Степени и операция возведения в степень: задания с ответами

По условию нужно найти число четырёхзначное и при этом такое, что оно равно кубу натурального числа, делённому на 8. Иными словами, если искомое число обозначить через x, то должно выполняться:

x = n³ / 8, где n — натуральное число.

Значит, нам нужно подобрать такое n, чтобы:

1. n³ делилось на 8 без остатка;
2. частное n³ / 8 было четырёхзначным числом.

Так как 8 = 2³, удобно взять n кратным 2. Тогда его куб точно будет делиться на 8. Самый простой способ — попробовать небольшие чётные числа.

Возьмём n = 20. Тогда

20³ = 8000,

и

8000 / 8 = 1000.

Число 1000 — четырёхзначное, значит оно подходит.

Ответ: 1000.

Почему это хороший способ для ЕГЭ База:

• не нужно подбирать сложные числа — достаточно взять удобное чётное число;
• важно всегда проверять два условия сразу: делимость и количество цифр;
• если получилось слишком маленькое или слишком большое число, надо просто попробовать другое n.

Типичная ошибка — сначала найти куб, а потом забыть разделить на 8, или наоборот разделить, но не проверить, что результат имеет нужное число цифр. В заданиях на «найдите любое подходящее число» важно не единственное решение, а хотя бы одно верное.

Пусть искомое число равно x. По условию оно в 8 раз меньше куба некоторого натурального числа, значит существует натуральное число n, для которого

x = n³ / 8.

Нам нужно подобрать такое n, чтобы:

• n³ делилось на 8;
• получившееся число x было четырёхзначным.

Удобно взять число, куб которого точно делится на 8. Например, если n = 10, то

10³ = 1000, а значит

x = 1000 / 8 = 125.

Но 125 — это трёхзначное число, нам не подходит. Значит, нужно взять n побольше.

Попробуем n = 20:

20³ = 8000, тогда

x = 8000 / 8 = 1000.

Число 1000 как раз четырёхзначное, и условие выполняется.

Ответ: 1000.

Как рассуждать на таких заданиях на ЕГЭ База: сначала переводите фразу «в 8 раз меньше куба» в формулу n³ / 8. Затем проверяйте два условия: делится ли куб на 8 и подходит ли количество цифр. В заданиях «найдите любое подходящее число» не нужно искать единственный ответ — достаточно одного верного примера.

Типичные ошибки:

• пишут 8n³ вместо n³ / 8;
• забывают проверить, что результат — целое число;
• находят верное значение, но не смотрят на количество цифр.

Если в ответе получилось 3 или 5 цифр, а нужно 4, это уже неверно, даже если вычисления сделаны правильно.

Нужно найти любое число, которое удовлетворяет условию: оно должно быть трёхзначным и должно представляться в виде m = \dfrac{n^3}{8} для некоторого натурального n. В таких заданиях важно не пытаться сразу угадывать, а сначала проверить два условия: делимость и разрядность.

Заметим, что чтобы результат деления на 8 был целым, удобно брать n, кратное 2, потому что тогда n^3 обязательно делится на 2^3 = 8. Это стандартный приём с степенями: если число делится на 2, то его куб делится на 8.

Попробуем взять n = 10. Тогда

n^3 = 10^3 = 1000,

и

m = \dfrac{1000}{8} = 125.

Число 125 — трёхзначное, значит оно подходит.

Почему это правильный ответ? Потому что условие требует не единственного решения, а любого подходящего числа. Число 125 действительно получается по формуле и имеет нужную разрядность.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:

• сначала убедитесь, что куб делится на нужное число без остатка;
• потом проверьте количество цифр у результата;
• не забывайте, что в таких задачах ответ может быть не единственным.

Типичная ошибка: взять число, которое подходит по разрядности, но не проверять делимость. Ещё одна ошибка — забыть, что в ответе нужно указать именно число, а не процесс вычисления.

Итак, подходит, например, число 125.

Используем основное свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), где \(a \neq 0\).

В нашей задаче основание одинаковое — это число 5. Поэтому

\(\dfrac{5^3}{5}=\dfrac{5^3}{5^1}=5^{3-1}=5^2=25\).

