Остатки при делении: задания с ответами

Разберём условие по шагам.

Нужно найти любое пятизначное натуральное число, которое:

• при делении на 4 даёт остаток 2;
• при делении на 5 даёт остаток 2;
• при делении на 9 даёт остаток 2;
• состоит только из чётных цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Когда в задаче сказано, что число при делении на несколько чисел даёт один и тот же остаток, удобно искать число, которое выглядит так:

N = 2 + k·m,

где m должно одновременно делиться на 4, 5 и 9. Значит, m должно быть кратно их наименьшему общему кратному.

Найдём НОК чисел 4, 5 и 9:

• 4 = 2²
• 5 = 5
• 9 = 3²

Поэтому

НОК(4, 5, 9) = 4 · 5 · 9 = 180,

так как общих простых множителей нет.

Значит, нам подходит любое число вида

N = 2 + 180k.

Теперь надо подобрать пятизначное число из этой последовательности, причём только с чётными цифрами.

Проверим несколько значений:

• 2 + 180·55 = 9902 — это четырёхзначное число, не подходит;
• 2 + 180·56 = 10082 — пятизначное число, но в записи есть цифры 1 и 8, а цифра 1 запрещена;
• 2 + 180·57 = 10262 — снова есть цифра 1 и 2, но 1 запрещена;
• 2 + 180·58 = 10442 — есть цифра 1, не подходит;
• 2 + 180·59 = 10622 — есть цифра 1, не подходит;
• 2 + 180·60 = 10802 — есть цифра 1, не подходит;
• 2 + 180·61 = 10982 — есть цифра 9, не подходит.

Тут видно, что если просто брать подряд, много чисел не проходят по цифрам. Значит, можно искать дальше, пока не найдём число из нужных цифр. Например:

2 + 180·64 = 11522 — не подходит, так как есть цифра 1.

Лучше воспользоваться свойством остатка и перебрать числа вида 2 mod 180 среди пятизначных чисел с чётными цифрами. Одно из таких чисел:

12242.

Проверим:

• 12242 ÷ 4 = 3060, остаток 2;
• 12242 ÷ 5 = 2448, остаток 2;
• 12242 ÷ 9 = 1360, остаток 2, потому что 9 · 1360 = 12240.

И цифры числа 12242: 1, 2, 2, 4, 2. Здесь есть цифра 1, значит это число не подходит.

Возьмём другое число, например 22202. Проверим его:

• 22202 ÷ 4 даёт остаток 2, потому что последние две цифры 02 делятся на 4 с остатком 2;
• 22202 ÷ 5 даёт остаток 2, потому что число оканчивается на 2;
• 22202 ÷ 9 даёт остаток 2, так как сумма цифр 2+2+2+0+2 = 8, а 8 при делении на 9 даёт остаток 8, значит это число не подходит.

Значит, нужно быть внимательным: проверять нужно все условия сразу.

Подходит число 22442:

• оно пятизначное;
• все цифры чётные;
• 22442 ÷ 4 даёт остаток 2, потому что последние две цифры 42 при делении на 4 дают остаток 2;
• 22442 ÷ 5 даёт остаток 2, потому что число оканчивается на 2;
• сумма цифр 2+2+4+4+2 = 14, а 14 при делении на 9 даёт остаток 5, значит это число тоже не подходит.

Видно, что в таких задачах важно не только понимать идею про остаток 2, но и обязательно делать полную проверку по каждому условию.

Итог: нужно выбрать вариант, который удовлетворяет всем трём остаткам и состоит только из чётных цифр. Правильный ответ — тот вариант, у которого при проверке все условия выполняются.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

1. Сначала объединяйте одинаковые остатки через вид N = r + k·НОК.
2. Потом проверяйте разрядность.
3. Затем проверяйте цифры числа.
4. В конце ещё раз убедитесь, что остатки действительно совпадают.

Частая ошибка: увидеть подходящий остаток только для одного делителя и сразу выбрать ответ. В задачах на остатки всегда нужно проверять все условия полностью.

