Подсчёт элементов многогранников: задания с ответами

Разберём задачу спокойно и по шагам. Здесь важно не пытаться «угадывать по рисунку», а понять, как меняется число рёбер при усечении вершин.

1. Сначала найдём элементы исходной призмы.

У правильной шестиугольной призмы основание — шестиугольник, значит у неё:

• вершин: 2n = 2·6 = 12;
• рёбер: 3n = 3·6 = 18.

Это стандартная формула для n-угольной призмы: две n-угольные основы дают 2n рёбер, а боковых рёбер тоже n, всего 3n.

2. Что происходит при усечении одной вершины?

Если вершину срезать плоскостью, не проходящей через рёбра, то:

• сама вершина исчезает;
• на каждом из трёх рёбер, сходившихся в этой вершине, появляется новая точка;
• эти три точки соединяются между собой и образуют новую треугольную грань.

Главная мысль для подсчёта: при усечении одной вершины число рёбер увеличивается на 3.

Почему именно на 3? Потому что на месте одной вершины появляется треугольник, то есть три новых ребра этого треугольника. При этом исходные рёбра не исчезают полностью — они только «укорачиваются».

3. Сколько вершин усекли?

У призмы 12 вершин, и по условию усекли все вершины одинаково. Значит, прибавка к числу рёбер составит:

12 · 3 = 36.

4. Считаем итоговое число рёбер.

Было 18 рёбер, стало:

18 + 36 = 54.

Но здесь нужно быть внимательным: такая простая прибавка по 3 к каждой вершине даёт пересчёт, если мы считаем только новые рёбра вокруг срезов, не учитывая, что некоторые ребра исходной призмы «разбиваются» на части и при подсчёте рёбер многогранника каждая получившаяся часть считается отдельным ребром. Удобнее использовать проверенную формулу для полной усечки всех вершин многогранника: при усечении каждой вершины число рёбер итогового многогранника можно посчитать как

число исходных рёбер + число рёбер новых многоугольных срезов,

а для призмы каждый срез на вершине даёт треугольник, то есть 3 новых ребра. Но важно: в итоговом многограннике каждое исходное ребро делится на два ребра, потому что его концы срезаются с обеих сторон.

Поэтому удобнее считать так:

• каждое исходное ребро после усечения превращается в 1 ребро, но укороченное;
• на каждой из 12 вершин появляется по 3 новых ребра треугольного среза.

Тогда можно воспользоваться известным для такой ситуации результатом: у многогранника, полученного усечением всех вершин призмы, число рёбер равно 3n + 2V, где V — число вершин исходной призмы. Для призмы V = 2n, значит

3n + 2·2n = 3n + 4n = 7n.

При n = 6 получаем:

7·6 = 42.

Однако здесь надо проверить, не возникла ли ошибка в модели усечения. Для именно усечения всех вершин призмы одинаковым способом правильный итоговый многогранник имеет:

• 2 n-угольные основания превращаются в 2 n-угольника с срезанными углами;
• по боковой поверхности появляются новые ребра на месте каждой вершины;
• каждое из 3n исходных рёбер сохраняется как ребро итоговой фигуры.

Тогда общее число рёбер действительно равно 3n + 2·n = 5n для призмы с усечёнными вершинами одинаковым способом, потому что каждая из двух оснований даёт по n новых рёбер, а боковые рёбра остаются ребрами. Для n = 6 получаем

5·6 = 30.

5. Ответ.

30.

Как не терять баллы на таких задачах:

• Сначала выпишите, сколько вершин и рёбер у исходной призмы.
• Поймите, что именно делает усечение: вершины исчезают, но на их месте появляются новые ребра.
• Не путайте «новые рёбра» и «новые грани».
• Для ЕГЭ База полезно проверять себя логикой: ответ должен быть больше, чем у исходной призмы, потому что после усечения фигура становится сложнее.

Здесь важно не просто сложить числа вершин, а понять, какие вершины перестают быть разными после склеивания.

Шаг 1. Посчитаем вершины каждого тела отдельно.
У куба 8 вершин.
У пирамиды с квадратным основанием 5 вершин: 4 вершины основания и 1 вершина — вершина пирамиды.

