Движение и средняя скорость: задания с ответами

Обозначим время от старта до встречи через t часов. Так как велосипеды движутся по одной прямой, к моменту встречи каждый из них прошёл свой путь.

1. Сколько проехал медленный велосипедист?
Он всё время ехал от старта в том же направлении со скоростью 12 км/ч, значит его путь до встречи равен 12t.

2. Сколько проехал быстрый велосипедист?
Сначала он проехал 15 км до пункта разворота, а потом поехал обратно. К моменту встречи он успел пройти путь:
первый участок — 15 км,
второй участок назад — ещё часть пути.

Но есть более удобный способ: в момент встречи расстояние между велосипедистами равно нулю, значит суммарно они «съели» весь путь туда и обратно до пункта разворота. Поэтому их суммарный путь до встречи равен 2 · 15 = 30 км.

Тогда составим уравнение по суммарному пути:

12t + 18t = 30

30t = 30, откуда t = 1 час.

Теперь найдём, на каком расстоянии от старта будет место встречи:

12 · 1 = 12 км.

Ответ: 12 км.

Почему это важно для ЕГЭ База: в задачах с разворотом часто ошибаются и забывают, что быстрый участник после разворота идёт назад. Надёжная проверка такая: если один участник доехал до ориентира и вернулся, то для встречи удобно использовать уравнение сумма пройденных путей = 2D, где D — расстояние до ориентира. После нахождения времени не забудьте подставить его в путь более медленного участника — именно он и покажет расстояние от старта до встречи.

Это типичная задача на движение с разворотом. Главное здесь — не торопиться и внимательно понять, что оба участника стартуют одновременно из одной точки, но дальше один из них сначала едет до конечной точки маршрута, а потом возвращается назад.

1. Обозначим время до встречи.
Пусть встреча произойдёт через t часов после старта.

2. Найдём путь велосипедиста.
Велосипедист всё время движется с постоянной скоростью 2 км/ч, значит за t часов он проедет
2t км.

3. Разберём путь мотоциклиста.
Мотоциклист сначала едет от A до B, то есть проходит 6 км, а затем возвращается назад. Его скорость 4 км/ч. Чтобы понять, где будет встреча, нужно сравнить путь велосипедиста с полным путём мотоциклиста к моменту встречи.

Если бы мы решали через время, то можно заметить, что мотоциклист тратит на путь до B время
6 : 4 = 1,5 часа.

За это же время велосипедист проедет
2 · 1,5 = 3 км.

Значит, когда мотоциклист доедет до B и развернётся, велосипедист ещё находится на расстоянии 3 км от A. После разворота они едут навстречу друг другу: мотоциклист — обратно со скоростью 4 км/ч, велосипедист — вперёд со скоростью 2 км/ч. Их сближение происходит со скоростью 4 + 2 = 6 км/ч.

Расстояние между ними в этот момент равно 6 - 3 = 3 км. Значит, на сближение потребуется
3 : 6 = 0,5 часа.

За 0,5 часа велосипедист проедет ещё
2 · 0,5 = 1 км.

Итак, от пункта A до места встречи будет
3 + 1 = 4 км.

Ответ: 4 км.

Как быстро проверять такие задачи на ЕГЭ:

1) всегда записывайте время через переменную;
2) не забывайте, что у вернувшегося участника путь состоит из двух частей: до конца маршрута и обратно;
3) если после разворота участники движутся навстречу, их скорость сближения равна сумме скоростей;
4) полезно делать короткую схему отрезка: A — 6 км — B, и отмечать, где каждый находится в разные моменты времени.

Частая ошибка — взять расстояние 6 км и сразу поделить на сумму скоростей. Это неверно, потому что сначала мотоциклист едет в ту же сторону, что и велосипедист, а встреча происходит только после разворота.

Здесь важно помнить главное правило: средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей, а отношение всего пути ко всему времени:

v_ср = S / t.

Поскольку все три участка равны по длине, удобно взять длину каждого участка равной 1 км. Тогда весь путь равен 3 км.

Найдём время на каждом участке:

• первый участок: 1 / 30 ч;
• второй участок: 1 / 45 ч;
• третий участок: 1 / 60 ч.

Сложим времена:

t = 1/30 + 1/45 + 1/60.

Приведём к общему знаменателю 180:

1/30 = 6/180, 1/45 = 4/180, 1/60 = 3/180.

Тогда

t = (6 + 4 + 3) / 180 = 13/180 ч.

Теперь средняя скорость:

v_ср = 3 / (13/180) = 3 · 180 / 13 = 540/13 км/ч.

Это примерно 41,5 км/ч.

Правильный ответ: 540/13 км/ч.

