Анализ множеств и задач на множества: задания с ответами

Разберём условие внимательно. Множество A — это все ученики, которые ходят на кружок математики, а множество B — все ученики, которые ходят в спортивную секцию. В условии сказано, что ни один ученик не посещает одновременно оба занятия. Это и означает, что у множеств A и B нет общих элементов, то есть их пересечение пусто: A ∩ B = ∅.

Теперь проверим варианты.

1) «Множества A и B не пересекаются» — это прямо следует из условия, значит утверждение обязательно верно.

2) «Есть ученик, который посещает и кружок математики, и спортивную секцию» — это противоречит условию, поэтому такое утверждение неверно.

3) «Все ученики посещают хотя бы одно из двух занятий» — из условия этого не следует. В классе могут быть ученики, которые не ходят ни на математику, ни на спорт. Значит, утверждение не обязано быть верным.

4) «Множества A и B равны» — это тоже не следует из условия. Если множества не пересекаются и оба непустые, то равными они быть не могут, но даже это не важно: для равенства нужно, чтобы у них были одинаковые элементы, а из условия этого нет.

Итак, верный ответ — вариант 1.

Как решать такие задачи на ЕГЭ База быстро:

• Сначала переведите текст в язык множеств: «и», «или», «не пересекаются», «есть хотя бы один».
• Отделяйте обязательно верно от может быть верно. На экзамене часто ловушка именно в этом.
• Если в условии прямо сказано, что элементы не могут принадлежать обоим множествам, то сразу пишите A ∩ B = ∅.
• Проверяйте ответы на соответствие условию, а не на «похожесть». Даже если вариант звучит правдоподобно, он должен следовать из данных без дополнительных предположений.

Типичная ошибка: думать, что если оба множества существуют, то они обязательно должны пересекаться или покрывать всё универсальное множество. Это неверно: между ними может не быть общих элементов, а часть универсального множества может не входить ни в одно из них.

Ответ: A ∩ B = ∅, то есть вариант 1.

Разберёмся, что нам дано. Множества A и B не пересекаются. Это значит, что не существует ученика, который одновременно ходит и на кружок математики, и на кружок физики. Иначе говоря, если человек попал в A, то он уже не может попасть в B, и наоборот.

Проверим утверждения по одному.

1) Если ученик ходит на кружок математики, то он не ходит на кружок физики.
Это ровно и есть смысл непересечения множеств: из принадлежности к A следует непринадлежность к B. Утверждение верно.

2) Если ученик не ходит на кружок математики, то он не ходит на кружок физики.
Здесь делается ошибка, очень частая на ЕГЭ: из того, что человек не в A, вовсе не следует, что он не в B. Он вполне может ходить только на физику. Например, если ученик посещает физику, но не посещает математику, то условие «не ходит на математику» выполнено, а «не ходит на физику» — нет. Значит, утверждение не обязательно верно.

3) Если ученик ходит на кружок физики, то он не ходит на кружок математики.
Это симметричная формулировка к утверждению 1. Если ученик в B, то он не может быть в A, потому что множества не пересекаются. Утверждение верно.

4) Если ученик не ходит на кружок физики, то он не ходит на кружок математики.
Это тоже неверный вывод. Человек может не ходить на физику, но ходить только на математику. Непересечение множеств ничего не говорит о том, что происходит вне этих двух множеств. Поэтому утверждение не обязательно верно.

Ответ: верны утверждения 1 и 3.

Как быстро проверять такие задания на экзамене:

1. Переведите условие в язык множеств: «не пересекаются» = «не бывает одновременно в обоих множествах».
2. Ищите только те утверждения, где есть переход из принадлежности к одному множеству в непринадлежность к другому.
3. Если в условии стоит «не A», будьте осторожны: это почти никогда не означает «не B».
4. Проверяйте контрпримером: достаточно придумать ситуацию, где утверждение ломается, чтобы понять, что оно неверно.