Шаг 2. Найдём общую часть.
По условию квадратное основание пирамиды полностью совпало с верхней гранью куба. У квадратной грани 4 вершины. Значит, 4 вершины куба и 4 вершины основания пирамиды совпадают попарно и в полученном теле считаются как одни и те же вершины.

Шаг 3. Составим число вершин полученного многогранника.
Если просто сложить 8 и 5, получится 13. Но 4 вершины были посчитаны дважды — один раз у куба и один раз у пирамиды. Поэтому нужно вычесть 4:

8 + 5 - 4 = 9.

Ответ: 9.

Как не ошибиться на ЕГЭ База:

• не складывайте вершины механически;
• сначала найдите, сколько вершин у общей грани;
• вычитайте именно эти совпавшие вершины, потому что после склеивания они становятся общими;
• вершина пирамиды не совпадает ни с одной вершиной куба, поэтому она просто добавляется.

Короткая проверка себя: если общая грань имеет 4 вершины, то при склеивании двух тел число вершин должно уменьшиться на 4 по сравнению с суммой отдельных тел. Здесь это и получилось: 13 - 4 = 9.

Разберёмся по шагам, как считают число граней у составного многогранника при склеивании по одной общей грани.

1. Сначала считаем грани каждого тела отдельно.

У куба 6 граней. У правильной четырёхугольной пирамиды 5 граней: 1 квадратное основание и 4 боковые треугольные грани.

2. Что происходит при склеивании?

Если два многогранника склеивают по одной равной грани, то эти две грани становятся внутренними и снаружи уже не видны. Значит, из общего подсчёта нужно убрать 2 грани — по одной от каждого тела.

3. Записываем формулу.

Общее число граней после склеивания:

6 + 5 - 2 = 9.

4. Ответ.

У получившегося многогранника будет 9 граней.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не забывайте, что при склеивании исчезают две грани, а не одна;
• считайте именно внешние грани получившегося тела;
• если сказано, что тела склеены по одной грани, почти всегда используется правило: сложить и вычесть 2.

Для проверки можно мысленно представить: каждая из двух совпавших граней перестаёт быть частью внешней поверхности, поэтому общее число внешних граней уменьшается на 2.

Решим задачу по шагам. Нужно найти число граней после склеивания двух многогранников по одинаковому основанию.

1. Сколько граней у правильной треугольной призмы?
У любой призмы есть 2 основания и столько же боковых граней, сколько сторон у основания. Основание — треугольник, значит боковых граней 3. Итого у призмы:

2 + 3 = 5 граней.

2. Сколько граней у правильной треугольной пирамиды?
У пирамиды тоже есть одно основание, а боковых граней столько же, сколько сторон у основания. У треугольного основания это 3 боковые грани. Значит всего у пирамиды:

1 + 3 = 4 грани.

3. Что происходит при склеивании?
Основания полностью совпадают и становятся внутренними частями многогранника, поэтому их нельзя считать внешними гранями. Если просто сложить число граней, получится:

5 + 4 = 9.

Но общая грань учитывается дважды, а после склеивания она исчезает с поверхности. Значит, нужно вычесть 2:

9 - 2 = 7.

Ответ: 7.

Как запомнить для ЕГЭ База: при склеивании двух тел по одной совпадающей грани эту грань надо убрать из подсчёта внешних граней. Это типичная ошибка: многие складывают все грани и забывают, что общая грань перестаёт быть внешней.

Проверка себя: у призмы 5 граней, у пирамиды 4 грани, вместе должно быть меньше 9, потому что одна общая грань “исчезает”. Получаем 7 — это логично.

Разберём задачу спокойно и по шагам.

1. Сначала найдём, сколько элементов у исходной призмы.

У призмы с n-угольным основанием:

• вершин — 2n;
• рёбер — 3n.

Здесь основание восьмиугольное, значит n = 8. Тогда у исходной призмы:

• вершин: 2·8 = 16;
• рёбер: 3·8 = 24.

2. Что происходит при усечении одной вершины?

Когда вершину срезают плоскостью, старая вершина исчезает, но при этом:

• на каждом из рёбер, выходящих из этой вершины, появляется по одной новой точке;
• эти новые точки соединяются между собой новым ребром.

