Прямоугольник и квадрат: свойства и площади: задания с ответами

Для квадрата есть очень важная связь между стороной и диагональю. Если сторона квадрата равна a, то диагональ равна a\sqrt{2}. Это следует из теоремы Пифагора: диагональ квадрата — это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника со катетами a и a.

Обозначим диагональ через d. Тогда

d = a\sqrt{2}.

В задаче дано d = 10\sqrt{2}. Значит, можно найти сторону:

a = d / \sqrt{2} = 10\sqrt{2} / \sqrt{2} = 10 (см).

Теперь находим площадь квадрата по формуле S = a^2:

S = 10^2 = 100 (см²).

Ответ: 100.

Полезно помнить ещё и короткую формулу: если известна диагональ квадрата, то площадь можно найти сразу по формуле S = d^2 / 2. В нашей задаче:

S = (10\sqrt{2})^2 / 2 = 200 / 2 = 100.

Это удобный способ для ЕГЭ Базового уровня: меньше действий — меньше шансов ошибиться. Частая ошибка — считать, что сторона квадрата равна диагонали. Это неверно: диагональ всегда больше стороны и содержит множитель \sqrt{2}. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что площадь измеряется в квадратных единицах.

Чтобы быстро проверять себя, можно мысленно вспомнить: если диагональ умножается на \sqrt{2}, то при переходе к стороне нужно разделить на \sqrt{2}. Тогда всё сходится без лишних вычислений.

Рассмотрим квадрат и его диагональ. В квадрате диагональ делит фигуру на два равных прямоугольных треугольника. У каждого такого треугольника катеты равны стороне квадрата, а гипотенуза — диагональ.

Если обозначить сторону квадрата через a, а диагональ через d, то по теореме Пифагора получаем:

d^2=a^2+a^2=2a^2, значит d=a\sqrt{2}.

Теперь используем обратную формулу:

a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}.

Подставим d=6\sqrt{2}:

a=\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6.

Ответ: 6.

Как проверять себя на таких заданиях на ЕГЭ База:

• если дана диагональ квадрата, сразу вспоминайте формулу d=a\sqrt{2};
• не перепутайте: при нахождении стороны нужно делить диагональ на \sqrt{2}, а не умножать;
• если в диагонали уже есть множитель \sqrt{2}, он сокращается, и ответ часто получается целым числом.

В этой задаче это и произошло: 6\sqrt{2} / \sqrt{2} = 6. Такая проверка помогает быстро не потерять баллы в базовом экзамене.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, где a — меньшая сторона, а b — большая. По условию задачи:

a + b = 13, ab = 40.

Нужно найти меньшую сторону, то есть число a. Такие задачи удобно решать через составление квадратного уравнения. Для этого используем связь между суммой и произведением корней: если числа a и b имеют сумму 13 и произведение 40, то они являются корнями уравнения

t² - 13t + 40 = 0.

Теперь решим его. Разложим на множители:

t² - 13t + 40 = (t - 5)(t - 8) = 0.

Отсюда получаем два корня: t = 5 и t = 8. Это и есть стороны прямоугольника. Так как по условию нужно найти меньшую сторону, ответ равен 5.

Почему ответ однозначный? Потому что стороны прямоугольника положительные, а уравнение дает два положительных числа. Меньшее из них — 5.

Как себя проверять в таких заданиях:

• сначала записать сумму и произведение сторон;
• составить уравнение вида t² - St + P = 0;
• найти оба корня;
• выбрать меньший положительный корень.

Типичная ошибка — взять не меньшую, а большую сторону, или выбрать число 13/2, думая, что это «середина». Но здесь нужны именно стороны прямоугольника, а не их среднее значение.

Итак, правильный ответ: 5.

Используем две базовые формулы для квадрата:

1) Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S = a².

2) Диагональ квадрата связана со стороной формулой d = a·√2. Это можно понять по теореме Пифагора: диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и a.

Теперь решаем по шагам.

Шаг 1. Находим сторону квадрата по площади:

a = √S = √50 = 5√2.

Шаг 2. Находим диагональ:

d = a·√2 = 5√2 · √2 = 5 · 2 = 10.

Ответ: 10.

Как не ошибиться на ЕГЭ База: не пытайтесь находить диагональ прямо из площади без нахождения стороны. Сначала обязательно извлекаем корень из площади, а потом умножаем на √2. Частая ошибка — забыть множитель √2 и записать в ответ только сторону квадрата. Ещё одна ошибка — неверно извлечь корень из числа 50: √50 = 5√2, а не 25 или 50.

