (6,0), поэтому его длина равна 6.
Отрезок DC идёт от (2,4) до (8,4), значит его длина тоже равна 6.

2. Находим высоту трапеции.
Высота — это расстояние между прямыми y=0 и y=4, то есть 4.

3. Применяем формулу площади трапеции.
Если основания равны a и b, а высота равна h, то
S = (a + b) / 2 · h.
Тогда
S = (6 + 6) / 2 · 4 = 12.

Ответ: 12.

Почему это важно для ЕГЭ Профиль? Частая ошибка — пытаться считать площадь по клеткам через разбиение на прямоугольники и треугольники, хотя координаты уже подсказывают более короткий путь. Другая ловушка — перепутать высоту с боковой стороной: в трапеции высота должна быть перпендикулярна основаниям, а не совпадать с наклонной стороной. Ещё одна ошибка — неверно определить длину горизонтального отрезка: если обе точки имеют одинаковую координату y, длина равна разности координат x.

Проверка себя. У трапеции с равными основаниями получается прямоугольник, если боковые стороны вертикальны. Здесь фигура не прямоугольник, но площадь всё равно легко проверить: это площадь прямоугольника 6×4=24 минус две равные «срезанные» треугольные части по 6 каждая, то есть 24-12=12. Получаем тот же результат, значит вычисление верно.

Ключевая идея здесь очень стандартна для задач ЕГЭ по окружности: сначала нужно считать радиус по сетке, затем взять долю круга, соответствующую центральному углу, и только после этого подставить в формулу площади сектора.

1. Определяем радиус по сетке.
По условию радиус равен 4. Это важный момент: в подобных задачах ученики часто путают радиус и диаметр. Если на рисунке от центра до окружности видно 4 единичных отрезка, то именно радиус равен 4, а не 8.

2. Находим долю круга.
Центральный угол сектора равен 90°. Полный круг — это 360°, значит сектор составляет

90° / 360° = 1/4

всего круга. Это значит, что площадь сектора — это одна четверть площади всей окружности.

3. Считаем площадь круга.
Площадь круга радиуса 4:

S_круга = πr² = π·4² = 16π.

4. Находим площадь сектора.
Так как сектор — это 1/4 круга, то

S_{сектора} = 1/4 · 16π = 4π.

Ответ: 4π.

Почему именно так, а не иначе?
Формула площади сектора может записываться как

S = (α/360°)·πr²,

где α — центральный угол в градусах. Подстановка даёт

S = (90/360)·π·4² = 4π.

Типичные ошибки:

• берут вместо радиуса диаметр и получают завышенный ответ в 4 раза;
• забывают делить угол на 360° и пишут πr² или πr²/2 без обоснования;
• ошибаются в квадрате радиуса: 4² = 16, а не 8;
• путают сектор с сегментом: здесь нужна именно площадь сектора, а не часть круга, отсекаемая хордой.

Проверка здравым смыслом: при угле 90° сектор должен занимать четверть круга, поэтому его площадь должна быть меньше площади круга в 4 раза. У нас площадь круга 16π, четверть от неё — 4π, что выглядит логично.

Удобнее всего заметить, что фигура ABCD — это трапеция: основания AB и DC горизонтальны, значит они параллельны. В задачах на площадь по клетчатой сетке важно сначала увидеть не “набор клеток”, а геометрический тип фигуры: трапеция, треугольник, прямоугольник, многоугольник, который можно разбить на простые части.

1. Находим длины оснований и высоту.
Точка A(1;1) и точка B(6;1) лежат на одной горизонтали, поэтому AB = 6 - 1 = 5.
Точка D(2;5) и точка C(4;5) тоже лежат на одной горизонтали, поэтому DC = 4 - 2 = 2.
Высота трапеции — расстояние между прямыми y = 1 и y = 5, то есть h = 5 - 1 = 4.

