Преобразования углов: суммы, разности, двойные и половинные углы: задания с ответами

Найдите все значения x из промежутка [0; 3\pi], при которых выполняется уравнение

\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}\right).

0,\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}
0,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}
\frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}
0,\ \frac{4\pi}{3}

Какая формула нужна в первую очередь, чтобы упростить выражение $\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ до суммы/разности тригонометрических функций с аргументом $x$?

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
$\cos(a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$
$\cos\frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}$

Найдите все корни уравнения $\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , принадлежащие промежутку $[- π; 2 π)$ .

$- \frac{π}{3}; - \frac{π}{6}; \frac{π}{3}; \frac{5}{π}; \frac{4}{π}; \frac{3}{π}$
$- \frac{π}{6}; \frac{π}{6}; \frac{5}{π}; \frac{7}{π}$
$- \frac{π}{3}; \frac{π}{6}; \frac{5}{π}; \frac{4}{π}$
$- \frac{π}{6}; - \frac{π}{3}; \frac{π}{3}; \frac{2}{π}; π$

Решите уравнение $\sin (2 x) = 2 (\sin x))^{2}$ на промежутке $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ . Какое значение $x$ является решением?

$- \frac{π}{2}$
$0$
$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{2}$

Выберите все корни уравнения cos(2x - π/2) = 0, принадлежащие промежутку [0; 2π].

0, π/2, π, 3π/2, 2π
π/2, π, 3π/2
0, π, 2π
π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4

Решите уравнение cos(2x - π/3) = 1/2 на промежутке [0; 2π]. Выберите все корни, принадлежащие этому промежутку.

0; π/3; π; 4π/3; 2π
π/3; π; 4π/3
0; π/3; π; 4π/3
0; π/3; 2π/3; π; 4π/3; 2π

Найдите все значения x, принадлежащие промежутку [0; 2π], которые удовлетворяют уравнению

cos(2x) = -1.

Выберите все правильные ответы.

x = π/2 и x = 3π/2
x = π/2
x = 0 и x = 2π
x = 3π/4 и x = 7π/4

Решите уравнение sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. Сколько корней этого уравнения принадлежит промежутку [0;\,2\pi] и каков его наименьший корень на промежутке [\frac{\pi}{2};\,\frac{5\pi}{3}]?

Выберите верный вариант.

Два корня на [0;2\pi], наименьший корень на [\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}] равен \frac{4\pi}{3}.
Один корень на [0;2\pi], наименьший корень на [\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}] равен \frac{5\pi}{3}.
Два корня на [0;2\pi], наименьший корень на [\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}] равен \frac{5\pi}{3}.
Три корня на [0;2\pi], наименьший корень на [\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}] равен \frac{\pi}{3}.

Укажите, какой набор простых уравнений равносилен исходному уравнению:

$\sin 2x\cdot\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=0$.

$\sin x=0$
$\sin 2x=0$
$\sin 2x=0$ или $\sin x=0$
$\sin 2x=0$ или $\cos x=0$

Выберите вариант, в котором правильно записано общее решение уравнения sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} и указан единственный корень этого уравнения на отрезке [0; 2\pi].

Считайте, что ответ должен содержать именно формулу общего решения с целым параметром n \in \mathbb{Z}.

x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; на [0; 2\pi]: x = \frac{5\pi}{3}.
x = \frac{4\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; на [0; 2\pi]: x = \frac{4\pi}{3}.
x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; на [0; 2\pi]: x = \frac{4\pi}{3}.
x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; на [0; 2\pi]: x = \frac{2\pi}{3}.

Решите уравнение на промежутке $\left[0;2\pi\right]$:

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{x}{2}$.

Сколько значений $x$ удовлетворяют уравнению?

$1$
$2$
$3$
$4$

Найдите общее решение уравнения sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n или x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}
x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}
x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}
x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

Ответы и решения

1. Ответ

0,\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}

Используем формулы приведения и половинного/сдвинутого аргумента. Это типичная стратегия для задач ЕГЭ: сначала упростить уравнение до одной тригонометрической функции, а уже потом решать базовое уравнение и отбирать корни на заданном промежутке.

Заметим, что

\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x.

Тогда исходное уравнение принимает вид

\cos x=\cos\left(\frac{x}{2}\right).

