Проценты и задачи с прямой/обратной пропорциональностью: задания с ответами

В таких задачах главное не спешить и сначала понять, что именно уже сделано, а что осталось.

Если выполнено 72% заказа, то это значит, что из 100% всего объёма осталось:

100% − 72% = 28%.

Это и есть процент невыполненной части.

Ответ: 28.

Как решать такие задачи на ЕГЭ База быстро и без ошибок:

• сначала найдите процент выполненной части;
• потом вычтите его из 100%;
• если в условии уже дано, сколько осталось, тогда ничего вычитать не нужно — ответ уже готов.

Типичная ошибка — ответить 72% вместо 28%. Это процент выполненной части, а спрашивают именно не выполненную часть. Всегда внимательно смотрите, что требуется найти: выполненное или оставшееся.

Удобная проверка: выполненное + невыполненное должно давать 100%. Здесь: 72% + 28% = 100%.

Здесь нужно найти новое значение величины после её процентного увеличения. Это типовая задача на проценты: если величина увеличилась на p%, то новое значение равно

новое значение = исходное значение × (1 + p/100).

Почему так? Потому что увеличение на 15% означает, что к исходным 100% добавили ещё 15%. Вместе получается 115% от исходного значения, то есть коэффициент увеличения равен 1,15.

Вычислим:

18 × 1,15 = 20,7.

Значит, скорость катера по течению стала 20,7 км/ч.

Как себя проверить: если скорость увеличилась на 15%, ответ должен быть больше 18, но не очень сильно больше. 20,7 подходит: прибавка составляет 2,7 км/ч, а это 15% от 18.

Частая ошибка: прибавить 15 к 18 и получить 33. Так делать нельзя, потому что проценты считают не в абсолютных единицах, а от исходного значения. Сначала нужно найти 15% от 18, а потом прибавить его к 18. Но удобнее сразу умножать на коэффициент 1,15.

Ответ: 20,7.

Если величина уменьшилась на 20%, это значит, что после уменьшения осталось не 100%, а 80% от исходного значения.

Обозначим исходную цену через x. Тогда после уменьшения получаем:

0,8x = 2400.

Теперь находим исходную цену:

x = 2400 : 0,8 = 3000.

Ответ: 3000.

Как быстро решать такие задачи на ЕГЭ База: сначала определите, какая часть от исходного значения осталась. При уменьшении на 20% остаётся 80%, при уменьшении на 35% — 65% и т.д. После этого исходное значение находят делением конечного числа на получившийся коэффициент.

Типичная ошибка: многие умножают 2400 на 0,8 или вычитают 20% от 2400. Это неверно, потому что 2400 — это уже результат после уменьшения, а не исходная цена. Нужно восстанавливать первоначальное значение обратным действием.

Проверка себя: если от 3000 убрать 20%, получим 3000 × 0,8 = 2400, значит ответ найден верно.

Здесь дана уменьшенная часть, а нужно найти исходное количество. Это типичная обратная задача на проценты.

Если количество стало меньше на 30%, значит после уменьшения осталось 100% − 30% = 70% от первоначального числа.

Обозначим первоначальное количество футболок за x. Тогда по условию:

70% от x равно 84, то есть

0,7x = 84.

Теперь находим x:

x = 84 : 0,7 = 120.

Проверка: 30% от 120 — это 36, значит после распродажи осталось 120 − 36 = 84. Всё верно.

Ответ: 120.

Как не ошибиться на ЕГЭ: если сказано «на столько-то процентов меньше», сначала находите оставшийся процент, а не вычитаете процент напрямую из числа. Частая ошибка — считать 84 − 30% или 84 : 30%, но так делать нельзя. Нужно работать с долей от целого: сначала перевести проценты в число, которое показывает, какая часть осталась.

Главная идея в таких задачах: при испарении воды масса соли не меняется. Уходит только растворитель, а количество растворённого вещества остаётся тем же. Именно это и позволяет восстановить исходный процент.

1. Найдём массу раствора после испарения.
Было 500 г раствора, испарилось 100 г воды, значит осталось:

500 − 100 = 400 (г).

2. Найдём массу соли в новом растворе.
По условию после испарения массовая доля соли стала 15%. Это значит, что в 400 г раствора соли:

400 · 15 / 100 = 60 (г).

