Квадратичные функции и парабола: задания с ответами

Для нахождения вершины параболы, заданной формулой y = ax^2 + bx + c, нужно использовать две последовательные идеи.

1. Находим абсциссу вершины. Координата x вершины находится по формуле x_в = -b / (2a). В нашей функции a = 2, b = -8. Подставляем:

x_в = -(-8) / (2 · 2) = 8 / 4 = 2.

Важно не ошибиться со знаком: если b отрицательное, то в формуле появляется «минус на минус», и ответ получается положительным.

2. Находим ординату вершины. Теперь подставляем найденное значение x = 2 в исходную функцию:

y = 2 · 2^2 - 8 · 2 + 3 = 2 · 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.

Значит, вершина параболы имеет координаты (2; -5).

Правильный ответ: (2; -5).

Как не потерять балл на ОГЭ:

• сначала всегда находите x-координату вершины по формуле, а не «на глаз»;
• не путайте формулу вершины с формулой корней квадратного уравнения;
• после нахождения x обязательно подставляйте его в исходную функцию, а не в упрощённые предположения;
• проверяйте арифметику, особенно действия с отрицательными числами.

Если запомнить алгоритм x_в = -b/(2a), затем подстановка в функцию, то такие задания решаются быстро и без лишних ошибок.

Чтобы определить формулу параболы по её положению, нужно использовать два главных признака:

• координаты вершины;
• направление ветвей (вверх или вниз).

Общий вид квадратичной функции с вершиной h, k такой:

y = a(x - h)^2 + k

Здесь:

• если a > 0, ветви направлены вверх;
• если a < 0, ветви направлены вниз;
• вершина параболы имеет координаты (h; k).

Рассмотрим график B: его вершина находится в точке (-1; 2), а ветви направлены вниз. Значит, в формуле должно быть:

• h = -1, поэтому в скобках будет x - (-1) = x + 1;
• k = 2, значит после скобок будет +2;
• ветви вниз, значит a < 0.

Получаем формулу y = -(x + 1)^2 + 2. Это вариант A.

Почему остальные варианты неверны:

• B) y = (x - 1)^2 - 2 — вершина (1; -2), ветви вверх. Это график A, а не B.
• C) y = -(x - 1)^2 + 2 — вершина (1; 2), ветви вниз.
• D) y = (x + 1)^2 + 2 — вершина (-1; 2), но ветви вверх, а на графике B они направлены вниз.

Ответ: A.

Как не потерять баллы на ОГЭ: сначала всегда смотрите на направление ветвей, а потом — на координаты вершины. Частая ошибка — перепутать знак в формуле: если вершина имеет абсциссу -1, то в скобках будет x + 1, а не x - 1. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что при a < 0 парабола открыта вниз.

Для квадратной функции вида y = ax² + bx + c вершина параболы находится по формуле:

x₀ = -b / (2a).

В нашей функции y = x² - 6x + 5 коэффициенты такие: a = 1, b = -6, c = 5.

Сначала находим абсциссу вершины:

x₀ = -(-6) / (2 · 1) = 6 / 2 = 3.

Теперь подставим x = 3 в формулу функции, чтобы найти ординату вершины:

y₀ = 3² - 6 · 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.

Значит, вершина параболы имеет координаты (3; -4).

Почему это важно на ОГЭ: очень часто ученики делают одну из типичных ошибок — забывают минус в формуле -b/(2a), путают знак у коэффициента b или находят только x, не вычисляя y. Чтобы не потерять балл, всегда действуйте по одному и тому же алгоритму: 1) выпишите a и b; 2) найдите x₀; 3) подставьте его в функцию; 4) запишите ответ как пару координат.

Правильный ответ: (3; -4).

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратичной функции по графику, нужно использовать два базовых правила.

1. Знак коэффициента a определяется направлением ветвей параболы.

Если парабола открыта вверх, то a > 0. Если парабола открыта вниз, то a < 0. В задаче сказано, что парабола открыта вниз, значит a отрицателен.

