Периметры и площади в практических задачах: задания с ответами

Это задача на нахождение количества одинаковых элементов через отношение площадей. В таких заданиях важно помнить: если поверхность и плитки имеют прямоугольную форму и покрытие выполняется без зазоров и наложений, то количество плиток можно найти как отношение площади всей поверхности к площади одной плитки.

1. Приведём все размеры к одним единицам.
Площадка дана в метрах, а плитка — в сантиметрах. Удобнее перевести всё в сантиметры:

4 м = 400 см,
2 м = 200 см.

Теперь размеры площадки: 400 см на 200 см.

2. Найдём площадь площадки.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

400 · 200 = 80000 см².

3. Найдём площадь одной плитки.
Площадь плитки:

20 · 10 = 200 см².

4. Разделим площадь площадки на площадь одной плитки.
80000 : 200 = 400.

Ответ: 400 плиток.

Почему это правильно? Если плитки одинаковые и укладываются без промежутков, то вся площадь покрываемой поверхности складывается из площадей всех плиток. Поэтому число плиток равно тому, сколько раз площадь одной плитки «помещается» в площади всей площадки.

Типичные ошибки:

• забыть перевести метры в сантиметры;
• делить длину на длину и ширину на ширину отдельно, не проверив площади;
• перепутать единицы измерения и получить неверный результат.

Как быстро себя проверить на ЕГЭ: если ответ получился целым числом и можно мысленно прикинуть, что на большой площадке плиток должно быть много, значит решение выглядит разумно. В этой задаче 4 м = 400 см и 2 м = 200 см, а плитка 20 см на 10 см, поэтому по каждой стороне укладывается 20 и 20 плиток, всего 20 · 20 = 400. Это совпадает с ответом через площади.

Нужно найти площадь оставшейся части, то есть сначала узнать площадь всего участка, а затем вычесть площадь цветника.

1. Площадь внешнего прямоугольника:
S_{участка} = 18 · 12 = 216 (м²).

2. Площадь внутреннего прямоугольника (цветника):
S_{цветника} = 7 · 5 = 35 (м²).

3. Площадь оставшейся части:
216 − 35 = 181 (м²).

Значит, правильный ответ: 181 м².

Почему так решают? Когда одна фигура полностью находится внутри другой, площадь оставшейся части находится вычитанием площадей. Это типичный приём в задачах ЕГЭ Базового уровня: сначала считаем целое, потом вычитаем “вырезанную” часть.

Частые ошибки:

• путают площадь с периметром и начинают складывать или вычитать стороны;
• забывают, что нужно умножать стороны прямоугольника;
• вычитают не площади, а только одну сторону;
• не проверяют единицы измерения: здесь ответ должен быть в квадратных метрах.

Как быстро проверить себя на экзамене: если внутренний прямоугольник меньше внешнего и расположен внутри него, то оставшаяся площадь обязательно должна быть меньше площади всего участка. Здесь 181 меньше 216, значит, ответ выглядит разумно.

Сначала найдём площадь всего участка. Так как участок прямоугольный, используем формулу площади прямоугольника:

S = a · b.

Получаем:

12 · 8 = 96 (м²).

Теперь найдём площадь бассейна, который тоже имеет форму прямоугольника:

5 · 3 = 15 (м²).

Площадь оставшейся части — это площадь всего участка минус площадь бассейна:

96 - 15 = 81 (м²).

Ответ: 81 м².

Полезно помнить: в таких задачах нельзя складывать площади, если спрашивают именно оставшуюся часть. Сначала находят площадь большой фигуры, затем вычитают площадь внутренней фигуры. Это типичный приём для задач ЕГЭ База на площади.

Как проверить себя быстро: ответ должен быть меньше площади внешнего прямоугольника и больше нуля. Здесь 81 действительно меньше 96, значит, вычисление логично.

