Анализ утверждений, сравнения и причина-следствие: задания с ответами

Обозначим условия так: A — спортсмен бежит интервальную тренировку, B — делает растяжку, C — пьёт воду. Тогда по условию задачи даны две импликации:

A → B и B → C.

Из них можно сделать важный вывод: если происходит A, то обязательно происходит B, а затем и C. Значит, верно утверждение 1: A → C. Это пример цепочки следствий: если одно событие влечёт второе, а второе — третье, то первое влечёт третье.

Проверим остальные утверждения.

2. «Если спортсмен пьёт воду, то он делает растяжку» — это обратное к условию B → C. Но из того, что человек пьёт воду, вовсе не следует, что он обязательно делает растяжку. Он может пить воду и по другой причине. Поэтому утверждение 2 неверно.

3. «Если спортсмен не пьёт воду, то он не бежит интервальную тренировку» — это уже рассуждение через контрапозицию. Из A → C следует равносильное утверждение не C → не A. Поскольку если бы спортсмен бежал интервальную тренировку, то он обязательно пил бы воду. Если воды нет, значит, тренировки тоже не было. Поэтому утверждение 3 верно.

4. «Если спортсмен не делает растяжку, то он не бежит интервальную тренировку» — это тоже контрапозиция к условию A → B. Действительно, из A → B следует не B → не A. Если бы спортсмен бежал интервальную тренировку, он обязательно делал бы растяжку. Значит, при отсутствии растяжки интервальной тренировки быть не может. Утверждение 4 верно.

Итак, обязательные следствия — это утверждения 1, 3, 4. Но среди предложенных вариантов ответа такого набора нет, значит нужно внимательно проверить формулировку вариантов: правильный вариант должен соответствовать только тем утверждениям, которые мы доказали. Чтобы задача была однозначной, в корректном тестовом наборе должны быть варианты, отражающие набор 1, 3, 4.

Решим задачу как проверку логических следствий. Даны два условия:

Если турист пришёл на тренировку, то он взял воду. Это записывается как: тренировка → вода.

Если турист пошёл в поход, то он взял воду. Это записывается как: поход → вода.

Теперь проверим каждое утверждение отдельно.

1. Если турист не взял воду, то он не пришёл на тренировку.

Это контрапозиция первого условия. Если верно «тренировка → вода», то обязательно верно и «не вода → не тренировка». Контрапозиция всегда логически равносильна исходному утверждению. Значит, утверждение 1 верно.

2. Если турист взял воду, то он пришёл на тренировку.

Это обратное утверждение к «тренировка → вода». Но из того, что человек взял воду, совсем не следует, что он пришёл именно на тренировку: воду можно взять и по другой причине. Значит, утверждение 2 не обязательно верно.

3. Если турист не взял воду, то он не пошёл в поход.

Это контрапозиция второго условия «поход → вода». Если поход влечёт воду, то отсутствие воды означает отсутствие похода. Следовательно, утверждение 3 верно.

4. Если турист пришёл на тренировку и пошёл в поход, то он взял воду.

Здесь достаточно каждого из условий по отдельности: и тренировка, и поход влекут воду. Если выполнено хотя бы одно из них, то вода уже есть; а тут тем более верно сразу два. Значит, утверждение 4 тоже верно.

Итак, верны утверждения 1, 3 и 4. Но среди вариантов ответа нужно выбрать тот, который содержит именно эти номера. В предложенных вариантах это вариант 1 и 4 не подходит, потому что не хватает 3. Следовательно, нужно внимательно проверить соответствие вариантов и корректно выбрать тот, который содержит все верные утверждения. Однако в данной задаче по списку ответов единственно подходящий вариант — 1, 3 и 4, то есть вариант C.

Как не терять баллы на ЕГЭ База: всегда отделяйте исходное условие от обратного. Запомните: из «если A, то B» нельзя автоматически делать вывод «если B, то A». Зато можно делать контрапозицию: «если не B, то не A». Это самый частый источник ошибок в таких заданиях.

Разберёмся, как работают логические утверждения вида «если A, то B». Такое утверждение называется импликацией.

В задаче дано: если человек сдал контрольную без ошибок, то он получил «5». Обозначим:

A — человек сдал работу без ошибок;
B — человек получил оценку «5».

Тогда условие записывается так: A → B.

Теперь проверим каждый пункт.

1) «Если человек получил «5», то он сдал работу без ошибок» — это обратное утверждение, то есть B → A. Оно не следует из A → B. Оценку «5» можно получить и по другим причинам, не обязательно только безошибочной работой. Значит, пункт 1 неверен.

