Углы и дуги в окружности: задания с ответами

Для угла между двумя секущими, проведёнными из внешней точки, используется формула

∠между секущими = 1/2 · (бóльшая дуга − меньшая дуга).

Здесь внешняя точка P образует секущие PAB и PCD. Дальними точками этих секущих являются A и C, а ближними — B и D. Тогда соответствующие дуги, которые надо сравнивать, — это дуга между дальними точками и дуга между ближними точками. По условию их меры равны 154° и 78°.

Сначала находим разность дуг:

154° − 78° = 76°.

Теперь делим результат пополам:

∠APC = 76° / 2 = 38°.

Итак, правильный ответ: 38°.

Почему нельзя складывать дуги? Это частая ошибка. Для угла между секущими из внешней точки работает именно разность, а не сумма. Сумма дуг встречается в других формулах, например при работе с вписанными или центральными углами в иных конфигурациях.

Почему нужно делить пополам? Потому что внешний угол между секущими всегда равен половине разности соответствующих дуг окружности. Если забыть это деление, получится ответ вдвое больше правильного.

Полезная проверка на ЕГЭ: если одна дуга заметно больше другой, внешний угол должен быть сравнительно небольшим. Здесь разность дуг равна 76°, значит угол действительно 38°, то есть меньше 180° и выглядит правдоподобно.

Обозначим меньшую дугу AB через x градусов. Тогда по условию известна меньшая дуга AC и угол между касательной и секущей.

Здесь важно вспомнить ключевую теорему: угол между касательной и секущей, проведёнными из одной внешней точки, равен половине разности соответствующих дуг. В нашем случае угол ∠APB опирается на дуги с концами в точках A и C (большая соответствующая дуга проходит через точку B, а меньшая — это дуга AC). Поэтому

∠APB = 1/2(дуга AC − дуга AB).

Почему именно так? Для угла между касательной и секущей берётся полуразность дуг: одна дуга «видна» как большая, другая — как меньшая. Частая ошибка на ЕГЭ — вместо разности написать сумму или забыть деление на 2. Ещё одна типичная ловушка — перепутать, какая дуга является большей. Здесь угол 29° меньше 63°, значит разность дуг действительно даёт положительное число.

Подставим данные:

29 = 1/2(126 − x).

Умножим на 2:

58 = 126 − x.

Тогда

x = 126 − 58 = 68.

Ответ: 68°.

Полезная проверка: разность дуг должна быть равна 58°, а половина от неё — действительно 29°. Это значит, что ответ согласуется с формулой и конфигурацией.

Здесь используется одно из базовых свойств окружности: угол между касательной и хордой равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Разберём конфигурацию внимательно. Касательная проведена в точке A, значит она касается окружности именно в этой точке. Хорда AB выходит из той же точки A и соединяет две точки окружности. Угол между касательной l и хордой AB равен 37^°. Этот угол опирается на дугу AB, а значит с ним связан центральный угол ∠AOB.

По теореме об угле между касательной и хордой:

∠(l,AB)=½∠AOB.

Подставляем известное значение:

37^°=½∠AOB.

Умножаем обе части на 2:

∠AOB=74^°.

Ответ: 74.

Важно не перепутать эту теорему с формулой для вписанного угла: в этой задаче угол задан между касательной и хордой, а не угол с вершиной на окружности. Самая частая ошибка на ЕГЭ — взять не ту половину и по ошибке разделить угол ещё раз. Полезная самопроверка: если центральный угол опирается на ту же дугу, он всегда в 2 раза больше угла между касательной и хордой.

Здесь нужно использовать одно из самых важных свойств окружности и касательных: угол между двумя касательными, проведёнными из одной внешней точки, равен 180° минус величина соответствующего центрального угла, опирающегося на точки касания.

Почему это верно? Радиусы OB и OC перпендикулярны касательным в точках касания, то есть OB ⟂ AB и OC ⟂ AC. Поэтому в четырёхугольнике ABOC углы при B и C равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, значит

∠BAC + ∠BOC + 90° + 90° = 360°.

Отсюда

∠BAC + ∠BOC = 180°.

Подставляем данное значение центрального угла:

∠BAC = 180° - 124° = 56°.