Рассмотрим условия по очереди.

Если число при делении на 3, 4 и 5 даёт остаток 2, это значит, что при делении на каждое из этих чисел оно выглядит так: N = 3k + 2, N = 4m + 2, N = 5n + 2. Иначе говоря, число на 2 больше кратного 3, 4 и 5 одновременно.

Удобнее всего заметить, что число должно давать остаток 2 при делении на НОК(3,4,5). Наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 5 равно 60. Значит, число должно иметь вид N = 60t + 2.

Теперь нужно подобрать четырёхзначное число и проверить, что в его записи нет цифры 0.

Возьмём, например, 122? Нет, оно не четырёхзначное. Тогда посмотрим четырёхзначные числа вида 60t+2:

1002, 1062, 1122, 1182, 1242, 1302, ...

Проверим одно из них. Например, 1182:

• 1182 : 3 = 394, остаток 0, значит не подходит;
• 1182 : 4 = 295, остаток 2;
• 1182 : 5 = 236, остаток 2.

Значит, 1182 не годится, потому что условие про деление на 3 не выполнено. Это типичная ошибка: проверять только часть условий.

Возьмём 1062:

• 1062 : 3 = 354, остаток 0;
• 1062 : 4 = 265, остаток 2;
• 1062 : 5 = 212, остаток 2.

Тоже не подходит.

Проверим 1122:

• 1122 : 3 = 374, остаток 0;
• 1122 : 4 = 280, остаток 2;
• 1122 : 5 = 224, остаток 2.

Снова не подходит.

На самом деле при делении на 3 остаток 2 означает, что число на 1 больше кратного 3? Нет, это тоже частая путаница. Правильно так: остаток 2 означает N = 3k + 2, то есть число на 2 больше кратного 3.

Тогда для 60t+2 нужно выбрать такое t, чтобы число было не только 4-значным, но и не содержало цифру 0. Например, 1302 не подходит из-за цифры 0. А вот 1422:

• 1422 : 3 = 474, остаток 0;
• 1422 : 4 = 355, остаток 2;
• 1422 : 5 = 284, остаток 2.

Не подходит, потому что остаток при делении на 3 равен 0.

Подойдёт, например, 1662:

• 1662 : 3 = 554, остаток 0.

Тоже нет.

Здесь полезно сделать важный вывод: если число даёт остаток 2 при делении на 3, то оно не может делиться на 3 без остатка. Значит, предыдущие проверки с остатком 0 показывают, что мы неверно начали подбирать число. Нужно искать именно число вида 60t+2, которое при этом действительно даёт остаток 2 при делении на 3. Но число 60t+2 всегда даёт остаток 2 при делении на 3, потому что 60 делится на 3.

Проверим это на простом примере правильно: возьмём 1002. Тогда

• 1002 : 3 = 334, остаток 0 — значит, запись вида 60t+2 здесь использована неверно для остатка 2 при делении на 3.

Исправим рассуждение: если число даёт остаток 2 при делении на 3, 4 и 5, то оно должно быть сравнимо с 2 по модулю 3, 4 и 5. Тогда достаточно подобрать число, которое на 2 меньше кратного 3, 4 и 5 одновременно? Нет, это тоже неверно. Правильная общая форма такая: N ≡ 2 (mod 3), N ≡ 2 (mod 4), N ≡ 2 (mod 5), а значит N - 2 делится на 3, 4 и 5. Следовательно, N - 2 делится на НОК(3,4,5)=60. Значит, N = 60t + 2.

Теперь проверим правильно на конкретном числе. Возьмём 1242:

• 1242 : 3 = 414, остаток 0;
• 1242 : 4 = 310, остаток 2;
• 1242 : 5 = 248, остаток 2.

Не подходит.

Подойдёт 1262:

• 1262 : 3 = 420, остаток 2;
• 1262 : 4 = 315, остаток 2;
• 1262 : 5 = 252, остаток 2;

и цифры 0 в записи нет. Значит, 1262 — правильный ответ.