2) «Если человек не получил «5», то он не сдал работу без ошибок» — это контрапозиция исходного утверждения. Для импликации A → B контрапозиция имеет вид не B → не A. Она логически равносильна исходному утверждению, поэтому пункт 2 обязательно верен.

3) «Если человек сдал контрольную работу без ошибок, то он получил оценку «5»» — это ровно исходное условие. Значит, пункт 3 верен.

4) «Если человек получил оценку не «5», то он сдал контрольную работу без ошибок» — здесь говорится, что из не B следует A. Это не контрапозиция, а другое, невытекающее утверждение. Наоборот, из не B по контрапозиции следует не A, а не A →. Поэтому пункт 4 неверен.

Итог: обязательно верны утверждения 2 и 3.

Как быстро решать такие задания на ЕГЭ База:

1. Сначала выделите, что является условием и что является следствием.
2. Помните три важных формы:

• A → B — исходное утверждение;
• не B → не A — контрапозиция, она равносильна исходному;
• B → A — обратное утверждение, обычно неверно без дополнительных данных.

3. Не путайте «не B» с «B». Самая частая ошибка — считать, что если следствие не наступило, то и причина обязательно была, или наоборот.

В этой задаче именно контрапозиция помогла найти верное утверждение, а обратное рассуждение оказалось ошибочным.

Решим задачу как логическую. В таких заданиях важно не подменять условия «если…, то…» обратными утверждениями. Из правила нельзя автоматически делать вывод в обратную сторону.

Обозначим условия:

A — участник пришёл на тренировку;
B — взял бутылку воды;
C — заранее предупредил тренера;
D — опоздал;
E — получил допуск к беговой части.

Тогда условия задачи записываются так:

1) если A, то B или C;
2) если D, то не E.

По условию известно, что у Петра A и E истинны: он пришёл на тренировку и получил допуск.

Теперь проверим утверждения.

1. «Пётр взял бутылку воды или заранее предупредил тренера».
Это прямо следует из правила 1: если пришёл на тренировку, то взял воду или предупредил тренера. Пётр пришёл, значит, это утверждение обязательно верно.

2. «Пётр не опоздал».
Если бы Пётр опоздал, то по правилу 2 он не получил бы допуск. Но по условию он допуск получил. Значит, опоздание невозможно. Следовательно, утверждение 2 тоже обязательно верно.

3. «Пётр заранее предупредил тренера».
Это уже не следует обязательно. Из правила 1 известно только, что верно одно из двух: либо вода, либо предупреждение. Можно представить ситуацию, где Пётр взял воду, но не предупреждал. Тогда условие выполнено, а утверждение 3 — нет. Значит, утверждение 3 не обязательно верно.

4. «Пётр взял бутылку воды».
По той же причине это тоже не обязательно: возможно, он заранее предупредил тренера, но бутылку не взял. Следовательно, утверждение 4 тоже не является обязательным.

Ответ: верны только утверждения 1 и 2.

Как быстро проверять такие задачи на ЕГЭ База:

1) Переводите фразы в вид «если…, то…».
2) Смотрите, что дано в условии как факт.
3) Для каждого утверждения спрашивайте: можно ли придумать пример, где все условия задачи выполняются, а это утверждение — нет? Если можно, утверждение не обязательно верно.
4) Не путайте «или» с «и»: из «B или C» не следует одновременно B и C.

Типичная ошибка — считать, что если из одного правила следует «B или C», то обязательно верны оба пункта. Это неверно. В логике «или» означает хотя бы одно из двух, а не оба сразу.

Разберём задачу спокойно и по шагам. В логических задачах ЕГЭ База очень важно не путать исходное условие, следствие и обратное утверждение.

Даны два правила:

А → В, где А — «курьер получил заказ A», В — «курьер едет в центр города»;

С → В, где С — «курьер получил заказ C».

То есть если случается A или C, то обязательно происходит B.

Проверим утверждения.

1) «Если курьер не едет в центр города, то он не получал заказ A». Это верно. Такое утверждение получается из правила A → B по контрапозиции: если не B, то не A. Для импликации контрапозиция всегда логически равносильна исходному условию. Это важный приём ЕГЭ: если если A, то B, то можно сделать вывод если не B, то не A.

2) «Если курьер едет в центр города, то он получил заказ A». Это неверно. Из того, что наступило B, нельзя сделать вывод, что обязательно было A. Центр города мог быть и по причине заказа C, а по условию это тоже ведёт в центр. Это типичная ошибка: путать следствие с причиной.

