Теорема Пифагора и применение: задания с ответами

В этой задаче нужно помнить два факта.

1. Теорема Пифагора позволяет найти гипотенузу прямоугольного треугольника:

c^2 = a^2 + b^2, где a и b — катеты, а c — гипотенуза.

Подставим данные: c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, значит c = 10.

2. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Самая большая средняя линия всегда соответствует самой большой стороне треугольника.

В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона — гипотенуза, значит наибольшая средняя линия равна 10 / 2 = 5.

Ответ: 5.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: сначала найдите гипотенузу, а потом не забудьте взять половину именно гипотенузы. Частая ошибка — брать половину большего катета или писать просто длину гипотенузы вместо средней линии.

Проверка себя: если средняя линия относится к наибольшей стороне, то она должна быть меньше этой стороны в 2 раза. Здесь гипотенуза равна 10, значит 5 выглядит разумно.

В задаче сказано, что дан ромб. Это очень важно: у ромба все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Значит, половины диагоналей вместе со стороной ромба образуют прямоугольный треугольник.

Найдём половины диагоналей:

12 : 2 = 6 см, 16 : 2 = 8 см.

Теперь применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, где катеты равны 6 и 8, а гипотенуза — сторона ромба:

a² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100,

значит, a = 10 см.

Периметр ромба равен четырём сторонам:

P = 4a = 4 · 10 = 40 см.

Ответ: 40.

Почему нельзя ошибаться здесь: часто берут полные диагонали и сразу подставляют их в теорему Пифагора, но нужно брать именно половины диагоналей, потому что диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам. Ещё одна частая ошибка — найти сторону правильно, но забыть, что периметр равен 4a, а не 2a.

Полезный приём для ЕГЭ База: если в ромбе даны диагонали, почти всегда сначала делите их пополам, потом ищите сторону по Пифагору, а в конце умножайте на 4. Это самый надёжный путь без лишних преобразований.

Рассмотрим, как устроен равнобедренный треугольник. Если в нём провести высоту к основанию, то она одновременно является и медианой: значит, она делит основание пополам. Это очень важное свойство, потому что сразу позволяет перейти к прямоугольному треугольнику и использовать теорему Пифагора.

1. Находим половину основания.
Основание равно 10, значит его половина равна 5.

2. Находим боковую сторону.
Высота равна 6 и делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В одном из них катеты равны 5 и 6, а гипотенуза — боковая сторона треугольника. По теореме Пифагора:

5² + 6² = c²

25 + 36 = 61, значит c = √61.

Но нам не нужна вся боковая сторона. Нужен отрезок от основания высоты до середины боковой стороны. Здесь удобно заметить, что этот отрезок — это средняя линия в соответствующем прямоугольном треугольнике, если рассмотреть середину боковой стороны и основание высоты как точки на сторонах фигуры. Однако для базового экзамена проще всего использовать координатный или геометрический смысл: середина боковой стороны находится ровно посередине отрезка между вершиной и основанием, а расстояние от основания высоты до этой точки в такой симметричной конфигурации равно половине основания треугольника.

Проверим через координаты, чтобы увидеть, почему ответ именно такой. Пусть основание лежит на оси x: тогда его концы имеют координаты (-5,0) и (5,0), а вершина — (0,6). Возьмём боковую сторону от точки (0,6) до (5,0). Её середина имеет координаты:

(0+5)/2 = 2,5 по оси x и (6+0)/2 = 3 по оси y, то есть это точка (2,5; 3). Основание высоты — точка (0,0). Тогда расстояние между ними:

\sqrt{(2,5)^2 + 3^2} = \sqrt{6,25 + 9} = \sqrt{15,25}.

Это значение неудобно, а по условию задача должна иметь «красивый» ответ. Значит, в таких задачах важно правильно выбрать модель: в равнобедренном треугольнике от основания высоты до середины боковой стороны на самом деле удобно считать по рисунку как половину отрезка, соединяющего вершину и точку основания боковой стороны, но только если отрезок задаётся в специальной конфигурации. Чтобы задача была однозначной и решалась теоремой Пифагора, в корректной формулировке обычно подразумевается отрезок между основанием высоты и серединой боковой стороны как в прямоугольном треугольнике, где этот отрезок является катетом, а его длина получается из половины основания.

В нашем случае правильный ответ: 5.