Типичная ошибка: считать, что если множества не пересекаются, то из «не A» следует «не B». На самом деле непересечение запрещает только совместную принадлежность, но не запрещает принадлежность только одному из множеств.

Решим задачу аккуратно, как это удобно делать на ЕГЭ База. Даны размеры двух множеств: |A| = 17, |B| = 15, а всего в универсуме |U| = 28. Нужно понять, какие утверждения о пересечении и включении множеств обязаны выполняться при любых расположениях множеств внутри универсального множества.

1. Найдём, каким может быть пересечение A и B.

Для двух подмножеств конечного универсального множества полезно помнить оценку:

|A ∩ B| ≥ |A| + |B| − |U|.

Подставим числа:

|A ∩ B| ≥ 17 + 15 − 28 = 4.

Значит, в пересечении обязательно как минимум 4 элемента. Это означает, что утверждение I верно.

Почему эта формула работает? Если сложить |A| и |B|, то элементы пересечения посчитаются дважды. Чтобы понять минимально возможное пересечение, мы смотрим, сколько всего разных элементов вообще может быть в универсуме. Если суммарно элементов в двух множествах больше, чем размер универсального множества, то неизбежно появляется пересечение.

2. Проверим утверждение II: A ⊆ B.

Если бы A ⊆ B, то все 17 элементов множества A должны были бы входить в B. Но |B| = 15, а это меньше 17. Значит, включение A ⊆ B невозможно.

Поэтому утверждение II не является обязательным, оно ложно.

Типичная ошибка: некоторые ученики думают: «раз пересечение большое, значит одно множество входит в другое». Это неверно. Большое пересечение ещё не означает включение. Для включения нужно, чтобы все элементы одного множества целиком содержались в другом, а по размерам это здесь невозможно.

3. Проверим утверждение III: |A ∩ B| ≤ 15.

Пересечение не может быть больше меньшего из двух множеств. Действительно, A ∩ B состоит только из тех элементов, которые одновременно принадлежат A и B, значит число таких элементов не может превышать |B| = 15.

Следовательно, утверждение III верно.

Это общее правило:

|A ∩ B| ≤ min(|A|, |B|).

Здесь min(17, 15) = 15, поэтому верхняя граница действительно равна 15.

4. Проверим утверждение IV: A = B.

Если бы множества были равны, то у них было бы одинаковое число элементов. Но здесь |A| = 17, |B| = 15. Значит, равенство множеств невозможно.

Поэтому утверждение IV ложно.

Итог: обязательно верны утверждения I и III. Это и есть правильный ответ.

Ответ: только I и III.

Как быстро проверять такие задачи на экзамене:

1) Сначала сравните мощности множеств: если одно больше другого, то равенство и включение в «неправильную сторону» сразу исключаются.
2) Затем найдите минимально возможное пересечение по формуле |A ∩ B| ≥ |A| + |B| − |U|.
3) Проверьте верхнюю границу пересечения: оно не больше меньшего из множеств.
4) После этого по очереди сверяйте каждое утверждение.

Такой способ помогает не терять баллы из-за поспешности и путаницы между словами «может быть» и «обязательно верно».

Переведём условия на язык логики.

Дано:

• A → B
• B → ¬C
• ¬C → D

Теперь проверим каждое утверждение и будем помнить главное правило: чтобы доказать, что высказывание обязательно верно, оно должно логически следовать из данных условий для любого объекта. Если можно придумать ситуацию, где условия выполнены, а утверждение нет, значит утверждение неверно.

1) Если объект принадлежит A, то он принадлежит D.

Из A → B, затем из B → ¬C, а из ¬C → D. Значит, цепочка работает:

A → B → ¬C → D.

Следовательно, A → D — верно.

2) Если объект принадлежит C, то он не принадлежит B.

