Сумма цифр: задания с ответами

Разберём условие по частям. Нужно найти трёхзначное число, которое:

1. делится на 6;
2. у него сумма цифр равна произведению цифр.

Пусть цифры числа — a, b, c. Тогда число имеет вид abc, где a — ненулевая цифра.

Составим условие из суммы и произведения цифр:

a + b + c = a · b · c.

Это не означает, что нужно перебирать все трёхзначные числа. Обычно в таких задачах сначала удобно искать простые наборы цифр, для которых сумма и произведение могут совпасть.

Заметим, что если среди цифр есть 1, то произведение не слишком быстро растёт. Попробуем подобрать цифры так, чтобы равенство было возможным. Например, для цифр 1, 2, 3 получаем:

1 + 2 + 3 = 6, а 1 · 2 · 3 = 6.

Значит, любое число из цифр 1, 2 и 3 в некотором порядке уже подходит по второму условию.

Теперь проверим делимость на 6. Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

• На 2 число делится, если последняя цифра чётная.
• На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3.

Сумма цифр у нас равна 6, значит, на 3 число делится автоматически. Остаётся сделать число чётным, то есть поставить в конце цифру 2.

Подходит, например, число 132:

• оно трёхзначное;
• делится на 6, потому что заканчивается на 2 и сумма цифр 1 + 3 + 2 = 6 делится на 3;
• сумма цифр равна произведению: 1 + 3 + 2 = 6, 1 · 3 · 2 = 6.

Значит, верный ответ — 132.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

• Сначала проверяйте условие делимости: оно часто позволяет отбросить большинство вариантов.
• Потом ищите удобные цифры, для которых сумма и произведение совпадают.
• Помните, что в заданиях типа «найдите любое число» ответ может быть не единственным.

Типичная ошибка: выбрать число, у которого совпала только сумма и произведение, но забыть проверить делимость, или наоборот. Всегда проверяйте все условия по очереди.

Идея задачи: нужно подобрать число так, чтобы выполнялись сразу три условия: число натуральное, четырёхзначное, чётное, а также сумма цифр равна их произведению.

Для таких задач удобно рассуждать от свойства сумма = произведение. Если среди цифр есть 0, то произведение сразу становится равным 0, а сумма цифр для четырёхзначного числа обычно не равна 0. Значит, 0 использовать нельзя.

Тогда остаются цифры от 1 до 9. Чтобы произведение не было слишком большим, удобно брать много единиц: умножение на 1 не меняет произведение, но увеличивает сумму на 1. Поэтому чаще всего нужно искать число вида, где несколько цифр равны 1, а одна цифра — побольше.

Проверим вариант 1114:

• это четырёхзначное число;
• оно чётное, потому что последняя цифра 4;
• сумма цифр: 1 + 1 + 1 + 4 = 7;
• произведение цифр: 1 · 1 · 1 · 4 = 4.

Здесь сумма и произведение не равны, значит число не подходит.

Попробуем 1122:

• четырёхзначное;
• чётное;
• сумма: 1 + 1 + 2 + 2 = 6;
• произведение: 1 · 1 · 2 · 2 = 4.

Тоже не подходит.

Теперь рассмотрим 1223:

• четырёхзначное;
• нечётное, значит не подходит по условию.

Удобный подход — подбирать цифры так, чтобы произведение было небольшим и совпадало с суммой. Подходит, например, число 1111, но оно не чётное. Поэтому нужно изменить последнюю цифру так, чтобы число осталось чётным и при этом сумма и произведение совпали.

Подойдёт 2222:

• число четырёхзначное и чётное;
• сумма цифр: 2 + 2 + 2 + 2 = 8;
• произведение цифр: 2 · 2 · 2 · 2 = 16.

Нет, это тоже не подходит.

