Объём и площадь поверхности прямоугольных многогранников: задания с ответами

Здесь удобно действовать по стандартной для ЕГЭ База схеме: найти объём большой фигуры и вычесть объём вырезанной части. Это самый надёжный способ для составных прямоугольных многогранников.

1) Сначала найдём объём большого прямоугольного параллелепипеда. Для него используется формула

V = a · b · c,

где a, b, c — три взаимно перпендикулярных ребра.

В нашем случае размеры большого блока: 10 см, 8 см и 6 см. Тогда

V_{большой} = 10 · 8 · 6 = 480 см³.

2) Теперь найдём объём вырезанного прямоугольного параллелепипеда:

V_вырез = 4 · 3 · 2 = 24 см³.

3) Объём оставшейся фигуры равен разности:

V = 480 - 24 = 456 см³.

Ответ: 456.

Почему так можно делать? Объём составной фигуры действительно равен объёму той части, из которой она получена, минус объём удалённого блока. Это один из самых частых приёмов в задачах на объём в стереометрии.

Типичные ошибки:

— забывают вычесть объём вырезанной части;
— складывают все числа вместо перемножения;
— путают, какие рёбра относятся к большому блоку, а какие — к вырезу;
— записывают ответ в квадратных единицах вместо кубических.

Как себя проверять на экзамене: у объёма всегда должны быть единицы см³, м³ и т. п.; если получилась площадь или просто число без кубических единиц, значит, где-то допущена ошибка.

Правильный вариант ответа — тот, где указано число 456.

Здесь важно не пытаться сразу считать только «видимые» грани по рисунку, а понять, как меняется полная поверхность после вырезания части тела.

1. Сначала найдём площадь поверхности исходного параллелепипеда.
У прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 8 см, 5 см и 6 см полная площадь поверхности равна

S = 2(ab + ac + bc) = 2(8·5 + 8·6 + 5·6).

Считаем:

8·5 = 40, 8·6 = 48, 5·6 = 30,

40 + 48 + 30 = 118,

S = 2·118 = 236.

2. Что происходит при вырезании блока?
Вырезан прямоугольный кусок из угла, причём он не проходит насквозь. Это означает, что снаружи исчезают некоторые участки старых граней, но одновременно появляются новые внутренние стенки выреза. В типовых задачах такого вида очень важно аккуратно сравнивать, что убралось и что добавилось.

3. Почему здесь площадь не меняется?
Вырезанный блок имеет размеры 3 см, 2 см и 4 см. Это значит, что на трёх внешних гранях исходного параллелепипеда исчезнут прямоугольники площадей:

3·4, 2·4 и 3·2.

Но одновременно в вырезе появятся три новые прямоугольные поверхности тех же размеров:

3·4, 2·4 и 3·2.

То есть убранная часть площади и вновь появившаяся часть площади совпадают. Поэтому общая площадь поверхности остаётся такой же, как у исходного параллелепипеда.

4. Ответ.
Площадь полной поверхности получившейся фигуры равна 236 см².

Как себя проверять на ЕГЭ База:

• если из угла вырезают блок, не проходящий насквозь, часто удобно сравнить «убыло» и «добавилось»;
• не забывайте, что площадь полной поверхности включает все внешние грани, в том числе новые стенки выреза;
• если размеры выреза даны по трём взаимно перпендикулярным направлениям, у него обычно появляются три пары равных по площади прямоугольников, и они могут взаимно сократиться с удалёнными участками.

Здесь важно сначала понять, из каких простых тел состоит фигура. В задаче сказано, что тело составлено из двух прямоугольных параллелепипедов, причём они стоят рядом и не перекрываются. Значит, общий объём равен сумме объёмов этих двух блоков.

Для прямоугольного параллелепипеда используется формула:

V = a · b · c,

где a, b, c — три измерения рёбер, выходящих из одной вершины.

Найдём объём первого блока:

V₁ = 6 · 4 · 3 = 72 см³.

Найдём объём второго блока:

V₂ = 2 · 4 · 5 = 40 см³.

Теперь складываем объёмы:

V = V₁ + V₂ = 72 + 40 = 112 см³.

Ответ: 112 см³.

Проверка себя на ЕГЭ База: если фигура составная и состоит из прямоугольных блоков без пустот и перекрытий, почти всегда нужно разбить её на части и найти сумму объёмов. Частая ошибка — взять только один из блоков или перемножить все числа без понимания, к какому телу они относятся. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что объёмы складываются только тогда, когда части не пересекаются.

