Параллелепипеды, призмы и пирамиды: задания с ответами

Найдём полную площадь поверхности прямой призмы по формуле:

S_полн = 2S_осн + S_бок.

Здесь основание — прямоугольный треугольник, а призма прямая, значит боковая поверхность находится очень удобно: S_бок = P_осн · h, где P_осн — периметр основания, h — высота призмы.

1) Найдём площадь основания. Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, значит

S_осн = (6 · 8) / 2 = 24.

2) Найдём гипотенузу этого треугольника. По теореме Пифагора:

c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Теперь можно найти периметр основания:

P_осн = 6 + 8 + 10 = 24.

3) Найдём боковую поверхность. Высота призмы равна 5, значит

S_бок = 24 · 5 = 120.

4) Найдём полную площадь поверхности:

S_полн = 2 · 24 + 120 = 48 + 120 = 168.

Ответ: 168.

Как не потерять баллы в таких задачах:

• не забывайте, что полная площадь включает две основы и боковую поверхность;
• сначала найдите все стороны основания, если дан только прямоугольный треугольник;
• для прямой призмы боковая поверхность равна периметр основания × высота;
• частая ошибка — посчитать только площадь основания или только боковую поверхность.

Если быстро проверять себя, полезно помнить цепочку: основание → периметр → боковая поверхность → полная площадь.

Для решения нужно вспомнить формулу площади полной поверхности куба. У куба 6 одинаковых граней, а каждая грань — квадрат со стороной a. Поэтому площадь одной грани равна a², а площадь полной поверхности:

S = 6a².

По условию S = 294. Подставим это в формулу:

6a² = 294.

Теперь выразим a²:

a² = 294 : 6 = 49.

Остаётся извлечь квадратный корень:

a = 7.

Так как длина ребра не может быть отрицательной, берём только положительное значение. Значит, ответ: 7.

Как не ошибиться на ЕГЭ: часто путают площадь одной грани и площадь всей поверхности. Если в задаче сказано «площадь полной поверхности», нужно обязательно умножать площадь одной грани на 6. Ещё одна частая ошибка — забыть извлечь корень после деления на 6. Удобная проверка: если a = 7, то 6·7² = 6·49 = 294, значит ответ найден верно.

Обозначим апофему пирамиды через l. В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат, а все боковые грани равны между собой. Это очень важно: именно поэтому площадь боковой поверхности удобно считать через площадь одной боковой грани.

1. Найдём площадь основания.
Сторона квадрата равна 6 см, значит площадь основания:

S_осн = 6 · 6 = 36 см².

2. Найдём площадь боковой поверхности.
Полная площадь поверхности состоит из площади основания и площади всех боковых граней:

S_полн = S_осн + S_бок.

Тогда

S_бок = 180 - 36 = 144 см².

3. Разделим площадь боковой поверхности на 4 грани.
У правильной четырёхугольной пирамиды 4 одинаковые боковые грани. Значит площадь одной грани:

144 : 4 = 36 см².

4. Используем формулу площади треугольника.
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 6 см и высотой, равной апофеме l. Поэтому

S_грани = 1/2 · 6 · l.

Подставим найденную площадь грани:

36 = 3l, откуда l = 12.

Ответ: 12 см.

Как не ошибиться на ЕГЭ: сначала всегда отделяйте полную площадь поверхности от боковой. Частая ошибка — забыть вычесть площадь основания. Ещё одна типичная ошибка — перепутать апофему с высотой пирамиды: в этой задаче нужна именно высота боковой грани, а не высота пирамиды.

Для прямоугольного параллелепипеда объём находится по формуле

V = a \cdot b \cdot c,

где a, b, c — три ребра, выходящие из одной вершины.

В задаче известны два ребра: 6 см и 8 см, а также объём 360 см³. Нужно найти третье ребро. Обозначим его за x. Тогда составим уравнение:

6 \cdot 8 \cdot x = 360.

Сначала перемножим известные числа:

6 \cdot 8 = 48.

Теперь найдём неизвестное ребро:

x = 360 : 48 = 7{,}5.

Ответ: 7,5 см.

