Прямоугольный треугольник: свойства и задачи: задания с ответами

В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A = BC / AB.

Здесь гипотенуза AB известна и равна 10 см, а синус угла A равен 0,6. Значит, нужно найти катет BC, который лежит напротив угла A. Это очень важный момент: если перепутать, какой катет противолежащий, можно выбрать неправильную формулу.

Подставим данные в формулу:

0,6 = BC / 10.

Чтобы найти BC, умножим обе части равенства на 10:

BC = 10 · 0,6 = 6.

Ответ: 6 см.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

• синус связан именно с противолежащим катетом и гипотенузой;
• если известны синус и гипотенуза, катет находится по формуле катет = гипотенуза · sin угла;
• если у вас получилось число больше гипотенузы, это почти всегда ошибка: катет не может быть длиннее гипотенузы.

Типичные ошибки:

• путают синус и косинус;
• делят гипотенузу на синус вместо умножения;
• берут не тот катет, который лежит напротив заданного угла.

В этой задаче решение делается в один шаг, поэтому главное — правильно определить сторону, которая соответствует данному углу.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности удобно находить по формуле

r = (a + b - c) / 2,

где a и b — катеты, c — гипотенуза. Это одна из самых полезных формул для ЕГЭ База: она позволяет найти радиус, если известны стороны треугольника.

Шаг 1. Найдём гипотенузу.

По теореме Пифагора:

c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Шаг 2. Подставим стороны в формулу радиуса вписанной окружности.

r = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2.

Значит, радиус вписанной окружности равен 2.

Ответ: 2.

Как не ошибиться на экзамене:

• Не путайте радиус вписанной окружности с радиусом описанной окружности. Это разные величины и разные формулы.
• Сначала обязательно найдите гипотенузу, если она не дана.
• Проверьте, чтобы получилось положительное число: радиус окружности не может быть нулём или отрицательным.

Быстрая проверка: в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 часто получается «красивый» ответ, потому что это пифагорова тройка 6–8–10. Если видите такие числа, полезно проверить расчёт по памяти.

У прямоугольного треугольника один угол равен 90°, а два других — острые. Очень важное свойство: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Это основа всех таких задач.

Обозначим меньший острый угол за x, а больший — за y. Тогда по условию задачи разность углов равна 24°:

y - x = 24°.

А по свойству прямоугольного треугольника имеем:

x + y = 90°.

Получили простую систему:

x + y = 90°
y - x = 24°

Сложим уравнения почленно. Тогда переменная x сократится:

2y = 114°

Отсюда:

y = 57°.

Значит, больший острый угол равен 57°.

Ответ: 57.

Как можно быстро проверять себя на экзамене: если вы нашли больший угол, то меньший должен быть равен 90° - 57° = 33°. Разность действительно получается 57° - 33° = 24°, значит ответ верный.

Типичная ошибка — вместо суммы острых углов брать 180°. Это неверно: 180° — сумма всех углов треугольника, а в прямоугольном треугольнике один угол уже 90°, поэтому два острых вместе дают только 90°.

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна 90°. Это главное свойство, которое нужно помнить на ЕГЭ База: если треугольник прямоугольный, то искать надо не сумму всех трёх углов, а именно сумму двух острых.

Обозначим меньший острый угол за x°. Тогда больший острый угол будет x + 30°.

Так как сумма острых углов равна 90°, составим уравнение:

x + (x + 30) = 90

Решаем:

2x + 30 = 90

2x = 60

x = 30

Тогда больший угол равен:

30 + 30 = 60°

Ответ: 60°.

Как быстро проверять себя: если меньший угол 30°, то больший 60°, а их сумма действительно 90°. Это удобная самопроверка, чтобы не потерять балл из-за арифметической ошибки.

Типичные ошибки:

• путают сумму углов треугольника 180° и сумму острых углов прямоугольного треугольника 90°;
• считают, что больший угол равен 30°, потому что именно столько дано в условии — но это разность, а не сам угол;
• забывают, что если один угол больше другого на 30°, то выражение нужно записывать как x + 30, а не 30 - x.

Для таких заданий полезно всегда действовать по одному шаблону: обозначить меньший угол, выразить больший, записать сумму 90° и решить уравнение. Это самый надёжный способ на экзамене.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле

r = (a + b - c) / 2,

где a и b — катеты, а c — гипотенуза.

Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Теперь подставим все стороны в формулу радиуса:

r = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2.

Значит, правильный ответ: 2.

