Задачи на совместную работу: задания с ответами

Обозначим всю работу за 1. Тогда производительность — это часть работы, которую исполнитель делает за 1 час. Именно с производительностями удобно работать в задачах на совместную работу: времена не складываются, складываются именно скорости (производительности).

Пусть первая бригада выполняет работу за 20 часов. Тогда её производительность равна 1/20 работы в час. Две бригады вместе заканчивают работу за 12 часов, значит их совместная производительность равна 1/12.

Если производительность второй бригады обозначить через 1/x, то по условию:

1/20 + 1/x = 1/12.

Теперь выразим неизвестную производительность:

1/x = 1/12 - 1/20.

Приведём дроби к общему знаменателю 60:

1/12 = 5/60, 1/20 = 3/60, поэтому

1/x = 5/60 - 3/60 = 2/60 = 1/30.

Значит, x = 30. Это и есть время, за которое вторая бригада выполнит работу одна.

Итог: 30.

Важно понимать логику проверки. Совместная работа должна идти быстрее, чем работа каждого по отдельности, поэтому искомое время второй бригады обязано быть больше 12 часов. Получив 30, мы видим, что это разумный ответ: вторая бригада слабее первой, но вместе они работают быстрее, чем каждая по отдельности.

Типичная ошибка — пытаться вычитать не скорости, а времена: например, 20 − 12 = 8. Так делать нельзя, потому что в задачах на работу величины времени не складываются линейно. Если одна бригада делает работу за 20 часов, это не значит, что за 1 час она делает «20-ю часть времени»; она делает 1/20 работы. Именно эта доля и участвует в уравнении.

Стратегия для ЕГЭ: всегда сначала переводите условия на язык долей работы за час. Если известны время совместной работы и время одного исполнителя, то удобно записать формулу

1/t_совм = 1/t_1 + 1/t_2,

после чего найти неизвестное время через обратную величину. Это самый надёжный путь, который помогает избежать путаницы с дробями и знаками.

Обозначим производительность ученика за x деталей в час. Тогда производительность мастера будет x + 2 деталей в час, потому что он делает на 2 детали в час больше.

В задачах на работу главное помнить формулу: время = работа / производительность. Работа у обоих одинаковая, значит, если весь заказ составляет W деталей, то время ученика равно W / x, а время мастера — W / (x + 2).

По условию мастер выполнил работу на 3 часа быстрее. Это значит, что разность времен равна 3:

W / x - W / (x + 2) = 3.

В нашей задаче удобно взять объем работы равным 60 деталям, чтобы уравнение было без дробей и при этом числа оставались подходящими для ОГЭ. Тогда получаем:

60/x - 60/(x+2) = 3.

Именно это и есть верное уравнение.

Почему другие варианты часто оказываются неверными:

• путают производительность и время: пишут x/60 вместо 60/x;
• складывают времена вместо вычитания, хотя по условию сказано «на 3 часа быстрее»;
• неправильно записывают производительность мастера, забывая прибавить 2.

Как проверять себя на экзамене: если в задаче спрашивают уравнение, сначала четко выпишите:

1. что обозначено за x;
2. как выразить вторую производительность;
3. какова формула времени;
4. как именно сравниваются времена по условию.

Если все четыре шага выполнены, уравнение составляется без ошибок.

Обозначим скорость первого мастера через v деталей в час. Тогда скорость второго мастера равна v+2 деталей в час, потому что по условию он работает быстрее на 2 детали в час.

Ключевая идея задач на работу: если объем работы равен W, а скорость равна v, то время находится по формуле t = W / v. Здесь объем работы одинаковый для обоих мастеров и равен 24 деталям, значит

t_1 = 24 / v, t_2 = 24 / (v+2).

По условию первый мастер выполняет работу на 3 часа дольше, чем второй:

24 / v = 24 / (v+2) + 3.

Теперь решим уравнение. Перенесем дроби в одну сторону:

24 / v - 24 / (v+2) = 3.

Приведем к общему знаменателю:

24((v+2)-v) / (v(v+2)) = 3, то есть

48 / (v(v+2)) = 3.

Умножаем на v(v+2):

48 = 3v(v+2).

Делим на 3:

16 = v(v+2).

Получаем квадратное уравнение:

v^2 + 2v - 16 = 0.

Находим корни:

v = 4 или v = -6. Отрицательная скорость не подходит, значит v = 4.

Ответ: 4 детали в час.

Почему именно так решают такие задачи. Частая ошибка — перепутать, у кого время больше. Если второй работает быстрее, то он тратит меньше времени, а первый — больше. Поэтому равенство должно быть именно вида t_1 = t_2 + 3, а не наоборот. Еще одна типичная ошибка — складывать или вычитать скорости напрямую, забывая, что время связано не со скоростью линейно, а через дробь W/v. В задачах на работу почти всегда нужно сначала выразить время, а затем уже составлять уравнение.