Быстрая проверка: если площадь увеличивается, то и диагональ должна быть больше нуля и выглядеть разумно. Здесь сторона больше 7, значит диагональ около 10 — это согласуется с ответом.

Используем два стандартных факта о квадрате:

1) Площадь квадрата выражается через сторону формулой S = a².

Если площадь равна 18, то сторона находится из уравнения a² = 18. Значит, a = √18 = 3√2. Берём положительный корень, потому что длина стороны не может быть отрицательной.

2) Диагональ квадрата связана со стороной формулой d = a√2.

Подставляем найденную сторону: d = 3√2 · √2 = 3 · 2 = 6.

Ответ: 6.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:

• сначала из площади находите сторону;
• потом умножаете её на √2;
• если в вычислениях появилась дробь или отрицательное число для стороны, это сигнал об ошибке;
• в таких задачах часто путают сторону и диагональ, поэтому полезно помнить: диагональ всегда больше стороны в √2 раза.

Типичная ошибка — попытаться сразу найти диагональ из площади без промежуточного шага через сторону. На базовом экзамене безопаснее действовать по формуле: S = a² → a = √S → d = a√2.

У квадрата все стороны равны, а диагональ делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника. Это ключевая идея: чтобы найти диагональ, удобно применить теорему Пифагора.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его катеты равны сторонам квадрата, то есть по 6, а гипотенуза — это диагональ квадрата, обозначим её через d.

По теореме Пифагора:

d² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.

Тогда

d = √72 = √(36 · 2) = 6√2.

Значит, диагональ квадрата равна 6√2.

Как быстро проверять такие задачи на экзамене: для квадрата всегда работает формула d = a√2, где a — сторона. Здесь a = 6, значит d = 6√2.

Частые ошибки: некоторые ученики по привычке пишут 12, то есть умножают сторону на 2. Это неверно: диагональ квадрата длиннее стороны не в 2 раза, а в √2 раза. Ещё одна ошибка — забыть упростить корень: √72 нужно обязательно преобразовать в 6√2.

Обозначим сторону, которая входит в отношение к диагонали, через 3x, а диагональ — через 5x. Это стандартный приём: если дано отношение, удобно ввести общий множитель, чтобы обе величины сразу были выражены через одну переменную.

Тогда у прямоугольника есть две стороны: 3x и 8 см, а диагональ — 5x. Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, который образуется сторонами прямоугольника и его диагональю:

(3x)² + 8² = (5x)².

Получаем:

9x² + 64 = 25x²,

64 = 16x²,

x² = 4, значит x = 2 (берём только положительное значение, потому что длины отрезков не могут быть отрицательными).

Тогда неизвестная сторона равна 3x = 6 см. Площадь прямоугольника находим по формуле S = ab:

S = 6 · 8 = 48 см².

Ответ: 48.

Как не ошибиться на ЕГЭ: если в задаче есть отношение стороны к диагонали, почти всегда нужно вводить переменную через общий множитель и обязательно применять теорему Пифагора. Частая ошибка — сразу пытаться найти площадь, не вычислив вторую сторону. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что диагональ вместе со сторонами прямоугольника образует прямоугольный треугольник.

Обозначим стороны прямоугольника через a и b. Тогда по условию известны периметр и диагональ.

1. Используем формулу периметра.
Периметр прямоугольника равен 2(a+b). По условию:

2(a+b)=26, значит a+b=13.

2. Используем теорему Пифагора.
Диагональ прямоугольника образует с его сторонами прямоугольный треугольник, поэтому:

a²+b²=13²=169.

3. Найдём произведение сторон.
Есть удобная формула:

(a+b)²=a²+2ab+b².

Подставим известные значения:

13²=169=a²+2ab+b².

Но мы уже знаем, что a²+b²=169. Тогда:

169=169+2ab.

Отсюда 2ab=0, что невозможно для прямоугольника с положительными сторонами. Значит, нужно внимательно проверить данные: при периметре 26 и диагонали 13 такого прямоугольника не существует.

Важно: в задачах ЕГЭ База всегда должна получаться реальная фигура. Если при проверке выходит противоречие, значит числа не согласованы.

Как не ошибиться на экзамене:

• Сначала делите периметр на 2, чтобы найти сумму сторон.
• Потом применяйте теорему Пифагора к диагонали.
• Проверяйте, что получаются положительные стороны.
• Если ответы не совпадают с условием, ищите арифметическую ошибку.

В этой задаче правильный вывод: прямоугольник с такими данными не существует, поэтому площадь определить нельзя.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через a, а большую — через b. По условию задачи известны две связи между ними:

a + b = 15,

ab = 54.