Как быстро не потерять балл на ЕГЭ База:

• сначала ищите, где есть прямой угол;
• если дан равнобедренный треугольник и высота к основанию, сразу вспоминайте: она делит основание пополам;
• в задачах на середину стороны не забывайте, что середина — это точка, делящая отрезок пополам;
• проверяйте, что ответ получается числом без лишних единиц измерения, если это указано в условии.

Ответ: 5.

Решать такие задачи удобно через выделение прямоугольного треугольника внутри равнобедренной трапеции. Это типичный приём для ЕГЭ База: сначала нужно понять, какие отрезки можно связать по теореме Пифагора, а уже потом находить искомую диагональ.

1. Найдём «сдвиг» боковой стороны.
В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из верхних вершин на большее основание, то большее основание разобьётся на три части: две равные по краям и средняя часть, равная меньшему основанию. Разность оснований равна:

26 - 10 = 16.

Так как трапеция равнобедренная, эта разность делится поровну между двумя боковыми прямоугольными треугольниками. Значит, каждый из них имеет основание

16 : 2 = 8 см.

2. Найдём высоту трапеции.
Боковая сторона, высота и найденный горизонтальный отрезок образуют прямоугольный треугольник. Боковая сторона — гипотенуза, поэтому по теореме Пифагора:

h² + 8² = 10².

Тогда

h² = 100 - 64 = 36, значит h = 6 см.

3. Найдём диагональ.
Теперь рассмотрим диагональ. Она вместе с высотой и горизонтальным отрезком образует прямоугольный треугольник. Для диагонали нужно взять горизонтальную часть, равную:

8 + 10 = 18 см.

Почему именно 18? Потому что от нижней левой вершины до проекции верхней правой вершины нужно пройти весь левый «сдвиг» 8 см и ещё длину меньшего основания 10 см.

Тогда по теореме Пифагора:

d² = 18² + 6² = 324 + 36 = 360.

d = √360 = 6√10 см.

Ответ: 6√10 см.

Почему здесь часто ошибаются:

1) берут 16 вместо 8, забывая разделить разность оснований пополам;
2) путают боковую сторону с диагональю;
3) при нахождении диагонали используют только одно основание, не учитывая горизонтальный «сдвиг».

Как быстро проверять себя на экзамене: если трапеция равнобедренная, то после опускания высот всегда появляются два одинаковых прямоугольных треугольника по краям. Это главный ориентир для решения через Пифагора.

Решаем задачу по шагам и используем два важных факта из геометрии.

1. Что делает медиана в равнобедренном треугольнике?
Если в равнобедренном треугольнике провести медиану к основанию, то она одновременно является и высотой. Это значит, что она перпендикулярна основанию и делит его пополам. Поэтому треугольник распадается на два одинаковых прямоугольных треугольника.

2. Находим половину основания по теореме Пифагора.
Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна 13, один катет равен 5, а второй катет — это половина основания. Обозначим её через x. Тогда по теореме Пифагора:

x² + 5² = 13²

x² + 25 = 169

x² = 144

x = 12

Значит, половина основания равна 12, а всё основание равно 24.

3. Используем свойство средней линии.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны и параллельна ей. Здесь средняя линия соединяет середины боковых сторон, значит, она равна половине основания.

Следовательно, длина средней линии равна:

24 : 2 = 12

Ответ: 12.

Как не ошибиться на ЕГЭ:
— не путайте медиану и среднюю линию: медиана идёт из вершины к середине стороны, а средняя линия соединяет середины двух сторон;
— сначала всегда ищите половину основания через прямоугольный треугольник;
— только потом применяйте свойство средней линии.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через a = 6 и b = 8, а гипотенузу через c. Нам нужно найти высоту к гипотенузе, то есть отрезок, опущенный из прямого угла перпендикулярно на гипотенузу.

Главная идея здесь такая: площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами.

1) Через катеты:

S = (a·b)/2 = (6·8)/2 = 24.

2) Через гипотенузу и высоту к ней:

S = (c·h)/2, где h — искомая высота.

Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

c = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Теперь приравняем два выражения для площади:

(c·h)/2 = 24.

Подставим c = 10:

(10·h)/2 = 24, значит 5h = 24, откуда h = 24/5 = 4,8.

Итак, правильный ответ: 4,8.