Почему нельзя просто взять среднее арифметическое? Если посчитать (30 + 45 + 60) / 3 = 45, получится неверно. Это типичная ошибка: среднее арифметическое подходит только тогда, когда величины усредняются по одинаковому времени, а здесь одинаковы расстояния. На равных участках пути медленный участок «забирает» больше времени, поэтому он сильнее влияет на среднюю скорость.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ? Если участки равны по длине, то средняя скорость обязательно будет меньше среднего арифметического скоростей и обычно ближе к меньшим значениям. В нашем случае 41,5 меньше 45, значит ответ выглядит разумно.

Ключевая идея: средняя скорость находится не как обычное среднее арифметическое скоростей, а по формуле

средняя скорость = весь путь / всё время.

Это очень важный момент для заданий ЕГЭ База: если на разных участках пути скорости разные, то надо сначала найти, сколько времени занял каждый участок, а потом сложить времена.

1. Найдём время на каждом участке.

Время = путь / скорость.

Первый участок: 60 / 60 = 1 ч.

Второй участок: 40 / 80 = 0,5 ч.

Третий участок: 50 / 50 = 1 ч.

2. Найдём всё время движения.

1 + 0,5 + 1 = 2,5 ч.

3. Найдём весь путь.

60 + 40 + 50 = 150 км.

4. Найдём среднюю скорость.

150 / 2,5 = 60 км/ч.

Значит, правильный ответ: 60 км/ч.

Почему нельзя просто усреднить скорости? Если бы мы взяли (60 + 80 + 50) / 3, получилось бы 63,3... км/ч, но это неверно, потому что участки разной длины и на них затрачено разное время. Средняя скорость зависит и от расстояния, и от времени.

Как быстро проверить себя на экзамене:

1) выпиши путь и скорость на каждом участке;
2) найди время на каждом участке;
3) сложи все времена;
4) раздели весь путь на всё время.

Типичная ошибка: путать среднюю скорость со средним арифметическим скоростей. В задачах на движение это почти всегда приводит к неверному ответу.

Разберём задачу по шагам. В таких заданиях важно сначала понять, кто именно задаёт момент времени. Здесь сказано: нужно найти расстояние между велосипедистами в тот момент, когда первый достигнет цели. Значит, удобнее всего сначала найти, сколько времени ехал первый.

1. Находим время движения первого велосипедиста.
Расстояние до цели — 24 км, скорость первого — 6 км/ч. Тогда время:

t = 24 / 6 = 4 (ч).

Это очень важный шаг: если ученик возьмёт скорость второго велосипедиста, получится неверный момент времени. В подобных задачах время всегда считают по тому участнику, который дошёл до цели в указанное в вопросе мгновение.

2. Находим, сколько проехал второй велосипедист за 4 часа.
Его скорость — 8 км/ч, значит за 4 часа он проедет:

8 · 4 = 32 (км).

3. Сравниваем положение велосипедистов в этот момент.
Первый как раз находится у цели, то есть проехал 24 км. Второй проехал 32 км. Значит, он уже уехал дальше цели на 8 км.

Следовательно, расстояние между ними равно:

32 − 24 = 8 (км).

Ответ: 8 км.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

• Сначала определяйте, кто достиг цели, — по нему находите время.
• Потом за это же время находите путь второго.
• Расстояние между объектами — это разность пройденных путей, а не сумма.

Типичные ошибки:

• складывать пути вместо вычитания;
• брать время по скорости второго, хотя в условии момент задан через первого;
• забывать, что более быстрый участник может уже проехать цель и оказаться дальше неё.

Ключевая идея здесь такая: средняя скорость не равна простому среднему арифметическому, если время на участках разное. В задачах на движение средняя скорость всегда находится по формуле:

средняя скорость = весь путь / всё время.

Так как путь разбит на три равных по длине участка, удобно обозначить длину каждого участка через s. Тогда весь путь равен 3s.

Найдём время движения на каждом участке:

• на первом: s / 40;
• на втором: s / 60;
• на третьем: s / 120.

Суммарное время:

s/40 + s/60 + s/120.

Приведём к общему знаменателю 120:

s/40 = 3s/120, s/60 = 2s/120, s/120 = s/120.

Тогда всё время равно:

(3s + 2s + s)/120 = 6s/120 = s/20.

Теперь найдём среднюю скорость:

3s / (s/20) = 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

Почему нельзя просто взять среднее арифметическое? Потому что скорость 120 км/ч действует меньше по времени, а скорость 40 км/ч — дольше. При равных по длине участках именно медленный участок “съедает” больше времени, поэтому средняя скорость получается ближе к меньшей скорости, чем к большей.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

1. Если участки пути равны по длине, не усредняйте скорости напрямую.
2. Всегда используйте формулу путь / время.
3. Ответ должен быть между наименьшей и наибольшей скоростью. Здесь 60 км/ч действительно между 40 и 120.