Так как испарилась только вода, в исходном растворе соли тоже было 60 г.

3. Найдём исходную массовую долю соли.
В начале масса раствора была 500 г, соли — 60 г. Тогда процент соли в исходном растворе:

60 / 500 · 100% = 12%.

Ответ: 12%.

Почему это важно для ЕГЭ База: в подобных задачах часто путают, что именно меняется. Меняется масса раствора, но не масса соли. Если забыть это правило, легко ошибиться и взять 15% за исходный ответ или посчитать процент от начальных 500 г после испарения — это неверно.

Как быстро проверять себя:

• после испарения масса раствора должна уменьшиться;
• масса вещества остаётся прежней;
• процент обычно меняется в большую сторону, если уходит вода.

Если новая массовая доля больше старой, а уходит именно вода, это логично: тот же самый вес соли приходится на меньшую массу раствора.

При увеличении величины на p% нужно не прибавлять просто число процентов к исходному значению, а сначала найти, какую долю от исходного составляет это увеличение, а затем учесть весь новый объём.

Формула для такого случая простая:

новое значение = исходное значение · (1 + p/100).

В задаче исходная цена равна 800 рублей, а повышение составило 12%.

Сначала переведём 12% в дробь: 12/100 = 0,12.

Тогда коэффициент увеличения равен 1 + 0,12 = 1,12.

Теперь найдём новую цену:

800 · 1,12 = 896.

Ответ: 896.

Как себя проверить на экзамене: если цена выросла на 12%, то новая цена должна быть немного больше исходной. 12% от 800 — это 96, значит 800 + 96 = 896. Оба способа дают один и тот же результат.

Типичные ошибки:

1) прибавить 12 к 800 вместо 12% от 800;
2) умножить на 0,12 вместо 1,12;
3) забыть, что после повышения берётся вся исходная величина вместе с прибавкой.

В заданиях ЕГЭ База на проценты удобно помнить: рост на p% означает умножение на 1 + p/100.

Здесь нужно найти исходное значение, если известно, что величина уменьшилась на 20% и получилось 2400. Это типичная обратная задача на проценты: сначала надо понять, какая часть от первоначальной цены осталась после уменьшения.

Если цена уменьшилась на 20%, значит после скидки осталось 100% − 20% = 80% от первоначальной цены. Переведём это в коэффициент: 80% = 0,8.

Пусть первоначальная цена была x рублей. Тогда после уменьшения она стала:

x · 0,8 = 2400.

Теперь находим x обратным действием — делением на коэффициент:

x = 2400 / 0,8 = 3000.

Итак, первоначальная цена товара была 3000 рублей.

Почему важно не ошибиться: многие учащиеся по привычке умножают 2400 на 0,8, но это неверно, потому что 2400 — это уже после уменьшения. Чтобы восстановить исходное число, нужно делить на долю, которая осталась. Ещё одна частая ошибка — считать, что 20% = 0,20 и просто вычитать 20 из 2400. Проценты в таких задачах надо переводить в долю от целого, а не вычитать как обычное число.

Быстрая проверка: если исходная цена 3000, то 20% от неё — это 600. Тогда после скидки останется 3000 − 600 = 2400, что совпадает с условием. Значит, ответ верный.

Обозначим первоначальное количество шариков в коробке за x.

Тогда синих шариков было 20% от общего числа, то есть 0,2x. Красных шариков было x - 0,2x = 0,8x.

По условию убрали 6 красных шариков. Значит, синих шариков осталось столько же, а всего шариков стало x - 6.

После удаления синие шарики составили 25% от общего количества, то есть:

0,2x = 0,25(x - 6).

Решим уравнение:

0,2x = 0,25x - 1,5

0,25x - 0,2x = 1,5

0,05x = 1,5

x = 30.

Итак, сначала в коробке было 30 шариков.

Проверка. 20% от 30 — это 6 синих шариков. Тогда красных было 24. Убрали 6 красных, осталось 18 красных и 6 синих, всего 24 шарика. Доля синих: 6/24 = 1/4 = 25%. Всё верно.

Ответ: 30.

