Параллелограмм: свойства и вычисления: задания с ответами

В параллелограмме смежные углы в сумме дают 180°. Это главное свойство, которое нужно помнить для таких задач ЕГЭ База.

Обозначим смежные углы как 2x и 3x, потому что по условию они относятся как 2 : 3. Тогда составим уравнение:

2x + 3x = 180°

5x = 180°, значит x = 36°.

Теперь найдём оба угла:

2x = 72°,
3x = 108°.

Больший угол — это 108°.

Почему так важно действовать именно так? В подобных заданиях часто путают смежные и противоположные углы. У параллелограмма противоположные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°. Если сразу взять только отношение 2 : 3 и забыть про сумму 180°, получится неверный ответ.

Как быстро проверять себя на экзамене: сложите найденные углы. Если сумма равна 180°, значит решение верное. Здесь 72° + 108° = 180°.

Итак, правильный ответ: 108°.

Используем две основные формулы для параллелограмма:

1) периметр: $P=2(a+b)$, где $a$ и $b$ — соседние стороны;

2) площадь: $S=a\cdot b\cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между этими сторонами.

Сначала найдём стороны. По условию:

$2(a+b)=34$, значит $a+b=17$.

Также разность сторон равна 4 см. Обычно в таких задачах большую сторону обозначают $a$, меньшую — $b$, тогда:

$a-b=4$.

Получаем систему:

$\{\begin{array}{c}a+b=17\\ a-b=4\end{array}$

Складываем уравнения: $2a=21$, значит $a=10.5$. Тогда $b=17-10.5=6.5$.

Теперь находим площадь. Угол равен $30°$, а $\sin 30°=\frac{1}{2}$. Тогда

$S=10.5\cdot 6.5\cdot \frac{1}{2}=34.125$ ${\mathrm{см}}^2$.

Ответ: $34.125$ ${\mathrm{см}}^2$.

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• сначала всегда переводите периметр в сумму сторон: $a+b$;
• не забывайте, что разность сторон даёт второе уравнение;
• для площади нужен именно синус угла между сторонами, а не высота по рисунку «на глаз»;
• если угол острый стандартный, полезно помнить значения $\sin 30°$, $\sin 45°$, $\sin 60°$ — это ускоряет вычисления.

Среди типичных ошибок: перепутать периметр с суммой сторон, забыть поделить на 2 или умножить площадь только на одну сторону и синус, не используя вторую сторону. Здесь важно последовательно выполнить все три шага: найти стороны, подставить в формулу площади, вычислить тригонометрическое значение.

Используем главную формулу площади параллелограмма:

S = a · h_a и одновременно S = b · h_b.

Здесь площадь S = 96 см², а стороны равны 12 см и 8 см. Значит, высоты к этим сторонам находим делением площади на соответствующую сторону:

h₁₂ = 96 / 12 = 8 см,

h₈ = 96 / 8 = 12 см.

Теперь сравниваем: 12 > 8, значит, большая высота опущена на сторону 8 см.

Ответ: 12 см.

Почему так получается? Площадь одна и та же, а высота зависит от выбранной стороны: чем меньше основание, тем больше высота, потому что произведение должно оставаться одинаковым.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• не путайте сторону и высоту: высота всегда перпендикулярна выбранной стороне;
• если нужно найти большую высоту, делите площадь на меньшую сторону;
• обязательно проверяйте, что ответы логичны: при меньшей стороне высота должна быть больше.

В этой задаче часто ошибаются и пишут 8 см, потому что не замечают: спрашивают именно большую высоту, а она относится к меньшему основанию.

Используем основную формулу площади параллелограмма:

S = a · h,

где a — выбранная сторона, а h — высота, проведённая к этой стороне.

В задаче даны площадь 96 см² и две смежные стороны: 12 см и 16 см. Значит, у параллелограмма есть две разные высоты:

• высота к стороне 12 см;
• высота к стороне 16 см.

Найдём каждую:

1) Высота к стороне 12 см:

h₁₂ = 96 / 12 = 8 см.

2) Высота к стороне 16 см:

h₁₆ = 96 / 16 = 6 см.

Теперь сравниваем: 6 < 8, значит меньшая высота — это высота к стороне 16 см.

Ответ: 6 см.