Значит, среди вариантов ответа нужно выбрать тот, где все условия совпадают. Для самопроверки всегда делайте три шага: 1) проверьте количество цифр, 2) проверьте дополнительное условие (здесь чётность), 3) отдельно посчитайте сумму и произведение цифр.

Важно: в заданиях ЕГЭ База часто бывают «ловушки»: число может быть внешне подходящим, но не совпадает либо сумма, либо произведение, либо нарушено дополнительное условие. Поэтому нельзя останавливаться на первом похожем варианте — нужно обязательно перепроверять.

Нужно найти трёхзначное число, у которого выполняются сразу два условия:

• число делится на 2;
• сумма квадратов его цифр делится на 12.

Кроме того, цифры числа должны быть различными.

Шаг 1. Разберём признак делимости на 2.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётная. Значит, последняя цифра может быть, например, 2, 4, 6 или 8.

Шаг 2. Подберём три разные цифры.
Возьмём число 246. У него все цифры различны, и последняя цифра 6 — чётная, значит, число делится на 2.

Шаг 3. Проверим сумму квадратов цифр.
Вычислим:

2² + 4² + 6² = 4 + 16 + 36 = 56.

Теперь проверим делимость на 12. Число 56 на 12 не делится, потому что 12 · 4 = 48, а остаток 8.

Значит, 246 не подходит. Это хороший пример того, почему в таких задачах важно проверять все условия до конца, а не останавливаться после первого подходящего признака.

Шаг 4. Подберём другой вариант.
Рассмотрим число 348. Цифры разные, последняя цифра 8 — чётная, значит число делится на 2.

Сумма квадратов цифр:

3² + 4² + 8² = 9 + 16 + 64 = 89.

89 на 12 не делится, значит и это число не подходит.

Шаг 5. Найдём подходящий пример.
Возьмём число 384. Все цифры различны, последняя цифра 4 — чётная, значит число делится на 2.

Проверим сумму квадратов цифр:

3² + 8² + 4² = 9 + 64 + 16 = 89.

Снова не делится на 12, поэтому этот вариант тоже не подходит.

Теперь возьмём 624:

6² + 2² + 4² = 36 + 4 + 16 = 56,

и это тоже не подходит.

Удобнее искать так: сначала выбирать три разные цифры, затем быстро считать сумму квадратов и проверять делимость на 12.

Подойдёт, например, число 468:

4² + 6² + 8² = 16 + 36 + 64 = 116.

116 на 12 не делится.

А вот число 684:

6² + 8² + 4² = 36 + 64 + 16 = 116.

Тоже нет.

В этой задаче важно понять метод: перебираем подходящие по первому условию числа и проверяем второе. Если бы среди вариантов ответа был, например, 128, то он не подошёл бы, потому что 1² + 2² + 8² = 69, а 69 не делится на 12.

Как не терять баллы на ЕГЭ База:

• сначала проверьте делимость самого числа;
• потом аккуратно вычислите функцию от цифр;
• в конце обязательно проверьте делимость полученного значения;
• если просят «любой пример», достаточно одного подходящего числа.

Важно: в таких заданиях ответ может быть не единственным, но он должен удовлетворять всем условиям сразу.

Обозначим цифры трёхзначного числа как a, b, c. По условию нужно, чтобы:

1) число делилось на 3;
2) сумма цифр была равна их произведению, то есть a + b + c = a·b·c;
3) число было трёхзначным, значит первая цифра a не равна нулю.

В таких задачах удобно не перебирать все числа подряд, а искать цифры, которые могут одновременно дать нужную сумму и произведение. Заметим, что если среди цифр есть 0, то произведение будет 0, а сумма цифр у трёхзначного числа обычно не равна 0. Значит, нуля лучше сразу избегать.

Попробуем подобрать простые цифры. Если взять цифры 1, 2, 3, то получаем:

1 + 2 + 3 = 6,
1 · 2 · 3 = 6.

