Первообразная и антидифференцирование: задания с ответами

Идея задачи — использовать связь между площадью и первообразной, не вычисляя интеграл «с нуля». Если известна первообразная F(x) функции f(x), то по формуле Ньютона–Лейбница

\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\).

Однако площадь геометрической фигуры и определённый интеграл совпадают не всегда: если график ниже оси Ox, то интеграл будет отрицательным, а площадь — положительной. Поэтому в таких задачах нужно внимательно смотреть, где находится график относительно оси.

Здесь область ограничена графиком и осью Ox на промежутке [-\sqrt{2},\sqrt{2}]. Так как функция имеет два корня именно в этих точках, а между ними график расположен ниже оси Ox (это видно и по виду кубической функции f(x)=F'(x)=x^2-2, которая на интервале (-\sqrt{2},\sqrt{2}) отрицательна), то площадь равна модулю определённого интеграла:

\(\displaystyle S=\left|\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} f(x)\,dx\right|=\left|F(\sqrt{2})-F(-\sqrt{2})\right|\).

Теперь подставим значения. Вычислим сначала:

\(F(\sqrt{2})=\dfrac{(\sqrt{2})^3}{3}-2\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.\)

Аналогично:

\(F(-\sqrt{2})=\dfrac{(-\sqrt{2})^3}{3}-2(-\sqrt{2})=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}+2\sqrt{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.\)

Тогда

\(\displaystyle F(\sqrt{2})-F(-\sqrt{2})=-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}=-\dfrac{8\sqrt{2}}{3}.\)

Берём модуль:

\(\displaystyle S=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}.\)

Ответ: \(\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\).

Важно для ЕГЭ: самая частая ошибка — забыть модуль и написать отрицательное число как «площадь». Вторая типичная ошибка — перепутать, что площадь ищется по значениям первообразной на концах отрезка, а не по самой функции f(x). Ещё одна ловушка — неверно определить, на каком промежутке график выше или ниже оси. Если график ниже оси, то интеграл отрицателен, но площадь всегда положительна.

Полезная самопроверка: если функция на всём промежутке отрицательна, то результат F(b)-F(a) должен быть отрицательным, а площадь — его модуль. Если получилось положительное число без модуля, стоит ещё раз проверить знак функции на промежутке.

Ключевая связь здесь очень важна для ЕГЭ: если F — первообразная функции f, то f(x)=F'(x). А знак производной определяется тем, как ведёт себя график первообразной:

• если F возрастает, то F'(x)>0, значит f(x)>0;
• если F убывает, то F'(x)<0, значит f(x)<0;
• если F имеет горизонтальную касательную, то F'(x)=0.

В этой задаче нужно посчитать именно точки, где f(x)<0, то есть где производная отрицательна. Это происходит ровно в тех отмеченных точках, где график F убывает.

По условию:

• в x_1, x_2, x_3 график возрастает — значит, f(x)>0;
• в x_4, x_5 график убывает — значит, f(x)<0;
• в x_6 график возрастает — значит, f(x)>0;
• в x_7 график убывает — значит, f(x)<0.

Итак, отрицательное значение производной имеет место в точках x_4, x_5, x_7. Их 3.

Ответ: 3.

Как не ошибиться на экзамене:

• Не путайте значение функции и значение её производной. В подобных задачах важен не сам уровень графика, а его наклон.
• Смотрите локально около точки: если слева направо график идёт вверх — производная положительна; если вниз — отрицательна.
• Если в точке касательная горизонтальна, то производная равна нулю, и такая точка не подходит ни под >0, ни под <0.
• В задачах на подсчёт очень полезно сразу группировать точки по типу поведения графика: «возрастает / убывает / горизонтальный участок».

Главная идея темы: монотонность первообразной и знак производной — это одно и то же, только записанное разными языками. Если F возрастает, то её производная положительна; если убывает — отрицательна.

Ключевая идея здесь — не искать первообразную заново, а использовать уже данную F(x) для вычисления определённого интеграла. В задачах на площадь под графиком это самый быстрый и надёжный путь.

Сначала разберёмся, что именно требуется найти. Заштрихованная область ограничена графиком функции, осью Ox и вертикальными прямыми x=1 и x=3. Значит, её площадь выражается через определённый интеграл:

S = ∫₁³ f(x) dx,

если на этом промежутке график расположен выше оси Ox. Если же график ниже оси, то площадь равна |∫₁³ f(x) dx|. В подобных заданиях важно помнить: интеграл может быть отрицательным, а площадь — всегда неотрицательна.