Почему так получается? При одной и той же площади чем больше основание, тем меньше соответствующая высота, потому что произведение должно оставаться одинаковым. Это очень полезное правило для ЕГЭ: если площадь фиксирована, высоты к разным сторонам обратно пропорциональны этим сторонам.

Как не ошибиться:

• не путайте, к какой стороне проводится высота;
• не забывайте делить площадь именно на нужную сторону;
• если спрашивают меньшую высоту, ищите её у большего основания;
• обязательно проверяйте здравым смыслом: к большей стороне высота должна быть меньше.

В параллелограмме есть два очень важных свойства углов:

1) Противоположные углы равны.
2) Соседние углы в сумме дают 180°.

В задаче сказано, что соседние углы относятся как 2 : 7. Это значит, что можно обозначить их как 2x и 7x.

Так как соседние углы параллелограмма дополняют друг друга до 180°, составим уравнение:

2x + 7x = 180°.

Получаем:

9x = 180°,
x = 20°.

Тогда углы равны:

2x = 40° и 7x = 140°.

По условию нужно найти меньший угол, значит ответ: 40°.

Почему именно так: отношение 2 : 7 не означает, что углы равны 2° и 7°; это только «части» одного и другого угла. Сначала нужно найти цену одной части, а потом уже сами углы.

Частые ошибки на ЕГЭ База:

• путают соседние и противоположные углы;
• делят 180° только на 2, забывая про отношение;
• берут больший угол вместо меньшего или наоборот;
• пишут углы как 2° и 7°, хотя это лишь отношение.

Быстрая проверка себя: если меньший угол 40°, то соседний должен быть 140°. Их сумма действительно 180°, значит всё верно.

Сначала важно понять, где именно находятся данные углы. По условию диагональ AC выходит из вершины A и делит угол параллелограмма при вершине A на два угла: 37° и 53°.

Значит, внутренний угол A равен сумме этих двух углов:

∠A = 37° + 53° = 90°.

Теперь используем главное свойство параллелограмма: соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Поэтому соседний к углу A угол равен:

180° − 90° = 90°.

Получается, что все внутренние углы параллелограмма здесь равны 90°, а значит больший внутренний угол тоже равен 90°.

Ответ: 90°.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: не надо вычитать данные углы из 180° напрямую — сначала нужно найти угол параллелограмма при вершине, где проведена диагональ, то есть сложить два угла между диагональю и сторонами. Только потом, если требуется, переходить к соседнему углу через 180°. В таких задачах самая частая ошибка — перепутать сумму двух углов при диагонали и смежные углы параллелограмма.

Обозначим меньшую сторону параллелограмма через x см. Тогда большая сторона будет равна x + 6 см, потому что по условию она на 6 см больше.

У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому периметр выражается формулой P = 2(a + b), где a и b — его соседние стороны. В нашей задаче:

2(x + (x + 6)) = 44.

Теперь решим уравнение:

2(2x + 6) = 44

4x + 12 = 44

4x = 32

x = 8.

Значит, меньшая сторона равна 8 см, а большая:

8 + 6 = 14 см.

Ответ: 14.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: часто ошибаются, когда забывают, что периметр — это сумма всех четырёх сторон. У параллелограмма это даёт формулу 2(a+b), а не a+b. Ещё одна типичная ошибка — перепутать, какую сторону искать: если спрашивают большую сторону, сначала удобно обозначить меньшую через x, тогда большую легко выразить как x+6.

Проверка себя: найденные стороны должны давать правильный периметр: 2(8+14)=44. Если проверка сходится, значит, решение верное.

Используем основную формулу площади параллелограмма:

S = a \cdot h,

где a — выбранная сторона, а h — высота, опущенная на эту сторону.

В параллелограмме можно выбрать любую из смежных сторон в качестве основания, и тогда высота будет другой. Поэтому для сторон 12 и 8 получаются две высоты:

1) к стороне 12: h_1 = 96 / 12 = 8;

2) к стороне 8: h_2 = 96 / 8 = 12.

Теперь сравним: 8 < 12, значит меньшая высота — это 8.

Почему это всегда работает? При одной и той же площади высота тем больше, чем меньше основание. Это удобно помнить для ЕГЭ: если основание короче, высота к нему обычно больше; если основание длиннее, высота меньше.

