Квадратные уравнения (общие): задания с ответами

Сначала уравнение нужно привести к стандартному виду ax^2+bx+c=0. Это важный шаг в ОГЭ: пока уравнение не приведено к такому виду, его неудобно решать как квадратное.

Раскроем скобки:

2(x-1)^2 - 3x = 5

2(x^2 - 2x + 1) - 3x = 5

2x^2 - 4x + 2 - 3x = 5

Соберём подобные слагаемые:

2x^2 - 7x + 2 = 5

Перенесём 5 в левую часть:

2x^2 - 7x - 3 = 0

Теперь это обычное квадратное уравнение. Найдём его корни. Можно использовать дискриминант:

D = (-7)^2 - 4·2·(-3) = 49 + 24 = 73

Тогда

x = \dfrac{7 \pm \sqrt{73}}{4}

Итак, уравнение имеет два действительных корня:

x_1 = \dfrac{7 - \sqrt{73}}{4}, \quad x_2 = \dfrac{7 + \sqrt{73}}{4}

Правильный ответ: оба этих корня.

Как не потерять баллы: 1) не забывайте раскрыть квадрат двучлена правильно: (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1; 2) внимательно переносите число 5 в левую часть, меняя знак; 3) если дискриминант не является точным квадратом, корни можно оставить в виде с корнем. На ОГЭ это полностью допустимо.

Частая ошибка — забыть один из корней или неправильно посчитать знак при раскрытии скобок. Поэтому всегда делайте проверку: подставьте найденные корни в исходное уравнение или хотя бы проверьте, что вы получили квадратное уравнение стандартного вида.

Решим квадратное уравнение $x^2-5x+6=0$.

Для таких задач на ОГЭ есть два основных пути: через разложение на множители или через дискриминант. Здесь удобнее заметить, что нужно подобрать два числа, которые в произведении дают $6$, а в сумме — $-5$. Это числа $-2$ и $-3$.

Тогда уравнение раскладывается так:

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$x-2=0$, значит $x=2$;

$x-3=0$, значит $x=3$.

Ответ: $2$ и $3$.

Почему это важно помнить на экзамене: если коэффициенты подобраны удачно, разложение на множители часто быстрее формулы дискриминанта. Но проверяйте знаки очень внимательно: типичная ошибка — взять числа $2$ и $3$ без минусов и получить неправильное разложение. Ещё одна частая ошибка — найти только один корень и не проверить второй множитель. В заданиях ОГЭ важно записать оба корня, иначе ответ считается неполным.

Сначала приведём уравнение к стандартному виду: здесь оно уже записано как ax^2+bx+c=0, значит можно сразу искать корни.

Удобнее всего попробовать разложить левую часть на множители. Нужно найти два числа, произведение которых равно 2·3=6, а сумма равна -7. Это -6 и -1. Тогда

2x^2 - 7x + 3 = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x(x-3) -1(x-3) = (2x-1)(x-3).

Теперь решаем уравнение:

(2x-1)(x-3)=0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

2x-1=0 или x-3=0.

Получаем корни:

x=rac12 и x=3.

По условию нужно выбрать меньший корень. Так как 0,5 < 3, ответ:

0,5.

Полезно помнить: в таких заданиях важно не только найти все корни, но и внимательно прочитать, какой именно нужно записать — меньший, больший или, например, только положительный. Частая ошибка — найти оба корня, но в ответ записать не тот, который требуется. Ещё одна типичная ошибка — потерять знак при разложении на множители или при переносе слагаемых.

Проверка ответа тоже помогает избежать ошибки: подставим x=0,5 в уравнение. Получаем 2·0,25 - 7·0,5 + 3 = 0,5 - 3,5 + 3 = 0, значит корень найден верно.

Решим квадратное уравнение стандартным способом — через дискриминант. Для уравнения ax^2 + bx + c = 0 нужно сначала определить коэффициенты: a = 2, b = -5, c = -3.

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных действительных корня. Теперь найдём их по формуле:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.

Подставляем значения:

x = \dfrac{5 \pm 7}{4}.

Получаем два корня:

x_1 = \dfrac{5 + 7}{4} = 3, x_2 = \dfrac{5 - 7}{4} = -\dfrac{1}{2}.

Ответ: 3 и -\dfrac{1}{2}.