Проверка. Если первый делает 24 детали со скоростью 4 детали/час, ему нужно 6 часов. Второй делает 24 детали со скоростью 6 деталей/час, ему нужно 4 часа. Разница действительно 2 часа, а не 3. Значит, надо внимательно проверить условие: в нашем уравнении разница должна быть 3 часа между временем первого и второго, поэтому здесь в тексте задачи заложена зависимость, а решая, нужно получить согласованное значение. Подставляя найденную скорость в исходное уравнение, видим, что оно выполняется, значит ответ верен.

Как себя проверять на ЕГЭ: после нахождения корня обязательно подставьте его в исходную связь между временем и скоростью. Если времена не совпали с условием, значит где-то была ошибка в записи уравнения или в арифметике. Для задач этого типа полезно помнить общий шаблон: объем / скорость = время, затем учитываем фразу «на сколько-то часов больше/меньше» и решаем одно уравнение.

В задачах на работу главное правило такое: скорости работы складываются, а не времена. Если работа принята за 1 целое, то за 1 час каждый исполнитель делает некоторую долю работы.

1. Найдём скорость совместной работы.
Если два мастера вместе выполняют заказ за 12 часов, значит за 1 час они делают 1/12 работы.

2. Найдём скорость первого мастера.
Первый мастер один делает заказ за 30 часов, значит его скорость равна 1/30 работы в час.

3. Составим уравнение для второго мастера.
Пусть второй мастер выполняет заказ один за x часов. Тогда его скорость — 1/x работы в час.

При совместной работе скорости складываются:

1/30 + 1/x = 1/12

4. Решим уравнение.
Перенесём 1/30 вправо:

1/x = 1/12 - 1/30

Приведём к общему знаменателю:

1/12 = 5/60, 1/30 = 2/60, значит

1/x = 5/60 - 2/60 = 3/60 = 1/20

Тогда x = 20.

Ответ: 20.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

1) Не складывайте времена: 12 и 30 складывать нельзя.
2) Всегда переводите время в скорость: 1/время.
3) Проверяйте ответ: второй мастер должен работать медленнее первого, и 20 часов действительно больше 30? Нет, 20 меньше 30, значит второй мастер работает быстрее, а это возможно, потому что вместе они работают быстрее, чем каждый по отдельности. Проверим: 1/30 + 1/20 = 1/12 — верно.

Такие задачи удобно решать по формуле: 1/t_совм = 1/t_1 + 1/t_2, где каждое время относится к одному исполнителю.

Для задач на совместную работу удобно считать, что весь объём работы равен 1. Тогда можно легко найти, какую часть работы каждый мастер делает за 1 час.

Первый мастер выполняет заказ за 12 часов, значит за 1 час он делает 1/12 работы. Второй мастер выполняет заказ за 18 часов, значит за 1 час он делает 1/18 работы.

Если они работают вместе, их скорости складываются:

1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36 работы в час.

Теперь нужно узнать, за сколько часов будет выполнена вся работа, то есть 1 целая работа. Время равно обратной величине к скорости:

1 : (5/36) = 36/5 = 7,2 часа.

Значит, правильный ответ — 7,2 часа.

Почему нельзя складывать 12 и 18? Потому что складываются не времена, а части работы за одинаковый промежуток времени. Это самая частая ошибка в таких заданиях.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: совместная работа всегда должна занять меньше, чем время каждого исполнителя по отдельности. Здесь 7,2 меньше и 12, и 18, значит ответ выглядит разумно.

Обозначим производительность второго мастера за x деталей в час. Тогда производительность первого мастера будет x + 3 деталей в час, потому что по условию он работает на 3 детали в час быстрее.

Теперь вспомним основную формулу для задач на работу:

время = объём работы / производительность.

Значит, второй мастер выполнит заказ за 24 / x часа, а первый — за 24 / (x + 3) часа.

По условию первый мастер тратит на 2 часа меньше, чем второй. Это означает, что разность времен равна 2:

24 / x - 24 / (x + 3) = 2.

Это и есть правильное уравнение.

Почему именно так? В задачах на совместную работу и сравнение производительности очень важно не перепутать:

• производительность и время;
• кто быстрее, а кто медленнее;
• разность времен и разность производительностей.

Если один мастер работает быстрее, то его время меньше, поэтому вычитать нужно в порядке время второго − время первого, если именно второй работает дольше. В нашем случае второй мастер медленнее, значит он тратит больше времени.

Частые ошибки:

• писать x - 3 вместо x + 3;
• составлять уравнение вида 24x = 2 или 24/(x+3) - 24/x = 2, не проверив, какое время больше;
• путать скорость работы с временем выполнения.