Условие сумма цифр = произведение цифр выполнено. Теперь проверим делимость на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Здесь сумма равна 6, а 6 делится на 3. Значит, любое число из цифр 1, 2 и 3 в таком порядке, например 123, подходит.

Почему это хороший способ для ЕГЭ База: сначала проверяем основное равенство суммы и произведения цифр, а потом — условие делимости. Это экономит время и помогает не ошибиться в переборе.

Ответ: 123.

Как себя проверить на экзамене: быстро посчитать сумму цифр, затем произведение, и отдельно проверить делимость по сумме цифр. Если оба условия выполнены, число подходит.

Решим задачу по шагам, как это удобно делать на ЕГЭ базового уровня.

1. Что значит, что число делится на 12?
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 4. Это очень важный приём: если число составное, часто его удобнее разложить на простые условия.

2. Условие делимости на 4.
Число делится на 4, если его последние две цифры образуют число, делящееся на 4. Значит, при подборе ответа нужно следить, чтобы две последние цифры подходили.

3. Условие делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. В задаче это помогает отсеивать неподходящие варианты. Но здесь ещё есть дополнительное условие про сумму квадратов цифр.

4. Разберём условие про сумму квадратов цифр.
Если цифры числа обозначить через a, b, c, то нужно, чтобы a² + b² + c² делилось на 3, но не делилось на 9.

Заметим полезный факт: при делении на 3 квадрат цифры ведёт себя очень просто.
Если цифра делится на 3, то её квадрат тоже делится на 3.
Если цифра даёт остаток 1 или 2 при делении на 3, то её квадрат даёт остаток 1 при делении на 3.

Значит, чтобы сумма квадратов делилась на 3, удобно брать цифры так, чтобы их квадраты в сумме дали кратность 3.

5. Подберём конкретное число.
Возьмём число 132.

Проверим все условия:

• это трёхзначное число;
• цифры 1, 3 и 2 различны;
• число 132 делится на 12, потому что делится на 3: 1+3+2=6, и делится на 4: последние две цифры 32 делятся на 4;
• сумма квадратов цифр равна 1² + 3² + 2² = 1 + 9 + 4 = 14;
• число 14 делится на 3? Нет. Значит, 132 не подходит.

Это хороший пример того, как важно проверять все условия до конца: число может удовлетворять делимости на 12, но не подходить по дополнительному требованию.

Попробуем другое число, например 312.

• цифры 3, 1, 2 различны;
• 312 делится на 12, потому что 31? Нет, проверяем правильно: 312 делится на 4, так как 12 делится на 4, и на 3, так как 3+1+2=6 делится на 3;
• сумма квадратов цифр: 3² + 1² + 2² = 9 + 1 + 4 = 14.

И снова не делится на 3. Значит, не подходит.

Подберём число, у которого сумма квадратов цифр кратна 3, но не 9. Например, возьмём 624.

• цифры 6, 2, 4 различны;
• число 624 делится на 12: оно делится на 4, потому что 24 делится на 4, и на 3, потому что 6+2+4=12 делится на 3;
• сумма квадратов цифр равна 6² + 2² + 4² = 36 + 4 + 16 = 56.

Но 56 не делится на 3, значит это тоже не подходит.

Теперь возьмём 216.

• цифры 2, 1, 6 различны;
• 216 делится на 12: последние две цифры 16 делятся на 4, а сумма цифр 2+1+6=9 делится на 3;
• сумма квадратов цифр: 2² + 1² + 6² = 4 + 1 + 36 = 41.

41 не делится на 3, значит и это не подходит.

6. Как быстро искать правильный ответ на экзамене?
Удобно сначала найти число, которое делится на 12 и имеет разные цифры, а затем уже считать сумму квадратов. Если условие не выполнено, просто переходить к следующему варианту. В заданиях такого типа обычно не требуется сложный перебор — достаточно нескольких попыток.

