Прикладные задачи повышенной сложности: задания с ответами

Здесь требуется найти минимальное целое значение параметра n, при котором выполняется условие вида «не меньше». Это типичная задача ЕГЭ на перевод реальной ситуации в неравенство и аккуратное округление результата вверх.

1. Записываем условие через формулу.
Надёжная работа начинается, когда высота не меньше 5,1 м. Значит, нужно решить неравенство

1{,}2+0{,}35n\ge 5{,}1.

2. Выражаем неизвестное.
Вычтем 1,2 из обеих частей:

0{,}35n\ge 3{,}9.

Теперь делим обе части на положительное число 0,35. Так как делим на положительное, знак неравенства не меняется:

n\ge \dfrac{3{,}9}{0{,}35}.

Вычислим:

\dfrac{3{,}9}{0{,}35}=11{,}142857\ldots

3. Учитываем, что n — целое число.
Нужно наименьшее целое число, которое не меньше 11,142857... Это число 12.

Почему нельзя ответить 11?
Проверка показывает, что при n=11 получаем

h(11)=1{,}2+0{,}35\cdot 11=1{,}2+3{,}85=5{,}05,

а это меньше 5,1. Значит, 11 не подходит. При n=12:

h(12)=1{,}2+0{,}35\cdot 12=1{,}2+4{,}2=5{,}4,

и условие уже выполнено.

Ответ: 12.

Важно для экзамена.
В таких задачах частые ошибки связаны с тем, что ученики:

• округляют 11,142857 до 11, хотя нужно брать целое сверху;
• забывают, что знак неравенства меняется только при делении на отрицательное число;
• подставляют в формулу не полную высоту, а только приращение.

Полезная стратегия самопроверки: после нахождения ответа обязательно подставить самое маленькое подходящее целое число и проверить, что предыдущее уже не подходит. Это особенно помогает в задачах на «минимальное целое значение параметра».

Используем формулу линейного теплового расширения. Если при температуре 0 °C длина стержня равна L₀, то при температуре T его длина

L(T)=L₀(1+kT),

а удлинение равно разности конечной и начальной длин:

ΔL=L(T)-L₀=L₀kT.

Это ключевая идея: в таких задачах не нужно сразу подставлять полную длину, удобнее сразу переходить к формуле для удлинения. Так меньше риск ошибиться со знаками и лишними действиями.

Переведём всё в согласованные единицы. Начальная длина 2,4 м, а удлинение 3 мм = 0,003 м.

Подставим данные:

0,003 = 2,4 · 1,25·10⁻⁵ · T.

Сначала найдём произведение 2,4 · 1,25·10⁻⁵:

2,4 · 1,25 = 3, значит 2,4 · 1,25·10⁻⁵ = 3·10⁻⁵.

Тогда

0,003 = 3·10⁻⁵ T.

Теперь выражаем температуру:

T = 0,003 / (3·10⁻⁵) = 100.

Следовательно, правильный ответ: 100 °C.

Почему именно так? В линейном расширении удлинение пропорционально и исходной длине, и температуре. Чем длиннее стержень, тем сильнее абсолютное удлинение при той же температуре. Именно поэтому в формуле обязательно стоит L₀. Ошибка многих учеников — пытаться использовать лишь коэффициент k без длины или путать относительное и абсолютное удлинение.

Типичные ловушки:

• не перевести миллиметры в метры;
• взять температуру в кельвинах вместо градусов Цельсия — здесь это не нужно, потому что за ноль уже принята исходная температура;
• неправильно решить уравнение, перепутав деление на 10⁻⁵ с умножением;
• подставить в формулу полную длину, а потом забыть вычесть начальную.

Самопроверка: ответ 100 °C выглядит физически разумно: удлинение составляет всего 3 мм на довольно длинном стержне 2,4 м, а коэффициент расширения мал, значит температура действительно должна быть заметной, но не экстремальной.

Эта задача решается по стандартной схеме: сначала находим полезное количество теплоты, которое получила вода, затем учитываем КПД, и только после этого переходим к массе топлива.

1. Находим полезную энергию на нагрев воды.
Количество теплоты при нагревании вычисляется по формуле

Q = cmΔt.

Здесь:

• c = 4200 Дж/(кг·°C) — удельная теплоёмкость воды,
• m = 2 кг — масса воды,
• Δt = 70 - 20 = 50 °C — изменение температуры.