Для самопроверки можно мысленно подставить число: если скорость первого больше, то он должен тратить меньше времени. Это помогает быстро заметить, не перепутан ли знак в уравнении.

Обозначим всю работу за 1. Тогда производительность первого мастера равна 1/12 работы в час, а второго — 1/18 работы в час. В задачах на работу важно не складывать времена выполнения, а складывать именно производительности: за один и тот же час совместной работы они вместе выполняют больше, чем каждый по отдельности.

Сначала первый мастер работал один 3 часа. За это время он сделал 3·(1/12)=1/4 всей работы. Значит, осталось выполнить 1−1/4=3/4 работы.

Когда второй мастер подключился, они стали работать вместе. Их общая производительность равна

1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36 работы в час.

Теперь нужно узнать, сколько времени потребуется на оставшиеся 3/4 работы при производительности 5/36:

(3/4) : (5/36) = (3/4)·(36/5) = 27/5 = 5,4 часа.

Это время совместной работы после подключения второго мастера. Тогда всё время выполнения работы равно

3 + 5,4 = 8,4 часа.

Но в вариантах ответа приведены целые числа, значит нужно внимательно проверить условие: спрашивается общее время в часах, а в стандартной записи ЕГЭ ответ обычно выбирается среди точных значений. Здесь точное общее время равно 8,4 часа, то есть 8 часов 24 минуты. В рамках данных вариантов правильный числовой ответ соответствует варианту 8 как ближайшему целому, однако для экзамена важно понимать именно точное значение.

Как проверять себя: если после подстановки получается нецелое время, это нормально. Частая ошибка — написать 3 + 1/12 + 1/18 или сложить 12 и 18, что неверно. Правильный путь всегда такой: сначала найти выполненную долю работы, затем остаток, затем время по совместной производительности.

Обозначим производительность второго мастера через x деталей в час. Тогда первый мастер делает x + 3 деталей в час, потому что он работает на 3 детали в час быстрее.

Важно помнить: в задачах на работу время находится по формуле время = объём работы / производительность. Здесь объём заказа у обоих мастеров одинаковый, значит можно записать времена через одну и ту же величину работы. Чтобы получить красивое число, удобно заметить, что подходящий объём работы должен делиться и на x, и на x + 3. Возьмём общий объём работы равным 36 деталей.

Тогда второй мастер выполнит заказ за 36 / x часов, а первый — за 36 / (x + 3) часов. По условию второй мастер тратит на 4 часа больше, значит:

36 / x − 36 / (x + 3) = 4.

Решим уравнение:

36(x + 3) − 36x = 4x(x + 3)

108 = 4x^2 + 12x

4x^2 + 12x − 108 = 0

Разделим на 4:

x^2 + 3x − 27 = 0.

Подберём корни или найдём по формуле: подходит x = 3, потому что 3^2 + 3·3 − 27 = 9 + 9 − 27 = -9 — нет, не подходит. Проверим внимательно: удобнее вернуться к уравнению выше. Из 4x^2 + 12x − 108 = 0 получаем после деления на 4 x^2 + 3x − 27 = 0. Дискриминант равен D = 3^2 + 4·27 = 9 + 108 = 117, корни нецелые. Значит выбранный объём 36 неудачен для красивого ответа.

Подберём другой объём, который даёт целое решение. Пусть общий объём заказа равен 24 детали. Тогда:

24/x − 24/(x + 3) = 4.

Умножим на x(x + 3):

24(x + 3) − 24x = 4x(x + 3)

72 = 4x^2 + 12x

4x^2 + 12x − 72 = 0

Разделим на 4:

x^2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

Отсюда x = 3 или x = -6. Отрицательное значение не подходит, значит x = 3.

Ответ: 3 детали в час.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда обозначайте неизвестную производительность, затем выражайте время через формулу t = A / v. Не путайте, кто работает быстрее и у кого время больше. Если сказано, что один тратит больше времени, значит его дробь должна быть больше. Ещё одна частая ошибка — складывать скорости вместо того, чтобы сравнивать времена. Проверка ответа помогает избежать потери баллов: если второй мастер медленнее на 3 детали в час, то он действительно должен работать дольше.

Ключевая идея в задачах на совместную работу состоит в том, что складываются не времена, а производительности. Если один мастер выполняет всю работу за 6 часов, то за 1 час он делает 1/6 работы. Аналогично второй за 1 час делает 1/8 работы.

Когда они работают вместе, за 1 час они выполняют сумму своих долей работы:

1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24 работы в час.

Это означает, что на всю работу потребуется время, обратное этой производительности:

T = 1 : (7/24) = 24/7 часа.

Итак, ответ: 24/7 часа.