Это утверждение можно понять как C → ¬B. Но из условий у нас есть только B → ¬C, то есть если объект в B, то он точно не в C. Однако обратное утверждение из этого не следует. Может быть, объект принадлежит C и при этом не принадлежит B, а может и принадлежать B в другой задаче — из данных это не запрещено напрямую для любого объекта. Более того, из B → ¬C нельзя делать вывод C → ¬B как «обратное» утверждение автоматически. В базовых задачах это частая ошибка: учащиеся путают импликацию с обратной импликацией. Поэтому это утверждение не обязано быть верным.

3) Если объект принадлежит B, то он принадлежит D.

Из B → ¬C и затем из ¬C → D получаем B → D. Значит, утверждение верно.

4) Если объект не принадлежит D, то он не принадлежит A.

Это утверждение удобно проверять через контрапозицию. Утверждение ¬D → ¬A равносильно A → D. А A → D мы уже доказали в пункте 1. Значит, утверждение 4 тоже верно.

Ответ: 1234.

Как быстро решать такие задания на ЕГЭ База:

• Сначала перепишите условия в виде стрелок: «если ..., то ...».
• Ищите цепочки вывода: A → B → C означает, что можно сделать итоговый вывод A → C.
• Не путайте обратное утверждение и контрапозицию. Если верно A → B, то автоматически верно ¬B → ¬A, но вовсе не обязательно верно B → A.
• Если в варианте есть отрицание, часто удобно проверить утверждение через равносильную контрапозицию.

В этой задаче ключевой приём — собрать длинную цепочку из данных условий и затем использовать её для проверки всех утверждений. Именно такой подход помогает не терять баллы на базовом экзамене.

Обозначим через x число учеников, которые посещают оба занятия: и кружок математики, и спортивную секцию. Тогда по формуле включения-исключения число учеников, посещающих хотя бы одно из двух занятий, равно

16 + 15 - x = 31 - x.

Но всего учеников в классе 28, значит число тех, кто не посещает ни одно из двух занятий, равно

28 - (31 - x) = x - 3.

Теперь важно понять, какие значения может принимать x. Пересечение не может быть отрицательным, и не может быть больше 15 и 16 одновременно, то есть x может меняться, но обязательно должно быть таким, чтобы число учеников без обоих занятий было неотрицательным. Отсюда x - 3 ≥ 0, значит x ≥ 3. Следовательно, учеников, не посещающих ни один из двух кружков, всегда не меньше 3.

Проверим варианты:

A. «Не менее 3 учеников не посещают ни кружок математики, ни спортивную секцию» — верно всегда, потому что это число равно x - 3, а x ≥ 3.

B. «Не более 3 учеников...» — неверно. Например, если x = 6, то не посещают ни одно занятие 6 - 3 = 3 ученика, а если x = 10, то уже 7 учеников.

C. «Хотя бы 3 ученика посещают оба занятия» — на самом деле это утверждение тоже верно, но нужно быть внимательным: в данной задаче мы ищем одно утверждение, которое является инвариантным. Если в условии было бы несколько верных ответов, это нужно было бы указать отдельно. Здесь в тесте подразумевается выбор наиболее строго подходящего утверждения о количестве учеников без занятий. Для проверки инвариантности по смыслу ключевой вывод — именно из формулы для числа учеников без обоих занятий.

D. «Ровно 3 ученика...» — неверно, потому что число таких учеников зависит от пересечения и может быть больше 3.

Как решать такие задачи на ЕГЭ База быстро: всегда вводите x — число элементов в пересечении, затем выражайте остальные части через формулу общее количество = A + B - пересечение + ни один. После этого смотрите, что получается при крайних допустимых значениях x. Самая частая ошибка — перепутать фразы «не менее» и «не более» или забыть, что пересечение может меняться.

Ответ: A.

Обозначим через A множество учеников, посещающих кружок робототехники, а через B — множество учеников, посещающих спортивную секцию. По условию:

|A| = 17, |B| = 16, а всего учеников в классе 28.

Нужно понять, какое минимальное число учеников может быть одновременно в обоих множествах, то есть найти нижнюю границу для |A ∩ B|.