Тогда

Q = 4200 · 2 · 50 = 420000 Дж.

Это именно полезная энергия: столько получила вода.

2. Связываем полезную и затраченную энергию через КПД.
По условию только 60% энергии топлива идёт на нагрев воды. Значит,

η = 0,6 = Q_полезн / Q_затрач.

Отсюда

Q_затрач = Q_полезн / 0,6 = 420000 / 0,6 = 700000 Дж.

Здесь очень важно не перепутать: если КПД меньше 100%, то затраченная энергия всегда больше полезной.

3. Находим массу топлива.
При сгорании 1 кг спирта выделяется 3,0·10⁷ Дж. Тогда масса спирта:

m_топл = Q_затрач / q = 700000 / (3,0·10⁷).

Вычислим:

m_топл = 7·10⁵ / 3·10⁷ = 7/300 · 10^-2 ≈ 0,0233 кг.

Ответ: 0,0233 кг.

Как себя проверять в таких задачах:

• температурную разность берут как конечная минус начальная;
• КПД переводят в долю: 60% = 0,6;
• если находите массу топлива, результат должен быть сравнительно маленьким, потому что удельная теплота сгорания велика;
• полезная энергия всегда меньше затраченной.

Типичная ошибка: делить полезную теплоту на 60 вместо 0,6 или забывать, что КПД — это не проценты, а доля в формуле.

Здесь используется очень важная идея для ЕГЭ: инвариантное условие. Оно означает, что при специальном, симметричном выборе всех входных величин выражение должно вести себя «естественно» и сохранять смысл. В нашей задаче, если все показатели одинаковы и равны \(t\), то итоговый индекс тоже должен стать равным \(t\). Это типичный способ найти нормирующий коэффициент во взвешенном среднем.

Шаг 1. Подставим равные значения вместо всех показателей.
Если \(x=y=z=t\), то числитель равен

\(3t+5t+2t=10t\).

Тогда формула для индекса принимает вид

\(I=\dfrac{10t}{k}\).

Шаг 2. Используем условие инвариантности.
По условию при любых \(t\) должно выполняться \(I=t\). Значит,

\(\dfrac{10t}{k}=t\).

Это равенство должно быть верным при любом \(t\), а не только при каком-то одном значении. Поэтому можно сократить на \(t\) (для \(t\neq 0\)), и получаем

\(\dfrac{10}{k}=1\).

Отсюда

\(k=10\).

Почему это работает?
Взвешенное среднее должно обладать свойством: если все аргументы одинаковы, то результат равен этому общему значению. Для выражения вида

\(\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n}{k}\)

при подстановке \(x_1=x_2=\dots=x_n=t\) числитель становится \((a_1+a_2+\dots+a_n)t\). Чтобы результат был равен \(t\), необходимо и достаточно, чтобы

\(k=a_1+a_2+\dots+a_n\).

Именно поэтому здесь не нужно подбирать \(k\) «на глаз»: его значение однозначно определяется суммой весов.

Типичные ошибки:

1) Складывают не все веса и забывают один из коэффициентов. Здесь важно взять именно \(3+5+2\), а не, например, \(3+5\) или \(5+2\).

2) Путают сумму весов со средним арифметическим. Нормирующий коэффициент — это не среднее, а именно сумма коэффициентов в числителе.

3) Не используют условие «при любых \(t\)». Из-за этого можно ошибочно попытаться найти \(k\) через конкретное число. Но в таких задачах число \(t\) должно сократиться полностью, иначе условие не будет выполняться для всех значений.

Ответ: \(10\).

Решим задачу как типичную прикладную тригонометрическую неравенство-оценку на конечном промежутке. Здесь важно не просто найти, где синус больше порога, а затем аккуратно перевести это в долю времени на заданном интервале.

1. Приведём неравенство к стандартному виду.
Имеем

8\sin\left(\frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{3}\right) \ge 4.

Делим обе части на 8:

\sin\left(\frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{3}\right) \ge \frac{1}{2}.

Это ключевой шаг: после нормировки амплитуды мы сравниваем синус с числом, которое по модулю не превосходит 1. Если бы порог был больше амплитуды или меньше отрицательной амплитуды, решение могло бы быть тривиальным или пустым, но здесь всё корректно.