Быстрый способ самопроверки: посмотрите, разумный ли получился ответ. Здесь каждый блок даёт десятки кубических сантиметров, поэтому общий объём должен быть больше 100 см³. Это помогает заметить грубую ошибку до записи ответа.

В таких задачах главное — понять, как устроена фигура. Если из одного прямоугольного параллелепипеда вырезали другой прямоугольный блок, то объём оставшейся фигуры находится по правилу:

объём исходного тела − объём вырезанного тела.

Это очень типичный приём для ЕГЭ База: не нужно пытаться “смотреть на рисунок” и придумывать сложную формулу. Для прямоугольных многогранников всё сводится к формуле объёма прямоугольного параллелепипеда:

V = a · b · c,

где a, b, c — три взаимно перпендикулярных ребра.

Шаг 1. Найдём объём исходного бруска.
У него размеры 8 см, 6 см и 5 см, значит

V₁ = 8 · 6 · 5 = 240 см³.

Шаг 2. Найдём объём вырезанного блока.
Его размеры 2 см, 3 см и 5 см, значит

V₂ = 2 · 3 · 5 = 30 см³.

Шаг 3. Вычтем объём вырезанной части.

V = 240 − 30 = 210 см³.

Ответ: 210.

Как себя проверить на экзамене:

• если фигура составная, сначала решите: это сумма объёмов или разность;
• если одна из частей “вырезана”, почти всегда нужно вычитать;
• все размеры должны относиться к одному и тому же блоку, не перепутайте ребра;
• если ответ должен быть числом без единиц, просто запишите 210.

Типичная ошибка: умножить все указанные числа сразу и получить неверный результат. Сначала нужно понять, что 2×3×5 — это объём вырезанной части, а не всей фигуры.

В ЕГЭ База такие задачи проверяют не сложную теорию, а аккуратность: заметить состав фигуры, правильно применить формулу и не потерять один из шагов. Если тренироваться на таких заданиях, можно быстро научиться находить объём без лишних вычислений.

Здесь удобно использовать идею достраивания до полного прямоугольного параллелепипеда. Такая задача часто встречается в ЕГЭ База: сначала находим объём большой фигуры, а потом вычитаем вырезанную часть.

1. Найдём объём исходного параллелепипеда.
Его размеры: 12 см, 8 см и 5 см. Значит,
V_полный = 12 · 8 · 5 = 480 см³.

2. Найдём объём вырезанного уголка.
Он имеет размеры 4 см × 3 см × 5 см, поэтому
V_вырез = 4 · 3 · 5 = 60 см³.

3. Вычтем вырезанную часть.
V_фигуры = 480 - 60 = 420 см³.

Ответ: 420 см³.

Как не ошибиться на экзамене:

• не путайте сложение и умножение: объём прямоугольного параллелепипеда всегда считается по формуле V = a · b · c;
• если часть фигуры вырезана, сначала находят объём целого, а потом вычитают;
• внимательно следите, по какой стороне идёт вырез: здесь уголок удалён по всей высоте 5 см, поэтому третье измерение у выреза тоже равно 5 см.

Проверка себя: ответ должен быть меньше объёма полного параллелепипеда 480 см³, и это действительно так: 420 см³.

Здесь главное — увидеть, что тело составлено из двух прямоугольных параллелепипедов. Для такого задания объём всего тела находят так:

V всего = V₁ + V₂.

Это очень типичный приём для ЕГЭ базового уровня: сложную фигуру разбивают на простые прямоугольные блоки, находят объём каждого и складывают. Важно не путать объём с площадью поверхности: здесь спрашивают именно объём, значит нужно перемножать три измерения каждого блока.

1) Найдём объём нижнего параллелепипеда:

V₁ = 12 · 8 · 4 = 384 см³.

2) Найдём объём верхнего параллелепипеда:

V₂ = 4 · 8 · 3 = 96 см³.

3) Складываем:

V = 384 + 96 = 480 см³.

Ответ: 480 см³.

Как себя проверять на таких задачах:

• если фигура составная, сначала мысленно разбейте её на прямоугольные параллелепипеды;
• убедитесь, что части не перекрываются по объёму;
• для каждого блока используйте формулу V = a · b · c;
• в конце не забудьте сложить результаты.