Сначала нужно понять, что именно требуется найти. В задаче дана площадь всей внешней фигуры — прямоугольного участка, и площадь внутренней фигуры — бассейна. Свободная часть участка находится вычитанием: из площади большого прямоугольника вычитаем площадь малого прямоугольника.

1. Найдём площадь всего участка.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = a · b, где a и b — стороны. Тогда
18 · 12 = 216 (м²).

2. Найдём площадь бассейна.
7 · 4 = 28 (м²).

3. Вычтем площадь бассейна из площади участка.
216 − 28 = 188 (м²).

Значит, площадь свободной части участка равна 188 м².

Почему именно так? В подобных задачах часто путают площадь с периметром. Периметр — это сумма сторон, а здесь нужно найти именно сколько места занимает поверхность, значит, используем площадь. Ещё одна типичная ошибка — сложить площади вместо вычитания. Но бассейн занимает часть участка, поэтому его площадь надо убрать из общей площади.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ База:

• если спрашивают «сколько осталось», «какая часть свободна», «без постройки» — чаще всего нужно вычесть;
• сначала находите площадь большой фигуры, потом маленькой;
• следите за единицами измерения: здесь ответ должен быть в квадратных метрах.

Ответ: 188.

Решение таких задач удобно начинать с общей площади всего прямоугольного плана. Если план разбит на части без наложений и без пустот, то сумма площадей всех комнат равна площади всего прямоугольника.

1. Найдём площадь всего помещения.
Длина плана 10 м, ширина 6 м, значит

S_общ = 10 · 6 = 60 м².

2. Найдём площадь известных комнат.
Левая комната имеет размеры 4 м и 6 м, поэтому

S_левая = 4 · 6 = 24 м².

Верхняя правая комната имеет размеры 6 м и 2 м, значит

S_{верхняя правая} = 6 · 2 = 12 м².

3. Найдём площадь искомой комнаты.
Из площади всего плана вычитаем площади двух известных частей:

S_{нижняя правая} = 60 − 24 − 12 = 24 м².

Ответ: 24.

Полезно помнить: в задачах на план помещений часто проще всего не «искать высоту по частям», а сразу использовать формулу площади прямоугольника и вычитание известных площадей. Это уменьшает риск ошибки. Частая ошибка — забыть, что все комнаты вместе заполняют весь внешний прямоугольник. Ещё одна типичная ошибка — перепутать стороны: в прямоугольнике можно перемножать только длину на ширину, а не складывать их.

Проверка себя: если вы нашли площадь одной комнаты, а затем сложили все части и получили площадь всего прямоугольника, значит, решение верное. В таких заданиях это хороший способ быстро убедиться, что ответ не потерян из-за арифметической ошибки.

Сначала найдём площадь одного прямоугольного участка. Для прямоугольника площадь вычисляется по формуле S = a · b.

Здесь стороны равны 18 м и 12 м, значит:

S_прям = 18 · 12 = 216 м².

Теперь разберёмся с кругом. По условию прямая граница проходит через центр фонтана, значит она делит круг на две равные части. Следовательно, на один участок приходится половина площади круга:

50 : 2 = 25 м².

Именно эту площадь нужно вычесть из площади прямоугольного участка, потому что фонтан занимает часть участка:

216 - 25 = 191 м².

Ответ: 191 м².

Полезно помнить типичный приём для таких задач ЕГЭ База: если круг пересечён прямой линией через центр, то в каждую часть попадает не весь круг, а только его половина. Ошибка, которую часто делают, — вычитают всю площадь круга сразу. Это неверно, потому что тогда мы «забираем» лишнюю площадь. Ещё одна частая ошибка — неправильно находят площадь прямоугольника, забывая умножить стороны.

Как быстро себя проверить: если после вычитания получилось число меньше площади половины круга или отрицательное, значит где-то допущена ошибка. Здесь ответ должен быть заметно меньше 216, но не слишком маленьким, и 191 выглядит разумно.