2. Применяем формулу площади трапеции.
Площадь трапеции равна

S = (a + b) / 2 · h

где a и b — основания, h — высота. Подставляем:

S = (5 + 2) / 2 · 4 = 7/2 · 4 = 14.

Ответ: 14.

Почему это важно для ЕГЭ Профиль. В задачах на площадь по чертежу часто проверяют не только умение считать, но и умение правильно распознать фигуру. Если сразу пытаться “по клеткам” считать все маленькие части, легко ошибиться. Более надёжная стратегия — сначала найти удобную модель: здесь это трапеция. Если же фигура неочевидна, можно разбивать её на прямоугольники и треугольники или использовать координаты. В этой задаче координаты сразу дают простой путь.

Частые ошибки:

• путать основание с боковой стороной;
• брать высоту как длину наклонной стороны, хотя высота всегда перпендикулярна основаниям;
• ошибаться в разности координат, забывая, что размер клетки равен 1;
• применять формулу площади треугольника вместо трапеции без разбиения фигуры.

Самопроверка: площадь должна быть больше площади прямоугольника с меньшим основанием и той же высотой? Здесь среднее основание равно 3.5, высота 4, значит площадь около 14 — это выглядит разумно. Такой контроль полезен на экзамене, чтобы быстро заметить грубую арифметическую ошибку.

Здесь удобно использовать идею разбиения фигуры на прямоугольники. Это один из самых надёжных способов на ЕГЭ, когда все стороны многоугольника параллельны осям координат или линиям клетчатой сетки.

Рассмотрим фигуру по горизонтальным “слоям”.

1) Нижняя часть. От y = 1 до y = 4 фигура представляет собой прямоугольник с вершинами A(1,1), B(7,1), C(7,4), H(1,4). Его ширина равна 7 − 1 = 6, высота равна 4 − 1 = 3, значит площадь этого прямоугольника:

S₁ = 6 · 3 = 18.

2) Верхние “выступы”. Выше уровня y = 4 есть два одинаковых прямоугольника-надстройки: слева от x = 3 до x = 5 и справа от x = 3 до x = 5? Важно не перепутать: на самом деле вершины образуют один центральный прямоугольный выступ от x = 3 до x = 5 и от y = 4 до y = 7. Но поскольку нижняя часть уже включает полосу до y = 4, к ней нужно добавить только верхнюю часть этого выступа.

Этот верхний прямоугольник имеет ширину 5 − 3 = 2 и высоту 7 − 4 = 3, поэтому его площадь:

S₂ = 2 · 3 = 6.

3) Общая площадь. Складываем площади частей:

S = S₁ + S₂ = 18 + 6 = 24.

Ответ: 24.

Почему это хороший экзаменационный подход? В задачах на клетчатой сетке часто проще не считать все клетки поодиночке, а разбивать фигуру на прямоугольники, треугольники или считать как “большую фигуру минус вырезы”. Это уменьшает риск ошибки. Особенно полезно проверять себя по координатам: ширина всегда равна разности абсцисс, высота — разности ординат. Типичная ошибка — взять не ту высоту верхнего выступа или посчитать площадь всей внешней прямоугольной рамки, забыв о вырезах. Здесь же фигура устроена так, что её площадь находится без сложных дробей и без формулы Гаусса: достаточно аккуратного разбиения на прямоугольники.

Используем стандартную формулу площади сектора, когда центральный угол задан в радианах:

\(S = \frac12 r^2\varphi\).

Это одна из самых важных формул по теме окружности: здесь радиус входит во второй степени, а угол обязательно должен быть в радианах. Это частая ловушка на ЕГЭ: если угол дан в градусах, его сначала нужно перевести в радианы; если угол уже записан через \(\pi\), значит он сразу пригоден для подстановки.

Подставим данные задачи: \(r=4\), \(\varphi=\frac{3\pi}{4}\).

\(S = \frac12 \cdot 4^2 \cdot \frac{3\pi}{4}\).

