Трапеция: свойства и вычисления: задания с ответами

Решим задачу по шагам, используя свойства равнобедренной трапеции.

1. Найдём боковые стороны. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Обозначим каждую из них через x. Тогда периметр равен сумме двух оснований и двух боковых сторон:

10 + 18 + x + x = 44.

Отсюда:

2x = 44 - 28 = 16, значит x = 8.

Итак, боковая сторона трапеции равна 8.

2. Используем симметрию равнобедренной трапеции. Если опустить высоты из концов меньшего основания на большее, то большая основа разобьётся на три части: по краям появятся два равных отрезка. Их длина равна половине разности оснований:

(18 - 10) / 2 = 4.

Получается прямоугольный треугольник, в котором:

— гипотенуза — боковая сторона, то есть 8;
— прилежащий к острому углу катет по основанию равен 4.

3. Найдём острый угол. Обозначим его через α. Тогда в этом прямоугольном треугольнике

cos α = 4 / 8 = 1/2.

Значит, α = 60°.

Ответ: 60.

Как не ошибиться на ЕГЭ: сначала всегда находите боковую сторону по периметру, потом — половину разности оснований. Это стандартный приём для равнобедренной трапеции. Частая ошибка — взять не половину разности, а всю разность оснований. Ещё одна ошибка — перепутать острый и тупой угол: в равнобедренной трапеции острые углы находятся при большем основании, а тупые — при меньшем.

Проверка себя: если ответ получился 60°, это разумно, потому что в прямоугольном треугольнике с катетом 4 и гипотенузой 8 действительно получается угол 60°, так как cos 60° = 1/2.

Решаем задачу по стандартной схеме для прямоугольной трапеции: сначала находим высоту, потом используем формулу площади.

1. Что известно и что нужно найти

У трапеции даны основания: AD = 12 и BC = 6. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, значит это и есть высота трапеции. Но в условии высота напрямую не дана, зато дан угол между наклонной боковой стороной CD и основанием AD. Значит, высоту надо выразить через этот угол.

2. Находим высоту

Опустим из точки C перпендикуляр на основание AD. Получится прямоугольный треугольник, в котором:

• горизонтальный катет равен разности оснований: AD - BC = 12 - 6 = 6;
• угол между боковой стороной CD и основанием AD равен 30^\circ;
• высота трапеции — это второй катет этого прямоугольного треугольника.

Для такого треугольника удобно использовать тангенс:

tan 30^\circ = h / 6.

Так как tan 30^\circ = 1/\sqrt{3}, получаем:

h = 6 \cdot 1/\sqrt{3} = 2\sqrt{3}.

3. Находим площадь трапеции

Формула площади трапеции:

S = (a + b) / 2 \cdot h,

где a и b — основания, h — высота.

Подставляем:

S = (12 + 6) / 2 \cdot 2\sqrt{3} = 18 / 2 \cdot 2\sqrt{3} = 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}.

Ответ: 18\sqrt{3}.

4. Как не ошибиться на ЕГЭ

• Не путайте разность оснований с высотой. Разность оснований — это только горизонтальная часть в прямоугольном треугольнике.
• Если дан угол между наклонной стороной и основанием, часто удобно брать тангенс: он связывает высоту и горизонтальный катет.
• Не забудьте, что в формуле площади трапеции нужно суммировать основания и делить на 2.

В таких задачах всегда полезно сначала мысленно выделить прямоугольный треугольник у наклонной стороны. Тогда высота находится быстро и без лишних действий.

Чтобы найти площадь трапеции, нужно вспомнить две основные формулы.

1) Высота трапеции выражается через боковую сторону и угол между этой стороной и основанием:
если боковая сторона равна l, а угол между ней и основанием равен α, то высота h = l·sin α.

В нашей задаче l = 8, α = 30°, значит

h = 8·sin 30° = 8·1/2 = 4.

2) Затем используем формулу площади трапеции:

S = (a + b)/2 · h,

где a и b — основания трапеции.

Подставляем числа:

S = (10 + 18)/2 · 4 = 28/2 · 4 = 14 · 4 = 56.

Ответ: 56.

Как не ошибиться на ЕГЭ: часто путают синус и косинус. Для высоты нужен именно синус, потому что высота — это перпендикулярная составляющая боковой стороны. Ещё одна типичная ошибка — забыть деление на 2 в формуле площади трапеции. Полезно проверять себя так: сначала находите высоту, потом берёте полусумму оснований и умножаете на высоту.