Используем важную формулу из теории множеств:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Так как все ученики класса — это 28 человек, то объединение A ∪ B не может содержать больше 28 человек. Значит, чтобы пересечение было как можно меньше, берём максимальное возможное объединение: |A ∪ B| = 28.

Тогда:

|A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 17 + 16 − 28 = 5.

Это означает, что одновременно в обоих кружках занимаются не менее 5 учеников, и меньше быть не может.

Теперь проверим утверждения:

I. «Не менее 5 учеников» — это верно, потому что минимально возможное пересечение равно 5.

II. «Не менее 4 учеников» — тоже верно, ведь если обязательно не менее 5, то автоматически верно и не менее 4.

III. «Не менее 3 учеников» — тоже верно по той же причине.

Здесь важно помнить типичную ловушку: если пересечение найдено как минимум 5, то все более слабые утверждения тоже обязательно верны. Ошибка многих учеников — отметить только самое «точное» утверждение и забыть про более слабые.

Ответ: верны все три утверждения.

Но поскольку в вариантах ответа нужно выбрать только один вариант, правильный вариант тот, где перечислены именно все утверждения, которые обязательны по условию. Если среди вариантов есть «I, II и III», нужно выбрать его.

Переведём условие на язык множеств.

Фраза «все ученики, которые ходят в спортивную секцию, не занимаются музыкой» означает:

A ⊆ неB, то есть если ученик принадлежит множеству A, то он не принадлежит множеству B.

Это очень важный тип условия: оно говорит только про тех, кто находится в A. Но оно не говорит, что каждый, кто занимается музыкой, обязательно не ходит в секцию. Чтобы получить такое утверждение, нужно было бы отдельно знать, что B ⊆ не. Поэтому в задачах на множества нельзя подменять исходную импликацию обратной.

Теперь разберём утверждения по одному.

1) «Множества A и B не пересекаются».

Это значит, что нет ни одного ученика, который одновременно ходит в секцию и занимается музыкой. Но именно это и следует из условия: если кто-то в A, то он не в B. Значит, пересечения действительно нет. Утверждение верно.

2) «Существует ученик, который не ходит в спортивную секцию и не занимается музыкой».

Из условий это не следует. Нам известно только, что есть хотя бы один ученик из B, который не в A. То есть существует ученик из множества B вне A. Но он может быть и только музыкантом, и мы ничего не знаем про существование ученика вне обоих множеств. Например, могло бы быть так, что все остальные ученики либо тоже занимаются музыкой, либо просто условие о них ничего не запрещает, но отсутствие информации не даёт права утверждать существование элемента вне обоих множеств. Поэтому утверждение не является обязательным следствием, то есть неверно.

3) «Если ученик занимается музыкой, то он не ходит в спортивную секцию».

Это утверждение в точности повторяет смысл исходного условия, только в другой формулировке: если ученик из B, то он не из A. Значит, оно верно.

4) «Существует ученик, который ходит в спортивную секцию и занимается музыкой».

Это противоречит условию «все, кто ходит в секцию, не занимаются музыкой». Значит, такого ученика быть не может. Утверждение неверно.

Итак, верные утверждения: 1 и 3. Ответ: 13.

Как проверять себя на ЕГЭ База: если в условии есть слова «все A не B», то это почти всегда означает, что пересечение множеств пусто. Но не забывайте: из «если A, то не B» нельзя автоматически делать «если B, то не A» без отдельного основания. Это одна из самых частых ошибок.

Обозначим через x число учеников, которые состоят сразу в двух объединениях: и в кружке робототехники, и в спортивной секции. Тогда:

• только в робототехнике — это 17 − x;
• только в спорте — это 15 − x;
• всего учеников 28, и все они входят хотя бы в одно объединение.

Используем формулу включения-исключения:

17 + 15 − x = 28.

Отсюда x = 4. Значит, число учеников в пересечении двух множеств не может быть никаким другим: оно обязательно равно 4.

Теперь проверим утверждения.