Ответ: 56°.

Полезно помнить ещё и геометрический смысл: чем больше центральный угол между радиусами к точкам касания, тем меньше угол между касательными. Это логично, потому что касательные «раскрываются» в сторону, противоположную дуге. Частая ошибка на ЕГЭ — перепутать формулу и взять половину центрального угла. Это неверно: половина центрального угла используется для вписанного угла, а угол между двумя касательными связан с центральным углом через дополнение до 180°.

Ещё один хороший способ самопроверки: если центральный угол больше 90°, то угол между касательными должен получиться меньше 90°. Здесь 124° действительно даёт 56°, что выглядит разумно.

Ключевая идея здесь — не путать дугу, на которую опирается вписанный угол, с дугой, на которой лежит его вершина. Это одна из самых частых ошибок в задачах на вписанные углы.

Хорда AB делит окружность на две дуги. Обозначим меньшую дугу через 2x, а большую — через 7x, поскольку по условию их отношение равно 2:7.

Сумма всех дуг окружности равна 360°, значит:

2x + 7x = 360°, откуда 9x = 360° и x = 40°.

Тогда меньшая дуга равна 2x = 80°, а большая — 7x = 280°.

Теперь важно правильно выбрать нужную дугу. Точка C лежит на большей дуге AB, значит вписанный угол ∠ACB опирается на меньшую дугу AB. Почему так? Потому что вписанный угол «смотрит» на ту дугу, которая не содержит его вершину.

Следовательно, для угла ∠ACB соответствующая дуга равна 80°. По теореме о вписанном угле:

∠ACB = 1/2 · 80° = 40°.

Ответ: 40°.

Как проверять себя на экзамене:

• сначала найдите все дуги через сумму 360°;
• потом обязательно определите, какая именно дуга соответствует данному вписанному углу;
• затем делите именно эту дугу пополам.

Типичные ловушки:

• взять дугу, на которой лежит точка C, и разделить её пополам — это неверно;
• перепутать меньшую и большую дуги;
• сразу делить на 2 число из отношения, не найдя сами дуги через 360°.

Если коротко: отношение дуг → сумма 360° → нужная дуга → половина дуги.

Обозначим искомый угол между касательной AB и секущей BD. Здесь важно не пытаться сразу «угадать» ответ по рисунку, а последовательно перевести все данные в язык дуг и вписанных углов.

1. Что даёт угол между касательной и хордой.
По теореме об угле между касательной и хордой: угол между касательной в точке A и хордой AC равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу AC. Значит, вписанный угол, опирающийся на дугу AC, тоже равен 38°.

Отсюда дуга AC имеет величину 76°, потому что вписанный угол равен половине дуги. Это полезно помнить: иногда проще сразу переходить к дуге, если дальше есть ещё один вписанный угол на той же окружности.

2. Используем угол ACD.
Угол ACD — это вписанный угол, опирающийся на дугу AD (не содержащую точку C). Поэтому дуга AD равна 2·54° = 108°.

3. Находим дугу, на которую опирается искомый угол.
Искомый угол между касательной AB и секущей BD равен углу между касательной AB и хордой BC, если брать секущую в точке B и точку пересечения с окружностью C. Для такого угла работает та же идея: он равен половине разности соответствующих дуг, стягиваемых секущей и касательной. Но в данной конфигурации удобнее использовать известную формулу для внешнего угла, образованного касательной и секущей:

∠(касательная, секущая) = 1/2 · (дуга, лежащая «дальше» − дуга, лежащая «ближе»).

Здесь «дальняя» дуга — это дуга AD, а «ближняя» — дуга AC. Тогда

∠ABD = 1/2 · (108° − 76°) = 16°.

4. Почему именно вычитание, а не сложение.
Это типичная ловушка на ЕГЭ: если угол образован касательной и секущей, то он не равен сумме вписанных углов. Он выражается через разность дуг (или соответствующих вписанных углов), потому что секущая «вырезает» два угла, один из которых нужно вычесть из другого. Если перепутать знак, получится число больше 90°, что часто не соответствует рисунку.