Как не ошибиться на ЕГЭ: в таких задачах важно помнить, что объём — это произведение трёх рёбер, а не сумма и не площадь. Если найти два ребра и объём, то третье ребро всегда находится делением объёма на произведение двух известных рёбер. Полезно после вычисления проверить себя: если объём больше, чем произведение двух данных рёбер, то третье ребро должно быть больше 1; если меньше — меньше 1. Здесь 360 делится на 48, значит ответ получается простым десятичным числом, что допустимо в ответе.

Используем формулу объёма пирамиды:

V = (1/3)·S·h,

где V — объём, S — площадь основания, h — высота пирамиды.

Нужно найти площадь основания, значит выражаем S из формулы:

S = 3V / h.

Подставляем данные задачи:

S = 3 · 72 / 9 = 216 / 9 = 24 см².

Значит, площадь основания равна 24 см².

Почему важно не ошибиться: многие школьники забывают коэффициент 1/3 в формуле объёма пирамиды. Тогда получается неверный ответ. Ещё одна типичная ошибка — перепутать высоту с боковым ребром или с другой линией на чертеже. В таких задачах по условию всегда берут именно высоту, то есть перпендикуляр от вершины к плоскости основания.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если объём пирамиды известен, а площадь основания нужно найти, ответ должен быть больше, чем V/h, потому что в формуле есть множитель 3. Здесь 72/9 = 8, а значит площадь должна быть 24. Это помогает заметить ошибку в расчётах.

Используем основную формулу для площади полной поверхности призмы:

S_полн = S_бок + 2S_осн.

Это очень важная формула: у призмы всегда два одинаковых основания, поэтому в полную поверхность входят площадь боковой поверхности и две площади основания.

По условию:

S_осн = 18, S_полн = 74.

Подставим в формулу:

74 = S_бок + 2·18.

Сначала найдём удвоенную площадь основания:

2·18 = 36.

Тогда

S_бок = 74 - 36 = 38.

Ответ: 38.

Как не ошибиться на ЕГЭ База: если в задаче даны площадь основания и полная поверхность, почти всегда нужно вычесть удвоенную площадь основания из полной поверхности. Частая ошибка — вычесть только одно основание или, наоборот, забыть, что оснований у призмы два. Полезная самопроверка: боковая поверхность должна получиться меньше полной поверхности, но больше нуля. Здесь 38 действительно подходит.

Для любой призмы полная площадь поверхности складывается из двух оснований и боковой поверхности. Это ключевая формула:

S_полн = 2S_осн + S_бок.

Почему именно так? У призмы есть два одинаковых основания, поэтому площадь одного основания нужно учесть дважды. Боковая поверхность — это все боковые грани, и она добавляется отдельно.

В задаче дано:

• площадь основания: 7,5;
• площадь боковой поверхности: 26.

Подставим данные в формулу:

S_полн = 2 · 7,5 + 26.

Сначала удвоим площадь основания:

2 · 7,5 = 15.

Теперь прибавим боковую поверхность:

15 + 26 = 41.

Ответ: 41.

Полезная проверка для ЕГЭ База: если вам дали площадь основания и боковую поверхность, почти всегда нужно применить именно формулу 2S_осн + S_бок. Частая ошибка — прибавить только одно основание или забыть, что оснований два. Ещё одна ошибка — перепутать боковую и полную поверхность. Чтобы не потерять баллы, сначала мысленно разделите поверхность призмы на 2 основания и боковую часть, а потом аккуратно подставляйте числа.

Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности находят по формуле

S_бок = (P_осн · a) / 2,

где P_осн — периметр основания, а a — апофема пирамиды. Апофема — это высота боковой грани, то есть отрезок, проведённый от вершины пирамиды к середине стороны основания в боковой грани.

В задаче основание — правильный пятиугольник. Значит, у него 5 равных сторон, каждая по 6. Тогда периметр основания:

P_осн = 5 · 6 = 30.

Теперь подставляем в формулу:

S_бок = (30 · 8) / 2 = 240 / 2 = 120.

Ответ: 120.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте апофему с высотой пирамиды — здесь нужна именно апофема;
• сначала всегда находите периметр основания, а не площадь основания;
• помните, что формула площади боковой поверхности правильной пирамиды всегда содержит деление на 2.

Проверка себя простая: если основание правильное, то боковые грани одинаковые, и их площади суммарно как раз удобно считать через периметр основания и апофему. Это быстрый и надёжный способ для заданий базового уровня.