I. «В обоих объединениях одновременно состоит не менее 4 учеников». Поскольку пересечение равно ровно 4, это утверждение верно.

II. «Только в кружке робототехники состоят не менее 2 учеников». Считаем: 17 − 4 = 13. Это действительно не менее 2, значит утверждение верно.

III. «Ровно 4 ученика состоят только в спортивной секции». Считаем: 15 − 4 = 11, а не 4. Значит утверждение неверно.

Итак, обязательно верны утверждения I и II.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

1. Вводите переменную для пересечения двух множеств.
2. Записывайте через неё количества «только в A» и «только в B».
3. Применяйте формулу |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
4. Если по условию все объекты входят хотя бы в одно множество, то |A ∪ B| = общее число.
5. После этого проверяйте каждое утверждение на полученных значениях.

Типичная ошибка — сразу думать, что пересечение может быть любым от 0 до меньшего числа. На самом деле нужно учитывать, что сумма двух множеств без пересечения не должна «не хватать» или «перебирать» общее число. Здесь пересечение определяется однозначно.

Правильный ответ: I и II.

Обозначим множество учеников, которые ходят на кружок по математике, через A, а множество учеников, которые ходят на спортивную секцию, через B. По условию:

• A непусто;
• B непусто;
• A \cap B = \varnothing, то есть множества не пересекаются.

Теперь проверим каждое утверждение.

1) «Существует ученик, который не ходит ни на кружок по математике, ни на спортивную секцию».

Это не обязательно верно. Может быть так, что все ученики группы либо в A, либо в B. Например, если в группе всего два ученика: один ходит только на математику, другой — только на спорт, то ученика вне обоих множеств нет. Значит, утверждение 1 не является обязательным.

2) «Существует ученик, который ходит на кружок по математике и не ходит на спортивную секцию».

Это обязательно верно, потому что множество A непусто. Любой ученик из A не может одновременно принадлежать B, так как A и B не пересекаются. Следовательно, каждый элемент из A — это ученик, который ходит на математику и не ходит на спорт.

3) «Для любого ученика, если он не ходит на спортивную секцию, то он ходит на кружок по математике».

Это тоже не обязательно верно. В условии сказано только, что A и B не пересекаются и оба непусты. Но не сказано, что все, кто не ходят на спорт, обязательно ходят на математику. Может существовать ученик, который не ходит никуда: тогда он не ходит на спорт, но и в A не входит. Значит, утверждение 3 не следует из условия.

4) «Невозможно, чтобы один и тот же ученик одновременно ходил и на кружок по математике, и на спортивную секцию».

Это обязательно верно прямо по условию: множества A и B не пересекаются. Если ученик одновременно принадлежал бы обоим множествам, это означало бы, что он находится в A \cap B, а это невозможно.

Итак, верны только утверждения 2 и 4. Правильный ответ: B.

Как быстро проверять такие задания на ЕГЭ:

• Сначала выпишите условия о множествах: «непусто», «не пересекаются», «включение» и т. п.
• Затем проверяйте не то, что может быть верно, а то, что обязательно верно при любом допустимом случае.
• Если в условии сказано, что множество непусто, то из него всегда можно взять хотя бы один элемент.
• Если сказано, что множества не пересекаются, то любой элемент одного множества не может принадлежать другому.

Типичная ошибка: путать «существует» и «для любого». В таких задачах это самая частая причина потери баллов. Если утверждение начинается со слова «для любого», нужно проверить его особенно внимательно: одного примера, где оно нарушается, достаточно, чтобы признать его неверным.

Решать такие задачи удобно через формулу для двух множеств.

Обозначим:

• A — ученики, которые ходят в кружок математики, тогда |A| = 16;
• B — ученики, которые ходят в кружок информатики, тогда |B| = 13;
• всего учеников 28;
• не ходят ни в один кружок 7.

Сначала найдём, сколько учеников ходят хотя бы в один кружок:

|A ∪ B| = 28 - 7 = 21.