В таких задачах главное не перепутать площадь и периметр. Здесь спрашивают не сколько места занимает участок, а общую длину ограждений. Значит, нужно найти периметр внешнего прямоугольника и периметр внутреннего прямоугольника, а потом сложить их.

1. Найдём периметр участка. Участок — прямоугольник со сторонами 18 м и 12 м. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

P = 2(a + b).

Тогда для участка:

P₁ = 2(18 + 12) = 2 · 30 = 60 м.

2. Найдём периметр клумбы. Клумба тоже прямоугольная, её стороны 6 м и 4 м.

P₂ = 2(6 + 4) = 2 · 10 = 20 м.

3. Сложим длины ограждений.

60 + 20 = 80 м.

Ответ: 80.

Как себя проверить на экзамене? Если в условии сказано, что нужно оградить и внешний участок, и внутреннюю фигуру, почти всегда нужно найти два периметра и сложить. Типичная ошибка — посчитать только внешний периметр или вместо периметра найти площадь. Ещё одна частая ошибка — забыть, что ответ должен быть числом, без единиц, если форма ответа такова.

Быстрый способ проверки: у прямоугольника 18 на 12 периметр точно больше 2·18 = 36, значит 60 выглядит разумно; у прямоугольника 6 на 4 периметр 20. Сумма 80 тоже логична.

Это задача на нахождение числа одинаковых элементов через отношение площадей. Главное здесь — помнить, что сначала все размеры нужно привести к одним единицам. Иначе легко ошибиться.

1. Переведём размеры площадки в сантиметры:

4 м 80 см = 480 см, потому что 1 м = 100 см.

3 м 60 см = 360 см.

2. Найдём площадь площадки:

480 · 360 = 172800 см².

3. Найдём площадь одной плитки:

40 · 30 = 1200 см².

4. Разделим площадь площадки на площадь одной плитки:

172800 : 1200 = 144.

Значит, понадобится 144 плитки.

Почему это работает? Если поверхность полностью покрывается одинаковыми плитками без зазоров и наложений, то количество плиток равно отношению площади всей поверхности к площади одной плитки. Это очень типичный приём в заданиях ЕГЭ Базового уровня.

Типичные ошибки:

1) забывают перевести метры в сантиметры;
2) делят длины, а не площади;
3) ошибаются в вычислениях при больших числах.

Как себя проверить? Можно прикинуть: площадь площадки намного больше площади одной плитки, значит ответ должен быть большим числом, а не 10 или 20. Здесь 144 выглядит разумно.

Решим задачу по шагам. Здесь нужно найти оставшуюся площадь, то есть сначала вычислить площадь всего участка, потом площадь сарая, а затем вычесть меньшую площадь из большей.

1. Площадь всего участка

Участок — прямоугольник со сторонами 18 м и 12 м. Площадь прямоугольника находится по формуле:

S = a · b.

Значит, площадь участка равна:

18 · 12 = 216 (м²).

2. Площадь сарая

Сарай тоже прямоугольный, его стороны 7 м и 4 м. Тогда:

7 · 4 = 28 (м²).

3. Площадь оставшейся части

Из площади всего участка вычтем площадь сарая:

216 - 28 = 188 (м²).

Ответ: 188.

Как не потерять балл в таких задачах:

• не путайте площадь и периметр — здесь нужен именно результат умножения сторон;
• если внутри большой фигуры есть меньшая, обычно нужно вычесть площади;
• проверяйте, что все размеры записаны в одних единицах измерения, тогда ответ будет в квадратных метрах.

Полезная привычка для ЕГЭ База: сначала кратко записать «вся площадь», «внутренняя площадь», «разность». Это помогает не перепутать действия и быстро получить верный ответ.

Разберём задачу спокойно и по шагам.

1) Сначала поймём, какой именно квадрат получился после разделения. У прямоугольника стороны 14 м и 22 м. Чтобы одна часть была квадратом, его сторона должна быть равна меньшей стороне прямоугольника, то есть 14 м. Это важный момент: у квадрата все стороны равны, значит его «высота» и «ширина» должны совпадать с меньшей стороной участка.