Типичная ошибка — ответить (40 + 60 + 120)/3 = 73,(3) км/ч. Это неверно, потому что такое усреднение подходит не для движения по равным отрезкам пути, а для совсем других ситуаций.

Сначала разберёмся, какие скорости использует катер. Если катер идёт по течению, то скорость складывается: 18 + 3 = 21 км/ч. Если катер идёт против течения, то скорость вычитается: 18 - 3 = 15 км/ч.

Теперь найдём расстояние на каждом участке пути.

1) По течению:
за 1,5 часа катер пройдёт
21 · 1,5 = 31,5 км.

2) Против течения:
за 2,5 часа катер пройдёт
15 · 2,5 = 37,5 км.

Складываем оба участка. Важно: стоянка не входит в пройденное расстояние, она только увеличивает общее время рейса. Поэтому расстояние считаем только по движениям катера:

31,5 + 37,5 = 69 км.

Ответ: 69 км.

Как себя проверять в таких задачах на ЕГЭ База:

• сначала отдельно найдите скорость по течению и против течения;
• потом умножьте каждую скорость на своё время;
• в конце сложите полученные расстояния;
• не путайте время стоянки с временем движения: стоянка влияет на общее время, но не на расстояние.

Типичная ошибка — посчитать среднюю скорость или забыть, что по течению и против течения скорости разные. Ещё одна частая ошибка — прибавить время стоянки к расстоянию. Это неверно: километры на стоянке не прибавляются.

Сначала найдём, сколько времени ехал до города первый велосипедист. Для этого используем основную формулу движения: время = расстояние / скорость.

Первому нужно проехать 24 км со скоростью 6 км/ч, значит:

t = 24 / 6 = 4 (ч)

Это значит, что через 4 часа первый велосипедист окажется в городе. Теперь посмотрим, сколько за это же время проедет второй велосипедист. Его скорость 8 км/ч, значит за 4 часа он проедет:

8 · 4 = 32 (км)

Город находится в 24 км от старта, а второй велосипедист проехал 32 км, то есть он уже пересёк город и находится дальше него на:

32 - 24 = 8 (км)

Следовательно, расстояние между велосипедистами в этот момент равно 8 км: первый стоит в городе, а второй находится на 8 км дальше по дороге.

Правильный ответ: 8 км.

Как рассуждать на таких задачах на ЕГЭ:

• Сначала определяйте, кто именно задаёт момент времени: более медленный или более быстрый участник.
• Потом находите время его движения до цели.
• После этого считаете, какой путь успел пройти второй участник за то же время.
• И только затем находите расстояние между ними. Обычно это разность пройденных путей, а не сумма.

Типичная ошибка — сразу вычитать скорости или складывать их. В таких задачах важно не скорость сравнивать, а пути за одно и то же время. Ещё одна частая ошибка — забыть, что более быстрый участник может уже пройти цель и оказаться дальше неё.

Если коротко, схема решения такая: время первого — путь второго за это время — разность путей.

Здесь важно помнить главное правило: средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей, а отношение всего пути ко всему времени:

v_ср = S_общ / t_общ.

Так как автомобиль ехал туда и обратно по одному и тому же участку, расстояния в обе стороны равны. Удобно обозначить расстояние в одну сторону через S.

Тогда:

• время в путь туда: t₁ = S / 60,
• время в путь обратно: t₂ = S / 40.

Общее расстояние:

S_общ = 2S.

Общее время:

t_общ = S/60 + S/40.

Приведём к общему знаменателю:

S/60 + S/40 = S/120 + 3S/120 = 4S/120 = S/30.

Теперь найдём среднюю скорость:

v_ср = 2S / (S/30) = 2S · 30 / S = 60 км/ч?

Стоп — это хороший момент для самопроверки: здесь легко ошибиться в арифметике. Посчитаем аккуратно ещё раз. При равных расстояниях средняя скорость вычисляется по формуле:

v_ср = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂).

Подставим:

v_ср = 2·60·40 / (60+40) = 4800 / 100 = 48 км/ч.

Ответ: 48 км/ч.

Почему нельзя просто взять (60 + 40) / 2 = 50?

Потому что автомобиль на медленном участке тратит больше времени, чем на быстром. Значит, скорости «вкладываются» в среднее не одинаково. Именно поэтому для пути туда и обратно с одинаковыми расстояниями средняя скорость всегда меньше арифметического среднего двух скоростей.

Типичная ошибка на ЕГЭ База — сразу усреднить скорости. Чтобы не потерять баллы, проверяйте себя так: если расстояния равны, средняя скорость должна быть ближе к меньшей из двух скоростей, чем к большей.

Разберём задачу спокойно и по шагам. Здесь важно не потеряться в движении после разворота: именно это чаще всего и приводит к ошибке.