5. Самопроверка.
Ответ 16° выглядит разумно: это острый угол между касательной и секущей, что согласуется с тем, что одна из дуг заметно больше другой, но разность между ними не очень велика.

Ответ: 16.

Ключевое свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180°. Это один из базовых, но очень важных фактов темы «углы и дуги в окружности». Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то его противоположные углы обязательно дополняют друг друга до развернутого угла.

В задаче дан угол $\angle A=73°$. Ему противоположен угол $\angle C$. Тогда:

$\angle A+\angle C=180°$

Подставляем известное значение:

$73°+\angle C=180°$

Находим искомый угол:

$\angle C=180°-73°=107°$

Ответ: 107°.

Полезно помнить, что в таких задачах не нужно искать дуги, центральные углы или использовать дополнительные теоремы, если прямо сказано, что четырёхугольник вписан в окружность и требуется противоположный угол. Частая ошибка — по невнимательности складывать соседние углы или пытаться применять свойства равнобедренного треугольника, хотя их здесь нет. Проверка результата простая: если один противоположный угол равен 73°, то другой должен быть больше 90°, чтобы в сумме получилось 180°.

Здесь используется стандартная формула для угла между двумя секущими, проведёнными из внешней точки:

мера угла равна половине разности соответствующих дуг, заключённых между секущими.

Важно не перепутать, какие дуги брать. Для угла ∠ACE внешняя точка — это C, а секущие пересекают окружность в точках A, B на одной прямой и E, D на другой. Значит, «большая» дуга — это дуга между дальними точками A и D, а «малая» — дуга между ближними точками B и E.

Тогда

∠ACE = 1/2 · (⌢AD − ⌢BE) = 1/2 · (128° − 52°) = 1/2 · 76° = 38°.

Ответ: 38.

Полезная проверка для ЕГЭ: результат должен быть положительным и меньше половины разности дуг. Если случайно взять сумму дуг или перепутать, какие точки образуют нужные дуги, получится неверный ответ. Также не стоит применять формулу для вписанного угла (угол = половина дуги) — здесь угол не вписанный, а внешний при секущих.

Для угла, образованного двумя секущими, выходящими из внешней точки, используется важная формула:

угол между секущими равен половине разности соответствующих дуг.

Здесь «соответствующими» называются дуги, которые высекаются секущими на окружности и лежат «напротив» внешнего угла. В данной конфигурации внешнему углу ∠APC соответствует разность дуг AD и BC.

Подставим данные:

∠APC = 1/2 · (128° − 52°) = 1/2 · 76° = 38°.

Ответ: 38°.

Почему именно разность, а не сумма? Для внешнего угла одна секущая «отсекает» большую дугу, другая — меньшую, и искомый угол определяется именно их разницей. Это типичная ловушка в ЕГЭ: часто по привычке берут сумму дуг или забывают делить на 2.

Как себя проверять на экзамене:

• Убедитесь, что речь действительно о внешней точке и двух секущих.
• Найдите две дуги, которые входят в формулу именно как разность.
• Проверьте, что разность положительна: здесь 128° > 52°.
• В конце обязательно разделите результат пополам.

Полезное замечание: если бы был задан внешний угол, а нужно было найти дугу, то формулу можно было бы использовать в обратную сторону: разность дуг равна удвоенному углу. Это часто помогает в задачах с дополнительными условиями и позволяет быстро находить неизвестные дуги без лишних построений.

Здесь важно не путать три разных факта из теории окружностей:

• угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу;
• вписанный угол равен половине соответствующей дуги;
• угол между касательной и секущей из внешней точки равен половине разности удалённой и ближней дуг.

Разберём задачу аккуратно.

1) Угол ∠PAB = 35° — это угол между касательной PA и хордой AB. По теореме о касательной и хорде он равен вписанному углу, который опирается на дугу AB. Значит, дуга AB имеет величину 70°.

2) Угол ∠ABC = 68° — вписанный угол, опирающийся на дугу AC (ту дугу, которая не содержит точку B). Следовательно, дуга AC равна 2 · 68° = 136°.

3) Теперь найдём дугу BC, которая не содержит точку A. В сумме дуги AB, BC и CA дают всю окружность:

AB + BC + CA = 360°.