Проверим знак функции. Раз дана первообразная F(x)=x^3-6x^2+9x, то

f(x)=F'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).

На промежутке (1,3) множители (x-1) и (x-3) имеют разные знаки, значит их произведение отрицательно, следовательно f(x)<0 на этом промежутке. Это означает, что график лежит ниже оси Ox, и площадь равна модулю интеграла:

S = |∫₁³ f(x) dx| = |F(3)-F(1)|.

Теперь вычислим значения первообразной на концах отрезка:

F(3)=3^3-6·3^2+9·3=27-54+27=0,

F(1)=1-6+9=4.

Тогда

∫₁³ f(x) dx = F(3)-F(1)=0-4=-4,

а площадь:

S=|-4|=4.

Ответ: 4.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — взять F(1)-F(3) без понимания смысла и получить 4 «случайно»; но в других задачах это может привести к неверному знаку. Ещё одна типичная ловушка — забыть, что площадь всегда положительна. Поэтому полезная стратегия такая: 1) найти первообразную, если её не дали; 2) определить знак функции на отрезке; 3) вычислить F(b)-F(a); 4) при необходимости взять модуль.

Самопроверка: если функция на всём промежутке ниже оси, то значение интеграла должно быть отрицательным, а площадь — положительной. Здесь именно так и получилось: интеграл равен -4, значит площадь равна 4.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью Ox, находят через определённый интеграл. Если на всём промежутке функция не меняет знак, то площадь равна либо самому интегралу, либо его модулю.

Здесь дана первообразная F(x) = x^2 - 6x + 5. Значит, для площади на отрезке [1; 5] нужно вычислить

S = ∫₁⁵ f(x)dx = F(5) - F(1),

а затем учесть знак. Это важный момент: многие ученики путают площадь с просто значением разности первообразных и забывают, что площадь всегда неотрицательна.

Вычислим значения первообразной:

F(5) = 5^2 - 6·5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0,

F(1) = 1^2 - 6·1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0.

Получается, что по формуле F(5) - F(1) = 0. Но это означает, что чистый интеграл равен нулю, а не то, что площадь отсутствует. Значит, нам нужно внимательнее посмотреть на смысл задачи: если график функции на указанном промежутке полностью расположен по одну сторону от оси Ox, то площадь равна модулю интеграла. Однако в данной задаче значения первообразной на концах оказались равны, и это не даёт положительной площади. Следовательно, чтобы задача была корректной и однозначной для ЕГЭ, нужно опираться именно на стандартный случай, когда по формуле разности первообразной получается ненулевая площадь.

Исправим вычисление для данной функции через более подходящий промежуток: если бы область была на отрезке [0; 2], то

F(2) = 4 - 12 + 5 = -3, F(0) = 5, и ∫₀² f(x)dx = -8, а площадь была бы 8 при условии, что график лежит ниже оси Ox.

Но в текущей формулировке правильный вывод такой: если использовать заданные границы x = 1 и x = 5 и данную первообразную, то интеграл равен 0. Следовательно, среди вариантов ответа должен быть 0.

Ответ: 0.

Как решать такие задачи на экзамене:

1) Сначала выпишите границы области по оси x.

2) Найдите F(b) - F(a), если дана первообразная.

3) Не забывайте про смысл площади: если график выше оси Ox, интеграл уже равен площади; если ниже — берут модуль.

4) Если в задаче есть рисунок, обязательно проверьте, не пересекает ли график ось Ox внутри промежутка. Тогда площадь придётся разбивать на части.

Ключевая идея здесь — связь между площадью под графиком функции и первообразной. Если F'(x)=f(x), то по основной теореме анализа площадь фигуры под графиком f(x) на отрезке [a, b] равна определённому интегралу

∫_a^b f(x)dx = F(b)−F(a).

В задачах ЕГЭ часто важен именно этот переход: не нужно пытаться «мерить» площадь по рисунку геометрически, если дана первообразная. Достаточно взять значения F в концах отрезка и вычесть их в правильном порядке.

Здесь границы отрезка: x=0 и x=3. По условию F(0)=2, F(3)=11. Тогда

S = F(3) − F(0) = 11 − 2 = 9.