Вычислим по шагам:

\(4^2 = 16\), поэтому \(S = \frac12 \cdot 16 \cdot \frac{3\pi}{4}\).

Сократим аккуратно:

\(\frac12 \cdot 16 = 8\), значит \(S = 8 \cdot \frac{3\pi}{4} = 2\cdot 3\pi = 6\pi\).

Итак, площадь сектора равна \(6\pi\).

Почему такой ответ естественен? Площадь сектора — это доля площади круга, соответствующая доле полного угла. Полный круг имеет угол \(2\pi\), а наш сектор имеет угол \(\frac{3\pi}{4}\), то есть это \(\frac{3}{8}\) круга. Площадь всего круга равна \(\pi r^2 = 16\pi\), а \(\frac{3}{8}\cdot 16\pi = 6\pi\). Это полезная самопроверка: если ответ не согласуется с такой оценкой, значит где-то допущена ошибка.

Типичные ошибки на экзамене:

• использовать формулу длины дуги \(l=r\varphi\) вместо площади сектора;
• забыть множитель \(\frac12\) в формуле площади;
• возвести радиус в первую степень вместо второй;
• ошибочно считать, что угол \(\frac{3\pi}{4}\) — это \(\frac34\) круга без проверки через \(2\pi\).

Правильный ответ: \(6\pi\).

Проведём радиусы OA и OB. Тогда треугольник AOB равнобедренный, так как OA = OB = R, где R — радиус окружности. По условию ∠AOB = 60°, а хорда AB — это сторона этого треугольника, лежащая напротив вершины O.

Для хорды, стягивающей центральный угол \(\theta\), верна формула

AB = 2R\sin\frac{\theta}{2}.

Это одна из самых полезных формул по окружности: она сразу связывает длину хорды, радиус и центральный угол. Здесь \(\theta = 60^\circ\), значит

8 = 2R\sin 30^\circ = 2R \cdot \frac12 = R.

Следовательно, R = 8.

Ответ: 8.

Почему так удобно решать именно через половину угла? Потому что радиусы, проведённые к концам хорды, делят равнобедренный треугольник на два прямоугольных. В каждом из них половина хорды — это противолежащий катет, а радиус — гипотенуза. Отсюда и появляется синус половины центрального угла.

Типичные ошибки в таких задачах:

• подставляют в формулу весь угол 60° вместо половины 30°;
• путают синус и косинус;
• забывают, что в формуле стоит именно 2R, а не просто R;
• при угле 60° не замечают, что получается особенно простой случай: sin 30° = 1/2, поэтому хорда равна самому радиусу.

Полезная самопроверка: при центральном угле 60° хорда всегда равна радиусу. Если в условии хорда равна 8, то радиус тоже должен быть 8 — это хороший быстрый контроль правильности ответа.

Площадь сектора удобно находить через долю от площади всего круга. Если центральный угол сектора равен α градусов, то сектор составляет α/360 от полного круга. Поэтому формула площади сектора такая:

S = (α/360)·πr^2.

Здесь важно не перепутать радиус с диаметром и не забыть, что угол дан в градусах, а значит делить нужно именно на 360, а не на 180. Это частая ошибка: 180 появляется в формулах для радиан, но в этой задаче угол задан в градусах.

Подставим данные:

r = 12, α = 60°.

Тогда

S = (60/360)·π·12² = (1/6)·π·144 = 24π.

Значит, коэффициент при π равен 24.

Проверка рассуждения полезна для самоконтроля на ЕГЭ: если угол равен 60°, то это одна шестая круга. Площадь всего круга с радиусом 12 равна 144π, а одна шестая от этого — действительно 24π. Если у вас получилось, например, 48π, значит, вы, вероятно, ошибочно взяли диаметр вместо радиуса или неверно посчитали долю круга. Если получилось число без π, значит, потерян обязательный множитель в ответе.