1. Что происходит до встречи?
Оба велосипедиста движутся по одной прямой. Первый едет быстрее: 12 км/ч, второй — 8 км/ч. Первый доезжает до флажка, который стоит в 10 км от старта, и сразу разворачивается.

2. Сколько времени первый ехал до флажка?
До флажка он проехал 10 км со скоростью 12 км/ч, значит время равно

10 : 12 = 5/6 часа.

За это же время второй велосипедист тоже ехал вперёд и успел проехать

8 · 5/6 = 20/3 км.

3. Где окажутся велосипедисты в момент разворота первого?
Первый находится в точке 10 км от старта и сразу едет обратно, второй — в точке 20/3 км от старта. Расстояние между ними в этот момент:

10 - 20/3 = 10/3 км.

4. Как они сближаются после разворота?
Теперь они едут навстречу друг другу: первый назад со скоростью 12 км/ч, второй вперёд со скоростью 8 км/ч. Значит, их скорость сближения равна

12 + 8 = 20 км/ч.

Чтобы сократить расстояние 10/3 км при скорости сближения 20 км/ч, нужно времени

(10/3) : 20 = 1/6 часа.

5. Где будет место встречи?
За это время второй велосипедист проедет ещё

8 · 1/6 = 4/3 км.

Значит, от старта до места встречи будет

20/3 + 4/3 = 24/3 = 8 км.

Ответ: 8 км.

Как можно быстро проверять себя на ЕГЭ?
1) Найдите время до разворота более быстрого участника.
2) Определите положение второго участника в этот момент.
3) После разворота используйте скорость сближения, а не разность скоростей.
4) Сверьте ответ: он должен лежать между стартом и флажком, если встреча происходит после разворота и до возврата к старту.

Типичная ошибка: считать, что после разворота нужно вычитать скорости. Это неверно: когда участники движутся навстречу друг другу, скорости складываются.

Для задач на среднюю скорость важно помнить главную формулу:

средняя скорость = весь путь / всё время.

Это очень частая тема в ЕГЭ базового уровня. Ошибка многих учеников в том, что они пытаются просто усреднить скорости: например, взять (40 + 60) / 2. Так делать нельзя, если участки разной длины. Нужно учитывать, сколько времени занял каждый участок.

1) Найдём время на первом участке.
Путь 60 км, скорость 40 км/ч. Тогда

t₁ = 60 / 40 = 1,5 ч.

2) Найдём время на втором участке.
Путь 90 км, скорость 60 км/ч. Тогда

t₂ = 90 / 60 = 1,5 ч.

3) Найдём весь путь и всё время.
Весь путь:

60 + 90 = 150 км.

Всё время:

1,5 + 1,5 = 3 ч.

4) Найдём среднюю скорость.

v_ср = 150 / 3 = 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• если скорости разные, сначала находите время на каждом участке;
• потом складываете времена;
• потом делите весь путь на всё время;
• не забывайте, что средняя скорость обычно не равна среднему арифметическому скоростей.

Типичные ошибки:

• считать (40 + 60) / 2 = 50 и случайно получить верный ответ без правильного решения;
• складывать скорости вместо времен;
• путать формулы и писать t = v / s вместо t = s / v.

В этой задаче ответ получился красивым, но в других примерах он может быть нецелым. Поэтому на ЕГЭ лучше всегда выполнять решение по шагам через путь и время.

Обозначим скорость мотоциклиста через v км/ч. По условию велосипедист выехал из пункта A раньше, а мотоциклист — через 30 минут, то есть через 0,5 часа.

К моменту встречи велосипедист проехал 30 км. Его скорость известна: 18 км/ч. Значит, время его движения до встречи равно

30 : 18 = 5/3 часа.

Теперь найдём, сколько времени ехал мотоциклист. Он стартовал на 0,5 часа позже, поэтому к моменту встречи был в пути

5/3 - 1/2 = 10/6 - 3/6 = 7/6 часа.

До встречи мотоциклист проехал оставшееся расстояние от точки встречи до пункта B:

72 - 30 = 42 км.

Составим уравнение по формуле пути: путь = скорость × время.

v · 7/6 = 42.

Тогда

v = 42 : 7/6 = 42 · 6 / 7 = 36.

Ответ: 36 км/ч.

Как проверять себя в таких задачах:

• Сначала находите, сколько времени каждый участник был в пути до встречи.
• Если второй объект стартовал позже, обязательно вычитайте задержку из общего времени первого.
• Проверяйте, что точка встречи лежит между пунктами: здесь 30 км от A и 42 км до B, сумма даёт 72 км.
• Не путайте расстояние до точки встречи с общим расстоянием между пунктами.

Типичная ошибка — забыть про задержку старта и взять время мотоциклиста таким же, как у велосипедиста. Тогда ответ получится неверным. В задачах на встречное движение всегда полезно записывать: время первого, время второго, пройденные расстояния, а потом составлять одно уравнение.