Почему так можно делать? В прямоугольном треугольнике формула r = (a + b - c)/2 очень удобна: она сразу связывает все три стороны. Это типичный приём в заданиях ЕГЭ База на прямоугольный треугольник.

Частые ошибки:

• путают вписанную окружность с описанной;
• забывают сначала найти гипотенузу;
• ошибаются в теореме Пифагора;
• не делят результат на 2.

Как быстро проверить себя на экзамене: если катеты 6 и 8, гипотенуза должна быть 10 — это классическая пифагорова тройка. Тогда радиус вписанной окружности получается небольшим целым числом, что удобно для проверки вычислений.

Разберём задачу спокойно и по шагам. В прямоугольном треугольнике есть очень важное свойство: гипотенуза равна диаметру описанной окружности. Значит, если радиус окружности равен 5, то диаметр, а следовательно и гипотенуза AB, равна 10.

Нам дана сторона AC = 6 и сказано, что нужно найти острый угол, прилежащий к стороне AC. В прямоугольном треугольнике сторона AC прилежит к углу A (она образует этот угол вместе с гипотенузой AB). Значит, искомый угол — это ∠A.

Теперь используем косинус угла, потому что дана прилежащая к углу сторона и гипотенуза:

cos A = AC / AB = 6 / 10 = 3 / 5.

По таблице значений или по известным тригонометрическим отношениям:

cos 53° ≈ 0,6, а 3/5 = 0,6. Значит, A = 53°.

Ответ: 53°.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — взять не тот угол. Если сторона AC прилежит к углу A, то она не прилежит к углу B. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной окружности, то есть 2R, а не R. Если это помнить, задача решается за 1–2 минуты.

Полезная проверка для ЕГЭ База: если в ответе получился острый угол, а косинус равен 3/5, то угол действительно должен быть около 53°. Это помогает быстро убедиться, что вычисление сделано верно.

Рассмотрим, что дано и что нужно найти.

Треугольник ABC прямоугольный, значит ∠C = 90°. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной окружности. Поэтому если радиус окружности равен 7, то диаметр, а значит и гипотенуза AB, равна 14.

Нам дан катет AC = 7√2 и сказано найти угол ∠A, прилежащий к стороне AC. Это важная подсказка: для угла A сторона AC является прилежащим катетом, а гипотенуза AB — известна. Значит, удобно использовать косинус:

cos A = AC / AB = 7√2 / 14 = √2 / 2.

Теперь вспоминаем таблицу основных значений тригонометрических функций: cos 45° = √2 / 2. Следовательно, ∠A = 45°.

Ответ: 45.

На ЕГЭ База в таких задачах часто ошибаются в двух местах. Во-первых, забывают, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза — это диаметр описанной окружности, а не радиус. Во-вторых, путают, какую функцию брать: если дана сторона, прилежащая к углу, то обычно удобно использовать косинус; если бы была дана противолежащая сторона, можно было бы использовать синус. Чтобы быстро проверять себя, полезно сразу сравнить отношение стороны к гипотенузе с известным табличным значением: если получилось √2/2, значит это угол 45°.

Обозначим через H основание высоты из прямого угла на гипотенузу. Проекция катета AC на гипотенузу — это отрезок AH. Именно его и нужно найти.

Сначала используем определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

cos A = AC / AB.

По условию AC = 10, cos A = 0{,}8, значит

0{,}8 = 10 / AB.

Отсюда находим гипотенузу:

AB = 10 / 0{,}8 = 12{,}5.

Теперь используем важное свойство прямоугольного треугольника: проекция катета на гипотенузу равна квадрату этого катета, делённому на гипотенузу. Для катета AC получаем:

AH = AC² / AB = 10² / 12{,}5 = 100 / 12{,}5 = 8.

Ответ: 8.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если катет и косинус даны вместе, сначала удобно найти гипотенузу через косинус, а потом — проекцию через формулу катет² / гипотенуза. Частая ошибка — перепутать сам катет с его проекцией или взять синус вместо косинуса. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что проекция катета лежит на гипотенузе, а не на другом катете.

Решим задачу по шагам, используя два базовых факта о прямоугольном треугольнике.

1. Связь гипотенузы и радиуса описанной окружности. У прямоугольного треугольника гипотенуза является диаметром описанной окружности. Значит, если радиус равен 5, то гипотенуза равна 10.

2. Связь стороны и угла через синус. Дан катет 6, и нужно найти острый угол, который лежит напротив этого катета. Для острого угла в прямоугольном треугольнике выполняется формула:

sin α = противолежащий катет / гипотенуза.