Для нахождения угла между диагоналями в трапеции удобно использовать формулу площади через диагонали:

S = 1/2 · d₁ · d₂ · sin φ,

где φ — угол между диагоналями.

Это очень важная формула для ЕГЭ: если в задаче даны две диагонали и площадь, то обычно именно она позволяет быстро найти угол, не строя дополнительные высоты и не вычисляя основания.

Подставим данные из условия:

30 = 1/2 · 10 · 12 · sin φ.

Сначала перемножим числа:

1/2 · 10 · 12 = 60,

значит

30 = 60 · sin φ.

Тогда

sin φ = 30 / 60 = 1/2.

Теперь нужно найти острый угол, синус которого равен 1/2. Такой угол равен 30°.

Ответ: 30°.

Почему не 150°? Потому что в задаче требуется именно острый угол между диагоналями. Угол 150° — тупой, а острый дополнительный к нему угол равен 30°.

Частая ошибка: забыть множитель 1/2 в формуле площади. Тогда можно ошибочно получить sin φ = 1/4 и выбрать неверный угол. Чтобы себя проверить, всегда сначала записывайте формулу полностью и только потом подставляйте числа.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если после вычислений получилось значение sin больше 1, значит, где-то допущена ошибка. Здесь получилось sin φ = 1/2 — это допустимо, значит ответ реален.

Рассмотрим равнобедренную трапецию внимательнее. Главная идея здесь такая: если опустить высоту из верхней вершины на большее основание, то внутри трапеции появится прямоугольный треугольник. Именно в этом треугольнике удобно находить острый угол.

У трапеции основания равны 18 и 10, значит их разность равна 18 − 10 = 8. Так как трапеция равнобедренная, «лишняя» часть большого основания распределяется поровну с двух сторон. Поэтому на каждую сторону приходится половина разности:

8 / 2 = 4.

Теперь получаем прямоугольный треугольник, в котором один катет равен высоте трапеции 4, а другой катет — 4 (это половина разности оснований). Значит, этот треугольник — равнобедренный прямоугольный, а его острые углы равны по 45°.

Можно записать и через тангенс:

tan α = 4 / 4 = 1, откуда α = 45°.

Следовательно, острый угол трапеции равен 45°.

Ответ: 45°.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не берите всю разность оснований целиком — нужна именно половина разности;
• не перепутайте острый и тупой угол: в равнобедренной трапеции при одном основании углы в сумме дают 180°;
• если в прямоугольном треугольнике оба катета равны, сразу вспоминайте угол 45°.

Такой способ решения очень типичен для базового экзамена: сначала выделяем прямоугольный треугольник, потом используем простое отношение катетов и быстро находим угол.

Рассмотрим, как устроена равнобедренная трапеция с опущенной высотой. Если из вершины меньшего основания опустить перпендикуляр на большее основание, то получится прямоугольный треугольник, в котором:

• боковая сторона трапеции — это гипотенуза;
• высота — один из катетов;
• горизонтальный отрезок у основания — второй катет, то есть проекция боковой стороны на основание.

По условию синус угла между боковой стороной и высотой равен 0,6. Важно не перепутать, что синус здесь относится именно к углу в прямоугольном треугольнике, а не к углу трапеции целиком.

Найдём длину боковой проекции. В прямоугольном треугольнике

sin угла = противолежащий катет / гипотенуза.

Гипотенуза равна 10, значит противолежащий катет равен

10 · 0,6 = 6.

Теперь найдём высоту по теореме Пифагора:

h² + 6² = 10²,
h² + 36 = 100,
h² = 64,
h = 8.

Но для нахождения основания нам нужен не сам высота, а горизонтальный отрезок у каждого края трапеции. В равнобедренной трапеции таких одинаковых отрезков два, поэтому нужно взять удвоенную горизонтальную проекцию боковой стороны. Эта проекция равна 6, значит суммарно добавится

2 · 6 = 12.

Тогда большее основание равно

8 + 12 = 20.

Ответ: 20.

Полезная проверка для ЕГЭ: если трапеция равнобедренная, то “лишняя” длина большего основания по сравнению с меньшим всегда распределяется симметрично по двум краям. Поэтому нельзя забывать умножать проекцию на 2. Частая ошибка — взять только один отрезок 6 и получить 14, но это неверно, потому что учитывается обе стороны трапеции.