Ответ получился целым числом, как и требуется в заданиях на степени. Это типичный приём для ЕГЭ База: сначала представьте число в виде степени с одинаковым основанием, а затем примените правило деления степеней.

Как не ошибиться:

• не делайте так: \(\dfrac{5^3}{5}=\dfrac{125}{5}\) — это тоже можно, но важно не забыть, что \(5=5^1\);
• не путайте деление степеней с умножением: при умножении показатели складываются, а при делении — вычитаются;
• всегда проверяйте результат обычным счётом, если есть время: \(125:5=25\).

Итак, правильный ответ: 25.

Нужно найти число, которое одновременно удовлетворяет двум условиям:

1. оно трёхзначное;
2. оно имеет вид 5·n², где n — натуральное число.

Такие задачи проверяют умение связывать степень с разрядностью числа. Здесь важно не просто увидеть квадрат, но и проверить, сколько цифр получится после умножения на 5.

Проверим варианты по порядку:

• 125 = 5·25 = 5·5². Это трёхзначное число, и оно действительно имеет нужный вид. Подходит.
• 45 — двузначное, значит не подходит, даже если его можно как-то представить через степень.
• 2250 — четырёхзначное число, значит не подходит по условию разрядности.
• 175 не является числом вида 5·n², потому что 175/5 = 35, а 35 не является квадратом натурального числа.

Значит, верный ответ — 125.

Как быстро решать такие задания на ЕГЭ База:

1. Сначала проверьте разрядность числа: двузначное, трёхзначное, четырёхзначное и т. д.
2. Потом разделите число на коэффициент перед степенью. В нашем случае делим на 5.
3. Если после деления получается квадрат натурального числа, то число подходит.

Типичная ошибка — смотреть только на вид выражения и забывать про количество цифр. Например, число может быть квадратом, но не подходить, если оно не трёхзначное. Ещё одна ошибка — не проверять, что после деления на коэффициент получается именно степень нужного вида.

Итог: 125.

Пусть требуется найти четырёхзначное число m, для которого существует натуральное число n такое, что

m = n³ / 2.

Фраза «в 2 раза меньше куба» означает именно деление куба на 2. Значит, число m должно получиться целым, а куб n³ должен делиться на 2 без остатка. Для натурального n это не проблема: достаточно взять чётное число n.

Теперь нужно, чтобы m было четырёхзначным. Проверим подходящий вариант. Возьмём n = 20. Тогда

20³ = 8000,

а значит

m = 8000 / 2 = 4000.

Число 4000 — четырёхзначное, и условие выполняется.

Ответ: 4000.

Полезно помнить типичный алгоритм для таких заданий ЕГЭ База:

1. Перевести фразу «в k раз меньше» в запись с делением: m = n³ / k.
2. Подобрать n так, чтобы деление было целым.
3. Проверить разрядность результата.

Частые ошибки: забыть про деление и записать просто куб; выбрать число, которое не делится на 2; не проверить, что результат действительно четырёхзначный. Если в ответах есть несколько подходящих чисел, нужно выбрать любое, которое удовлетворяет всем условиям.

Здесь нужно найти число, связанное со степенью натурального числа. Такие задания в ЕГЭ База обычно решаются в два шага: сначала вычисляем степень, потом применяем указанное действие — деление или умножение.

Сначала найдём \(4^4\):

\(4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256\).

Теперь делим на 2:

\(\frac{256}{2} = 128\).

Получили трёхзначное число \(128\). Оно подходит по условию.

Ответ: 128.

Как не потерять балл в таких задачах:

• не забывайте сначала вычислить степень, а не делить сразу «в уме» без проверки;
• обязательно смотрите, какое действие нужно сделать со степенью: умножить или разделить;
• проверяйте количество цифр в ответе, если это требуется в условии;
• если в ответе просят любое одно подходящее число, достаточно записать найденное значение.

В этой задаче итоговое число действительно трёхзначное, значит условие выполнено полностью.

Используем свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. Здесь

3⁴ : 3 = 3⁴ : 3¹ = 3^4-1 = 3³ = 27.