3) «Если курьер не едет в центр города, то он не получал заказ C». Это тоже верно по контрапозиции из правила C → B. Если не B, то не C.

4) «Если курьер получил заказ A или заказ C, то он едет в центр города». Это верно, потому что в условии сказано: при A — B, и при C — B. Значит, в случае A или C курьер всё равно едет в центр города. Здесь мы просто объединяем два данных правила в одно более общее утверждение.

Итак, верны утверждения 1, 3 и 4.

Ответ: 1, 3 и 4.

Как быстро проверять такие задания на экзамене:

• Сначала запишите условия как формулы: A → B, C → B.
• Помните: обратное утверждение не следует из исходного. Из A → B нельзя делать вывод B → A.
• Контрапозиция разрешена: A → B равносильно не B → не A.
• Если в варианте сказано «A или C», проверьте, что оба случая действительно ведут к одному и тому же следствию.

Такие задания часто строятся на одном и том же принципе: нужно не угадывать причину по следствию, а строго проверять, что действительно следует из данных условий.

Здесь нужно не угадывать, а аккуратно построить цепочку сравнений. В задачах на анализ утверждений очень полезно сразу переводить текст в знак неравенства: если A дешевле B, то пишем A < B.

Запишем условия:

1) яблоко дешевле банана: яблоко < банан;
2) груша дешевле яблока: груша < яблоко;
3) киви дороже сливы: слива < киви;
4) банан дешевле киви: банан < киви.

Теперь удобно соединять сравнения в цепочки. Из (2) и (1) получаем:

груша < яблоко < банан.

Из (1) и (4) получаем:

яблоко < банан < киви.

А из (3) знаем отдельно, что слива < киви.

Проверим утверждения.

A. Груша дешевле банана. Да, потому что груша < яблоко < банан, значит груша < банан. Это верно.

B. Киви дешевле яблока. Нет. Мы получили яблоко < банан < киви, значит киви дороже яблока, а не дешевле. Это неверно.

C. Слива дороже банана. Из условий известно только, что слива < киви, но сравнить сливу и банан напрямую нельзя. Возможно, слива дешевле банана, а возможно дороже — данных недостаточно. Значит утверждение не следует из условий, оно неверно.

D. Яблоко дешевле сливы. Тоже нельзя утверждать. Мы знаем, что яблоко < банан < киви и слива < киви, но между яблоком и сливой прямой связи нет. Поэтому утверждение не следует из условий и считается неверным.

Ответ: A.

Как не терять баллы в таких заданиях: всегда сначала выписывайте все сравнения в виде знаков < или >. Затем ищите цепочки по правилу: если A < B и B < C, то A < C. Но не делайте лишних выводов: если между двумя объектами нет цепочки, то сравнение между ними не считается доказанным.

Разберёмся, как работать с такими задачами на ЕГЭ База. Нам дано условие-импликация:

если идёт дождь, то дорога мокрая.

Это значит: всякий раз, когда выполняется первая часть условия (дождь), обязательно выполняется вторая часть (дорога мокрая). Но из этого нельзя автоматически делать выводы в обратную сторону.

Проверим утверждения по одному.

1) Если дорога мокрая, то на улице идёт дождь.
Это обратное утверждение. Оно не следует из исходного правила. Дорога может быть мокрой и по другой причине: её могли полить, мог растечься снег, проехала уборочная машина и т. д. Поэтому утверждение 1 не обязательно верно.

2) Если на улице не идёт дождь, то дорога не мокрая.
Это тоже не следует из исходного условия. Из того, что дождя нет, совсем не вытекает, что дорога сухая. Она могла остаться мокрой после вчерашнего дождя. Значит, утверждение 2 неверно как логическое следствие.

3) Если дорога не мокрая, то на улице не идёт дождь.
Это контрапозиция исходного утверждения. Для импликации «если A, то B» равносильно утверждение «если не B, то не A».
Здесь A — «идёт дождь», B — «дорога мокрая». Тогда контрапозиция: «если дорога не мокрая, то дождь не идёт». Это уже обязательно верно.

4) Если на улице идёт дождь, то дорога может быть мокрой.
Это формулировка слишком слабая по сравнению с исходным условием. Раз исходно сказано, что при дожде дорога мокрая, то тем более можно сказать, что она может быть мокрой. Но в заданиях на логическое следствие обычно проверяют, является ли утверждение точным следствием исходной импликации. Здесь смысл верен: из дождя следует мокрая дорога, значит, мокрая дорога действительно возможна. Однако в таких задачах надо быть внимательным: если в варианте написано «может быть», это не всегда равносильно строгому следствию. В данном наборе ключевым строгим следствием является только пункт 3.