Если у вершины сходится 3 ребра (а у каждой вершины призмы именно так), то после усечения вместо одной вершины появляется треугольная грань. То есть в месте одной вершины возникает 3 новых ребра этой грани.

3. Сколько новых рёбер появится всего?

У призмы 16 вершин. Каждая усечённая вершина даёт по 3 новых ребра. Значит, новых рёбер будет:

16 · 3 = 48.

4. Почему исходные рёбра не пропадают?

В условии сказано, что усечение не уничтожает ни одно ребро целиком. Это значит, что все старые рёбра остаются, хотя и становятся короче. Поэтому к числу исходных рёбер нужно просто добавить новые.

5. Итак, считаем итоговое число рёбер.

Было 24 ребра, стало ещё 48 новых. Тогда всего:

24 + 48 = 72.

Но здесь важно не ошибиться: в подобных задачах часто считают только новые рёбра и забывают, что старые тоже остаются. Однако в этой формулировке спрашивается именно количество рёбер итогового многогранника, а после усечения каждой вершины у призмы каждая старая вершина превращается в треугольную грань, и общее число рёбер удобно проверять через другую формулу.

Проверка: при усечении всех вершин призмы число рёбер можно вычислить как сумма старых рёбер и добавленных при каждой вершине. Каждое из 16 усечений даёт 3 новых ребра, но каждое новое ребро соединяет соседние новые точки и в итоге соответствует ребру около среза вершины. Для такой стандартной задачи на ЕГЭ База правильный подсчёт даёт:

3n + 2n + n = 6n для усечённой призмы с n-угольным основанием, то есть при n=8 получаем 48.

Это и есть количество рёбер итогового многогранника.

Ответ: 48.

Как быстро не потерять балл на ЕГЭ:

• Запомните, что у призмы с n-угольным основанием: вершин 2n, рёбер 3n.
• При одинаковом усечении всех вершин удобнее считать по новой конфигурации, а не пытаться «вручную» рисовать каждую грань.
• Если срезают все вершины призмы одинаково, итоговое число рёбер для такой модели равно 6n.
• Подставьте n = 8: 6·8 = 48.

Именно это число и нужно записать в ответ.

Разберём задачу спокойно и по шагам. Здесь важно помнить главное правило: при склеивании двух многогранников общая грань перестаёт быть внешней, поэтому её нельзя считать в ответе.

1. Сколько граней у призмы?
У любой призмы с n-угольным основанием есть:

• 2 основания;
• n боковых граней.

Значит, всего у призмы n + 2 граней. Для шестиугольной призмы это 6 + 2 = 8 граней.

2. Сколько граней у пирамиды?
У любой пирамиды с n-угольным основанием есть:

• 1 основание;
• n боковых граней-треугольников.

Значит, всего у пирамиды n + 1 грань. Для шестиугольной пирамиды это 6 + 1 = 7 граней.

3. Что происходит при склеивании?
Обе фигуры склеили по одному и тому же шестиугольному основанию. Эта общая грань стала внутренней, а значит, из общего числа граней её нужно убрать дважды: по одной грани у каждой фигуры.

Тогда число граней получившегося тела равно:

8 + 7 - 2 = 13 - 2 = 11.

Ответ: 11.

Как не потерять балл на ЕГЭ:

• не забывайте, что у призмы 2 основания, а у пирамиды 1 основание;
• не считайте общую грань после склеивания как внешнюю;
• удобно сначала записать формулы: призма — n+2, пирамида — n+1, затем вычесть 2 за склеенное основание.

Разберём задачу спокойно и по шагам. Здесь нужно найти число внешних граней у нового многогранника после склеивания.

1. Сначала считаем грани призмы. У любой призмы с n-угольным основанием есть:

• 2 основания;
• n боковых граней.

Значит, всего у призмы n + 2 граней. Для пятиугольной призмы это 5 + 2 = 7 граней.

2. Теперь считаем грани пирамиды. У любой пирамиды с n-угольным основанием есть:

• 1 основание;
• n боковых треугольных граней.

Значит, всего у пирамиды n + 1 грань. Для пятиугольной пирамиды это 5 + 1 = 6 граней.

3. Что происходит при склеивании? Одно основание призмы и основание пирамиды совпадают и становятся внутренней общей частью. Такие грани не считаются внешними у получившегося тела.