Это очень типичный приём для заданий ЕГЭ База: сначала нужно заметить, что число 3 можно представить как 3¹, а затем применить правило степеней. Ошибка многих учеников — просто делить 81 на 3 «в уме» и не видеть, что задача проверяет именно знание свойств степеней. Полезно помнить: если основание одинаковое, то при делении a^m : aⁿ = a^m-n (при m > n).

Проверка себя: 3⁴ = 81, а 81 : 3 = 27. Значит, ответ найден верно.

Ответ: 27.

Здесь нужно вычислить значение выражения, в котором есть степень и деление на то же самое основание.

Сначала найдём степень: \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\).

Теперь делим на 3: \(81 : 3 = 27\).

Можно решить и быстрее, используя свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(3^4 / 3 = 3^4 / 3^1 = 3^{4-1} = 3^3 = 27\).

Ответ: \(27\).

Как не потерять балл на ЕГЭ База: внимательно следите, что число в знаменателе можно записать как степень с показателем 1. Тогда удобно применять правило \(a^m / a^n = a^{m-n}\). Частая ошибка — сначала неверно вычислить степень или забыть, что \(3 = 3^1\).

Нужно найти любое натуральное число, которое получается как степень двойки и при этом имеет ровно 4 цифры.

Здесь важно понять два шага: сначала проверяем, какие степени двойки дают четырёхзначное число, а потом выбираем подходящий ответ.

Посчитаем несколько степеней двойки:

• 2⁸ = 256 — это ещё трёхзначное число;
• 2⁹ = 512 — тоже трёхзначное;
• 2¹⁰ = 1024 — уже четырёхзначное.

Значит, число 1024 подходит: оно является степенью натурального числа 2 и имеет ровно 4 цифры.

Ответ: 1024.

Как проверять себя на ЕГЭ База в таких заданиях:

• не забывайте, что требуется натуральный показатель;
• сначала оцените разрядность числа, а уже потом записывайте ответ;
• если нужно «любое» подходящее число, достаточно одного корректного примера.

Частая ошибка — остановиться на 512, потому что оно близко к нужной величине. Но по условию нужно именно 4 цифры, а не 3. Поэтому обязательно проверяйте количество цифр по записи числа.

Нужно найти любое число, которое удовлетворяет условию, поэтому ответов может быть несколько. В таких задачах важно не пытаться сразу угадать число, а сначала перевести условие на язык формулы.

Фраза «в 4 раза меньше куба некоторого натурального числа» означает, что искомое число m можно представить так:

m = n³ / 4, где n — натуральное число.

По условию число m должно быть трёхзначным. Значит, нам нужно подобрать такое n, чтобы:

1) куб n³ делился на 4 без остатка;

2) результат деления был трёхзначным числом.

Удобно попробовать небольшие кубы. Возьмём n = 10. Тогда

10³ = 1000, а 1000 / 4 = 250.

Число 250 — трёхзначное, и действительно 250 в 4 раза меньше куба числа 10.

Значит, подходит ответ 250.

Как проверять себя на ЕГЭ База:

— сначала записывайте условие в виде формулы;

— обязательно проверяйте делимость на число, указанное в условии;

— после вычисления смотрите на разрядность ответа: трёхзначное, четырёхзначное и т.д.

Типичная ошибка: ученики находят куб числа, но забывают разделить его на 4 или не проверяют, что получившееся число именно трёхзначное. В заданиях такого типа засчитывается только число, которое одновременно удовлетворяет всем условиям.

Сначала вспомним главное правило: сначала выполняем возведение в степень, потом умножение или деление. В выражении \(\dfrac{4^4}{2}\) нужно сначала найти значение степени, а уже потом разделить результат на 2.

Вычислим:

\(4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256\).

Теперь делим на 2:

\(256 : 2 = 128\).

Значит, искомое число — 128.

Как быстро проверять такие задания на ЕГЭ База: если видите степень, не торопитесь сразу делить или умножать. Сначала найдите само значение степени, затем выполните оставшееся действие. Это помогает избежать самой частой ошибки — когда учащийся делит показатель степени или путает порядок действий.

Почему другие ответы были бы неверны: можно ошибиться, если взять, например, \(4^3=64\) вместо \(4^4\), или забыть разделить на 2. Тогда получится число, не равное исходному выражению.

Ответ: 128.