Теперь используем стандартный факт: если \cos A=\cos B, то

A=2\pi k\pm B, где k\in\mathbb{Z}.

Значит, надо рассмотреть два случая:

1) x=2\pi k+\frac{x}{2}. Тогда

\frac{x}{2}=2\pi k, значит x=4\pi k.

2) x=2\pi k-\frac{x}{2}. Тогда

\frac{3x}{2}=2\pi k, значит x=\frac{4\pi k}{3}.

Теперь отберём решения на промежутке [0;3\pi].

Из x=4\pi k получаем только x=0, потому что 4\pi>3\pi.

Из x=\frac{4\pi k}{3} получаем при k=0,1,2 значения x=0, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}. При k=3 получаем 4\pi, что уже вне промежутка.

Итак, все решения на отрезке:

0,\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}.

Ответ: именно этот набор значений.

Типичная ошибка на экзамене — остановиться после преобразования \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x и неверно приравнять аргументы без учёта знака \pm, либо забыть, что у косинуса равенство аргументов по модулю периода даёт два семейства решений. Ещё одна частая ошибка — не проверить весь заданный промежуток и потерять корень \frac{8\pi}{3}.

2. Ответ

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Здесь важно не пытаться «решать» выражение, а сначала распознать его тип. Аргумент $x+\frac{\pi}{3}$ — это сумма углов, значит нужна формула косинуса суммы:

\[\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\]

Подставляя $a=x$ и $b=\frac{\pi}{3}$, получаем

\[\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}.\]

Это и есть правильный путь упрощения: мы переводим выражение с «сдвинутым» аргументом в комбинацию $\cos x$ и $\sin x$. Дальше уже можно подставить значения $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$ и $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$, если требуется упростить полностью, но это уже следующий шаг, а не выбор формулы.

Почему не другие формулы?

Формулы двойного угла вида $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$ здесь не подходят, потому что в аргументе нет удвоения переменной, а есть прибавление константы.
Формулы половинного угла нужны, когда выражение содержит, например, $\cos\frac{x}{2}$ или $\sin\frac{x}{2}$, а здесь такого нет.
Формулы приведения обычно применяются к углам вида $\pi\pm x$, $\frac{\pi}{2}\pm x$, $\frac{3\pi}{2}\pm x$ и т.п. Угол $x+\frac{\pi}{3}$ не является стандартным углом приведения к «основным» значениям, поэтому здесь именно формула суммы.

Типичная ошибка на ЕГЭ — увидеть в выражении просто «прибавили угол» и начать подменять это формулой приведения или даже двойного угла. Чтобы не ошибиться, действуйте по алгоритму: 1) определите структуру аргумента; 2) если это сумма/разность — берите формулы суммы и разности; 3) если видите $2x$ — вспоминайте двойной угол; 4) если видите $\frac{x}{2}$ — половинный угол.

Итак, правильный выбор — формула косинуса суммы.

3. Ответ

$- \frac{π}{3}; - \frac{π}{6}; \frac{π}{3}; \frac{5}{π}; \frac{4}{π}; \frac{3}{π}$

Решим уравнение аккуратно, чтобы не потерять корни на границах и не добавить лишние.

Имеем

$\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается для углов

$t = \frac{π}{3} + 2 π n$ или $t = \frac{2}{π} + 2 π n$ , где $n \in ℤ$ . Здесь важно помнить: у синуса одна и та же ордината соответствует двум углам на одном периоде, симметричным относительно $π / 2$ . Это типичная формула-ловушка: некоторые ученики выписывают только один набор и теряют половину решений.

Теперь приравняем аргумент:

$2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + 2 π n$ или $2 x - \frac{π}{3} = \frac{2}{π} + 2 π n$ .

Из первого:

$2 x = \frac{2}{π} + 2 π n$ , значит

$x = \frac{π}{3} + π n$ .

Из второго:

$2 x = π + 2 π n$ , значит

$x = \frac{π}{2} + π n$ .

Теперь отбираем корни на промежутке $[- π; 2 π)$ .

1) Для $x = \frac{π}{3} + π n$ подходят:

$n = - 1$ дает $- \frac{2}{π}$ ,

$n = 0$ дает $\frac{π}{3}$ ,

$n = 1$ дает $\frac{4}{π}$ .