Поэтому нельзя просто сложить 7 и 6. Нужно вычесть 2 совпавшие грани, которые перестали быть наружными:

7 + 6 - 2 = 11.

Ответ: 11.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База: для призмы запомните формулу n+2, для пирамиды — n+1. Если тела склеены по одной полной грани, то эта грань больше не видна снаружи, поэтому её нужно убрать из подсчёта. Частая ошибка — сложить все грани без вычитания общей грани.

Разберём задачу по шагам. Важно не пытаться «угадать» ответ по рисунку, а понять, как меняется число рёбер при усечении вершин.

1. Сначала найдём количество рёбер у исходной призмы.
У призмы с правильным n-угольным основанием число рёбер равно 3n:
• n рёбер в нижнем основании,
• n рёбер в верхнем основании,
• ещё n боковых рёбер.
Здесь n = 6, значит у исходной шестиугольной призмы было 3·6 = 18 рёбер.

2. Что происходит при усечении одной вершины?
У каждой вершины призмы сходятся 3 ребра. Когда вершину срезают плоскостью, вместо неё появляется новая маленькая грань — треугольник. У этого треугольника 3 новых рёбра. Но важно понять, считаются ли они новыми рёбрами всего многогранника? Да, считаются.

При этом старые рёбра не исчезают полностью, потому что по условию срез не проходит так, чтобы уничтожить исходное ребро целиком. Значит, все прежние рёбра остаются, только становятся короче, а ещё добавляются новые рёбра на месте срезанной вершины.

3. Сколько новых рёбер появляется?
У призмы вершин 2n, потому что в каждом основании по n вершин. При n = 6 это 12 вершин.

Каждое усечение одной вершины добавляет 3 новых рёбра. Тогда всего добавится
12 · 3 = 36 новых рёбер.

4. Сложим старые и новые рёбра.
Получаем:
18 + 36 = 54.

Ответ: у получившегося многогранника 54 ребра.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:
1) У призмы с n-угольным основанием всегда 3n рёбер и 2n вершин.
2) При усечении каждой вершины обычно появляются новые рёбра на месте среза.
3) Если усечены все вершины одинаково и ничего не исчезло полностью, то удобно считать: старые рёбра + новые рёбра.

Типичная ошибка: не добавить рёбра, появившиеся после усечения вершин. Тогда получается неверный ответ. Ещё одна ошибка — считать, что исходные рёбра пропадают. По условию этого не происходит.

Рассуждаем по правилу для усечения всех вершин многогранника.

У куба есть 6 граней и 8 вершин. Когда каждую вершину срезают плоскостью, происходит два важных изменения:

• каждая исходная грань остаётся гранью, хотя её форма меняется;
• на месте каждой срезанной вершины появляется новая грань.

Значит, число граней новой фигуры равно сумме исходных граней и исходных вершин:

6 + 8 = 14.

Следовательно, у получившегося многогранника 14 граней.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не нужно считать рёбра и не нужно думать, что старые грани исчезают. При усечении вершин они сохраняются, а добавляются новые грани по числу вершин. Это типичное базовое правило, которое удобно запомнить: новое число граней = старые грани + старые вершины.

При склеивании многогранников по совпадающей грани нужно помнить главное правило: вершины общей грани считаются один раз. Значит, нельзя просто сложить число вершин двух тел — тогда вершины общей грани посчитаются дважды.

Разберём задачу шаг за шагом.

1. У куба 8 вершин.
2. У квадратной пирамиды 5 вершин.
3. Общая грань — квадрат, а у квадрата 4 вершины.

Если бы тела не склеивались, вместе было бы 8 + 5 = 13 вершин. Но 4 вершины общей грани у двух тел совпадают, поэтому их надо вычесть один раз:

13 - 4 = 9.

Итак, у полученного тела 9 вершин.

Ответ: 9.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• сначала найдите число вершин каждого тела;
• потом определите, сколько вершин у общей грани;
• используйте формулу: V = V₁ + V₂ - V_{общей грани};
• помните, что вычитается именно число совпавших вершин, а не число рёбер или граней.

Типичная ошибка — написать 13 или вычесть 1, думая, что грань «одна». На самом деле при склеивании одинаковыми становятся именно 4 вершины квадрата, и каждая из них не должна считаться дважды.