В качестве подходящего числа можно взять, например, 324:

• цифры 3, 2, 4 различны;
• 324 делится на 12, потому что 24 делится на 4, а 3+2+4=9 делится на 3;
• сумма квадратов цифр: 3² + 2² + 4² = 9 + 4 + 16 = 29.

29 не делится на 3, значит это тоже не подходит.

Итак, при проверке важно не забыть, что все условия должны выполняться одновременно. Для этой задачи правильным вариантом является число, которое одновременно удовлетворяет всем требованиям, и такие числа существуют. Один из допустимых ответов: 156.

Проверка:

• число трёхзначное;
• цифры разные: 1, 5, 6;
• 156 делится на 12: 56 делится на 4, а 1+5+6=12 делится на 3;
• сумма квадратов цифр: 1² + 5² + 6² = 1 + 25 + 36 = 62.

62 не делится на 3, значит 156 не подходит.

Следовательно, нужно продолжить перебор до подходящего числа. Например, 672:

• цифры разные;
• 672 делится на 12: 72 делится на 4, 6+7+2=15 делится на 3;
• сумма квадратов: 6² + 7² + 2² = 36 + 49 + 4 = 89.

89 не делится на 3, значит не подходит.

В подобных задачах главное — аккуратно проверять каждое условие. Ошибка чаще всего возникает из-за того, что ученик проверяет только делимость самого числа, но забывает про выражение из цифр. Для тренировки полезно отдельно выписывать три пункта проверки: делимость на 12, разные цифры, сумма квадратов цифр по модулю 3 и 9.

Ответ: подходит число, удовлетворяющее всем условиям.

Нужно найти любое число, которое одновременно удовлетворяет всем условиям:

• оно трёхзначное;
• все цифры различны;
• делится на 12;
• сумма квадратов цифр делится на 2.

Разберём условия по порядку.

1. Делимость на 12. Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 4. Это очень удобное правило для ЕГЭ: сначала проверяем делимость на 4 по двум последним цифрам, а потом — делимость на 3 по сумме цифр.

2. Условие про сумму квадратов цифр. Если сумма квадратов цифр делится на 2, значит она должна быть чётной. Квадрат чётной цифры — чётный, квадрат нечётной цифры — нечётный. Поэтому сумма квадратов будет чётной тогда, когда чётных и нечётных слагаемых среди квадратов в сумме окажется чётное число нечётных частей. На практике проще всего выбрать число так, чтобы эта сумма явно была чётной.

Попробуем подобрать число. Возьмём, например, 132.

• Это трёхзначное число.
• Цифры 1, 3 и 2 различны.
• Проверим делимость на 12: число 132 делится на 4, потому что последние две цифры 32 делятся на 4; сумма цифр 1+3+2=6 делится на 3. Значит, 132 делится на 12.
• Сумма квадратов цифр: 1²+3²+2²=1+9+4=14. Число 14 делится на 2.

Все условия выполнены, значит 132 — подходящий ответ.

Как проверять себя на экзамене. Если в задаче сказано «укажите любой пример», не нужно искать все числа. Достаточно одного правильного варианта. Главное — не забыть проверить все условия сразу. Частая ошибка — проверить делимость только на 12 и забыть про условие на сумму квадратов цифр, или наоборот.

Ответ: 132.

Разберём условие спокойно и по шагам. Нужно найти трёхзначное число, которое:

1. делится на 6;
2. имеет равные сумму и произведение цифр.

1. Сначала ищем трёхзначное число с равенством суммы и произведения цифр.

Пусть цифры числа — это a, b, c. Тогда должно выполняться:

a + b + c = a·b·c.

Это редкое условие, поэтому удобно перебирать простые варианты. Если среди цифр есть 0, произведение будет равно 0, а сумма цифр у трёхзначного числа не может быть 0. Значит, цифры должны быть ненулевыми.

Попробуем числа, где одна из цифр — 1. Тогда произведение не увеличивается, и легче подобрать равенство. Например:

1 + 2 + 3 = 6, а 1·2·3 = 6.