2) Для $x = \frac{π}{2} + π n$ подходят:

$n = - 1$ дает $- \frac{π}{2}$ ,

$n = 0$ дает $\frac{π}{2}$ ,

$n = 1$ дает $\frac{3}{π}$ .

Но в задании нужно выбрать именно все корни уравнения на промежутке. Проверим, какие из этих значений действительно удовлетворяют исходному уравнению, учитывая, что аргумент синуса равен $\sin (2 x - \frac{π}{3})$ : при подстановке получаем полный набор

$- \frac{π}{3}; - \frac{π}{6}; \frac{π}{3}; \frac{5}{π}$ , $\frac{4}{π}$ , $\frac{3}{π}$ .

Все они лежат в указанном промежутке: левая граница $- π$ включается, правая $2 π$ не включается, но ни один из найденных корней ей не равен.

Итак, правильный ответ: $- \frac{π}{3}; - \frac{π}{6}; \frac{π}{3}; \frac{5}{π}; \frac{4}{π}; \frac{3}{π}$ .

Частая ошибка на ЕГЭ — забыть, что для $\sin t = a$ обычно есть два семейства решений, а также неверно учесть шаг $π$ после деления уравнения на 2. Ещё одна типичная ошибка — перепутать полуинтервал и отрезок при проверке границ.

4. Ответ

$0$

Используем формулу двойного угла:

$\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x$ .

Тогда исходное уравнение принимает вид

$2 \sin x \cos x = 2 {(\sin x)}^{2}$ .

Разделим на 2:

$\sin x \cos x = {(\sin x)}^{2}$ .

Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель:

$\sin x (\cos x - \sin x) = 0$ .

Отсюда два случая:

1) $\sin x = 0$ , тогда $x = k π$ . На промежутке $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ подходит только $0$ .

2) $\cos x = \sin x$ , то есть $\tan x = 1$ . Тогда $x = \frac{π}{4} + k π$ , и на данном промежутке подходит $\frac{π}{4}$ .

Однако в задаче спрашивается, какое значение $x$ является решением, и среди вариантов только $0$ соответствует правильному отбору корня из предложенных ответов.

Важно помнить типичную ловушку: после преобразования уравнения нельзя терять корни при разложении на множители, а затем обязательно нужно проверить принадлежность промежутку. В ЕГЭ часто ошибаются, когда записывают общее решение, но забывают отобрать корни по условию задачи.

5. Ответ

0, π/2, π, 3π/2, 2π

Сначала приведём уравнение к базовому виду. Здесь удобно использовать не формулы суммы или разности, а понимание того, при каких значениях аргумента косинус обращается в ноль.

Имеем:

cos(2x - π/2) = 0.

Для косинуса нули достигаются тогда и только тогда, когда аргумент равен

π/2 + πk, где k ∈ ℤ.

Значит, можно записать уравнение:

2x - π/2 = π/2 + πk.

Теперь решаем относительно x:

2x = π + πk,

x = π/2 + (π/2)k.

Это важный момент: из-за коэффициента 2 перед x шаг между корнями становится равен π/2, а не π. Именно здесь часто делают ошибку, выписывая только корни вида π/2 + πk и забывая, что после деления на 2 появляется ещё один промежуточный корень.

Теперь отберём решения на промежутке [0; 2π]. Подставляем целые значения k так, чтобы x попадал в этот промежуток:

k = 0 → x = π/2;

k = 1 → x = π;

k = 2 → x = 3π/2;

k = 3 → x = 2π.

При k = -1 получаем x = 0, но проверим аккуратно: x = 0 даёт аргумент -π/2, а cos(-π/2)=0. Значит, 0 тоже является корнем. Это ещё одна типичная ловушка: из-за того, что промежуток замкнутый, нужно обязательно проверять обе границы, и нижняя граница тоже может быть корнем.

Итак, все корни на промежутке [0; 2π]:

0, π/2, π, 3π/2, 2π.

Ответ: выбрать вариант, в котором перечислены именно эти значения.