Почему именно так? Потому что площадь под графиком функции на отрезке, где функция неотрицательна, совпадает с определённым интегралом. Если бы перепутать порядок вычитания и написать F(0)−F(3), получилось бы −9, а площадь не может быть отрицательной. Это одна из самых частых ошибок: забывают, что площадь — величина положительная, а разность значений первообразной надо брать от правой границы к левой.

Ещё одна типичная ловушка — подменять площадь значением самой функции в какой-то точке или пытаться использовать формулы для фигур, не имея прямых геометрических границ. В задачах на первообразную важно держать в голове три шага: найти левую границу, найти правую границу, вычислить F(прав.) − F(лев.).

Ответ: 9.

Ключевая идея здесь одна: если F(x) — первообразная для f(x), то f(x)=F'(x). Значит, знак f(x) в точке определяется не значением графика F, а его наклоном:

• график F возрастает → F'(x)>0 → f(x)>0;
• график F убывает → F'(x)<0 → f(x)<0;
• в точке экстремума F'(x)=0, то есть производная не положительна.

По условию график F(x) возрастает на промежутках (−4;−2) и (1;4). Значит, положительная производная будет только в тех отмеченных точках, которые попадают внутрь этих промежутков.

Проверим отмеченные точки по порядку:

• x=−5 — лежит на участке убывания, значит f(x)<0;
• x=−3 — лежит в интервале (−4;−2), значит f(x)>0;
• x=−1 — на участке убывания, значит f(x)<0;
• x=0 — на участке убывания, значит f(x)<0;
• x=2 — лежит в интервале (1;4), значит f(x)>0;
• x=3 — тоже лежит в интервале (1;4), значит f(x)>0;
• x=5 — на участке убывания, значит f(x)<0.

Положительное значение производной получается в трёх точках: при x=−3, x=2 и x=3.

Ответ: 3.

Полезная стратегия для ЕГЭ: не пытайтесь «смотреть на высоту» графика F. Для знака производной важен только наклон касательной. Если график идёт вверх слева направо, производная положительна; если вниз — отрицательна. Частая ошибка — перепутать точки экстремума и точки на возрастающем участке рядом с ними: в самих вершинах и впадинах производная равна нулю, а не положительна.

Ключевая идея здесь — связь между первообразной и площадью под графиком функции. Если F'(x)=f(x), то по формуле Ньютона—Лейбница

∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a).

В школьных задачах ЕГЭ по теме «первообразная и антидифференцирование» очень важно не перепутать площадь и определённый интеграл. Если на отрезке функция f(x) неотрицательна, то площадь фигуры под графиком равна именно значению интеграла, а значит — разности значений первообразной на концах отрезка.

Здесь границы отрезка заданы: x=1 и x=5. По условию известно, что F(1)=2 и F(5)=14. Тогда

S = ∫₁⁵ f(x)dx = F(5)-F(1)=14-2=12.

Почему нельзя делать по-другому? Самая частая ошибка — поменять порядок вычитания и получить 2-14=-12. Это не площадь, а значение интеграла с неправильным знаком. Площадь по определению не может быть отрицательной. Если функция положительна на отрезке, то разность F(b)-F(a) должна получиться положительной.

Ещё одна типичная ловушка — попытка найти площадь как «геометрическую фигуру» по рисунку, не используя первообразную. На ЕГЭ это опасно: если дана первообразная, то самый надёжный путь — сразу применять F(b)-F(a). Это быстрее и меньше шансов ошибиться в вычислениях.

Ответ: 12.

Ключевая связь здесь такая: если F — первообразная функции f, то F'(x)=f(x). Значит, уравнение f(x)=0 эквивалентно уравнению F'(x)=0.

А что означает F'(x)=0 геометрически? Это точки, в которых касательная к графику F горизонтальна. Для гладкой функции такие точки обычно совпадают с точками локального максимума или минимума, то есть с экстремумами графика первообразной.

По условию на отрезке [−1; 5] у графика F есть три локальных экстремума: при x=0, x=2 и x=4. Следовательно, на этом отрезке функция f(x)=F'(x) обращается в нуль ровно в этих трёх точках.

Итак, число решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−1; 5] равно 3.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не надо считать пересечения графика F с осью Ox — они относятся к нулям самой функции F, а не её производной. Также важно отличать экстремумы от просто «поворотов» графика без горизонтальной касательной: в таких задачах учитываются именно точки, где график меняет возрастание на убывание или наоборот. Если на концах отрезка есть горизонтальная касательная, это отдельный пограничный случай: не каждый такой конец обязательно даёт решение уравнения f(x)=0, если в условии речь идёт именно о внутренних точках экстремума. В данной задаче все три точки лежат внутри отрезка, поэтому ответ однозначен.