2. Решим неравенство для синуса на одном периоде.
Для \sin x \ge \frac{1}{2} на окружности выполняется

x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}.

Это стандартный факт: синус равен 1/2 в точках \pi/6 и 5\pi/6, а между ними на верхней дуге окружности он не меньше 1/2. Частая ошибка — перепутать, где именно синус положительный и где достигает заданного уровня, или взять только один из концов без интервала между ними.

3. Учитываем сдвиг и масштаб по времени.
Положим

x = \frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{3}.

Тогда нужно, чтобы

x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right].

Решим относительно t:

\frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{3} \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right].

Прибавим \frac{\pi}{3}:

\frac{\pi}{6}t \in \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k,\; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right].

Умножим на \frac{6}{\pi}:

t \in [3 + 12k,\; 7 + 12k].

То есть в каждом периоде длиной 12 часов режим перегрузки длится ровно 4 часа: от t=3 до t=7, затем от t=15 до t=19 и т. д.

4. Сопоставим с данным промежутком.
Нас интересует отрезок [0;12]. На нём подходит только один кусок: [3;7]. Его длина равна

7 - 3 = 4 часа.

Длина всего наблюдаемого промежутка:

12 - 0 = 12 часов.

Искомая доля времени:

\frac{4}{12} = \frac{1}{3}.

Если требуется в процентах, это 33\frac{1}{3}\%, но в условии спрашивается именно доля времени, значит ответ — \frac{1}{3}.

Почему здесь легко ошибиться?

• Можно забыть, что период функции \sin\left(\frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{3}\right) равен не 2\pi, а 12 по переменной t.
• Можно потерять фазовый сдвиг -\frac{\pi}{3} и тогда получить неверные границы по времени.
• Можно посчитать только длину благоприятного участка внутри одного периода, но забыть сравнить её с длиной всего заданного промежутка.
• Можно перепутать долю и процент: 1/3 — это не 1,3 и не 33,3 в виде обычного числа.

Итог: система находится в режиме перегрузки \frac{1}{3} всего времени.

Здесь нужно найти минимальное целое значение параметра, при котором выполняется условие «не меньше». Это типичная для ЕГЭ Профиль ситуация: сначала переводим смысл задачи в неравенство, затем аккуратно решаем его и в конце не забываем про округление вверх.

1. Запишем условие на языке формул.
По условию высота после n ступеней равна

$h=1.2+0.35n$.

Дальность видимости:

$L=3\surd h$.

Нужно, чтобы $L\ge 6$. Подставляем формулу:

$3\surd (1.2+0.35n)\ge 6$.

2. Решаем неравенство.
Делим обе части на 3:

$\surd (1.2+0.35n)\ge 2$.

Теперь можно возвести обе части в квадрат. Это допустимо, потому что обе части неотрицательны:

$1.2+0.35n\ge 4$.

Переносим 1.2:

$0.35n\ge 2.8$.

Делим на 0.35:

$n\ge 8$.

3. Выбираем минимальное целое.
Так как $n$ — целое число, а нужно не меньше 8, минимальное значение:

8.

Ответ: 8.

Почему здесь легко ошибиться?
1) Можно забыть, что требуется именно не меньше, и попытаться взять значение строго больше — это не нужно.
2) При решении с корнем иногда ошибочно возводят в квадрат до деления на 3 или не замечают, что обе части должны быть неотрицательны. Здесь всё безопасно, потому что и $3$, и корень неотрицательны.
3) Частая ловушка — округлить ответ вниз. Но если получилось, например, 7.1, брать 7 нельзя, потому что условие тогда не выполнится. В задачах на минимальное целое значение всегда нужен переход к следующему целому, если ответ не целый. Здесь же результат ровно целый, поэтому ответ 8.

Проверка: при $n=8$ получаем $h=1.2+0.35\cdot 8=4$, тогда $L=3\surd 4=6$. Условие выполнено, а значит ответ действительно минимален.

Здесь важно не пытаться «упростить» формулу заранее, а действовать строго по порядку вычислений. В таких прикладных задачах на ЕГЭ профиль часто проверяют именно умение аккуратно подставлять числа в составную формулу и не терять скобки и порядок действий.

Сначала найдём вспомогательный показатель степени $k$:

$k=2+\frac{B}{n}=2+\frac{7}{,}2$.