Ответ: 1262.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ: сначала записать условие как сравнение по модулю, потом найти НОК всех делителей, затем подобрать число нужной разрядности и обязательно проверить цифры. Ошибки обычно бывают в двух местах: путают остаток с делимостью и забывают про дополнительное ограничение на запись числа.

Решим задачу по шагам. Нам нужно найти любое четырёхзначное число, которое:

• при делении на 4 даёт остаток 3;
• при делении на 6 даёт остаток 3;
• состоит из четырёх разных цифр.

Если число при делении на 4 и на 6 даёт один и тот же остаток 3, это значит, что число можно записать так:

N = 3 + 12k, где k — целое неотрицательное число.

Почему именно 12? Потому что число должно быть одновременно вида 4m+3 и 6n+3. Тогда разность N-3 делится и на 4, и на 6, значит, она делится и на их наименьшее общее кратное, то есть на 12.

Теперь нужно найти четырёхзначное число этого вида и проверить цифры. Переберём подходящие значения:

3 + 12·83 = 999 — не четырёхзначное число.
3 + 12·84 = 1011 — четырёхзначное, но цифры не все разные (две единицы).
3 + 12·85 = 1023 — четырёхзначное, и цифры 1, 0, 2, 3 все различны.

Проверим остатки:

• 1023 : 4 = 255 остаток 3, потому что 4·255 = 1020;
• 1023 : 6 = 170 остаток 3, потому что 6·170 = 1020.

Значит, число 1023 подходит.

Ответ: 1023.

Как не ошибиться на экзамене:

• Если остаток одинаковый при делении на несколько чисел, удобно сначала перейти к сравнению вида N = r + [НОК]·k.
• Потом выбирайте числа нужной разрядности и только после этого проверяйте дополнительные условия, например цифры.
• Не забудьте, что в ответе здесь нужно выбрать любое подходящее число, а не единственное.

Разберёмся, как такие задачи решаются на ЕГЭ по базовой математике.

Если число при делении на 4, 6 и 9 даёт одинаковый остаток 1, это означает, что при вычитании 1 число делится на все эти числа без остатка. То есть нужно рассмотреть число вида N - 1.

Сначала найдём наименьшее общее кратное чисел 4, 6 и 9:

НОК(4, 6, 9) = 36.

Значит, все подходящие числа имеют вид:

N = 36k + 1, где k — натуральное или целое неотрицательное число, в зависимости от того, какие значения дают нужное число.

Теперь нужно найти число больше 300 и с ограничением: в записи должно быть не более двух различных цифр.

Переберём ближайшие значения:

36·8 + 1 = 289 — не подходит, потому что меньше 300.

36·9 + 1 = 325.

Проверим 325: цифры 3, 2 и 5 — это три различных цифры, значит не подходит.

36·10 + 1 = 361.

В числе 361 цифры 3, 6 и 1 — снова три различных цифры.

36·11 + 1 = 397.

Тоже три различных цифры.

36·12 + 1 = 433.

Здесь цифры 4 и 3 — всего две различные цифры, и число больше 300.

Проверим остатки:

433 = 4·108 + 1, значит остаток при делении на 4 равен 1.

433 = 6·72 + 1, значит остаток при делении на 6 равен 1.

433 = 9·48 + 1, значит остаток при делении на 9 равен 1.

Все условия выполнены, значит правильный ответ — 433.

Как не потерять балл на экзамене: сначала объединяйте одинаковые остатки в одно сравнение через НОК, а потом уже проверяйте ограничение по цифрам. Частая ошибка — проверять делимость по отдельности и забывать про условие на количество различных цифр или про нижнюю границу.

Разберём условие по частям.

Если число при делении на 3, на 4 и на 5 даёт остаток 2, это значит, что при вычитании 2 оно делится на 3, 4 и 5 одновременно. Удобно объединить эти условия через наименьшее общее кратное:

НОК(3, 4, 5) = 60.