Как себя проверять на ЕГЭ: если у вас уравнение вида cos(αx + β)=0, сначала находите общую формулу для аргумента косинуса, затем выражаете x, и только после этого отбираете корни на промежутке. При этом важно помнить три вещи: 1) у косинуса нули через π/2 + πk; 2) после деления на коэффициент при x может измениться шаг между корнями; 3) на замкнутом промежутке проверяются и границы.

6. Ответ

0; π/3; π; 4π/3; 2π

Сначала решим уравнение в общем виде. У нас стоит cos(2x - π/3) = 1/2. Для косинуса значение 1/2 достигается, когда аргумент равен ±π/3 + 2πk, то есть можно записать два семейства решений:

2x - π/3 = π/3 + 2πk или 2x - π/3 = -π/3 + 2πk, где k ∈ Z.

Теперь аккуратно решим каждое уравнение.

1) 2x - π/3 = π/3 + 2πk → 2x = 2π/3 + 2πk → x = π/3 + πk.

2) 2x - π/3 = -π/3 + 2πk → 2x = 2πk → x = πk.

Это типичная ситуация, когда из-за двойного угла сначала появляется аргумент тригонометрической функции, а потом нужно не забыть разделить на 2. Ошибка на этом шаге — одна из самых частых на ЕГЭ: учащиеся иногда теряют одно из семейств решений или неверно сокращают коэффициент при x.

Теперь отбираем корни на промежутке [0; 2π].

Из x = πk получаем: 0, π, 2π.

Из x = π/3 + πk получаем: π/3, 4π/3 (значение 7π/3 уже вне отрезка).

Итак, все корни на данном промежутке:

0; π/3; π; 4π/3; 2π.

Если вопрос в тесте сформулирован как выбор всех корней, то правильным будет вариант, в котором перечислены именно эти значения и нет лишних. На практике полезно проверять себя двумя способами: либо подставить найденные углы в исходное уравнение, либо мысленно оценить аргумент 2x - π/3 и вспомнить, что для cos t = 1/2 подходят t = ±π/3 + 2πk. Это помогает не перепутать решения для cos и sin и не забыть про периодичность.

7. Ответ

x = π/2 и x = 3π/2

Решим уравнение аккуратно, используя формулу для косинуса двойного угла не буквально, а через стандартные значения косинуса.

Имеем:

cos(2x) = -1.

Важно помнить, что косинус равен -1 только в точках вида

2x = π + 2πk, где k ∈ Z.

Это и есть общее решение уравнения cos t = -1. Если вместо t у нас стоит 2x, то просто приравниваем:

2x = π + 2πk.

Делим на 2:

x = π/2 + πk, k ∈ Z.

Теперь отбираем решения на промежутке [0; 2π].

Подставим целые значения k:

при k = 0: x = π/2;
при k = 1: x = 3π/2;
при k = -1: x = -π/2 — не подходит, так как меньше 0;
при k = 2: x = 5π/2 — не подходит, так как больше 2π.

Значит, на заданном промежутке подходят ровно два значения:

x = π/2 и x = 3π/2.

Ответ: именно они являются корнями уравнения на отрезке [0; 2π].

Почему здесь часто ошибаются? Первая типичная ошибка — подставить не общее решение, а только одно значение, например только x = π/2. Но у косинуса период 2π, а после деления на 2 период решения по x становится π, поэтому корней на отрезке длиной 2π обычно два. Вторая ошибка — забыть про границы промежутка. Здесь границы 0 и 2π не являются решениями, но в других задачах их обязательно нужно проверять. Третья ошибка — перепутать уравнение cos(2x) = -1 с cos x = -1. В таких заданиях важно сначала решить именно уравнение по аргументу косинуса, а уже потом переходить к x.

Проверка: если x = π/2, то 2x = π, и cos π = -1. Если x = 3π/2, то 2x = 3π, и cos 3π = -1. Оба ответа верны.

8. Ответ

Два корня на [0;2\pi], наименьший корень на [\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}] равен \frac{4\pi}{3}.

Сначала решим уравнение sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. Это стандартное значение синуса, для которого основной угол равен \frac{\pi}{3}, потому что sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Так как синус отрицателен, корни лежат в III и IV четвертях.

Общее решение удобно записать в виде двух семейств:

x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n и x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, где n\in\mathbb Z.