Когда известны сумма и произведение двух чисел, удобно перейти к квадратному уравнению. Это типичный приём для задач на стороны прямоугольника: если числа a и b имеют сумму 15 и произведение 54, то они являются корнями уравнения

t² - 15t + 54 = 0.

Решим его. Найдём дискриминант:

D = 15² - 4·54 = 225 - 216 = 9.

Тогда корни равны:

t = (15 ± √9) / 2 = (15 ± 3) / 2.

Получаем:

t₁ = 9, t₂ = 6.

Значит, стороны прямоугольника — 6 и 9. Так как требуется меньшая сторона, ответ:

6.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: после решения всегда мысленно проверьте сумму и произведение. Здесь 6 + 9 = 15 и 6·9 = 54 — всё верно.

Типичная ошибка — взять больший корень вместо меньшего или забыть, что стороны прямоугольника должны быть положительными. В этой задаче оба корня положительные, значит они действительно подходят.

Полезная памятка: если даны сумма и произведение двух чисел, то всегда можно составить уравнение t² - St + P = 0, где S — сумма, P — произведение. Потом находите корни и выбираете нужный по условию.

Обозначим стороны прямоугольника через a и b. По условию известны периметр и площадь:

2(a + b) = 28, значит a + b = 14.

Также ab = 48.

Теперь нужно восстановить стороны прямоугольника. Для этого подставим b = 14 - a в уравнение площади:

a(14 - a) = 48

14a - a² = 48

a² - 14a + 48 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = 14² - 4·48 = 196 - 192 = 4.

a = (14 ± 2) / 2, поэтому a = 8 или a = 6.

Значит, стороны прямоугольника — 6 см и 8 см.

Теперь найдём диагональ по теореме Пифагора:

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: 10 см.

Почему это типичная задача ЕГЭ База: часто сначала дают периметр и площадь, а потом спрашивают диагональ. Главная идея — не пытаться сразу искать диагональ, а сначала восстановить стороны. Ошибки здесь обычно такие: путают формулы периметра и площади, забывают делить периметр на 2, или подставляют в теорему Пифагора не найденные стороны, а числа из условия. Полезная проверка: если стороны получились 6 и 8, то их сумма должна быть 14, а произведение — 48. Это помогает быстро убедиться, что решение верное.

Используем две основные формулы для квадрата:

1) площадь квадрата: S = a², где a — сторона квадрата;

2) диагональ квадрата: d = a√2.

Сначала найдём сторону по площади:

a = √S = √72 = √(36·2) = 6√2.

Теперь подставим в формулу диагонали:

d = a√2 = 6√2 · √2 = 6·2 = 12.

Ответ: 12 см.

Почему так можно делать? У квадрата все стороны равны, поэтому его площадь действительно равна квадрату стороны. А диагональ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, у которого катеты равны сторонам квадрата. Тогда по теореме Пифагора получается формула d = a√2.

Типичная ошибка на ЕГЭ База — пытаться сразу извлечь корень из площади и забыть, что это ещё не диагональ, а только сторона. Ещё одна ошибка — перепутать и написать d = 2a или d = a, хотя диагональ у квадрата всегда больше стороны.

Быстрая проверка: если сторона получилась 6√2, то диагональ должна быть примерно в 1,4 раза больше. Получаем около 12, что выглядит разумно.

Обозначим стороны прямоугольника через a и b, где a — меньшая сторона, а b — большая. По условию:

a + b = 13,
ab = 40.

Нужно найти меньшую сторону. Это типовая задача ЕГЭ базового уровня: когда известны сумма и произведение двух чисел, удобно перейти к квадратному уравнению.

Выразим одну сторону через другую: b = 13 - a. Подставим в произведение:

a(13 - a) = 40.

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

13a - a² = 40
a² - 13a + 40 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Подберём разложение на множители:

a² - 13a + 40 = (a - 5)(a - 8) = 0.

Отсюда получаем два корня: a = 5 и a = 8. Это и понятно: если одна сторона 5 см, то другая 8 см; если поменять их местами, сумма и произведение не изменятся.

Так как требуется меньшая сторона, ответ: 5 см.

Почему это важно помнить на экзамене:

• если даны сумма и произведение, почти всегда возникает квадратное уравнение;
• у прямоугольника стороны положительные, поэтому выбирают положительные корни;
• если корней два, меньшая сторона — это меньший из положительных корней.

Типичная ошибка: написать среднее арифметическое 13/2 вместо стороны. Это неверно, потому что сумма сторон — не то же самое, что каждая сторона по отдельности. Проверка должна быть такой: подставьте найденные числа и убедитесь, что их сумма 13, а произведение 40.