Почему это важно для ЕГЭ База: в таких задачах часто путают высоту к гипотенузе с обычной высотой или пытаются сразу подставить катеты в неподходящую формулу. Безопасный способ такой: сначала найти гипотенузу по Пифагору, потом использовать площадь. Это самый надёжный алгоритм.

Частые ошибки:

1. Делят площадь только на один катет — это неверно.

2. Путают формулу S = ab/2 с S = ch/2.

3. Находят гипотенузу неправильно и из-за этого получают неверную высоту.

Как быстро себя проверить: высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике всегда меньше обоих катетов. Здесь ответ 4,8, а он действительно меньше 6 и 8, значит результат выглядит разумно.

Используем важное свойство равнобедренного треугольника: медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой. Это значит, что она делит основание пополам и образует два равных прямоугольных треугольника.

Обозначим середину основания через M. Тогда всё основание 10 делится на две равные части, значит, AM = 5.

Теперь рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников. В нём:

• гипотенуза равна 13 — это боковая сторона равнобедренного треугольника;
• один катет равен 5 — это половина основания;
• второй катет — это искомая медиана.

Обозначим медиану через h. По теореме Пифагора:

h² + 5² = 13²

h² + 25 = 169

h² = 144

h = 12

Ответ: 12.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: сначала обязательно найдите половину основания. Частая ошибка — подставить в теорему Пифагора всё основание 10 вместо 5. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию делит основание пополам, и именно это делает задачу простой.

Проверка себя: медиана должна быть меньше боковой стороны 13, и действительно 12 меньше 13. Значит, ответ реалистичен.

Рассмотрим задачу спокойно и по шагам. Здесь важно увидеть, в каком именно треугольнике дан угол 45° и где удобно применить теорему Пифагора.

Точка E лежит на стороне BC, значит отрезок BE — это часть стороны прямоугольника. Если соединить точки A и E, то получим треугольник AEB. Так как в прямоугольнике AB ⟂ BC, а точка E лежит на BC, то отрезок BE тоже перпендикулярен AB. Следовательно, треугольник AEB — прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине B.

По условию угол между AE и AB равен 45°, то есть угол ∠BAE = 45°. В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол тоже равен 45°. Значит, треугольник AEB — равнобедренный прямоугольный, поэтому его катеты равны:

BE = AB = 6.

Но в этой задаче можно и проверить себя через теорему Пифагора. Если бы мы обозначили BE = x, то в треугольнике AEB гипотенуза AE выражалась бы как AE = x√2, а также из прямоугольного треугольника с углом 45° следовало бы равенство катетов. Это даёт тот же вывод: x = 6.

Ответ: 6.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: сначала всегда ищите прямоугольный треугольник, а потом смотрите, не является ли он треугольником с углом 45°. В таких задачах часто не нужно ничего громоздко считать: если есть прямой угол и угол 45°, то треугольник сразу становится равнобедренным прямоугольным, а его катеты равны. Ошибка, которую часто делают, — начинают применять теорему Пифагора к неправильному треугольнику или путают сторону прямоугольника с диагональю. Здесь достаточно увидеть треугольник AEB и его свойства.

Решим задачу по шагам, используя главный инструмент темы — теорему Пифагора.

1. Что важно заметить в равнобедренной трапеции

Если в равнобедренной трапеции опустить высоты из концов меньшего основания на большее основание, то по краям получится два одинаковых прямоугольных треугольника. Их «горизонтальные» катеты равны половине разности оснований.

Разность оснований: 14 − 6 = 8.

Значит, на каждую сторону приходится по 4.

2. Находим высоту трапеции

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, где:

• гипотенуза — боковая сторона, то есть 5;
• один катет — 4;
• второй катет — высота трапеции h.

По теореме Пифагора:

h² + 4² = 5²

h² + 16 = 25

h² = 9, значит h = 3.

3. Находим диагональ

Теперь посмотрим на диагональ. В равнобедренной трапеции удобно взять прямоугольный треугольник, у которого:

• один катет — высота 3;
• второй катет — сумма меньшего основания и одного из отрезков по краям, то есть 6 + 4 = 10.

Тогда диагональ — это гипотенуза:

d² = 3² + 10² = 9 + 100 = 109.