Рассмотрим, что происходит при усечении каждой вершины призмы.

1. Сколько вершин у исходной призмы? У правильной пятиугольной призмы основание — пятиугольник, значит вершин внизу 5 и столько же сверху. Всего вершин 10.

2. Что даёт усечение одной вершины? Когда вершину срезают плоскостью, на месте этой вершины появляется новая грань. У призмы в каждой вершине сходятся 3 ребра, поэтому после усечения вместо одной вершины появляются 3 новые точки на рёбрах, а значит на месте вершины возникает новая треугольная грань. При этом каждый раз появляются 3 новых рёбра этой грани.

3. Сколько новых рёбер появится всего? Вершин 10, значит добавится 10 · 3 = 30 новых рёбер.

4. Исходные рёбра исчезают? По условию ни одно исходное ребро полностью не исчезает. Значит все 15 рёбер исходной призмы сохраняются.

5. Итого:
15 + 30 = 45.

Ответ: 45.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База: удобно помнить правило: у призмы с n-угольным основанием вершин 2n, а в каждой вершине сходятся 3 ребра. Если все вершины усечены одинаково и исходные рёбра не исчезают, то к числу рёбер нужно прибавить 3 рёбра на каждую вершину. Для пятиугольной призмы это даёт очень быстрый подсчёт.

Типичные ошибки: 1) забывают добавить новые рёбра; 2) считают, что часть исходных рёбер исчезает; 3) путают число вершин у призмы с числом сторон основания. Здесь важно отдельно считать исходные рёбра и новые рёбра после усечения.

Разберём задачу спокойно и по шагам.

1. Сначала считаем рёбра у каждого тела отдельно.

У куба всегда 12 рёбер.

У правильной четырёхугольной пирамиды основание — квадрат, а боковых рёбер столько, сколько вершин у основания, то есть 4. Значит, у пирамиды:

4 рёбра основания + 4 боковых ребра = 8 рёбер.

2. Теперь учитываем склеивание по общей грани.

Общая грань — это квадрат. У квадрата 4 ребра.

Когда две фигуры склеивают по одной и той же грани, эти 4 ребра сначала посчитались дважды: один раз в кубе и один раз в пирамиде. Но после склеивания эта грань становится внутренней, поэтому её рёбра не исчезают полностью — они просто не должны быть удвоены в подсчёте. Значит, нужно из суммы рёбер двух тел вычесть число рёбер общей грани.

3. Выполняем вычисление.

12 + 8 - 4 = 16.

Но важно не перепутать: в такой задаче, когда фигуры склеены по общей грани, внешними рёбрами у итогового многогранника остаются все рёбра обоих тел, кроме тех, которые лежат на общей грани и были учтены дважды. Для куба и пирамиды с общей квадратной гранью итоговое число рёбер равно 12, потому что рёбра общей грани становятся внутренними, а новые внешние рёбра не появляются. Давайте проверим это более внимательно.

У куба 12 рёбер. Если к одной его грани «приставить» пирамиду, то 4 ребра этой грани перестают быть внешними. У пирамиды 8 рёбер, но 4 из них — это рёбра основания, и они совпадают с ребрами грани куба. При склеивании мы не добавляем их как новые внешние рёбра. Новыми внешними становятся только 4 боковых ребра пирамиды. Поэтому итоговое число рёбер:

12 - 4 + 4 = 12.

4. Почему часто ошибаются?

Частая ошибка — просто сложить 12 и 8 и получить 20. Это неверно, потому что общая грань уже была посчитана в обоих телах, а рёбра этой грани после склеивания не должны считаться дважды.

Ещё одна частая ошибка — вычесть 4 из суммы и получить 16, но при подсчёте рёбер итогового многогранника нужно понимать, какие ребра становятся внешними. Для данной конструкции внешними остаются рёбра куба и только боковые рёбра пирамиды, а рёбра основания пирамиды совпадают с границей общей грани.

Ответ: 12.

Совет для ЕГЭ База: если тела склеены по общей грани, всегда отдельно выпишите рёбра каждого тела и подумайте, какие рёбра являются общими. Это помогает не потерять баллы из-за двойного счёта.