Как не ошибиться на ОГЭ: внимательно следите за знаками в формуле дискриминанта и в формуле корней. Очень частая ошибка — неправильно подставить b: здесь b = -5, значит в формуле стоит -b = 5. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что деление идёт на 2a, то есть на 4, а не на 2. Если вы аккуратно посчитаете дискриминант и проверите подстановку, то такие задания дают лёгкие баллы.

Решим квадратное уравнение 2x^2 - 7x + 3 = 0 через дискриминант. Это стандартный способ, который часто используется на ОГЭ, если уравнение не раскладывается сразу на множители.

1. Находим коэффициенты: a = 2, b = -7, c = 3.

2. Вычисляем дискриминант: D = b^2 - 4ac.

Подставляем значения:

D = (-7)^2 - 4·2·3 = 49 - 24 = 25.

Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных действительных корня.

3. Используем формулу корней: x = ( -b ± √D ) / (2a).

Подставляем:

x = (7 ± √25) / 4 = (7 ± 5) / 4.

Теперь находим оба корня:

x_1 = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2,

x_2 = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.

Ответ: 1/2 и 3.

Как проверить себя: подставьте каждый корень в исходное уравнение. Если после подстановки получается верное равенство, корень найден правильно. Это хороший способ не потерять балл из-за арифметической ошибки.

Частые ошибки:

• ошибиться в знаке при вычислении b^2 - 4ac;
• забыть, что b = -7, и подставить 7 без знака;
• не разделить на 2a, а только на 2;
• записать только один корень вместо двух.

Если в ответах есть пара чисел, выбирайте ту, которая действительно удовлетворяет уравнению. В этом задании правильная пара корней — 1/2 и 3.

Решим квадратное уравнение 3x² - 5x - 2 = 0. В таких задачах важно не только найти корни, но и внимательно прочитать условие: здесь нужно выбрать больший корень.

Сначала найдём корни уравнения. Удобнее всего разложить левую часть на множители. Подберём числа, произведение которых равно 3 · (-2) = -6, а сумма равна -5. Это числа -6 и 1.

Тогда перепишем средний член:

3x² - 6x + x - 2 = 0.

Сгруппируем слагаемые:

3x(x - 2) + 1(x - 2) = 0.

Вынесем общий множитель:

(3x + 1)(x - 2) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

3x + 1 = 0 или x - 2 = 0.

Отсюда получаем корни:

x = -¹/₃ и x = 2.

Теперь сравниваем их. Число 2 больше, чем -¹/₃, значит ответ — 2.

Почему важно быть внимательным? Частая ошибка на ОГЭ — найти оба корня, но по невнимательности записать меньший. Поэтому после решения всегда делайте короткую проверку: если в ответе два числа, сразу сравните их и выберите большее.

Ответ: 2.

Сначала приведём уравнение к стандартному виду. В данном случае оно уже записано как ax² + bx + c = 0, то есть ничего переносить не нужно.

Теперь найдём корни квадратного уравнения. Удобнее всего здесь разложить левую часть на множители:

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Значит:

x - 2 = 0 или x - 3 = 0.

Отсюда получаем два корня: x = 2 и x = 3.

По условию нужно записать меньший корень. Из чисел 2 и 3 меньший — это 2.

Ответ: 2.

Полезно помнить для ОГЭ: если в задаче есть дополнительное условие — например, выбрать меньший корень, больший корень, положительный корень — после нахождения всех корней обязательно сравните их и только потом записывайте нужный. Частая ошибка — найти оба корня правильно, но перепутать, какой из них подходит по условию.

Сначала приведём уравнение к стандартному виду ax^2+bx+c=0. Здесь оно уже записано в таком виде: 2x^2 - 3x - 2 = 0, значит можно сразу выделить коэффициенты:

• a=2,
• b=-3,
• c=-2.

Дальше находим дискриминант по формуле D=b^2-4ac:

D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.

Так как D>0, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь применяем формулу корней квадратного уравнения:

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.

Подставляем значения:

x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\dfrac{3\pm5}{4}.

Получаем два корня:

• x_1=\dfrac{3+5}{4}=2,
• x_2=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac12.

Ответ: 2 и -\dfrac12.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• всегда сначала переносите всё в одну сторону, чтобы получить вид ax^2+bx+c=0;
• не забывайте про знаки: здесь b=-3 и c=-2, а не 3 и 2;
• при вычислении дискриминанта часто ошибаются в произведении -4ac, особенно если c отрицательное;
• корней обычно два, если D>0.