Как быстро решать такие задания на экзамене:

• Сначала выделите форму: если A, то B.
• Сразу запомните: верна контрапозиция — если не B, то не A.
• Не путайте с обратным утверждением если B, то A — оно обычно неверно.
• Проверяйте, нет ли в варианте лишних слов вроде «может», «иногда», «всегда» — они меняют смысл.

Итак, обязательно верно только утверждение 3.

Разберём задачу как обычную цепочку сравнений. Если известно, что одна команда набрала больше баллов, чем другая, это можно записать в виде неравенства.

Из условия 1 получаем: «Альфа» > «Бета».

Из условия 2 получаем: «Бета» > «Гамма».

Теперь используем главное свойство сравнений: если A > B и B > C, то A > C. Это называется транзитивностью. Значит, из двух первых условий следует:

«Альфа» > «Гамма».

Проверим варианты:

A) «Альфа» набрала больше баллов, чем «Гамма». — верно, это следует по транзитивности.

B) «Гамма» набрала больше баллов, чем «Альфа». — неверно, это противоречит уже полученному сравнению.

C) «Бета» заняла первое место. — неверно, потому что больше всех баллов у «Альфы».

D) Нельзя сделать вывод о сравнении «Альфы» и «Гаммы». — неверно, вывод как раз можно сделать.

Итак, правильный ответ: A.

Как не терять баллы на таких заданиях: сначала перепишите условия коротко в виде цепочки, например Альфа > Бета > Гамма. Затем проверьте, следует ли из неё каждое утверждение. Частая ошибка — забыть про транзитивность и думать, что сравнить первый и третий объект нельзя. Если цепочка уже построена, ответ обычно находится за несколько секунд.

Разберёмся, как работают прямое следствие, обратное утверждение и контрапозиция.

Исходное условие можно записать так:

A → B, где

A — «у ученика есть пропуск в школу»,

B — «он может не приходить на первый урок».

Нам нужно определить, какие из предложенных фраз логически обязательно следуют из этого условия, то есть истинны при любом развитии событий, не требуя никаких дополнительных знаний.

1. «Если у ученика есть пропуск в школу, то он может не приходить на первый урок.»

Это просто повторение исходного условия. Значит, утверждение верно.

2. «Если ученик может не приходить на первый урок, то у него есть пропуск в школу.»

Это обратное утверждение: B → A. Но из того, что пропуск даёт право не приходить, вовсе не следует, что каждый, кто не приходит, обязательно имеет пропуск. Например, ученик может не прийти по другой причине. Значит, это утверждение не обязательно верно.

3. «Если ученик пришёл на первый урок, то у него нет пропуска в школу.»

Это уже контрапозиция к исходному утверждению. Если A → B, то равносильно ему утверждение не B → не A. Здесь «не может не приходить» по смыслу можно заменить на «пришёл на первый урок» в рамках данной задачи: если у ученика нет права не приходить, то по исходному условию это означает, что у него нет пропуска. В логической форме здесь проверяется именно идея: из отрицания следствия следует отрицание причины. Поэтому утверждение верно.

4. «Если у ученика нет пропуска в школу, то он обязан прийти на первый урок.»

Это не следует из исходного условия. Из того, что пропуск позволяет не приходить, не вытекает, что без пропуска человек обязан прийти: для такого вывода нужно было бы отдельно знать правила школы. Значит, утверждение неверно.

Ответ: 13.

Как быстро проверять такие задания на ЕГЭ База:

1) Сразу выделяйте исходную импликацию: что является причиной, а что — следствием.

2) Верным автоматически является прямое утверждение — оно просто повторяет условие.

3) Помните, что обратное утверждение обычно не следует из исходного.

4) Очень полезный приём — контрапозиция: если верно «если A, то B», то верно и «если не B, то не A».

5) Не добавляйте лишние слова вроде «обязан», «всегда», «только», если их нет в исходном условии. Именно они часто делают утверждение неверным.

Типичная ошибка на экзамене — перепутать обратное утверждение с контрапозицией. Напоминайте себе: менять местами причину и следствие нельзя без проверки, а отрицание следствия и отрицание причины связаны логически правильно.

Исходное условие имеет вид импликации:

Если A, то B, где

• A — «ученик сдал все контрольные работы»;
• B — «ученик допускается к зачёту».

Теперь проверим каждое утверждение.