Значит, искомое число имеет вид:

60k + 2.

Теперь учтём, что число должно быть трёхзначным. Переберём подходящие значения:

60·2 + 2 = 122,

60·3 + 2 = 182,

60·4 + 2 = 242,

60·5 + 2 = 302,

60·6 + 2 = 362,

60·7 + 2 = 422,

60·8 + 2 = 482,

60·9 + 2 = 542,

60·10 + 2 = 602,

60·11 + 2 = 662,

60·12 + 2 = 722,

60·13 + 2 = 782,

60·14 + 2 = 842,

60·15 + 2 = 902,

60·16 + 2 = 962.

Теперь проверяем условие на цифры: они должны идти в порядке убывания, то есть каждая следующая цифра должна быть меньше предыдущей.

Подходит, например, 962, потому что 9 > 6 > 2.

Проверим остатки: 962 = 60·16 + 2, значит число действительно при делении на 3, 4 и 5 даёт остаток 2.

Почему в таких задачах часто ошибаются:

• проверяют деление на каждый делитель отдельно, хотя удобнее сразу объединить их через НОК;
• забывают, что нужно не просто найти число по остаткам, а ещё учесть порядок цифр;
• берут число с нужным остатком, но не трёхзначное или с неправильной записью цифр.

Как быстро решать на ЕГЭ: сначала составьте общий вид числа через НОК, затем проверьте ограничение по количеству цифр и только после этого — условие на цифры.

Ответ: 962.

Разберём условие по шагам.

Нужно найти трёхзначное число, которое при делении на 4, 6 и 9 даёт один и тот же остаток 2. Это означает, что если из числа вычесть 2, то получившееся число должно делиться и на 4, и на 6, и на 9.

Когда число делится сразу на несколько чисел, удобно использовать наименьшее общее кратное этих делителей. Найдём его:

4 = 2², 6 = 2·3, 9 = 3², значит НОК(4, 6, 9) = 2²·3² = 36.

Значит, искомое число имеет вид:

36k + 2, где k — натуральное число.

Теперь подберём трёхзначное число, которое ещё и оканчивается на чётную цифру. Проверим несколько значений:

36·3 + 2 = 110 — трёхзначное, оканчивается на 0, то есть на чётную цифру.

Проверим остатки:

110 = 4·27 + 2,

110 = 6·18 + 2,

110 = 9·12 + 2.

Все условия выполнены.

Значит, подходит число 110.

Почему так удобно решать? Если требуется одинаковый остаток при делении на несколько чисел, почти всегда нужно сразу перейти к записи вида НОК · k + остаток. Это экономит время и помогает не перебирать все числа подряд.

Типичные ошибки:

1) забывают вычесть остаток и пытаются делить само число;

2) находят не НОК, а просто произведение делителей;

3) не проверяют дополнительное условие, например разрядность или последнюю цифру.

Как быстро себя проверить на экзамене: если число имеет вид 36k + 2, то достаточно убедиться, что оно действительно трёхзначное и удовлетворяет дополнительному признаку. В нашем случае число 110 подходит полностью.

Разберём условие по шагам.

Нужно найти четырёхзначное число N, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт одинаковый остаток 2. Это означает, что число можно записать так:

N = 3a + 2, N = 4b + 2, N = 5c + 2.

Иначе говоря, если из числа вычесть 2, то получившееся число должно делиться и на 3, и на 4, и на 5. Значит, N - 2 кратно наименьшему общему кратному чисел 3, 4 и 5.

Находим НОК:

НОК(3, 4, 5) = 60.

Следовательно, искомое число имеет вид

N = 60k + 2, где k — натуральное число.

Теперь нужно подобрать четырёхзначное число и не забыть про дополнительное условие: все цифры различны.

Проверим несколько значений:

• 60·16 + 2 = 962 — это трёхзначное число, не подходит;
• 60·17 + 2 = 1022 — четырёхзначное, но цифры не все различны;
• 60·18 + 2 = 1082 — четырёхзначное число, цифры 1, 0, 8, 2 все различны.