Подставляем известные значения:

70° + BC + 136° = 360°, откуда

BC = 360° - 206° = 154°.

4) Угол ∠APC — это угол между касательной PA и секущей PBC. Такой угол равен половине разности дуг, стягиваемых секущей: берётся дуга до дальней точки пересечения C и дуга до ближней точки B. То есть

∠APC = 1/2(дуга AC - дуга AB).

Почему именно так? Потому что касательная «видит» точку касания A, а секущая пересекает окружность в B и C; внешний угол определяется разностью угловых «размеров» удалённой и ближней дуг. Поэтому подставляем:

∠APC = 1/2(136° - 70°) = 1/2 · 66° = 33°.

Ответ: 33°.

Типичная ошибка на ЕГЭ — взять не разность, а сумму дуг или перепутать, какую дугу считать дальней. Ещё одна частая ошибка — сразу попытаться использовать формулу для двух секущих, хотя здесь одна из прямых — касательная. Полезная самопроверка: ответ должен быть меньше каждого из углов, связанных с дугами, и для внешнего угла он обычно получается острым. Здесь 33° выглядит корректно.

Используем ключевую теорему: если две хорды пересекаются внутри окружности, то угол между ними равен полусумме дуг, на которые он и вертикальный ему угол опираются.

Для угла ∠AEB соответствуют дуги AB и CD, поэтому

∠AEB = (⌢AB + ⌢CD)/2.

По условию ∠AEB = 65°, значит

⌢AB + ⌢CD = 130°.

Теперь рассмотрим второй угол ∠BEC. Это тоже угол между теми же пересекающимися хордами, но смежный с ∠AEB по одной из сторон. Важно не перепутать: смежные углы не равны, но в данной конфигурации мы снова применяем ту же теорему. Угол ∠BEC опирается на дуги BC и AD, то есть

∠BEC = (⌢BC + ⌢AD)/2.

Чтобы найти ⌢BC, воспользуемся суммой всех дуг окружности:

⌢AB + ⌢BC + ⌢CD + ⌢DA = 360°.

Подставим известные данные:

130° + ⌢BC + 110° = 360°,

⌢BC = 120°.

Тогда

∠BEC = (120° + 110°)/2 = 115°.

Ответ: 115°.

Полезная проверка для ЕГЭ: если один угол между пересекающимися хордами равен 65°, то вертикальный к нему угол тоже 65°, а смежные углы дополняют его до 180°. Здесь 115° действительно является смежным с 65°: 65° + 115° = 180°, что согласуется с геометрией пересечения прямых. Частая ошибка — пытаться найти угол как половину одной дуги или как разность дуг; в этой теме почти всегда работает именно полусумма соответствующих дуг, а для всей окружности полезно помнить сумму всех четырёх дуг равной 360°.

Для угла между касательной и секущей, проведёнными из одной внешней точки, используется важнейшая формула:

угол = половина разности соответствующих дуг.

Здесь угол APC опирается на дуги AC и AB. Причём по условию дуга AC не содержит точку B, а дуга AB не содержит точку C. Это как раз те дуги, между которыми “лежит” угол между касательной и секущей.

Запишем формулу:

∠APC = 1/2 (дуга AC − дуга AB)

Подставим известные значения:

36° = 1/2 (156° − дуга AB)

Умножаем обе части на 2:

72° = 156° − дуга AB

Теперь выражаем искомую дугу:

дуга AB = 156° − 72° = 84°

Ответ: 84°.

Почему здесь важно не ошибиться? Частая ловушка на ЕГЭ — перепутать разность с суммой. Для угла между касательной и секущей всегда берётся именно половина разности дуг, а не сумма. Ещё одна типичная ошибка — взять не ту дугу: если в условии сказано, что дуга AC не содержит B, это означает, что берётся именно “дальняя” дуга между точками A и C, а не другая, проходящая через B.

Полезная проверка на здравый смысл: получившаяся дуга должна быть меньше большей дуги AC, и действительно 84° меньше 156°. Кроме того, разность 156° − 84° = 72°, а половина от неё равна 36°, что совпадает с данным углом. Это хороший способ самопроверки на экзамене.