Для трапеции есть очень важное свойство: средняя линия равна полусумме её оснований. Если основания обозначить через a и b, а среднюю линию — через m, то формула выглядит так:

m = (a + b) / 2

В задаче известно, что m = 11 см, а одно основание равно 8 см. Обозначим другое основание через x. Тогда составляем уравнение:

(8 + x) / 2 = 11

Теперь умножим обе части на 2:

8 + x = 22

Вычтем 8:

x = 14

Ответ: 14 см.

Почему это работает? Средняя линия трапеции проходит посередине между основаниями и по длине всегда равна их среднему арифметическому. Поэтому если известны средняя линия и одно основание, второе легко найти из формулы.

Как не ошибиться на экзамене:

• не путайте среднюю линию с высотой — это разные отрезки;
• не забывайте, что средняя линия равна именно половине суммы оснований, а не их разности;
• после нахождения ответа можно быстро проверить себя: (8 + 14) / 2 = 11, значит, решение верное.

Рассмотрим, как такие задачи решаются на ЕГЭ базового уровня. В равнобедренной трапеции удобно использовать симметрию: если опустить высоты из верхних вершин на большее основание, то по краям получатся два одинаковых прямоугольных треугольника.

1. Находим “сдвиг” по основанию. Разность оснований равна 16 - 10 = 6. Так как трапеция равнобедренная, эта разность делится поровну между двумя боковыми частями. Значит, каждый такой отрезок равен 6 / 2 = 3.

2. Строим прямоугольный треугольник. Если из верхней вершины опустить перпендикуляр на основание, то в полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза — это боковая сторона трапеции, то есть 5, один катет равен 3, а второй катет — это высота трапеции h.

3. Находим высоту по теореме Пифагора. Получаем:

h² + 3² = 5²

h² + 9 = 25

h² = 16

h = 4

Высота положительна, значит берём 4.

4. Находим синус острого угла. Острый угол при основании AD лежит в прямоугольном треугольнике. Для этого угла:

sin = противолежащий катет / гипотенуза = 4 / 5.

Ответ: 4/5.

Почему важно именно так рассуждать? На экзамене часто путают, какую функцию нужно находить, и берут не тот катет. Для синуса нужен противолежащий катет, а для косинуса — прилежащий. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что в равнобедренной трапеции разность оснований делится пополам. Если не сделать этот шаг, прямоугольный треугольник построить корректно не получится.

Как быстро проверить себя? Если боковая сторона равна 5, а половина разности оснований равна 3, то высота должна получиться 4, потому что тройка чисел 3–4–5 — это известный прямоугольный треугольник. Это удобная самопроверка, которая помогает не ошибиться в вычислениях.

Пусть из вершин меньшего основания опущены высоты на большее основание. В равнобедренной трапеции получаются два равных прямоугольных треугольника по краям. Именно в таком треугольнике удобно использовать тангенс острого угла.

Обозначим через x горизонтальный отрезок у одного края трапеции — это проекция боковой стороны на основание. Тогда для острого угла при большем основании в прямоугольном треугольнике

tan угла = противолежащий катет / прилежащий катет = высота / x.

По условию tan = 3/4, а высота равна 6. Значит:

3/4 = 6/x.

Отсюда 3x = 24, значит x = 8.

Теперь важно не забыть, что таких одинаковых горизонтальных отрезков два — слева и справа. Поэтому разность оснований равна

2x = 16.

Меньшее основание равно 8, значит большее основание:

8 + 16 = 24.

Ответ: 24.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не перепутайте, что тангенс связывает высоту и горизонтальный отрезок в прямоугольном треугольнике;
• не забудьте, что в равнобедренной трапеции таких отрезков два, поэтому нужно удваивать найденную проекцию;
• сначала находите разность оснований, а потом прибавляйте её к меньшему основанию.

В таких задачах самый быстрый путь: тангенс → горизонтальный отрезок → разность оснований → большее основание.

Решать такие задачи удобно через разбиение равнобедренной трапеции на прямоугольные треугольники. Это типичный приём для ЕГЭ базового уровня: если в трапеции проведена высота, то сразу появляется прямоугольный треугольник, а значит можно применять синус, косинус и теорему Пифагора.