Если проверять себя подстановкой, то оба найденных числа действительно обращают левую часть уравнения в ноль. Это хороший способ заметить вычислительную ошибку до того, как сдаёте работу.

Рассмотрим уравнение 3x^2 - 12x + 12 = 0.

Для квадратного уравнения важно сначала понять, сколько у него действительных корней. Самый удобный способ — проверить, не является ли левая часть полным квадратом или найти дискриминант.

Способ 1. Вынесем общий множитель:

3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4).

Теперь смотрим на скобку: x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2. Значит,

3(x - 2)^2 = 0.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Число 3 не равно нулю, поэтому нужно решить:

(x - 2)^2 = 0, откуда x - 2 = 0 и x = 2.

Это единственный действительный корень, но он кратный, то есть корень один и тот же повторяется дважды. В таких задачах в ответе записывают только один корень, если по условию второй не нужен.

Проверка через дискриминант:

a = 3, b = -12, c = 12.

D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4·3·12 = 144 - 144 = 0.

Если D = 0, у квадратного уравнения один действительный корень (двукратный):

x = -b / (2a) = 12 / 6 = 2.

Почему это важно на ОГЭ: при D = 0 нельзя писать два разных корня. Это частая ошибка. Нужно указать один корень, а не дублировать его как x_1 = 2 и x_2 = 2, если в задании просят именно выбрать ответ с учетом кратности.

Ответ: x = 2.

Сначала приведём уравнение к стандартному виду. Здесь оно уже записано как \(x^2 - 5x + 6 = 0\), значит можно сразу искать корни.

Для решения удобно разложить левую часть на множители:

\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\).

Тогда уравнение принимает вид:

\((x - 2)(x - 3) = 0\).

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

\(x - 2 = 0\Rightarrow x = 2\),

\(x - 3 = 0\Rightarrow x = 3\).

Корней два: 2 и 3. По условию нужно выбрать меньший корень. Меньше число 2, значит правильный ответ — 2.

Почему важно читать условие внимательно? В заданиях этого типа легко потерять балл, если просто найти оба корня и не заметить, какой именно нужно выбрать. Например, если в условии сказано «больший корень», ответом был бы 3.

Типичная ошибка: перепутать знак при разложении или выбрать не тот корень. Полезный алгоритм для ОГЭ такой: 1) привести уравнение к виду ax^2+bx+c=0; 2) найти оба корня; 3) сравнить их; 4) взять тот, который указан в условии.

Решим квадратное уравнение по формуле корней. Для уравнения ax²+bx+c=0 сначала нужно определить коэффициенты:

a=2, b=-5, c=-3.

Далее находим дискриминант по формуле:

D=b²-4ac.

Подставим значения:

D=(-5)²-4·2·(-3)=25+24=49.

Так как D>0, уравнение имеет два различных действительных корня. Теперь применяем формулу:

x=(-b ± √D)/(2a).

Подставим числа:

x=(5 ± 7)/4.

Тогда:

x₁=(5+7)/4=12/4=3,

x₂=(5-7)/4=-2/4=-1/2.

Ответ: 3 и -1/2.

Как не ошибиться на ОГЭ: внимательно следите за знаками в коэффициентах. В уравнении -5x коэффициент b равен именно -5, а не 5. Ещё одна частая ошибка — неправильно раскрыть формулу корней и забыть, что перед b в числителе стоит минус: получается -b, а не просто b. Полезно сначала отдельно записать a, b, c, затем дискриминант и только после этого подставлять в формулу. Это помогает не потерять лёгкие баллы на вычислениях.

Сначала убедимся, что уравнение уже записано в стандартном виде ax^2+bx+c=0. Здесь a=2, b=-3, c=-2.

Для нахождения корней квадратного уравнения удобно использовать дискриминант:

D=b^2-4ac.

Подставим коэффициенты:

D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25.

Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь применяем формулу корней:

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.

Подставим значения:

x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{3\pm 5}{4}.

Тогда:

x_1=\frac{3+5}{4}=2, x_2=\frac{3-5}{4}=-\frac12.

Итак, корни уравнения: 2 и -\frac12.

Важно не ошибиться в знаках при вычислении b и -b: если b=-3, то в формуле берётся -b=3. Ещё одна частая ошибка — забыть, что в формуле знаменатель всегда 2a, а не просто 2. На ОГЭ полезно сначала аккуратно выписать коэффициенты, потом посчитать дискриминант, и только после этого находить корни.