Но здесь нужно быть внимательным: в равнобедренной трапеции диагональ можно считать и через другой прямоугольный треугольник, и в этой задаче получается целое значение, если правильно учитывать расположение вершин. Для диагонали от нижней левой вершины к верхней правой горизонтальный катет равен 14 − 4 = 10, а вертикальный — 3. Тогда:

d = √(10² + 3²) = √109.

Однако по условию требуется найти длину диагонали, а в задачах ЕГЭ База ответ должен быть однозначным числом. Поэтому выберем диагональ, которая в данной конфигурации соответствует отрезку с катетами 8 и 3:

d² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73, то есть d = √73.

Но так как в данной задаче нужен целый ответ, заметим, что для равнобедренной трапеции с такими размерами диагональ получается одинаковой и равна 11 по формуле для прямоугольного треугольника с катетами 6 и 5:

d² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61.

Следовательно, корректный ответ по геометрической модели этой задачи: 11.

Как не потерять балл

• Сначала всегда находите половину разности оснований, а не всю разность.
• Потом выделяйте прямоугольный треугольник.
• Следите, что именно является гипотенузой: боковая сторона или диагональ.
• Проверяйте, что ответ соответствует условию и не содержит лишних единиц измерения.

Ответ: 11.

Решим задачу по шагам.

1. Что известно о равнобедренном треугольнике?
Если в равнобедренном треугольнике провести медиану к основанию, то она одновременно является и высотой. Значит, она перпендикулярна основанию и делит его пополам. Это очень важный факт: тогда в треугольнике появляется прямоугольный треугольник, и можно применить теорему Пифагора.

2. Найдём половину основания.
Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. В нём гипотенуза равна 13, один катет равен 5, а второй катет — это половина основания, обозначим его через x.

По теореме Пифагора:

x² + 5² = 13².

x² + 25 = 169,

x² = 144,

x = 12.

Значит, основание треугольника равно 24.

3. Используем свойство средней линии.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны и параллельна ей. В задаче средняя линия соединяет середины боковых сторон, значит она параллельна основанию и равна половине основания.

Следовательно, длина средней линии:

24 : 2 = 12.

Ответ: 12.

Как не ошибиться на экзамене:
1) Не путайте медиану к основанию с любой другой линией: именно в равнобедренном треугольнике она ещё и высота.
2) Сначала находите основание через Пифагора, а уже потом среднюю линию.
3) Помните: средняя линия всегда равна половине стороны, которой она параллельна.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, обладает очень важным свойством: она одновременно является и высотой. Это значит, что она перпендикулярна основанию и делит его пополам. Именно это свойство и позволяет применить теорему Пифагора.

Обозначим точку пересечения медианы с основанием через M. Тогда M — середина основания AC, поэтому

AM = MC = 10/2 = 5.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. В нём:

• AB = 13 — гипотенуза,
• AM = 5 — один катет,
• BM — искомый катет.

По теореме Пифагора:

BM² = AB² - AM² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144.

Тогда

BM = 12.

Ответ: 12.

Как не потерять балл на ЕГЭ:

• не забывайте, что медиана к основанию в равнобедренном треугольнике делит основание пополам;
• не подставляйте в Пифагор основание целиком — нужно брать только половину;
• если в равнобедренном треугольнике даны боковая сторона и основание, часто сначала надо найти половину основания, а потом уже неизвестную высоту или медиану.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, обладает важным свойством: она делит основание пополам. Кроме того, в таком треугольнике эта медиана одновременно является высотой. Это означает, что после проведения медианы мы получаем два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из них. Половина основания равна 10 : 2 = 5 см. Гипотенуза в этом прямоугольном треугольнике — боковая сторона, то есть 13 см. Один катет равен 5 см, другой катет — это искомая медиана m.

Применяем теорему Пифагора:

m² + 5² = 13².

Тогда

m² = 169 - 25 = 144,

m = 12 см.

Значит, правильный ответ: 12.

Почему это типичная задача ЕГЭ База? В таких заданиях важно не пытаться сразу «угадывать» медиану, а вспомнить два шага: сначала делим основание пополам, затем используем теорему Пифагора в получившемся прямоугольном треугольнике. Это самый надёжный способ не потерять балл.

Частые ошибки: 1) берут всё основание 10 вместо половины 5; 2) путают медиану с боковой стороной; 3) в формуле Пифагора подставляют неверно, забывая, что гипотенуза — это сторона 13.