Типичная ошибка — посчитать только один блок или перепутать объём с площадью грани. Ещё одна ошибка — забыть, что верхний блок стоит на нижнем, но не “вычитается”: если тела соединены без наложения, их объёмы просто складываются.

Идея решения в таких задачах одна и та же: сложный ортогональный многогранник удобно рассматривать как часть более простого тела — прямоугольного параллелепипеда. Тогда объём находят не по сложной формуле, а через вычитание: объём большого параллелепипеда минус объём вырезанной части.

1. Находим объём полного параллелепипеда. Для прямоугольного параллелепипеда используется формула

V = abc,

где a, b, c — его измерения. В нашем случае:

V_{большого} = 12 · 8 · 10 = 960.

2. Находим объём вырезанного блока. Он тоже является прямоугольным параллелепипедом, поэтому его объём равен

V_вырез. = 5 · 4 · 10 = 200.

3. Вычитаем. Объём оставшейся фигуры:

V = 960 - 200 = 760.

Ответ: 760.

Почему это важно для ЕГЭ База? В заданиях на достраивание к прямоугольному параллелепипеду часто проще сначала увидеть «целый» объём, а затем убрать недостающую часть. Это надёжнее, чем пытаться считать каждую грань отдельно.

Как не ошибиться:

• сначала внимательно определите размеры всего большого параллелепипеда;
• проверьте, что вырезанная часть действительно имеет те же направления рёбер, что и большой параллелепипед;
• не забудьте, что если вырез идёт на всю высоту, то его объём тоже надо считать с этой высотой;
• в конце обязательно проверьте, что ответ получается целым числом — в базовых заданиях это обычно удобно для самопроверки.

Здесь важно помнить главный принцип: общая внутренняя грань не входит в площадь поверхности. Если две фигуры склеены, то те поверхности, которые оказались внутри, нужно убрать из подсчёта.

Шаг 1. Найдём площадь поверхности каждого прямоугольного параллелепипеда отдельно.

Для прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c площадь поверхности равна:

S = 2(ab + ac + bc).

Для первого параллелепипеда 8×6×4:

S₁ = 2(8·6 + 8·4 + 6·4) = 2(48 + 32 + 24) = 2·104 = 208.

Для второго параллелепипеда 8×3×5:

S₂ = 2(8·3 + 8·5 + 3·5) = 2(24 + 40 + 15) = 2·79 = 158.

Шаг 2. Вычтем внутреннюю общую грань.

Параллелепипеды склеены по грани размером 8×3, её площадь равна:

8·3 = 24.

Но эта грань была посчитана дважды: один раз в поверхности первого тела и один раз в поверхности второго. После склейки она становится внутренней, значит, надо вычесть её два раза:

2·24 = 48.

Шаг 3. Сложим и вычтем внутреннюю часть.

S = 208 + 158 - 48 = 318 - 48 = 282.

Ответ: 282.

Как не потерять баллы на ЕГЭ: сначала всегда считайте площадь каждого блока, затем обязательно проверьте, какая грань стала общей. Самая частая ошибка — вычесть площадь общей грани только один раз. Это неверно, потому что при отдельном подсчёте она входит в обе фигуры. Поэтому нужно вычитать именно двойную площадь общей грани.

Эта задача решается по стандартному плану для составных прямоугольных многогранников: сначала считаем площадь поверхности каждой части, потом вычитаем те грани, которые стали внутренними после соединения.

1. Найдём площадь поверхности каждого параллелепипеда.

Формула площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:

S = 2(ab + bc + ac), где a, b, c — его рёбра.

Для большого параллелепипеда с рёбрами 8, 5 и 3:

S₁ = 2(8·5 + 5·3 + 8·3) = 2(40 + 15 + 24) = 2·79 = 158.

Для меньшего параллелепипеда с рёбрами 5, 4 и 3:

S₂ = 2(5·4 + 4·3 + 5·3) = 2(20 + 12 + 15) = 2·47 = 94.

2. Учтём соединение.

Фигуры соединены по всей площади одинаковой квадратной грани. Так как общая грань имеет стороны 3 и 3, её площадь равна:

3 · 3 = 9.

Эта грань была учтена дважды — по одному разу в каждой фигуре, но в внешнюю поверхность она не входит совсем. Значит, нужно вычесть удвоенную площадь общей грани:

2 · 9 = 18.

3. Составим ответ.

S_внеш = 158 + 94 - 18 = 234.