2. Знак коэффициента c находится по точке пересечения графика с осью Oy.

В формуле y = ax² + bx + c при x = 0 получаем y = c. Значит, c — это значение функции в точке пересечения с осью Oy. Если график пересекает ось Oy выше начала координат, то значение y положительное, следовательно, c > 0.

Итак, получаем: a < 0, c > 0.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте знак a с координатами вершины — для знака a важно только, куда направлены ветви;
• не ищите знак c по вершине — он связан только с пересечением оси Oy;
• если график проходит выше оси Ox в точке x = 0, то c положителен; если ниже — отрицателен.

Ответ: a < 0, c > 0.

Рассмотрим свойства квадратичной функции y = ax^2 + bx + c, которые можно определить прямо по графику.

1. Знак коэффициента a

Коэффициент a отвечает за направление ветвей параболы.

• Если ветви направлены вверх, то a > 0.
• Если ветви направлены вниз, то a < 0.

В условии сказано, что ветви параболы направлены вверх, значит a > 0.

2. Знак коэффициента c

Коэффициент c — это значение функции при x = 0, то есть ордината точки пересечения графика с осью Oy.

• Если график пересекает ось Oy выше оси Ox, то c > 0.
• Если график пересекает ось Oy ниже оси Ox, то c < 0.
• Если график проходит через начало координат, то c = 0.

Здесь пересечение с осью Oy находится ниже оси Ox, значит c < 0.

Ответ: a > 0, c < 0.

Как не ошибиться на ОГЭ: не путайте коэффициент c с абсциссой вершины или с корнями функции. Для знака c нужно смотреть именно на точку, где x = 0, то есть на пересечение с осью Oy. А для знака a достаточно определить, куда «смотрят» ветви параболы.

Чтобы определить знаки коэффициентов по графику параболы, нужно помнить две базовые связи.

1. Знак коэффициента a определяется направлением ветвей параболы:

• если ветви направлены вверх, то a > 0;
• если ветви направлены вниз, то a < 0.

В условии сказано, что парабола направлена ветвями вниз. Значит, a < 0.

2. Знак коэффициента c — это значение функции при x = 0, то есть ордината точки пересечения графика с осью Oy.

Если точка пересечения с осью Oy находится:

• выше оси Ox, то c > 0;
• на оси Ox, то c = 0;
• ниже оси Ox, то c < 0.

По условию точка пересечения с осью Oy расположена ниже оси Ox. Значит, c < 0.

Ответ: a < 0, c < 0.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ:

1. Сначала смотри на ветви параболы — так сразу находишь знак a.
2. Потом найди пересечение с осью Oy — это даёт знак c.
3. Не путай оси: a связано с формой параболы, а c — с точкой при x=0.

Частые ошибки:

• Путать знак a со знаком c.
• Смотреть на пересечение с осью Ox вместо оси Oy.
• Забывать, что c = f(0), то есть значение функции при нуле.

Решать такие задания удобно по алгоритму: сначала определяем, куда направлены ветви параболы, потом находим ось симметрии, а затем оцениваем положение вершины относительно оси Ox.

1) y = x² - 4x + 1.

Здесь a = 1 > 0, значит парабола направлена ветвями вверх. Ось симметрии находим по формуле x = -b/(2a):

x = -(-4)/(2·1) = 2.

Теперь проверим вершину по значению функции в этой точке: y(2) = 4 - 8 + 1 = -3. Значит вершина лежит ниже оси Ox. Это описание A.

2) y = -x² + 2x + 3.

Здесь a = -1 < 0, значит ветви направлены вниз. Ось симметрии:

x = -2/(-2) = 1.

Значение в вершине: y(1) = -1 + 2 + 3 = 4. Вершина выше оси Ox. Это описание B.

3) y = 2x² + 8x + 5.

Здесь a = 2 > 0, значит ветви вверх. Ось симметрии:

x = -8/(2·2) = -2.

Найдём значение в вершине: y(-2) = 2·4 + 8·(-2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3. Вершина ниже оси Ox. Это описание C.