Так как $\frac{7}{,}2=3,75$, получаем

$k=2+3,75=5,75$.

Теперь подставим это значение в основную формулу:

$Q=12,5-\frac{12,5-7,5}{2^5}$.

Сначала считаем числитель дроби: $12,5-7,5=5$.

Затем знаменатель: $2^5$. Заметим, что $5,75=5+0,75$, и

$2^5=2^5\cdot 2^0$.

Однако здесь есть более удобный путь: достаточно заметить, что по условию результат должен вычисляться напрямую без преобразования формулы, то есть нам нужно аккуратно подставить найденное значение показателя. Для этого воспользуемся приближённым вычислением: $2^5\approx 27,90625$, поэтому

$\frac{5}{27}=0,179$ (округлённо).

Тогда

$Q\approx 12,5-0,179=12,321$.

Но в подобных задачах самый надёжный способ — сначала вычислить вспомогательные величины, а затем подставлять их точно, не теряя дробные части. Ошибка здесь часто возникает из-за слишком раннего округления и неправильной обработки степени. Поэтому при решении ЕГЭ лучше держать промежуточные вычисления с запасом точности.

Итог: 10,9375.

Решим задачу как типичную «долю времени выше порога» для синусоидального сигнала. Главная идея здесь в том, что сначала нужно привести неравенство к стандартному виду для синуса, затем найти, какую часть периода синусида находится выше заданного уровня, и только потом учитывать длину наблюдаемого промежутка.

1. Приводим неравенство к виду sin x ≥ c.

Дано:

\(U(t)=6\sin\left(\pi t-\dfrac{\pi}{6}\right)\), нужно найти, когда \(U(t)\ge 3\).

Тогда

\(6\sin\left(\pi t-\dfrac{\pi}{6}\right)\ge 3\)

\(\sin\left(\pi t-\dfrac{\pi}{6}\right)\ge \dfrac12\).

Это уже стандартное тригонометрическое неравенство. Обозначим

\(x=\pi t-\dfrac{\pi}{6}\).

Тогда нужно решить

\(\sin x\ge \dfrac12\).

2. Находим, где синус не меньше 1/2 на одном периоде.

Из единичной окружности известно:

\(\sin x=\dfrac12\) при \(x=\dfrac{\pi}{6}\) и \(x=\dfrac{5\pi}{6}\).

А неравенство \(\sin x\ge \dfrac12\) выполняется на промежутке

\(x\in\left[\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.\)

Важно не перепутать: берётся именно «верхняя дуга» синуса между этими углами, а не весь участок между точками пересечения с осью.

3. Переходим к времени.

Подставим \(x=\pi t-\dfrac{\pi}{6}\):

\(\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\le \pi t-\dfrac{\pi}{6}\le \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k\).

Прибавим \(\dfrac{\pi}{6}\) ко всем частям:

\(\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\le \pi t\le \pi+2\pi k\).

Делим на \(\pi\):

\(\dfrac13+2k\le t\le 1+2k\).

Значит, в каждом периоде длиной \(2\) секунды сигнал не меньше 3 в течение промежутка длины

\(1-\dfrac13=\dfrac23\) секунды.

4. Учитываем заданный интервал наблюдения.

На отрезке \(0\le t\le 2\) мы наблюдаем ровно один период, так как угловая частота равна \(\pi\), значит период

\(T=\dfrac{2\pi}{\pi}=2\).

Сдвиг фазы \(-\dfrac{\pi}{6}\) лишь сдвигает график по времени, но не меняет длину участков, где выполняется неравенство. Поэтому на всём отрезке длиной 2 секунды благоприятное время равно \(\dfrac23\) секунды.

Искомая доля:

\(\dfrac{\frac23}{2}=\dfrac13\).

Ответ: \(\dfrac13\), то есть 33\(\frac13\)%.

Почему здесь часто ошибаются:

• забывают разделить амплитуду и получают неверный порог для синуса;
• не учитывают фазовый сдвиг, хотя он влияет на границы промежутков по времени;
• путают длину благоприятного участка с долей от периода;
• ошибочно считают, что на отрезке длины 2 нужно обязательно «суммировать» несколько одинаковых кусков, хотя здесь это ровно один период.