1) «Если ученик допускается к зачёту, то он сдал все контрольные работы» — это обратное утверждение к исходному. Из того, что A влечёт B, вовсе не следует, что B влечёт A. Например, ученик может быть допущен к зачёту и по другим причинам. Значит, это утверждение не обязательно верно.

2) «Если ученик не допускается к зачёту, то он не сдал все контрольные работы» — это контрапозиция к исходному утверждению. Для импликации «если A, то B» контрапозиция имеет вид «если не B, то не A». Она всегда логически равносильна исходному утверждению. Значит, это утверждение обязательно верно.

3) «Если ученик сдал все контрольные работы, то он допускается к зачёту» — это просто повторение исходного условия. Значит, оно обязательно верно.

4) «Если ученик не сдал хотя бы одну контрольную работу, то он не допускается к зачёту» — это тоже утверждение типа «если не A, то не B». Оно не следует из исходной импликации. Из того, что все сдавшие контрольные допускаются, не вытекает, что каждый не сдавший хоть одну работу обязательно не допускается: могут быть и другие основания для допуска. Поэтому это утверждение не обязательно верно.

Итак, верны утверждения 2 и 3.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

• Сначала выпишите, что является причиной (A), а что — следствием (B).
• Запомните: из «если A, то B» всегда верно только само исходное утверждение и его контрапозиция «если не B, то не A».
• Нельзя автоматически менять местами причину и следствие: обратное утверждение обычно неверно.
• Нельзя делать выводы вида «если не A, то не B», если это прямо не дано в условии.

Типичная ошибка: ученики думают, что если A достаточно для B, то без A B невозможно. Это неверно. Следствие может наступать и по другой причине.

Сначала переведём условия в цепочку сравнения цен:

А дешевле Б, Б дешевле В, В дешевле Г.

Значит, весь порядок такой:

А < Б < В < Г.

Теперь проверим каждое утверждение.

1) А дешевле В. Да, это верно, потому что если А дешевле Б, а Б дешевле В, то по свойству транзитивности А дешевле В.

2) Г дороже Б. Да, это тоже верно: из цепочки Б дешевле В дешевле Г следует, что Г дороже Б.

3) Б дороже Г. Нет, это неверно. Наоборот, Б дешевле Г.

4) А дороже Г. Нет, это неверно. Наоборот, А дешевле всех перечисленных товаров, в том числе дешевле Г.

Итак, верны утверждения 1 и 2. В таких заданиях удобно не пытаться сразу «угадать», а сначала выстроить полную цепочку сравнений. После этого каждое утверждение проверяется очень быстро. Частая ошибка — перепутать направление неравенства: если сказано «дешевле», то в цепочке слева стоят более дешёвые объекты, а справа — более дорогие.

Исходное условие имеет вид импликации: если A, то B.

Здесь:

A — у ученика есть читательский билет;
B — он может взять книгу в школьной библиотеке.

Важно помнить базовое правило логики для ЕГЭ:

• из A → B обязательно следует только само исходное утверждение;
• его контрапозиция тоже верна: не B → не A;
• а вот обратное утверждение B → A вообще говоря не следует;
• и утверждение не A → не B тоже неверно без дополнительных условий.

Проверим варианты.

1) Это просто повторение исходного условия. Значит, верно.

2) Это обратное утверждение: если можно взять книгу, значит, есть билет. Из условия так делать нельзя. Ученик может иметь и другие основания, а в логике мы не имеем права добавлять их сами. Значит, это не обязательно верно.

3) Это утверждение вида не A → не B. Оно кажется «похожим на правду», но на самом деле не является следствием импликации. Из того, что билет даёт право взять книгу, не следует, что без билета книгу взять нельзя в любой ситуации. Значит, утверждение не обязательно верно.

4) Это контрапозиция исходного утверждения: если книгу взять нельзя, то билета нет. Контрапозиция всегда логически равносильна исходной импликации, поэтому она верна.

Итак, обязательно верны 1 и 4.

Ответ: вариант 3.

Как быстро проверять такие задания на экзамене:

• сначала найдите форму «если A, то B»;
• затем мысленно запишите контрапозицию: «если не B, то не A»;
• обратное B → A не путайте с контрапозицией;
• если в варианте утверждение только звучит похоже, но меняет направление причины и следствия, это обычно ошибка.

Типичная ошибка: считать, что из «если идёт дождь, то улица мокрая» обязательно следует «если улица мокрая, то идёт дождь». Это не так: улица могла намокнуть по другой причине. Именно поэтому в логике нужно проверять не смысл по бытовому опыту, а строгую структуру высказывания.