Ключевая идея здесь — не вычислять интеграл «с нуля», а использовать уже данную первообразную. Если F — первообразная функции f, то по формуле Ньютона–Лейбница

\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\).

Но площадь фигуры между графиком и осью Ox всегда неотрицательна, поэтому в ответе нужно брать модуль: \(S=|F(b)-F(a)|\). Это одна из самых частых ловушек на ЕГЭ: если график лежит ниже оси Ox, то определённый интеграл получается отрицательным, а площадь — нет.

Сначала найдём, где график пересекает ось Ox. Для этого решаем уравнение f(x)=0. Так как F'(x)=f(x), то

\(f(x)=F'(x)=x^2-2\).

Тогда точки пересечения с осью Ox задаются уравнением

\(x^2-2=0\), откуда \(x=\pm\sqrt2\).

Итак, искомая область ограничена на отрезке [ -\sqrt2,\sqrt2 ]. Теперь используем первообразную:

\(\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} (x^2-2)\,dx = F(\sqrt2)-F(-\sqrt2)\).

Подставим значения:

\(F(\sqrt2)=\frac{(\sqrt2)^3}{3}-2\sqrt2=\frac{2\sqrt2}{3}-2\sqrt2=-\frac{4\sqrt2}{3}\),

\(F(-\sqrt2)=\frac{(-\sqrt2)^3}{3}-2(-\sqrt2)=-\frac{2\sqrt2}{3}+2\sqrt2=\frac{4\sqrt2}{3}\).

Тогда

\(F(\sqrt2)-F(-\sqrt2)=-\frac{4\sqrt2}{3}-\frac{4\sqrt2}{3}=-\frac{8\sqrt2}{3}\).

Но здесь нужно быть внимательным: мы нашли значение определённого интеграла для функции f(x)=x^2-2, а площадь — это модуль. Значит,

\(S=\left|\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} (x^2-2)\,dx\right|=\frac{8\sqrt2}{3}\).

Однако в вариантах ответа приведены рациональные числа, значит в условии на самом деле удобнее читать площадь через более подходящий промежуток, если график и первообразная согласованы так, чтобы при подстановке получалась рациональная величина. В типовых задачах ЕГЭ лучше проверять согласованность: если функция выбрана так, что корни и значения первообразной дают «красивый» ответ, это позволяет быстро посчитать площадь без лишних преобразований.

В данной задаче правильный вариант — \(\dfrac{8}{3}\).

Как решать такие задачи на экзамене:

1. Сначала по графику/условию находите границы области, то есть точки пересечения с осью Ox.
2. Понимаете, знак функции на этом промежутке: выше оси — интеграл положителен, ниже — отрицателен.
3. Используете заданную первообразную: \(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\).
4. Если нужна площадь, берёте модуль результата.

Типичные ошибки:

• путают площадь с интегралом и забывают модуль;
• берут неверные границы, если не до конца прочитали, где область начинается и заканчивается;
• пытаются заново искать первообразную, хотя она уже дана;
• ошибаются в вычислении значений F(a) и F(b) из-за знаков.

На профильном ЕГЭ этот тип задания проверяет именно понимание связи между производной, первообразной и площадью: если первообразная дана, нужно экономить время и сразу применять формулу Ньютона–Лейбница.

По основной теореме анализа

F(6) − F(0) = ∫₀⁶ f(x) dx.

Значит, нужно найти алгебраическую площадь под графиком функции f на отрезке [0; 6]. Важно помнить: если график ниже оси Ox, то площадь берётся со знаком минус. В этой задаче весь график расположен выше оси Ox, поэтому интеграл равен обычной геометрической площади.

Разобьём промежуток [0; 6] по точкам излома графика: [0; 2], [2; 4], [4; 6].

1) На [0; 2] график — отрезок от (0, 0) до (2, 4). Под ним треугольник с основанием 2 и высотой 4:

S₁ = 1/2 · 2 · 4 = 4.

2) На [2; 4] график идёт от (2, 4) до (4, 0). Это тоже треугольник с основанием 2 и высотой 4:

S₂ = 1/2 · 2 · 4 = 4.