Используем две формулы подряд: сначала формулу объёма пирамиды, затем формулу площади прямоугольного треугольника.

1. Находим площадь основания. Для любой пирамиды верно:

V = (1/3) · S_осн · h,

где V — объём, S_осн — площадь основания, h — высота пирамиды.

Подставим данные:

96 = (1/3) · S_осн · 12.

Так как (1/3) · 12 = 4, получаем:

96 = 4S_осн, значит S_осн = 24.

2. Используем формулу площади прямоугольного треугольника. Основание — прямоугольный треугольник, поэтому его площадь равна:

S = (1/2) · a · b,

где a и b — катеты.

Один катет равен 8, второй обозначим через x. Тогда:

24 = (1/2) · 8 · x.

Упростим:

24 = 4x, значит x = 6.

Ответ: 6.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: часто ошибаются, если забывают коэффициент 1/3 в формуле объёма пирамиды. Ещё одна типичная ошибка — пытаться использовать высоту пирамиды как высоту треугольника основания. Это разные высоты: высота пирамиды идёт к плоскости основания, а в треугольнике основание и высота относятся к самой фигуре в основании. Удобная проверка: сначала из объёма всегда находите площадь основания, и только потом переходите к формуле площади треугольника.

Для пирамиды используется формула объёма:

V = (1/3)·S·h,

где V — объём, S — площадь основания, h — высота.

Наша задача — найти высоту, поэтому выразим её из формулы:

h = 3V / S.

Подставим данные из условия:

h = 3·96 / 48 = 288 / 48 = 6.

Значит, высота пирамиды равна 6 см.

Почему так решается: в формулах объёма многогранников важно помнить, что у пирамиды есть коэффициент 1/3. Это самая частая ошибка на ЕГЭ База: ученики иногда пишут V = S·h, как для призмы, и получают неверный ответ. Поэтому сначала обязательно определите, что речь идёт именно о пирамиде, а потом применяйте правильную формулу.

Как быстро себя проверить: если площадь основания 48 см², а высота 6 см, то объём пирамиды должен быть в три раза меньше, чем у призмы с теми же основанием и высотой: 48·6 = 288, а у пирамиды это 288/3 = 96. Проверка совпала, значит ответ верный.

Для нахождения объёма пирамиды используется формула:

V = 1/3 · S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды.

В этой задаче даны:

• площадь основания: 24 см²;
• высота: 9 см.

Подставим значения в формулу:

V = 1/3 · 24 · 9.

Сначала можно перемножить 24 и 9:

24 · 9 = 216.

Теперь делим на 3:

216 : 3 = 72.

Значит, объём пирамиды равен 72 см³.

Ответ: 72.

Как не потерять баллы на ЕГЭ База:

• не забывайте коэффициент 1/3 — это самая частая ошибка;
• не путайте пирамиду с призмой: у призмы объём равен S_осн · h, а у пирамиды — только 1/3 от этого;
• проверяйте, что единицы измерения согласованы: если площадь дана в см², а высота в см, то объём получится в см³.

Быстрая проверка: если бы это была призма с теми же данными, объём был бы 216 см³, а для пирамиды он в 3 раза меньше — 72 см³. Это помогает сразу оценить, не допущена ли ошибка в вычислениях.

Для правильной призмы боковая поверхность состоит из прямоугольников, а их общая площадь находится по формуле:

S_бок = P_осн · h,

где P_осн — периметр основания, а h — высота призмы.

В основании у нас правильный шестиугольник со стороной 4 см. У правильного шестиугольника все стороны равны, значит его периметр:

P_осн = 6 · 4 = 24 см.

Теперь умножаем периметр основания на высоту призмы:

S_бок = 24 · 7 = 168 см².

Ответ: 168 см².

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте боковую поверхность с полной поверхностью;
• сначала всегда находите периметр основания, а не площадь;
• для правильного многоугольника периметр считается очень быстро: число сторон умножить на длину стороны.

Проверка себя: у правильной призмы все боковые грани одинаковые прямоугольники, поэтому площадь боковой поверхности действительно равна сумме площадей этих прямоугольников, то есть периметр основания, умноженный на высоту.