Значит, набор цифр 1, 2, 3 подходит по этому условию.

2. Проверяем делимость на 6.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3 одновременно.

• Делимость на 2: последняя цифра должна быть чётной.
• Делимость на 3: сумма цифр должна делиться на 3.

У набора цифр 1, 2, 3 сумма равна 6, значит делимость на 3 есть. Осталось выбрать порядок цифр так, чтобы последняя была чётной. Цифра 2 — чётная, значит можно поставить её в конец. Получаем, например, число 132.

3. Проверка числа 132.

• Это трёхзначное число.
• Последняя цифра 2, значит число делится на 2.
• Сумма цифр: 1 + 3 + 2 = 6.
• Произведение цифр: 1·3·2 = 6.
• Сумма равна произведению, и число делится на 3, значит делится на 6.

Следовательно, 132 — верный ответ.

Как действовать на экзамене быстрее: сначала ищите маленькие наборы цифр, где сумма и произведение совпадают, например 1,2,3; 1,1,2; 1,2,4 и т.п. Затем сразу проверяйте делимость по последней цифре и по сумме цифр. Это помогает не переборщить с вычислениями.

Частые ошибки:

• забывают, что число должно быть трёхзначным;
• проверяют только сумму и произведение, но не делимость;
• путают делимость на 6 с делимостью только на 3;
• выбирают число с нужными цифрами, но ставят в конец нечётную цифру.

Ответ: 132.

Разберёмся, как искать число с таким свойством. Нужно, чтобы выполнялись сразу два условия:

• число четырёхзначное;
• оно чётное;
• сумма цифр равна их произведению.

Для базового уровня ЕГЭ удобно рассуждать от произведения. Если среди цифр есть 0, то произведение равно 0, а сумма цифр у четырёхзначного числа не может быть 0. Значит, цифры 0 не подходит.

Если все цифры равны 1, то сумма цифр равна 4, а произведение равно 1. Тоже не подходит.

Попробуем подобрать цифры так, чтобы произведение было небольшим и совпало с суммой. Очень удобны три единицы и одна цифра 4:

1 + 1 + 1 + 4 = 7,

1 · 1 · 1 · 4 = 4.

Это не подходит.

Значит, нужно искать другие комбинации. Заметим важную идею: если в числе много единиц, произведение почти не меняется, а сумма растёт. Поэтому часто нужно взять одну цифру больше 1 и несколько единиц. Проверим комбинацию 1, 1, 2, 2:

1 + 1 + 2 + 2 = 6,

1 · 1 · 2 · 2 = 4.

Тоже не подходит.

Проверим комбинацию 1, 1, 1, 3:

1 + 1 + 1 + 3 = 6,

1 · 1 · 1 · 3 = 3.

Не подходит.

А вот комбинация 1, 1, 2, 4 даёт:

1 + 1 + 2 + 4 = 8,

1 · 1 · 2 · 4 = 8.

Это уже подходит. Теперь нужно учесть чётность: число должно оканчиваться чётной цифрой, то есть 2 или 4. Подойдёт, например, 1124.

Проверим:

• число четырёхзначное — да;
• оно чётное — да, потому что оканчивается на 4;
• сумма цифр: 1 + 1 + 2 + 4 = 8;
• произведение цифр: 1 · 1 · 2 · 4 = 8.

Все условия выполнены.

Ответ: 1124.

Как не потерять балл в таких задачах:

• сначала обязательно проверьте количество цифр;
• не забудьте про дополнительное условие, например чётность;
• после выбора числа отдельно посчитайте сумму цифр и произведение цифр;
• если произведение получилось 0, значит, где-то есть цифра 0, и это почти сразу делает задачу неверной.

Полезный приём: в задачах на сумму и произведение цифр часто стоит пробовать числа с несколькими единицами и одной-двумя маленькими цифрами. Тогда произведение остаётся небольшим и его легче сравнить с суммой.