Обозначим меньшee основание трапеции через 10 см, боковую сторону через 13 см. По условию известен синус острого угла между боковой стороной и высотой: sin = 5/13.

Так как синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то здесь можно найти высоту трапеции. В нашем треугольнике боковая сторона — это гипотенуза, а высота — катет, противолежащий данному углу:

h = 13 · 5/13 = 5 см.

Теперь нужно найти горизонтальную проекцию боковой стороны на основание. Это второй катет прямоугольного треугольника. Его можно найти как второй катет по теореме Пифагора:

x = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см.

В равнобедренной трапеции таких одинаковых «сдвигов» два — слева и справа. Поэтому большее основание на 2x больше меньшего основания:

10 + 2·12 = 34 см.

Итак, правильный ответ: 34.

Почему легко ошибиться:

• нельзя прибавлять к меньшему основанию одну боковую сторону — боковая сторона наклонная, а нужна именно её горизонтальная проекция;
• нельзя забывать про удвоение проекции, потому что трапеция равнобедренная и одинаковые «добавки» есть с обеих сторон;
• если дан синус, сначала ищем высоту, а не проекцию. Это главный ориентир.

Быстрая проверка себя на экзамене: большее основание должно быть больше меньшего. Здесь получилось 34 > 10, значит ответ разумный.

Рассмотрим свойства равнобедренной трапеции и аккуратно свяжем заданный угол с углом между диагоналями.

1. Что известно о равнобедренной трапеции?
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Значит, если угол между боковой стороной AB и основанием AD равен 30°, то такой же угол у другой боковой стороны с этим же основанием тоже равен 30°. Это важное свойство симметрии равнобедренной трапеции.

2. Как устроены диагонали?
Диагонали пересекаются внутри трапеции. Чтобы найти угол между ними, удобно рассмотреть треугольник, образованный точкой пересечения диагоналей и вершинами трапеции. В равнобедренной трапеции диагонали расположены симметрично относительно оси симметрии фигуры, поэтому угол между ними выражается через углы при основании.

3. Найдём нужный угол.
Если угол при основании равен 30°, то диагонали образуют между собой тупой угол, равный удвоенному дополнительному к нему углу:
∠AOB = 180° - 2·30° = 120°.

4. Почему не 60°?
Частая ошибка — взять просто удвоенный заданный угол, то есть 2·30° = 60°. Но это не угол между диагоналями, а лишь часть рассуждения. Угол между диагоналями в данной конфигурации получается тупым, поэтому нужно вычитать из 180°.

Ответ: 120°.

Как проверять себя на ЕГЭ: если в равнобедренной трапеции дан угол при основании, сначала ищите симметричный ему угол, затем думайте, будет ли искомый угол острым или тупым. Это помогает не перепутать 60° и 120°, которые часто являются парой «ошибка — правильный ответ».

Решим задачу по шагам, используя свойства равнобедренной трапеции.

1. Что известно о равнобедренной трапеции?
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, если ∠DAB = 50°, то и угол при вершине B у нижнего основания тоже равен 50° в соответствующем понимании углов при основании. Кроме того, так как основания трапеции параллельны, внутренние односторонние углы при боковой стороне в сумме дают 180°. Поэтому угол при верхнем основании равен:

180° - 50° = 130°.

2. Как связаны диагонали и углы трапеции?
В равнобедренной трапеции диагонали симметричны, и при пересечении образуют угол, который удобно находить через углы, составленные диагоналями с основаниями. Если одна диагональ образует с основанием угол 50°, а другая — такой же угол с тем же основанием с другой стороны из-за симметрии, то угол между диагоналями равен сумме этих двух острых углов:

∠AOB = 50° + 50° = 100°.

Но нужно быть внимательным: в точке пересечения диагоналей есть два смежных угла, и обычно в таких задачах выбирают меньший из них. Тогда меньший угол между диагоналями равен:

180° - 100° = 80°.

3. Ответ.
80.

Как не ошибиться на ЕГЭ?
Очень частая ошибка — сразу брать сумму углов с основанием и получать 100°, не проверив, какой именно угол между прямыми требуется: меньший или больший. Если формулировка говорит просто «угол между диагоналями», обычно имеется в виду меньший угол, то есть не больше 90°. Поэтому здесь ответ 80°.