Как не ошибиться:

• не перепутайте, к какой стороне находите высоту;
• в формуле площади надо делить площадь на длину стороны;
• если спрашивают меньшую высоту, нужно сначала найти обе и только потом сравнить.

Ответ: 8.

В параллелограмме есть два важных свойства углов:

• противоположные углы равны;
• соседние углы в сумме дают 180°.

Нам дан угол ∠A = 58°. Чтобы найти больший угол, нужно понять, какой угол ему соседний. Соседний угол в параллелограмме всегда дополняет данный до 180°.

Значит, больший угол равен:

180° − 58° = 122°.

Можно также рассуждать так: если один угол 58°, то он острый, а больший угол в параллелограмме — тупой, то есть равен 122°.

Ответ: 122.

Типичная ошибка на ЕГЭ — перепутать соседние и противоположные углы. Противоположный угол был бы тоже 58°, а не 122°. Поэтому если спрашивают именно больший угол, нужно брать смежный к данному и находить разность с 180°.

Полезная проверка: в параллелограмме всегда есть два равных острых угла и два равных тупых угла. Если один угол меньше 90°, то больший угол обязательно больше 90° и находится по формуле 180° − данный угол.

Рассмотрим, как устроен угол при вершине A. Диагональ AC делит внутренний угол параллелограмма на два угла: один равен 27°, второй равен 43°.

Значит, внутренний угол A равен сумме этих двух углов:

∠A = 27° + 43° = 70°.

Теперь используем главное свойство параллелограмма: соседние внутренние углы в сумме дают 180°.

Тогда соседний с углом A угол равен:

180° − 70° = 110°.

Именно этот угол больше, значит ответ: 110.

Как не потерять балл на ЕГЭ База:

• сначала находите целый внутренний угол, а не сразу ищете 180°;
• не перепутайте: данные углы относятся к одной вершине и вместе составляют угол параллелограмма;
• после этого обязательно применяйте правило о смежных углах параллелограмма: они дополняют друг друга до 180°.

Если получилось два угла 70° и 110°, то больший из них — 110°.

Ключевая идея здесь одна: площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами, используя разные стороны и соответствующие им высоты.

Для первой стороны имеем:

S = a · h_a = 18 · 10 = 180.

Теперь ту же площадь запишем через другую сторону и её высоту. Пусть длина другой стороны равна b. Тогда:

S = b · h_b = b · 12.

Так как площадь одна и та же, приравниваем выражения:

b · 12 = 180.

Отсюда:

b = 180 / 12 = 15.

Ответ: 15 см.

Почему так можно делать? Высота всегда относится к своей стороне. Если поменять сторону, нужно обязательно взять именно соответствующую ей высоту. Это самая частая ошибка в таких задачах: ученики иногда перемножают или делят высоты между собой, но высоты сами по себе площадь не дают — нужна пара сторона × высота.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

• сначала найдите площадь по известной стороне и её высоте;
• затем поделите площадь на высоту, соответствующую другой стороне;
• ответ должен быть положительным и разумным по величине.

Если вы получили дробь или необычное число, это не ошибка: в базовом ЕГЭ иногда ответ может быть рациональным. Но в этой задаче получилось целое число, значит вычисления удобны для быстрой проверки.

Используем формулу площади параллелограмма через две стороны и угол между ними:

S = a · b · sin(α),

где a и b — стороны параллелограмма, а α — угол между ними.

По условию:

a = 8, b = 5, S = 20.

Подставим значения в формулу:

20 = 8 · 5 · sin(α)

20 = 40 · sin(α)

Тогда

sin(α) = 20 / 40 = 1/2.

Теперь нужно вспомнить, чему равен острый угол, синус которого равен 1/2. Это 30° (также синус 1/2 имеет угол 150°, но он тупой, а в задаче требуется именно острый угол).

Ответ: 30°.

Как не потерять балл на ЕГЭ:

• не путайте формулу площади параллелограмма с формулой площади треугольника;
• после нахождения синуса обязательно проверяйте, нужен ли острый или тупой угол;
• если синус угла равен одному и тому же числу, возможны два угла: острый и тупой, но по условию выбирается только нужный.

Быстрая проверка: произведение сторон 8 · 5 = 40, площадь 20 — это ровно половина от 40, значит синус угла равен 1/2, а значит острый угол действительно 30°.