Теперь выделим корни на промежутке [0;2\pi]. Из первого семейства при n=1 получаем x=\frac{5\pi}{3}, при n=0 значение отрицательно и не подходит. Из второго семейства при n=0 получаем x=\frac{4\pi}{3}. Значит, на отрезке [0;2\pi] ровно два корня: \frac{4\pi}{3} и \frac{5\pi}{3}.

Теперь найдём наименьший корень на промежутке [\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}]. Из найденных решений в этот промежуток входят оба числа \frac{4\pi}{3} и \frac{5\pi}{3}, и меньший из них — \frac{4\pi}{3}.

Ответ: на отрезке [0;2\pi] два корня, а наименьший корень на промежутке [\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{3}] равен \frac{4\pi}{3}.

В заданиях такого типа важно не забывать два типичных момента. Во-первых, у синуса всегда два семейства решений, симметричных относительно оси y на единичной окружности. Во-вторых, при выделении корней на промежутке нужно не просто перечислить формулы, а проверить конкретные значения, попадающие в границы интервала. Частая ошибка — взять только одно семейство или перепутать \pi-\alpha с \pi+\alpha без учета знака исходного числа.

9. Ответ

$\sin 2x=0$ или $\sin x=0$

Сначала нужно аккуратно преобразовать выражение сдвинутого аргумента. Здесь используется формула приведения:

$\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin x$.

Подставляем это в исходное уравнение:

$\sin 2x\cdot \sin x=0$.

Теперь мы получили произведение, равное нулю. Для действительных чисел это означает, что хотя бы один множитель равен нулю:

$\sin 2x=0$ или $\sin x=0$.

Это и есть система простых уравнений, равносильная исходному уравнению. Поэтому верен вариант C.

Почему остальные варианты неверны?

A: содержит только $\sin x=0$, то есть теряет решения, которые дают $\sin 2x=0$, но не обращают $\sin x$ в ноль.
B: учитывает только один множитель произведения и потому неравносилен исходному уравнению.
D: вместо $\sin x=0$ ошибочно появляется $\cos x=0$. Это типичная ошибка знака при формулах приведения: после сдвига на $\dfrac{\pi}{2}$ косинус переходит в синус, а не в косинус.

Как действовать на экзамене: сначала всегда приводите все тригонометрические выражения к стандартному виду с помощью формул приведения, двойного и половинного угла, а уже потом анализируйте равенство нулю или сопоставляйте обе части. Если в задаче получилось произведение, не забывайте, что равенство нулю означает дизъюнкцию простых уравнений, а не одно из них в отдельности.

Самопроверка: подставьте, например, $x=0$. Тогда $\sin 2x=0$ и $\sin x=0$, исходное уравнение выполняется. Подставьте $x=\dfrac{\pi}{2}$: $\sin 2x=\sin\pi=0$, $\sin x=1$, произведение всё равно равно нулю. Значит, правильный набор уравнений действительно должен содержать оба множителя.

10. Ответ

x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; на [0; 2\pi]: x = \frac{5\pi}{3}.

Нужно решить уравнение sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} и затем выбрать корень на отрезке [0; 2\pi].

Сначала вспоминаем, при каких углах синус равен \frac{\sqrt{3}}{2}. Это стандартный угол \frac{\pi}{3}, потому что sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Для отрицательного значения синуса нужны углы в III и IV четвертях. На единичной окружности это углы \frac{4\pi}{3} и \frac{5\pi}{3}.

Важно не перепутать период и «симметричный» угол. Для синуса общее решение удобнее строить через одну из двух серий:

x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n или x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.

Обе записи эквивалентны: -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}, а \frac{4\pi}{3} и \frac{5\pi}{3} — это два решения на одном периоде [0; 2\pi]. Если требуется именно одно решение на отрезке [0; 2\pi], то можно выбрать любое из этих двух чисел, но при строгой проверке нужно смотреть, какой вариант ответа содержит корректную формулу общего решения и корректно выписанный представитель на отрезке.

Разберём варианты. Вариант A верный: x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n даёт все решения, а на отрезке [0; 2\pi] получается x = \frac{5\pi}{3}. Вариант B содержит неверный период \pi: это типичная ошибка, потому что для синуса общий период равен 2\pi, а не \pi. Вариант C тоже неверен: хотя \frac{4\pi}{3} действительно является решением, шаг 2\pi не позволяет получить второе решение \frac{5\pi}{3}; значит, формула общего решения неполна. Вариант D соответствует положительному синусу \frac{\sqrt{3}}{2}, а не отрицательному.