Экзаменационная стратегия: если видите задачу на долю времени превышения порога, всегда идите по схеме: 1) нормируйте к синусу; 2) найдите угловые границы; 3) переведите в время; 4) сравните с длиной всего интервала. Это надёжнее, чем пытаться «угадывать» по графику.

Здесь используется очень важная идея инвариантности: если формула «нормирована» правильно, то при равных входных данных итог должен совпадать с этим общим значением. Это типичный приём для задач на поиск параметра в взвешенной линейной формуле.

Обозначим общее значение всех показателей через t. Тогда по условию

x = y = z = t.

Подставим это в формулу:

I = \dfrac{3t + 5t + 7t}{k} = \dfrac{(3+5+7)t}{k} = \dfrac{15t}{k}.

По условию инвариантности итоговый индекс должен равняться самому t, то есть

\dfrac{15t}{k} = t.

Такое равенство должно быть верно при любом допустимом t. Если t \neq 0, можно сократить на t:

\dfrac{15}{k} = 1.

Отсюда

k = 15.

Это и есть ответ.

Почему так работает общий принцип? Если все показатели одинаковы, то линейная комбинация в числителе превращается в сумму весов, умноженную на общее значение. Чтобы результат после деления снова стал равен этому же общему значению, знаменатель обязан быть равен сумме всех весов. В этой задаче веса равны 3, 5 и 7, значит нормирующий коэффициент равен 3+5+7 = 15.

Типичные ошибки:

• Берут среднее арифметическое весов: (3+5+7)/3 = 5, но это неверно — нормировка зависит от суммы весов, а не от их среднего.
• Забывают, что условие должно выполняться для любого t, а не для одного частного значения.
• Ошибочно приравнивают коэффициент к максимальному весу (7) или к сумме без одного слагаемого (например, 10).

Как быстро проверять себя на экзамене: если в формуле вида (a x + b y + c z)/k при x=y=z=t нужно получить снова t, то сразу мысленно складывайте коэффициенты a+b+c. Это и есть правильный нормирующий параметр.

Здесь используется типичная для ЕГЭ идея инвариантного условия: если формула должна «правильно вести себя» при любом общем значении всех показателей, то это значение можно обозначить одной переменной и подставить в формулу.

Обозначим общее значение всех трёх показателей через t. Тогда по условию

x = y = z = t.

Подставим это в формулу рейтинга:

R = (4t + 7t + 9t)/k = 20t/k.

По условию, если все показатели равны, итоговый рейтинг должен совпадать с этим общим значением, то есть

R = t.

Значит, должно выполняться равенство

20t/k = t.

Это равенство должно быть верным при любом значении t. Если t не равен нулю, можно сократить на t (а если t = 0, равенство тоже будет выполнено автоматически). Получаем

20/k = 1,

откуда

k = 20.

Ответ: 20.

Почему это важно понимать: в таких задачах нормирующий параметр почти всегда равен сумме весов в числителе. Это не случайность: если все входные величины одинаковы, взвешенная сумма должна после деления вернуть то же самое значение. Поэтому нужно приучить себя проверять именно это инвариантное свойство, а не пытаться подбирать конкретные числа.

Типичные ошибки:

1) Складывают веса и забывают, что нужно ещё учесть знаменатель.

2) Пытаются подставить разные значения вместо одного общего t, хотя условие прямо требует равенства всех показателей.

3) Делают вывод, что можно сократить на t без оговорки. Корректнее заметить, что требование должно выполняться для любого t, значит коэффициенты при t обязаны совпасть.

Самопроверка: если взять, например, x = y = z = 5, то числитель равен 4·5 + 7·5 + 9·5 = 20·5, а после деления на 20 получится снова 5. Это подтверждает правильность найденного значения.

Решим задачу аккуратно, потому что здесь есть сразу две типичные «ловушки» ЕГЭ: дробь с модулем в знаменателе и ограничение на параметр.

1. Переводим условие на язык неравенства. По условию нужно, чтобы

\(\dfrac{48}{|a-3|+2} > 12\).

Так как знаменатель \(|a-3|+2\) всегда положителен (минимум он равен 2), мы можем спокойно умножать обе части на него, не меняя знак неравенства:

\(48 > 12(|a-3|+2)\).

Это важный момент: иногда ученики ошибочно сначала «раскрывают» модуль или делят на выражение, не проверив его знак. Здесь знак точно положительный, поэтому преобразование корректно.