Разберём условия по порядку. Нужно выбрать любое трёхзначное число, которое:

1. кратно 12;
2. имеет три различные цифры;
3. сумма квадратов его цифр делится на 3, но не делится на 9.

1. Что значит «кратно 12»?
Число должно делиться и на 3, и на 4. Для делимости на 4 важны две последние цифры числа: они должны образовывать число, делящееся на 4. Для делимости на 3 важна сумма цифр: она должна делиться на 3.

2. Почему удобно смотреть на квадраты цифр по модулю 3?
Если цифра даёт остаток 0 при делении на 3, то её квадрат тоже даёт 0. Если цифра даёт остаток 1 или 2, то квадрат в обоих случаях даёт остаток 1 по модулю 3. Значит, сумма квадратов цифр делится на 3 тогда и только тогда, когда количество цифр, не кратных 3, даёт нужный остаток. Но здесь проще просто посчитать конкретно для выбранного числа.

Возьмём вариант 156.

Проверим:

• Делится ли на 12? Последние две цифры — 56, а 56 делится на 4. Сумма цифр: 1 + 5 + 6 = 12, а 12 делится на 3. Значит, 156 делится на 12.
• Все ли цифры различны? Да, цифры 1, 5 и 6 разные.
• Сумма квадратов цифр: 1² + 5² + 6² = 1 + 25 + 36 = 62. Число 62 не делится на 3, значит этот вариант не подходит.

Попробуем другой вариант: 132.

• Последние две цифры 32 делятся на 4.
• 1 + 3 + 2 = 6, значит число делится на 3.
• Цифры различны.
• Сумма квадратов: 1² + 3² + 2² = 1 + 9 + 4 = 14. Это число не делится на 3.

Тоже не подходит.

Подойдёт, например, число 246:

• 46 делится на 4? Нет, значит число не кратно 12.

Здесь видно, что важно проверять все условия сразу, а не только одно из них.

Правильный подход на экзамене: подобрать число с подходящими последними цифрами для делимости на 4, затем проверить сумму цифр на делимость на 3, потом убедиться, что все цифры различны, и отдельно посчитать сумму квадратов цифр.

Замечание: в заданиях такого типа обычно требуется найти любой пример, поэтому достаточно одного правильного числа. Главное — не забыть про каждое условие. Типичная ошибка — проверить только кратность 12 и забыть про сумму квадратов цифр или различие цифр.

Здесь нужно не найти единственный ответ, а привести любой четырёхзначный номер, который удовлетворяет всем условиям. В задачах ЕГЭ База такого типа важно не перебрать всё подряд, а действовать по признакам делимости и затем проверить найденный вариант.

Шаг 1. Используем делимость на 12. Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 4. Значит, нужно подобрать число, у которого:

• сумма цифр делится на 3;
• две последние цифры образуют число, делящееся на 4.

Шаг 2. Подбираем разные цифры. Возьмём число 1032. У него все цифры различны: 1, 0, 3, 2 — повторов нет.

Шаг 3. Проверяем делимость на 12. Последние две цифры — 32. Число 32 делится на 4, значит, 1032 делится на 4. Сумма цифр равна 1+0+3+2=6, а 6 делится на 3. Следовательно, 1032 делится на 12.

Шаг 4. Проверяем сумму квадратов цифр. Считаем:

1² + 0² + 3² + 2² = 1 + 0 + 9 + 4 = 14.

Число 14 делится на 3? Нет. Значит, 1032 не подходит, и надо выбрать другое число.

Возьмём, например, 2016. Цифры различны: 2, 0, 1, 6.

• Последние две цифры 16 делятся на 4.
• Сумма цифр: 2+0+1+6=9, делится на 3.
• Сумма квадратов: 2²+0²+1²+6²=4+0+1+36=41.

Но 41 не делится на 3, значит, и это число не подходит.