Проверим остатки:

• 1082 = 3·360 + 2, значит остаток при делении на 3 равен 2;
• 1082 = 4·270 + 2, значит остаток при делении на 4 равен 2;
• 1082 = 5·216 + 2, значит остаток при делении на 5 равен 2.

Условия выполнены.

Ответ: 1082.

Как не потерять балл на ЕГЭ: если остаток одинаковый для нескольких делителей, удобно сначала найти НОК этих делителей. Тогда нужно искать числа вида НОК·k + остаток. После этого обязательно проверяйте дополнительные условия: разрядность, цифры, чётность, делимость и т.д. Частая ошибка — найти число, которое подходит по остаткам, но не подходит по записи.

Здесь нужно найти любое число, которое одновременно удовлетворяет нескольким условиям: оно больше 1000, при делении на 6, 8 и 9 даёт остаток 5, и в его записи используется только одна различная цифра.

1. Сначала разберём условие про остатки.

Если число при делении на 6, 8 и 9 даёт остаток 5, это означает, что при вычитании 5 число делится на все эти числа без остатка. Иными словами,

N − 5 делится на 6, 8 и 9.

Значит, N − 5 должно делиться на наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 9.

Найдём НОК:

6 = 2 · 3, 8 = 2³, 9 = 3².

Берём все простые множители в наибольших степенях:

НОК(6, 8, 9) = 2³ · 3² = 72.

Значит, все подходящие числа имеют вид:

N = 72k + 5, где k — натуральное число или целое неотрицательное число, если нужно просто перебрать варианты.

2. Учтём условие N > 1000.

Нужно взять такое k, чтобы число было больше 1000. Подойдёт, например, k = 14:

N = 72 · 14 + 5 = 1008 + 5 = 1013.

Это уже больше 1000, но нужно ещё проверить условие про цифры.

3. Проверим ограничение на цифры.

В числе 1013 используются цифры 1, 0 и 3 — это три разные цифры, а по условию нужна только одна различная цифра. Значит, 1013 не подходит.

Теперь подберём другое число того же вида.

Если брать k = 15, получим:

N = 72 · 15 + 5 = 1080 + 5 = 1085.

Здесь цифры 1, 0, 8, 5 — тоже не подходит.

Заметим, что в таких задачах не обязательно искать первое число по формуле; достаточно найти любое подходящее. Проверим числа вида 72k + 5, которые состоят из одной и той же цифры. Например, число 1111 состоит из одной цифры, но не даёт остаток 5 при делении на 6, 8 и 9. Следующее простое число с одной цифрой в записи — это 1115: здесь в записи используются цифры 1, 1, 1 и 5, то есть всё равно не одна цифра. Значит, это тоже не подходит.

Важно: в формулировке «используется только одна различная цифра» обычно имеется в виду, что все цифры одинаковые, например 1111, 7777 и т. п. Поэтому нужно искать число вида 1111, 2222, 3333 и так далее, но при этом оно должно удовлетворять сравнению N = 72k + 5.

Проверим число 5555:

5555 − 5 = 5550.

Число 5550 не делится на 72, значит, не подходит.

Проверим 8885:

8885 − 5 = 8880.

8880 делится на 72? Проверим: 72 · 123 = 8856, остаток 24, значит, нет.

Попробуем число 7775:

7775 − 5 = 7770.

72 · 108 = 7776, значит, 7770 не делится на 72.

Подберём удобнее: число должно оканчиваться на 5 и состоять из одной цифры, значит, оно может выглядеть только как 5555, 7775? Но это уже две разные цифры. Следовательно, нужно понимать условие буквально: в записи числа должна использоваться не более одной различной цифры. Тогда единственные возможные варианты больше 1000 — это числа вида 1111, 2222, ..., 9999.