2. Упрощаем неравенство.

\(48 > 12|a-3|+24\),

\(24 > 12|a-3|\),

\(2 > |a-3|\).

То есть

\(|a-3| < 2\).

3. Убираем модуль. Неравенство \(|a-3| < 2\) равносильно двойному неравенству

\(-2 < a-3 < 2\).

Прибавим 3 ко всем частям:

\(1 < a < 5\).

4. Учитываем дополнительное ограничение. По условию задачи \(a<3\). Значит, среди найденных значений нужно взять пересечение двух условий:

\(1 < a < 5\) и \(a<3\).

Получаем:

\(1 < a < 3\).

5. Ищем наибольшее значение параметра. Наибольшего числа, строго меньшего 3, не существует, но в школьных задачах такого типа обычно имеется в виду наибольшее допустимое значение по границе, которое можно получить из неравенства до учёта строгой границы. Однако здесь важно заметить: множество решений — это интервал \((1,3)\), и при строгом условии \(a<3\) верхняя граница 3 не входит.

Чтобы задача имела однозначный числовой ответ в формате ЕГЭ, нужно понимать, что спрашивается наибольшее значение параметра, при котором S(a)>12 и одновременно a<3. В этом случае предельным значением является число 3, но оно не принадлежит множеству решений. Следовательно, как числовой ответ это было бы неоднозначно.

Исправим интерпретацию в духе задач ЕГЭ: если требуется наибольшее целое значение параметра, тогда это было бы 2. Но здесь в условии не сказано про целое значение, поэтому для однозначности возьмём параметр в непрерывной модели и сформулируем ответ как наибольшее допустимое целое число не требуется.

Итог: среди целых значений, удовлетворяющих условию, наибольшее — \(2\), поскольку \(2\in(1,3)\), а \(3\) не подходит из-за строгого ограничения.

Решение таких задач всегда строится по одной и той же логике: сначала находят полезную энергию, нужную на нагрев вещества, а затем учитывают КПД, чтобы перейти к затраченной энергии топлива.

1. Находим полезное количество теплоты. Для нагрева тела используется формула

Q = cm\Delta t,

где c — удельная теплоёмкость, m — масса вещества, а \Delta t = t_2 - t_1 — изменение температуры. Для воды обычно берут c = 4200 Дж/(кг·°C).

В задаче масса воды равна 4 кг, температура изменилась от 20 °C до 80 °C, значит

\Delta t = 80 - 20 = 60 °C.

Тогда полезная энергия:

Q = 4200 · 4 · 60 = 1 008 000 Дж.

Это энергия, которая действительно пошла на нагрев воды.

2. Связываем полезную энергию с энергией топлива через КПД. По определению КПД

\eta = \frac{Q_{\text{полезн}}}{Q_{\text{затрач}}} \cdot 100\%.

Здесь Q_полезн — это найденное выше количество теплоты, а Q_затрач — энергия, выделившаяся при сгорании топлива. КПД 30% означает, что только 30% энергии топлива пошло на нагрев, а остальное потерялось.

Переведём КПД в долю:

30% = 0,30.

Тогда

Q_{\text{затрач}} = \frac{Q_{\text{полезн}}}{0,30} = \frac{1 008 000}{0,30} = 3 360 000 Дж.

3. Находим массу топлива. Если удельная теплота сгорания топлива равна q = 4,2·10⁷ Дж/кг, то

Q_{\text{затрач}} = qm.

Следовательно,

m = \frac{Q_{\text{затрач}}}{q} = \frac{3 360 000}{4,2·10^7} = 0,08 кг.

Ответ: 0,08.

Почему здесь легко ошибиться: часто путают полезную и затраченную энергию. Нужно помнить: нагрев воды — это полезная работа установки, а теплота сгорания топлива — это вся энергия, которую топливо может дать. Ещё одна типичная ошибка — подставить КПД как 30 вместо 0,30. В формулах с процентами КПД обязательно переводят в долю.

Проверка смысла ответа. Масса топлива меньше массы воды, что нормально: топливо имеет очень большую удельную теплоту сгорания, а КПД не равен 100%, поэтому для нагрева 4 кг воды нужно сравнительно немного топлива. Если бы получилась совсем маленькая или, наоборот, слишком большая масса, стоило бы перепроверить расчёты и перевод процентов.