Ответ: 234.

Как не потерять баллы на ЕГЭ База: всегда помните, что при склеивании двух многогранников общая грань становится внутренней. Частая ошибка — просто сложить площади поверхностей без вычитания общей части. Ещё одна ошибка — вычесть только один раз площадь общей грани. Правильно вычитать дважды, потому что одна и та же грань уже была посчитана в каждом параллелепипеде отдельно.

Проверка себя: если фигура состоит из двух тел, а они соединены по одной грани площади 9, то площадь поверхности должна быть меньше суммы 158 + 94 ровно на 18. Это хороший быстрый контроль в конце решения.

Идея таких задач очень простая: если сложное тело составлено из нескольких прямоугольных параллелепипедов и они не перекрываются, то объём всего тела равен сумме объёмов его частей.

1) Найдём объём нижнего параллелепипеда:

V₁ = 8 · 5 · 3 = 120 см³.

2) Найдём объём верхнего параллелепипеда:

V₂ = 4 · 2 · 6 = 48 см³.

3) Сложим объёмы:

V = V₁ + V₂ = 120 + 48 = 168 см³.

Ответ: 168 см³.

Как проверять себя в таких заданиях на ЕГЭ База:

• если тело составное, сначала мысленно разбейте его на простые прямоугольные блоки;
• для каждого блока используйте именно формулу объёма V = a · b · c;
• не путайте объём с площадью поверхности: здесь нужны кубические единицы, а не квадратные.

Типичные ошибки:

• забыть одну из частей тела;
• посчитать только основание и забыть высоту;
• перепутать объём с площадью грани.

В этой задаче правильный приём один: отдельно посчитать объёмы двух параллелепипедов и сложить их.

Здесь важно увидеть, что фигура составлена из двух прямоугольных параллелепипедов. Для таких задач на ЕГЭ по базовой математике основная идея всегда одна: разбить сложное тело на простые части, найти объём каждой части и затем сложить результаты.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V = a · b · c,

где a, b, c — три его измерения.

Найдём объём первого параллелепипеда:

V₁ = 6 · 4 · 5 = 120 см³.

Теперь найдём объём второго параллелепипеда:

V₂ = 3 · 4 · 5 = 60 см³.

Так как многогранник состоит из этих двух частей и они не перекрываются, объём всего тела равен сумме объёмов частей:

V = V₁ + V₂ = 120 + 60 = 180 см³.

Ответ: 180.

Полезно помнить, что в таких задачах нельзя вычитать объёмы, если фигура просто составлена из нескольких блоков. Вычитать нужно только тогда, когда из одного большого параллелепипеда вырезали часть. Ещё одна типичная ошибка — перепутать объём с площадью поверхности. Если спрашивают объём, всегда нужны именно три измерения и результат в кубических единицах.

Быстрая проверка себя на экзамене: если фигура разбивается на несколько прямоугольных «кирпичиков», то объём находится как сумма объёмов всех кирпичиков. Это самый надёжный способ не потерять баллы.

Раз такие фигуры составлены из прямоугольных параллелепипедов и они не перекрываются, то общий объём находится как сумма объёмов всех частей.

Сначала найдём объём нижнего параллелепипеда:

V₁ = 8 · 5 · 3 = 120 см³.

Затем найдём объём верхнего параллелепипеда:

V₂ = 4 · 5 · 2 = 40 см³.

Теперь складываем:

V = V₁ + V₂ = 120 + 40 = 160 см³.

Ответ: 160 см³.

Как думать в таких задачах на ЕГЭ База: если фигуру можно разбить на несколько прямоугольных блоков, не пытайтесь сразу искать объём всей фигуры одной формулой. Проще и надёжнее вычислить объём каждого блока отдельно и потом сложить.

Типичные ошибки:

1) Забывают одну из частей — тогда объём получается меньше правильного.

2) Перемножают размеры, относящиеся к разным блокам — так делать нельзя, потому что у каждого параллелепипеда свои измерения.

3) Не учитывают, что фигуры не перекрываются. Если бы части пересекались, объёмы нельзя было бы просто складывать. Здесь же по условию перекрытия нет, значит сумма объёмов верна.

Проверка себя: объём должен быть больше объёма каждой отдельной части, но меньше их суммы? Нет, именно равен сумме. Поэтому если вы получили число меньше 120 или меньше 40, значит ошибка точно есть.