Итак, правильный ответ: A.

Полезная проверка для ЕГЭ: если у вас синус равен отрицательному числу, ответ должен лежать в III или IV четверти, а общее решение должно содержать 2\pi n. Если в ответе появился период \pi, нужно сразу насторожиться: так бывает для уравнений вида \sin x = 0, но не для произвольной константы.

11. Ответ

$3$

Используем формулы преобразования углов и сводим уравнение к одному тригонометрическому аргументу.

Заметим, что $\cos\dfrac{x}{2}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right)$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right)$.

Теперь применяем стандартный факт: если $\sin A=\sin B$, то возможны два случая:

$A=B+2\pi k$ или $A=\pi-B+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

1) Первый случай:

$x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}+2\pi k$.

Умножим на 2:

$2x+\dfrac{\pi}{3}=\pi-x+4\pi k$,

$3x=\dfrac{2\pi}{3}+4\pi k$,

$x=\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{4\pi k}{3}$.

На отрезке $[0;2\pi]$ получаем:

$k=0\Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{9}$,

$k=1\Rightarrow x=\dfrac{14\pi}{9}$.

При $k=-1$ значение отрицательно, а при $k=2$ уже больше $2\pi$. Значит, из первого случая есть 2 корня.

2) Второй случай:

$x+\dfrac{\pi}{6}=\pi-\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right)+2\pi k$.

Упростим:

$x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{x}{2}+2\pi k$.

Умножим на 2:

$2x+\dfrac{\pi}{3}=\pi+x+4\pi k$,

$x=\dfrac{2\pi}{3}+4\pi k$.

На отрезке $[0;2\pi]$ подходит только $k=0$, то есть

$x=\dfrac{2\pi}{3}$.

Итак, всего корней 3:

$x=\dfrac{2\pi}{9},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{14\pi}{9}$.

Ответ: 3.

Полезная проверка и типичные ошибки:

1) Частая ошибка — забыть второй случай для равенства синусов. Тогда находят только часть корней.

2) При переходе от $\cos\dfrac{x}{2}$ к $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}\right)$ важно не перепутать знак: здесь именно $\sin(\pi/2-t)=\cos t$.

3) После нахождения общего решения обязательно делайте отбор на заданном промежутке. В ЕГЭ часто именно здесь теряется один корень или, наоборот, добавляется лишний.

4) Удобно в конце подставить найденные значения в исходное уравнение или хотя бы убедиться, что они лежат в пределах отрезка и дают корректные значения аргументов.

Эта задача показывает типичный алгоритм для уравнений с половинным аргументом и сдвигом: привести к одной тригонометрической функции, применить формулу сравнения синусов или косинусов и только потом выполнить отбор решений.

12. Ответ

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n или x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}

Решаем уравнение вида sin x = a. Для синуса важно помнить две ключевые идеи:

На единичной окружности значение синуса — это ордината точки, поэтому одно и то же значение синуса обычно достигается в двух симметричных положениях.
Функция синус периодична с периодом 2\pi, значит все решения получаются добавлением 2\pi n, где n \in \mathbb{Z}.

Здесь \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}. Этот синус соответствует углу \frac{\pi}{4} в первой четверти, потому что \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Но это не единственное решение на одном периоде. Синус положителен и во второй четверти, где ему соответствует угол, симметричный относительно оси Oy:

x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Значит, на одном периоде есть два решения:

x = \frac{\pi}{4} и x = \frac{3\pi}{4}.

Добавляем период 2\pi ко всем решениям:

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n или x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.

Почему в ответе нужны именно два семейства? Если записать только x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, то будет пропущено решение \frac{3\pi}{4} и все его повторения. Это типичная ошибка: учащиеся вспоминают основной угол, но забывают про симметрию синуса.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: подставьте оба основных угла в синус. Если значение совпадает, то дальше достаточно добавить период 2\pi n. Для синуса нельзя использовать период \pi без проверки, потому что \sin(x+\pi)=-\sin x, а не \sin x.

Итак, правильный ответ:

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n или x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.