2) Тогда внутренний забор идёт вдоль стороны квадрата и имеет длину 14 м. Это и есть длина перегородки внутри участка.

3) Теперь найдём периметр всего прямоугольного участка. Формула периметра прямоугольника: P = 2(a + b). Подставляем a = 14 и b = 22:

P = 2(14 + 22) = 2 · 36 = 72 м.

4) Общая длина ограждения — это внешний периметр плюс внутренний забор. Значит:

72 + 14 = 86 м.

Итак, правильный ответ: 86 м.

Почему здесь легко ошибиться?

Частая ошибка — посчитать только внешний периметр и забыть про внутренний забор. Ещё одна ошибка — взять для квадрата большую сторону участка 22 м, хотя сторона квадрата должна быть равна меньшей стороне прямоугольника. Полезная проверка: если одна часть — квадрат, то его сторона не может быть больше меньшей стороны всего участка.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База:

1. Найти меньшую сторону прямоугольника — это сторона квадрата.
2. Определить длину внутреннего ограждения.
3. Найти периметр всего участка.
4. Сложить внешний периметр и внутренний забор.

Такие задачи на ЕГЭ База удобно решать через площадь прямоугольника. Если фигура разбита на несколько прямоугольных частей, сначала находят размеры всей фигуры или отдельных частей, а потом считают площадь нужного прямоугольника.

Здесь нижняя полоса — это тоже прямоугольник. Чтобы найти её площадь, надо знать ширину всего плана и высоту нижней полосы.

1) Сначала найдём ширину всего плана. Левая часть имеет ширину 4,5 м, правая верхняя часть — 5,5 м. Они стоят рядом, значит общая ширина плана равна:

4,5 + 5,5 = 10 (м).

2) Высота нижней полосы уже дана: 2 м.

3) Теперь используем формулу площади прямоугольника:

S = a × b.

Для нижней полосы получаем:

S = 10 × 2 = 20 (м²).

Ответ: 20.

На таких заданиях часто ошибаются в двух вещах: путают, какие отрезки надо сложить, и забывают, что площадь всегда измеряется в квадратных метрах. Полезная проверка: если прямоугольник 10 м на 2 м, его площадь не может быть меньше 10 и не может быть очень большой — 20 м² выглядит разумно.

Чтобы быстро решать подобные задачи на экзамене, сначала мысленно отделяйте нужную часть: это целый прямоугольник или часть большого плана? Затем ищите его две стороны. Если одна сторона составная, её обычно находят сложением нескольких отрезков. После этого сразу применяйте формулу площади прямоугольника.

Разберём задачу спокойно и по шагам. Здесь важно не только найти периметр прямоугольника, но и не забыть про внутренний забор.

1. Определим сторону квадрата.
Если участок разделили на квадрат и прямоугольник, то сторона квадрата равна меньшей стороне исходного прямоугольника. В нашем случае стороны участка — 14 м и 8 м, значит сторона квадрата равна 8 м.

2. Найдём длину внутреннего забора.
Внутренний забор параллелен одной из сторон прямоугольника и отделяет квадрат. Его длина равна стороне квадрата, то есть 8 м.

3. Найдём внешний периметр участка.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

P = 2(a + b).

Подставляем: P = 2(14 + 8) = 2·22 = 44 м.

4. Сложим внешний и внутренний забор.
Общая длина всех заборов:

44 + 8 = 52 м.

Ответ: 52.

Как не потерять баллы в таких задачах:

• сначала находите, какая часть является квадратом;
• не забывайте, что нужно учитывать и внешний периметр, и внутреннюю перегородку;
• если внутри отрезок отделяет квадрат, его длина равна стороне квадрата.

В этой задаче частая ошибка — написать только периметр прямоугольника. Но по условию нужен весь забор, поэтому обязательно прибавляем длину внутреннего отрезка.