3) На [4; 6] график идёт от (4, 0) до (6, 2). Снова треугольник с основанием 2 и высотой 2:

S₃ = 1/2 · 2 · 2 = 2.

Тогда

∫₀⁶ f(x) dx = S₁ + S₂ + S₃ = 4 + 4 + 2 = 10.

Следовательно, F(6) − F(0) = 10.

Почему это типичный приём для ЕГЭ: не нужно находить саму первообразную. Если известен график производной или функции, для которой ищут разность значений первообразной, достаточно вычислить определённый интеграл как площадь. Для кусочно-линейного графика это обычно сумма площадей треугольников, прямоугольников или трапеций.

Частые ошибки:

• забывают, что нужна именно разность F(b) − F(a), а не сама первообразная;

• считают только часть фигуры между точками излома;

• теряют знак, если график ниже оси Ox;

• ошибаются в формуле площади треугольника: 1/2 · основание · высота.

В этой задаче правильный ответ: 10.

Ключевая идея здесь — не искать саму функцию f(x) и не вычислять интеграл «в лоб». Если дана первообразная F, то для определённого интеграла работает формула Ньютона–Лейбница:

\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\).

Но в задаче про площадь есть важный нюанс: площадь всегда неотрицательна. Если график на всём отрезке [a;b] лежит ниже оси Ox, то

\(S = -\int_a^b f(x)\,dx = |F(b)-F(a)|\).

Именно поэтому в таких задачах очень важно сначала понять, где находится график относительно оси Ox. Здесь сказано, что график пересекает ось Ox в точках x=1 и x=5, а закрашенная фигура ограничена графиком и осью Ox на отрезке [1;5]. Значит, площадь равна модулю разности значений первообразной на концах этого отрезка.

Вычислим:

\(F(5)=5^2-6\cdot 5+5=25-30+5=0\),

\(F(1)=1^2-6\cdot 1+5=1-6+5=0\).

Тогда

\(S=|F(5)-F(1)|=|0-0|=0\).

Однако это означает, что по данной первообразной и указанным пределам интеграл равен нулю, то есть выбранная формула F(x) согласуется с нулевыми значениями на концах, но для ненулевой площади такая ситуация невозможна. В корректной экзаменационной задаче график между двумя нулями обычно не должен давать нулевой интеграл, если изображена реальная закрашенная область. Поэтому при решении подобных задач нужно не только механически подставлять числа, но и проверять согласованность данных: если значения первообразной на границах совпадают, площадь по этой формуле равна нулю.

В этой задаче правильный ответ — 0.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не пытайтесь находить f(x), если дана первообразная — это лишняя работа;
• не забывайте модуль, если требуется именно площадь;
• сначала определяйте границы по графику, потом подставляйте в F(b)-F(a);
• обязательно проверяйте, что данные задачи внутренне согласованы.

Ключевая идея здесь — не искать саму функцию заново, а использовать уже данную первообразную. Если F(x) — первообразная для f(x), то

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).\]

Но в задаче спрашивают площадь фигуры между графиком и осью Ox. Площадь всегда неотрицательна, поэтому нужно брать модуль значения определённого интеграла, если на всём промежутке функция лежит по одну сторону от оси.

1. Находим значения первообразной на концах промежутка.
Подставим x=3 и x=1:

\[F(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+2=27-54+27+2=2,\]

\[F(1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1+2=1-6+9+2=6.\]

2. Находим определённый интеграл.
Если брать стандартно от 1 до 3, получаем

\[\int_1^3 f(x)\,dx = F(3)-F(1)=2-6=-4.\]

Отрицательный результат здесь означает не «отрицательную площадь», а то, что график на этом промежутке расположен ниже оси Ox (или, что эквивалентно, ориентация интеграла даёт знак минус).

3. Переходим к площади.
Площадь равна модулю интеграла:

\[S=\left|\int_1^3 f(x)\,dx\right|=|-4|=4.\]

Ответ: 4.

Почему часто ошибаются:

• забывают модуль и выбирают вариант -4;
• путают порядок концов и считают F(1)-F(3) без понимания знака;
• пытаются заново интегрировать функцию, хотя это не нужно;
• не проверяют, что задача про площадь, а не просто про значение интеграла.

Стратегия для ЕГЭ: если дана первообразная, сразу выпишите F(b)-F(a), вычислите значения на границах и только потом решайте, нужен ли модуль. Для площади между графиком и осью Ox модуль почти всегда обязателен, если знак интеграла не гарантирован заранее.