Как не потерять балл на таких задачах: всегда сначала отмечайте, какое количество не меняется. Здесь синие шарики не менялись, и именно их количество удобно приравнять к новой доле от нового общего числа. Частая ошибка — неверно считать, что если убрали 6 красных, то уменьшилось и число синих, но это не так. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что проценты надо переводить в дробь: 20% = 0,2, 25% = 0,25.

Это задача на разбавление раствора. Главное правило здесь такое: количество растворённого вещества не меняется, если мы добавляем только чистую воду (нейтральную жидкость без соли).

Шаг 1. Найдём массу соли в исходном растворе.
Массовая доля 12% означает, что в 100 г раствора содержится 12 г соли. Тогда в 250 г раствора соли будет:

250 × 12 / 100 = 30 г.

Шаг 2. Найдём массу нового раствора.
К 250 г раствора добавили 750 г воды, значит общая масса стала:

250 + 750 = 1000 г.

Шаг 3. Найдём новую массовую долю соли.
Соли по-прежнему 30 г, а масса всего раствора 1000 г. Тогда:

30 / 1000 × 100% = 3%.

Значит, массовая доля соли стала 3%.

Почему нельзя просто “прибавить проценты” или взять среднее?
Проценты относятся не к одной и той же массе, поэтому их нельзя складывать или усреднять без расчёта. В таких задачах всегда сначала находят массу вещества, а потом делят её на новую общую массу.

Ответ: 3%.

При увеличении величины на 15% нужно не просто прибавить 15 к исходному числу, а умножить исходное значение на коэффициент 1,15. Это очень важный прием для задач ЕГЭ База: процентное увеличение всегда означает, что новая величина равна старой величине, взятой вместе с добавкой в процентах.

Запишем формулу:

новое значение = исходное значение × (1 + процент / 100).

Подставляем числа:

80 × 1,15 = 92.

Значит, новая скорость автомобиля стала 92 км/ч.

Как проверить себя: увеличение на 15% от 80 — это 12 км/ч, потому что 10% от 80 это 8, а 5% — это 4. Тогда 80 + 12 = 92. Проверка совпала, значит ответ верный.

Типичная ошибка — выбрать 95, потому что 80 + 15 = 95. Но это неверно: проценты считаются не в штуках, а от исходного значения. Еще одна ошибка — прибавить только 15% от 100, то есть 15, что тоже не подходит. Нужно брать процент именно от 80.

Здесь нужно найти исходное значение, если известно увеличенное значение и на сколько процентов оно стало больше. Это типичная задача на проценты в ЕГЭ базового уровня.

Если цена стала больше на 15%, это значит, что новая цена составляет 115% от первоначальной. Почему 115%? Потому что к 100% исходной цены добавили ещё 15% увеличения.

Составим связь:

новая цена = первоначальная цена × 1,15.

По условию новая цена равна 1840 руб., значит:

первоначальная цена = 1840 ÷ 1,15.

Вычислим:

1840 ÷ 1,15 = 1600.

Значит, первоначальная цена товара была 1600 рублей.

Ответ: 1600.

Как проверить себя: если 1600 увеличить на 15%, получим 1600 × 1,15 = 1840, всё верно.

Частая ошибка — вычитать 15% от 1840. Это неверно, потому что 15% считались не от новой цены, а от исходной. В задачах на «стало на столько-то процентов больше» сначала нужно понять, что новая величина равна не просто исходной плюс процент, а исходной, умноженной на коэффициент 1 + p/100.

Это типичная обратная задача на проценты: известны масса смеси после добавления и новая концентрация, а нужно найти исходную концентрацию.

Шаг 1. Найдём массу соли после добавления воды.
После добавления стало 40 + 10 = 50 кг раствора. Соли в нём 16% от всей массы, значит масса соли равна:

50 · 0,16 = 8 кг.

Шаг 2. Поймём, сколько соли было сначала.
Воду добавили без соли, поэтому масса соли не изменилась. Значит до добавления тоже было 8 кг соли.

Шаг 3. Найдём исходную концентрацию.
Сначала раствора было 40 кг, а соли в нём 8 кг. Тогда концентрация равна:

8 / 40 = 0,2 = 20%.

Ответ: 20%.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не забывайте, что при добавлении воды меняется общая масса, но не меняется количество соли. Частая ошибка — считать 16% от 40 кг, хотя 16% относится уже к 50 кг раствора.