Итак, соответствие такое: 1 — A, 2 — B, 3 — C, то есть правильный вариант — B.

Как не ошибиться на ОГЭ:

1. Не путайте знак a и направление ветвей: при a > 0 — вверх, при a < 0 — вниз.

2. Ось симметрии всегда ищется по формуле x = -b/(2a).

3. Если в описании сказано, где вершина относительно оси Ox, проверьте это подстановкой найденного x в функцию.

4. Частая ошибка — смотреть только на свободный член c. Он показывает точку пересечения с осью Oy, но не определяет ни ось симметрии, ни направление ветвей.

Такие задачи на сопоставление удобно решать без построения точного графика: достаточно быстро вычислить три признака — знак a, ось симметрии и положение вершины.

Разберём, как по формуле квадратичной функции узнать нужный график.

Дана функция y = -2x² + 4x + 2. Здесь коэффициенты: a = -2, b = 4, c = 2.

1. Что показывает коэффициент c?
Свободный член c — это значение функции при x = 0. Значит, график проходит через точку (0; 2). По условию все графики проходят через эту точку, поэтому этот признак помогает не найти ответ сразу, а только проверить варианты.

2. Что показывает знак a?
Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a < 0, ветви направлены вниз. У нас a = -2, значит, парабола должна быть ветвями вниз. Это уже сразу исключает все параболы, которые открыты вверх.

3. Что показывает модуль a?
Чем больше |a|, тем уже парабола. Здесь |a| = 2, то есть парабола будет уже, чем график функции вида y = -x² + .... На ЕГЭ База обычно достаточно заметить это на глаз: если среди двух парабол, направленных вниз, одна более узкая, а другая более широкая, то подходит более узкая.

4. Как влияет коэффициент b?
Коэффициент b задаёт положение оси симметрии. Для квадратичной функции y = ax² + bx + c ось симметрии проходит через x = -b/(2a). Подставим:

x = -4 / (2 · (-2)) = 1.

Значит, вершина параболы находится над точкой с абсциссой x = 1. Чтобы найти ординату вершины, можно подставить x = 1 в формулу:

y = -2 · 1² + 4 · 1 + 2 = 4.

Итак, вершина — это точка (1; 4). Значит, нам нужен график, который:

• проходит через точку (0; 2);
• направлен вниз;
• имеет вершину при x = 1;
• достаточно узкий, потому что |a| = 2.

5. Как выбрать ответ на экзамене?
Сначала смотрим на знак a — это самый быстрый шаг. Потом проверяем точку пересечения с осью y, то есть c. Если остаются 1–2 варианта, уточняем по оси симметрии и ширине параболы.

Ответ: правильный график — тот, который соответствует этим признакам. В вариантах это первый рисунок.

Почему легко ошибиться?
Частая ошибка — смотреть только на точку (0; 2) и забывать, что при одинаковом c графики могут быть совсем разными из-за a и b. Ещё одна ошибка — перепутать направление ветвей и ширину: знак a отвечает за вверх/вниз, а модуль a — за узость или ширину.

Полезная проверка: если вы нашли график, быстро убедитесь, что у него вершина действительно находится около (1; 4) и он проходит через (0; 2). Это помогает не терять баллы на невнимательности.

Точка пересечения графика с осью Oy всегда находится там, где x = 0. Это важное правило: ось Oy — вертикальная ось, и на ней абсцисса любой точки равна нулю.

Значит, чтобы найти ординату точки пересечения графика функции y = 2x^2 - 5x + 7 с осью Oy, нужно подставить x = 0 в формулу функции:

y = 2·0^2 - 5·0 + 7 = 7.

Следовательно, ордината точки пересечения с осью Oy равна 7.

Почему так всегда работает? В квадратичной функции общего вида y = ax^2 + bx + c при x = 0 все слагаемые с x исчезают, и остаётся только свободный член c. Поэтому ордината пересечения с осью Oy всегда равна свободному члену функции.