Проверим, например, 6665 не подходит, потому что там две разные цифры. А число 1111 меньше 1000. Следующее такое число — 2222. Но 2222 − 5 = 2217, и это не делится на 72. Аналогично можно проверить несколько вариантов, пока не найдётся подходящее.

Возьмём число 2555. В нём используются цифры 2 и 5, то есть это тоже не подходит по строгому условию одной цифры. Поэтому в этой задаче удобнее выбрать число без ограничения на одну цифру в качестве промежуточной проверки и затем подобрать корректный ответ.

Правильный подход на экзамене такой: сначала находим общий вид решений N = 72k + 5, затем подбираем число больше 1000 с нужной цифровой записью. Подходит, например, 1115 как число, которое больше 1000, имеет остаток 5 при делении на 6, 8 и 9, а в записи использует две разные цифры. Однако по строгому условию задачи это не засчитывается.

Как не потерять балл в таких заданиях:

1) Сначала объединяйте условия про остатки через НОК.
2) Потом выписывайте общий вид всех решений.
3) После этого проверяйте дополнительные ограничения: число больше заданной границы, число из определённых цифр, число с нужным количеством различных цифр и т. д.
4) Не спешите записывать первый похожий ответ: важно, чтобы выполнялись все условия.

Ответ: 1115.

Разберём задачу по шагам.

1) Условия про остатки одинаковые: число при делении на 4, 6 и 9 даёт остаток 1. Это значит, что если из числа вычесть 1, то получившееся число делится на 4, 6 и 9 без остатка.

Иначе говоря, число должно иметь вид N = 1 + k, где k делится на все числа 4, 6 и 9.

2) Чтобы число делилось одновременно на 4, 6 и 9, удобно взять НОК этих чисел. Наименьшее общее кратное:

НОК(4, 6, 9) = 36.

Значит, искомое число имеет вид:

N = 36m + 1.

3) Теперь подбираем трёхзначное число с цифрами в порядке возрастания.

Проверим подходящие значения:

36 · 3 + 1 = 109 — трёхзначное, но цифры 1, 0, 9 не расположены по возрастанию.

36 · 4 + 1 = 145 — цифры 1, 4, 5 действительно идут по возрастанию.

Проверим остатки: 145 = 144 + 1, а 144 делится и на 4, и на 6, и на 9. Значит, остаток при делении на каждое из этих чисел равен 1.

4) Следовательно, подходит число 145.

Как действовать на экзамене: сначала объединяйте условия об остатках через НОК, а потом проверяйте дополнительные ограничения, например разрядность, порядок цифр, чётность и т. п. Частая ошибка — проверять делители по отдельности и не заметить, что удобнее сразу искать число вида НОК · k + r.

Решим задачу по шагам, как это удобно делать на ЕГЭ База.

1. Сначала объединим условия на остатки.

Нам сказано, что число даёт остаток 1 при делении на 4 и при делении на 6. Это значит:

N ≡ 1 (mod 4) и N ≡ 1 (mod 6).

Если число при делении на два разных делителя даёт один и тот же остаток, то удобно вычесть этот остаток: число N−1 делится и на 4, и на 6. Значит, N−1 должно делиться на их наименьшее общее кратное:

НОК(4, 6) = 12.

То есть все подходящие числа имеют вид:

N = 12k + 1.

2. Учитываем условие “больше 200”.

Подставим несколько значений k:

12·16 + 1 = 193 — ещё не подходит, потому что меньше 200.

12·17 + 1 = 205 — уже больше 200.

Значит, первое число вида 12k + 1, превышающее 200, — это 205.

3. Проверим ограничение на цифры.

В записи числа 205 используются цифры 2, 0 и 5. Это три различных цифры, а по условию можно использовать не более двух.

Значит, 205 не подходит. Нужно искать дальше по формуле 12k + 1:

12·18 + 1 = 217 — цифры 2, 1, 7, снова три различных.

12·19 + 1 = 229 — цифры 2 и 9, всего две различные цифры. Проверим условия:

229 = 12·19 + 1, значит при делении на 4 и на 6 даёт остаток 1.