Подставляем числа:

sin α = 6 / 10 = 3 / 5 = 0,6.

3. Определяем угол. Нужно вспомнить табличное значение: sin 37° ≈ 0,6 (точнее 0,6018...), поэтому острый угол равен 37°.

Почему ответ единственный? В задаче требуется острый угол в прямоугольном треугольнике. Если синус известен, то для острого угла значение определяется однозначно. Второй острый угол был бы дополнительным к нему, но он не может иметь тот же синус и не является углом напротив данного катета.

Частые ошибки:

1) принимают радиус за гипотенузу — это неверно; гипотенуза равна двум радиусам;

2) используют косинус вместо синуса — нужно смотреть именно на катет, который лежит напротив искомого угла;

3) забывают, что ответ нужен в градусах, а не в виде дроби или десятичного числа;

4) путают острый угол с прямым: в прямоугольном треугольнике прямой угол всегда 90°, а искать нужно один из острых.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если в условии дан радиус описанной окружности, сразу вспоминайте: гипотенуза = 2R. Затем найдите отношение катета к гипотенузе и сравните его с известными значениями синуса 30°, 37°, 45°, 60° и т. д. Здесь получается 0,6, значит подходит 37°.

Ответ: 37°.

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна 90°. Это главное свойство, которое нужно помнить в таких задачах.

Обозначим меньший острый угол за x°. Тогда больший острый угол будет равен x + 28°, потому что по условию он больше на 28°.

Составим уравнение по сумме острых углов:

x + (x + 28) = 90

Решим его:

2x + 28 = 90

2x = 62

x = 31

Теперь найдём больший угол:

31 + 28 = 59.

Ответ: 59.

Как быстро проверять себя: если один угол 59°, то другой 31°, а их сумма действительно 90°. Разность тоже совпадает: 59° − 31° = 28°.

Частые ошибки: вместо 90° брать 180°; забывать, что ищут именно больший угол; неправильно записывать второй угол как 28 − x или x − 28. Удобнее всего сначала обозначить меньший угол через x, а потом выразить больший как x + разность.

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна 90°. Это главное свойство, которое нужно помнить для задач такого типа.

Обозначим меньший острый угол через x°. Тогда больший угол будет равен x + 28°.

Составим уравнение по сумме острых углов:

x + (x + 28) = 90.

Решаем:

2x + 28 = 90

2x = 62

x = 31.

Тогда больший угол:

31 + 28 = 59°.

Ответ: 59.

Почему это правильно: в прямоугольном треугольнике один угол уже равен 90°, значит на два острых угла остаётся ещё 90°. Если один угол больше другого на известную величину, удобно ввести одну переменную и выразить второй через неё. Это самый быстрый и надёжный способ для ЕГЭ База.

Частые ошибки: 1) складывают все три угла и пишут 180° — это тоже верно для любого треугольника, но здесь удобнее использовать именно свойство прямоугольного треугольника; 2) путают больший и меньший угол; 3) забывают, что разность прибавляется к меньшему углу, а не к большему.

Проверка себя: если один угол 59°, то второй должен быть 31°, а их сумма должна дать 90°. Проверка проходит, значит ответ верный.

Используем сразу два факта о прямоугольном треугольнике.

1. Что означает косинус острого угла. Для угла A в прямоугольном треугольнике ABC имеем

cos A = AC / AB.

По условию cos A = 3/5, значит отношение прилежащего катета к гипотенузе равно 3:5. То есть можно обозначить

AC = 3k, AB = 5k.

2. Свойство высоты к гипотенузе. Если из прямого угла опустить высоту на гипотенузу, то прямоугольные треугольники внутри большого треугольника подобны исходному. Из подобия следует важная формула:

AC² = AB · AH.

Это одна из самых полезных формул для задач такого типа: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Подставим известные данные. Так как AC = 3k и AB = 5k, а AH = 9, получаем:

(3k)² = (5k) · 9.

9k² = 45k.

Так как k > 0, делим на 9k:

k = 5.

Тогда гипотенуза

AB = 5k = 25.

Ответ: 25.

Как не ошибиться на ЕГЭ База:

• не путайте cos и sin: у косинуса берётся прилежащий катет и гипотенуза;
• не принимайте отрезок AH за катет — это проекция катета на гипотенузу;
• помните формулу катет² = гипотенуза · проекция катета — она часто позволяет решить задачу быстро без дополнительных построений.

Если при проверке у вас получилось целое число и оно согласуется с отношением сторон 3:5, значит решение верное.