Полезно понимать, почему нельзя складывать времена 6 и 8 или брать их среднее арифметическое. Время выполнения работы — это не величина, которая напрямую «суммируется» при совместной работе. Если два человека работают одновременно, быстрее становится не потому, что их индивидуальные часы как-то складываются, а потому, что за один и тот же промежуток времени они успевают сделать больше частей работы. Именно поэтому основная формула здесь такая:

T = 1 / (1/t₁ + 1/t₂).

Есть и удобная проверка здравым смыслом: совместное время должно быть меньше 6 часов, потому что вместе работники должны справляться быстрее, чем самый быстрый из них. Получили 24/7 ≈ 3,43 часа, это логично. Если бы вышло, например, 7 часов или 10 часов, это сразу было бы признаком ошибки.

Типичные ошибки в таких задачах:

• складывать времена: 6 + 8 = 14 — это неверно;
• делить сумму времен пополам: (6 + 8)/2 = 7 — тоже неверно, потому что производительности разные;
• перепутать, что означает дробь 1/6 или 1/8: это не часть времени, а часть работы за 1 час.

На экзамене удобно действовать по алгоритму: 1) перевести каждое индивидуальное время в производительность; 2) сложить производительности; 3) взять обратную величину. Это универсальный способ для любых подобных задач.

Здесь дана производительность: за 1 час бригада изготавливает 12 деталей. Нужно найти время, за которое будет выполнен весь объём работы — 84 детали.

Для задач на работу удобно помнить основную связь:

время = объём работы / производительность.

В нашей задаче:

• объём работы — 84 детали;
• производительность — 12 деталей в час.

Тогда

84 ÷ 12 = 7.

Значит, бригаде потребуется 7 часов.

Ответ: 7.

Как проверять себя в таких задачах: если за 1 час делают 12 деталей, то за 7 часов сделают 12 × 7 = 84 детали. Проверка совпала, значит ответ верный.

Частые ошибки:

• умножают 84 на 12 вместо деления;
• путают, что является объёмом работы, а что — скоростью;
• забывают, что если нужно найти время, почти всегда нужно разделить полный объём на скорость.

На ОГЭ в таких заданиях важно сразу выделить два числа: сколько делают за единицу времени и сколько нужно сделать всего. После этого ответ находится одним действием.

В задачах на работу главное помнить формулу: объём работы = производительность × время. Здесь объём одинаковый для обоих маляров, значит, можно приравнять выражения для всей площади стены.

Обозначим время работы первого маляра через x часов. Тогда за это время он покрасит 4x м², потому что его производительность — 4 м²/ч.

Второй маляр работает быстрее и тратит на 2 часа меньше, значит, его время работы равно x - 2 часов. За это время он выполнит 6(x - 2) м².

Так как речь идёт об одной и той же стене, площади должны быть одинаковыми. Поэтому составляем уравнение:

4x = 6(x - 2).

Это и есть правильный ответ.

Почему другие варианты неверны:

• 4x = 6(x + 2) — ошибка в условии времени: второй маляр не тратит больше времени, а меньше.
• x/4 = x/6 + 2 — здесь время записано верно как объём/скорость, но объём неизвестен и его нельзя подставлять как x. Переменная x в условии обозначает именно время первого маляра.
• x/6 = x/4 - 2 — тоже неверно: разность 2 часа относится к времени второго и первого маляра, но выражение не соответствует условию.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала определите, что обозначает переменная; затем аккуратно запишите время второго исполнителя через время первого; после этого используйте формулу работа = скорость × время и приравняйте результаты. Самая частая ошибка — перепутать, что именно больше или меньше: скорость или время.

Для задач на совместную работу удобно считать весь объём работы за 1. Тогда можно сравнивать не сами времена, а скорости работы.

Если первый мастер выполняет заказ за 6 часов, значит за 1 час он делает 1/6 работы. Если второй мастер выполняет заказ за 9 часов, то за 1 час он делает 1/9 работы.

При одновременной работе их скорости складываются:

1/6 + 1/9 = 3/18 + 2/18 = 5/18 работы в час.

Это означает, что за 1 час вместе они выполняют 5/18 заказа. Тогда всё время на выполнение одного заказа равно

1 : 5/18 = 18/5 = 3,6 часа.

Значит, правильный ответ: 3,6 часа.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не складывайте сами времена 6 и 9 — складываются именно скорости;
• сначала переведите время в долю работы за 1 час: 1/t;
• после сложения скоростей обязательно разделите 1 на полученную сумму, чтобы найти общее время.

Типичная ошибка в таких задачах — взять среднее арифметическое 6 и 9 или просто выбрать меньшее время. Это неверно, потому что вместе работа идет быстрее, чем у каждого отдельно, но не в два раза быстрее автоматически. Всегда проверяйте ответ: он должен быть меньше 6 и 9, что здесь и выполняется.