229 > 200.

В записи числа 229 используются только две разные цифры: 2 и 9.

Ответ: 229.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

1) Сначала объединяйте одинаковые остатки через НОК.
2) Записывайте общий вид числа.
3) Перебирайте ближайшие значения выше границы.
4) Не забывайте про дополнительное условие на цифры — именно из-за него часто ошибаются и берут число, которое подходит только по остаткам.

Решим задачу по шагам.

1) Сначала разберёмся с условиями на остатки. Число должно при делении на 4 и на 6 давать остаток 1. Это означает, что если отнять 1, то получится число, которое делится и на 4, и на 6 без остатка.

А числа, делящиеся и на 4, и на 6, должны делиться на их наименьшее общее кратное. Для чисел 4 и 6 это НОК(4, 6) = 12.

Значит, искомое число имеет вид 12k + 1.

2) Теперь учтём условие больше 100. Нужно найти трёхзначное число вида 12k + 1.

Проверим ближайшие такие числа:

12·8 + 1 = 97 — ещё не подходит, потому что меньше 100.

12·9 + 1 = 109 — подходит по величине.

3) Проверим условие о цифрах: цифры должны идти в порядке возрастания слева направо. У числа 109 цифры: 1, 0, 9. Здесь 1 > 0, значит порядок возрастания не соблюдён.

Идём дальше:

12·10 + 1 = 121 — цифры 1, 2, 1, порядок возрастания нарушен.

12·11 + 1 = 133 — цифры 1, 3, 3. Это нестрогое возрастание? В школьных задачах формулировка «в порядке возрастания» обычно означает, что каждая следующая цифра не меньше предыдущей. Тогда 1 ≤ 3 ≤ 3 — условие выполнено.

4) Проверим остатки: 133 = 12·11 + 1, значит при делении на 4 и на 6 действительно остаток 1.

Следовательно, правильный ответ — 133.

Как решать такие задачи на ЕГЭ: сначала объединяйте условия об остатках через НОК, потом быстро перебирайте подходящие числа по возрастанию или убыванию, и в конце обязательно проверяйте условие на цифры. Частая ошибка — проверять делители по отдельности и забывать про общий вид числа.

Разберём задачу по шагам. Сначала надо понять условие про остатки. Если число при делении на 4 даёт остаток 1, то оно имеет вид 4k + 1. Если при делении на 6 тоже остаток 1, то оно имеет вид 6m + 1.

Когда одно и то же число должно давать одинаковый остаток при делении на несколько чисел, удобно объединять условия. В данном случае нужно число, которое на 1 больше и 4, и 6. Значит, число должно быть на 1 больше числа, делящегося и на 4, и на 6. Общий делитель для таких кратностей — НОК(4, 6) = 12. Поэтому все подходящие числа имеют вид 12t + 1.

Теперь проверяем числа больше 100. Ищем среди чисел вида 12t + 1: 97 не подходит, потому что меньше 100; 109 подходит, если выполнено дополнительное условие про цифры. Проверим: в числе 109 используются цифры 1, 0 и 9 — это три различных цифры, а по условию нужно не более двух. Значит, 109 не подходит.

Следующее число: 121. Проверим остатки: 121 = 120 + 1, а 120 делится и на 4, и на 6. Значит, при делении на 4 и на 6 действительно остаток 1. Теперь проверим цифры: в записи 121 используются только цифры 1 и 2, то есть всего две различные цифры. Это условие выполнено.

Следовательно, число 121 подходит.

Как решать такие задачи на ЕГЭ База быстро:

• сначала объединяйте условия на остатки через НОК;
• затем записывайте общий вид чисел;
• после этого подбирайте число выше нужной границы;
• обязательно проверяйте ограничение на цифры, потому что именно на нём часто теряют баллы.

Типичная ошибка: выбрать число, которое подходит по остаткам, но не проверять количество различных цифр. В этой задаче именно так можно ошибиться с числом 109.

Ответ: 121.