Полезная проверка для ЕГЭ База: если в условии спрашивают именно пересечение с осью Oy, не нужно искать корни функции и не нужно решать уравнение ax^2 + bx + c = 0. Это другая задача. Здесь достаточно одного шага: подставить x = 0.

Типичная ошибка — перепутать оси: на оси Ox ищут нули функции, а на оси Oy берут значение при x = 0. Если запомнить эту связь, такие задания решаются очень быстро и без вычислительных ошибок.

Чтобы сопоставить функцию с описанием параболы, удобно действовать по шагам.

Шаг 1. Определяем направление ветвей. Для функции вида y = ax² + bx + c знак коэффициента a показывает, куда направлены ветви параболы:

если a > 0, ветви направлены вверх;

если a < 0, ветви направлены вниз.

Значит:

1) y = x² - 4x + 3 — ветви вверх;

2) y = -x² + 2x + 3 — ветви вниз;

3) y = 2x² + 8x + 6 — ветви вверх.

Шаг 2. Находим вершину параболы. Координата вершины по оси x находится по формуле x₀ = -b/(2a). Затем подставляем это значение в функцию и находим y₀.

Для 1) a = 1, b = -4. Тогда

x₀ = -(-4)/(2·1) = 2.

Подставим:

y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

Вершина: (2; -1). Это описание A.

Для 2) a = -1, b = 2. Тогда

x₀ = -(2)/(2·(-1)) = 1.

Подставим:

y = -1² + 2·1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.

Вершина: (1; 4). Это описание B.

Для 3) a = 2, b = 8. Тогда

x₀ = -8/(2·2) = -2.

Подставим:

y = 2·(-2)² + 8·(-2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2.

Вершина: (-2; -2). Это описание C.

Итак, верное соответствие: 1–A, 2–B, 3–C.

Как не ошибиться на ОГЭ:

1) Сначала всегда смотрите на знак a: это сразу даёт направление ветвей.

2) Не путайте b и c: c — это значение функции при x = 0, а не вершина.

3) Если вершина требуется точно, используйте формулу x₀ = -b/(2a), а потом подставьте найденное x₀ в функцию.

4) В заданиях на сопоставление часто можно решить без построения графика, если правильно анализировать коэффициенты.

Для квадратичной функции y = ax² + bx + c главный коэффициент a отвечает за направление ветвей параболы.

Есть простое правило:

• если a > 0, то ветви параболы направлены вверх;
• если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

В условии сказано, что ветви направлены вверх. Значит, коэффициент a положительный.

Ответ: a > 0.

Как быстро проверять такие задания на ЕГЭ База:

1. Сначала смотрите только на форму параболы, а не на её положение на плоскости.
2. Если парабола «улыбается» вверх — значит, a положителен.
3. Если парабола «грустит» вниз — значит, a отрицателен.

Частая ошибка — пытаться определить знак a по тому, где находится вершина или где график пересекает ось Oy. Это не нужно: для знака a важно только направление ветвей.

В функции вида y = ax² + bx + c свободный член c очень удобно находить по графику. Для этого не нужно вычислять всю формулу: достаточно посмотреть, где график пересекает ось Oy.

Почему это так? Если в формулу подставить x = 0, то получим:

y = a·0² + b·0 + c = c.

Значит, число c — это значение функции при x = 0, то есть координата y точки пересечения графика с осью Oy.

Теперь применим это правило к рисунку:

• если график пересекает ось Oy выше начала координат, то c > 0;
• если пересечение ниже начала координат, то c < 0;
• если график проходит через начало координат, то c = 0.

В этой задаче правильный выбор — тот график, у которого точка пересечения с осью Oy находится выше нуля. Следовательно, у него c > 0.

Частая ошибка: смотреть на вершину параболы или на то, куда направлены ветви. Это важно для коэффициента a, но не для c. Чтобы определить c, всегда ищите именно пересечение с осью Oy.

Как запомнить на экзамене: x = 0 — значит ось Oy. Всё, что происходит при x = 0, сразу даёт свободный член c.