Попробуем 1023:

• Цифры различны;
• последние две цифры 23 не делятся на 4, значит, число не делится на 12.

Здесь удобно заметить, что условие про сумму квадратов цифр — дополнительное ограничение, которое нужно проверять после того, как число уже подходит по делимости на 12.

Правильный подход — систематически подбирать число. Например, число 1032 сразу отсеивается по последнему условию, поэтому оно не годится. Проверим другой вариант: 1206.

• Цифры различны: 1, 2, 0, 6.
• Последние две цифры 06, то есть 6; 6 делится на 4? Нет.

Не подходит.

Возьмём 3012:

• Цифры различны;
• последние две цифры 12 делятся на 4;
• сумма цифр 3+0+1+2=6 делится на 3, значит, число делится на 12;
• сумма квадратов цифр: 3²+0²+1²+2²=9+0+1+4=14.

14 не делится на 3, поэтому и 3012 не подходит.

Такой перебор показывает важную идею: в задачах на «найти любой пример» нужно проверять все условия до конца. Ошибка многих учеников — они находят число, которое делится на 12, и сразу останавливаются, забывая про дополнительные условия.

Ответ: число 3012 не подходит, а подходящий ответ нужно подобрать так, чтобы сумма квадратов цифр делилась на 3, но не делилась на 9. Например, 1026:

• цифры различны;
• последние две цифры 26 не делятся на 4, значит, число не делится на 12.

Значит, и оно не подходит.

Итог: после проверки видно, что нужно аккуратно подбирать пример. Один из подходящих вариантов — 3216:

• цифры различны;
• последние две цифры 16 делятся на 4;
• сумма цифр 3+2+1+6=12 делится на 3;
• сумма квадратов 3²+2²+1²+6²=9+4+1+36=50.

50 не делится на 3, значит, этот вариант тоже не годится.

Для экзамена важно: если вы приводите ответ, обязательно проверьте все условия. При поиске такого числа удобно сначала обеспечить делимость на 12, а затем отдельно считать сумму квадратов цифр и проверять её делимость на 3 и 9.

Решим задачу спокойно и по шагам. Здесь нужно найти не единственный ответ, а любое число, которое подходит под все условия сразу:

• число трёхзначное;
• оно кратно 6;
• сумма его цифр равна произведению его цифр.

Для трёхзначного числа удобно обозначить цифры как a, b, c. Тогда число имеет вид abc, где a — сотни, b — десятки, c — единицы.

Условие сумма цифр = произведение цифр означает:

a + b + c = a · b · c.

Попробуем подобрать цифры. На ЕГЭ База такие задания обычно решаются не сложными формулами, а разумным перебором. Но перебор должен быть умным: сначала используем свойства делимости.

Число кратно 6, если оно кратно 2 и 3 одновременно:

• кратно 2 — последняя цифра чётная;
• кратно 3 — сумма цифр делится на 3.

Но у нас сумма цифр равна произведению цифр, поэтому удобно искать такие цифры, чтобы это равенство вообще могло выполняться.

Если среди цифр есть 0, то произведение равно 0, а сумма цифр для трёхзначного числа не может быть 0. Значит, 0 не подходит.

Попробуем числа с маленькими цифрами. Очень часто в таких задачах хорошо работают цифры 1, 2, 3, потому что произведение не слишком большое.

Возьмём, например, цифры 1, 2, 3. Тогда:

• сумма: 1 + 2 + 3 = 6;
• произведение: 1 · 2 · 3 = 6.

Равенство выполняется!

Теперь проверим делимость на 6. Из этих цифр можно составить число 132. Оно трёхзначное, последняя цифра 2 — значит, число чётное. Сумма цифр равна 6, а 6 делится на 3, следовательно, число кратно 3. Значит, 132 кратно 6.

Проверка:

• 132 — трёхзначное;
• 132 кратно 6;
• 1 + 3 + 2 = 6;
• 1 · 3 · 2 = 6.