Теперь используем формулу:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

Подставим числа:

21 = 16 + 13 - |A ∩ B|, значит

|A ∩ B| = 29 - 21 = 8.

Это проверяет утверждение 1: верно.

Теперь найдём, сколько учеников ходят только в математику:

16 - 8 = 8.

Значит утверждение 2, где сказано 9 учеников, неверно.

А сколько ходят только в информатику:

13 - 8 = 5.

Значит утверждение 3 верно.

Проверим утверждение 4: хотя бы в одном кружке занимаются 21 ученик. Мы уже нашли, что |A ∪ B| = 21, значит это тоже верно.

Ответ: верны утверждения 1, 3 и 4.

Как не ошибаться на ЕГЭ: сначала всегда находите число тех, кто не входит ни в одно множество, потом переходите к объединению, а уже после этого — к пересечению. Частая ошибка — забыть, что при сложении 16 + 13 пересечение посчитано дважды, поэтому его нужно вычесть один раз.

Это задача на два пересекающихся множества. Очень важно не складывать числа «в лоб», потому что ученики, которые изучают оба языка, попадают сразу в два множества и их нужно учитывать отдельно.

Обозначим:

A — ученики, изучающие английский язык, тогда |A| = 23.

B — ученики, изучающие немецкий язык, тогда |B| = 18.

A ∩ B — ученики, изучающие оба языка, тогда |A ∩ B| = 7.

1) Только английский язык: из всех, кто изучает английский, вычитаем тех, кто изучает оба языка.

23 − 7 = 16. Утверждение I верно.

2) Только немецкий язык: из всех, кто изучает немецкий, вычитаем тех, кто изучает оба языка.

18 − 7 = 11. Утверждение II верно.

3) Сколько учеников не изучают ни английский, ни немецкий?

Сначала найдём, сколько изучают хотя бы один из языков:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 23 + 18 − 7 = 34.

Тогда не изучают ни один из двух языков:

40 − 34 = 6.

Утверждение III верно.

Итак, верны все три утверждения. В подобных заданиях на ЕГЭ База полезно действовать по одному и тому же плану: сначала найти пересечение, затем «только в первом» и «только во втором», потом объединение и, если нужно, число вне обоих множеств. Самая частая ошибка — забыть вычесть пересечение при нахождении объединения.

Разберём условия как логические связи между множествами.

1) Если объект принадлежит A, то он принадлежит B. Это означает: любое попадание в A автоматически влечёт попадание в B.

2) Если объект принадлежит B, то он принадлежит C. Значит, из B обязательно следует C.

3) Существуют объекты из A. То есть множество A не пусто.

Теперь проверим утверждения.

1. Каждый объект из A принадлежит C.
Это верно. Действительно, если объект из A, то по условию он в B, а если он в B, то он в C. Получаем цепочку: A → B → C, значит A → C.

2. Существует объект, который принадлежит B.
Это тоже верно. По условию есть объект из A, а каждый объект из A принадлежит B. Значит, хотя бы один объект обязательно есть и в B.

3. Каждый объект из C принадлежит A.
Это неверно. Из условий известно только направление A → B → C. Обратные утверждения делать нельзя. То, что объект в C, совсем не означает, что он обязательно был в A. Это типичная ошибка: путать следствие с обратным утверждением.

4. Существует объект, который принадлежит C.
Это верно. Так как существует объект из A, то он принадлежит B, а значит и C. Следовательно, множество C не пусто.

Ответ: 1, 2 и 4.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

• Сначала запишите условия в виде стрелочек: A → B → C.
• Если сказано, что множество не пусто, попробуйте «протянуть» существование по цепочке.
• Проверяйте, не перепутали ли вы прямое утверждение с обратным. Из A → B нельзя делать вывод B → A.
• Если есть цепочка импликаций, можно объединять её: из A → B и B → C следует A → C.

Частая ошибка: считать, что если объект из A попадает в C, то любой объект из C обязан попадать в A. Это неверно без дополнительного условия.