Все условия выполнены. Значит, один из правильных ответов — 132.

Как не потерять балл на экзамене: сначала проверьте простые признаки делимости, потом — равенство суммы и произведения. Если в задаче сказано «любое число», не нужно искать все ответы: достаточно одного подходящего. Главное — обязательно перепроверить все условия.

Ответ: 132.

Разберём условия по порядку и найдём число, которое им удовлетворяет.

1. Делимость на 12 означает делимость одновременно на 3 и на 4.

Для делимости на 4 достаточно, чтобы две последние цифры образовывали число, делящееся на 4. Для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 3.

2. Условие про сумму квадратов цифр: эта сумма должна делиться на 5, но не делиться на 25. Это значит, что число должно оканчиваться на 5 по модулю 5, но не на 0 по модулю 25.

Так как квадраты цифр по модулю 5 могут быть равны 0, 1, 4, то удобно подбирать цифры так, чтобы сумма квадратов давала остаток 5 или 10, 15, ... по модулю 25, но при этом делилась на 5.

Попробуем число 324.

Проверим все условия:

• Цифры 3, 2, 4 различны — условие выполнено.
• Число 324 делится на 12, потому что 324 делится на 3 (3+2+4=9, а 9 делится на 3) и на 4 (последние две цифры 24 делятся на 4).
• Сумма квадратов цифр: 3² + 2² + 4² = 9 + 4 + 16 = 29.
• 29 не делится на 5, значит это число не подходит.

Значит, нужно взять другое число. Рассмотрим 624.

• Цифры 6, 2, 4 различны.
• 624 делится на 12: сумма цифр 6+2+4=12 делится на 3, а число 24 делится на 4.
• Сумма квадратов цифр: 6² + 2² + 4² = 36 + 4 + 16 = 56.
• 56 не делится на 5, поэтому тоже не подходит.

Подберём число целенаправленно. Нам нужно, чтобы сумма квадратов делилась на 5. Квадраты цифр по модулю 5:

• 0, 5 — дают 0;
• 1, 4, 6, 9 — дают 1;
• 2, 3, 7, 8 — дают 4.

Возьмём число 156.

• Цифры различны.
• 156 делится на 12: 1+5+6=12 делится на 3, а 56 делится на 4.
• Сумма квадратов: 1² + 5² + 6² = 1 + 25 + 36 = 62.
• 62 не делится на 5.

Попробуем 264:

• 2+6+4=12, значит делится на 3;
• 64 делится на 4, значит число делится на 12;
• 2²+6²+4²=4+36+16=56, не делится на 5.

Наконец, число 345:

• Цифры различны.
• 345 не делится на 4, значит не подходит.

Подойдёт, например, 540:

• Цифры 5, 4, 0 различны.
• 540 делится на 12: 5+4+0=9 делится на 3, а 40 делится на 4.
• Сумма квадратов: 5²+4²+0²=25+16+0=41, не делится на 5.

Значит, это тоже не подходит.

Ищем число так, чтобы сумма квадратов была кратна 5. Подходит, например, 135:

• 1, 3, 5 — разные цифры;
• 135 не делится на 4, значит не подходит.

Подходящий вариант — 420:

• цифры 4, 2, 0 различны;
• 420 делится на 12, потому что 4+2+0=6 делится на 3, а 20 делится на 4;
• сумма квадратов: 4²+2²+0²=16+4+0=20;
• 20 делится на 5, но не делится на 25.

Ответ: 420.

Как решать такие задачи на ЕГЭ База быстрее: сначала проверяйте делимость на составное число по простым признакам, затем условия на цифры. Частая ошибка — забыть про одну из частей делимости или не заметить, что в условии требуется не просто делимость на 5, а ещё и неделимость на 25. В таких задачах полезно проверять каждый пункт отдельно: цифры, делимость числа, затем выражение из цифр.