Смеси и сплавы: задания с ответами

Здесь нужно найти целое по известной части и её проценту. Это один из самых типичных сюжетов в теме «Смеси и сплавы» на ЕГЭ База.

Если меди 18%, значит масса меди составляет 0,18 от всей массы сплава. Обозначим массу сплава через M кг. Тогда можно записать уравнение:

0,18·M = 9.

Чтобы найти M, нужно массу компонента разделить на его долю:

M = 9 / 0,18 = 50.

Ответ: 50 кг.

Почему это работает? Процент — это часть от целого. Если 18% соответствует 9 кг, то 1% соответствует 9 / 18 = 0,5 кг, а 100% — 0,5 · 100 = 50 кг. Это тот же самый способ, только через «1%».

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

• переведите процент в десятичную дробь: 18% = 0,18;
• составьте равенство «часть = доля · целое»;
• разделите известную часть на долю;
• проверьте ответ здравым смыслом: если 18% — это 9 кг, то вся масса должна быть больше 9 кг, и это так.

Типичные ошибки:

• умножают 9 на 0,18 и получают неверный ответ;
• делят 18 на 9 вместо 9 на 0,18;
• забывают, что проценты нужно переводить в дробь.

Запомните короткое правило: если известна часть и её процент, чтобы найти целое, надо часть разделить на долю.

Если смешивают равные количества двух растворов одного и того же вещества, то итоговая концентрация находится как среднее арифметическое этих концентраций.

Почему так? Пусть взяли одинаковые массы (или одинаковые объёмы — в таких задачах это не важно, если сказано, что количества равны) двух растворов. Тогда массы растворённого вещества в них будут пропорциональны процентам. После смешивания общая масса раствора удваивается, и концентрация становится средней между двумя исходными процентами.

Считаем:

(18% + 42%) / 2 = 60% / 2 = 30%.

Значит, концентрация полученного раствора равна 30%.

Как не ошибиться на ЕГЭ База:

• если количества равны, не нужно строить сложную таблицу — достаточно взять среднее арифметическое;
• нельзя просто сложить проценты: 18% + 42% = 60% — это ошибка;
• нельзя выбрать один из исходных процентов, потому что при смешивании концентрация обычно меняется;
• полезная проверка: ответ должен лежать между 18% и 42%. Число 30% подходит.

Ответ: 30%.

В задачах на смеси и растворы главное правило такое: концентрация смеси находится как отношение общего количества растворённого вещества к общему объёму раствора. Это и есть взвешенное среднее, где «весами» служат объёмы.

Шаг 1. Найдём, сколько соли было в первом растворе.
В 3 л раствора с концентрацией 12% соли содержится:

3 · 0,12 = 0,36 л

Шаг 2. Найдём, сколько соли было во втором растворе.
В 5 л раствора с концентрацией 27% соли содержится:

5 · 0,27 = 1,35 л

Шаг 3. Сложим количество соли и объёмы.
Объём смеси:

3 + 5 = 8 л

Количество соли в смеси:

0,36 + 1,35 = 1,71 л

Шаг 4. Найдём концентрацию смеси.
Для этого делим количество соли на общий объём:

1,71 / 8 = 0,21375

Переводим в проценты:

0,21375 = 21,375%

Ответ: 21.375.

Почему нельзя просто усреднить 12% и 27%?
Потому что объёмы растворов разные. Если бы объёмы были одинаковыми, можно было бы брать обычное среднее. Но здесь 5 л второго раствора больше, чем 3 л первого, поэтому его концентрация сильнее влияет на ответ.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

• Ответ должен лежать между 12% и 27% — это так и есть.
• Если второй раствор имеет больший объём и большую концентрацию, итоговая концентрация должна быть ближе к 27%, чем к 12% — здесь это тоже выполняется.

Типичная ошибка: сначала складывают проценты и делят на 2. Это неверно, если объёмы разные. Правильно сначала находить количество вещества в каждом растворе, а потом делить на общий объём.

Идея таких задач очень простая: чтобы найти процентное содержание компонента, нужно узнать, какую часть от всей смеси составляет его масса.

Формула:

процент компонента = (масса компонента / общая масса смеси) × 100%.

Подставим данные из условия:

(7,5 / 25) × 100% = 0,3 × 100% = 30%.

Значит, нужный компонент составляет 30% смеси.

Почему именно так? Потому что процент — это сотая часть целого. Сначала находим долю: сколько часть составляет от целого. Затем переводим эту долю в проценты, умножая на 100.

Типичные ошибки в таких заданиях:

1) делят общую массу на массу компонента вместо наоборот;
2) находят долю, но забывают умножить на 100;
3) путают массу компонента с массой всей смеси.

Как себя проверить быстро? Ответ должен быть разумным: если компонент весит 7,5 кг из 25 кг, это примерно треть смеси. А одна треть — это около 33,3%, значит 30% выглядит правдоподобно и немного меньше одной трети.

Такой способ решения подходит для большинства базовых задач на смеси и сплавы, где нужно найти процент по массе без составления уравнений.

Чтобы найти объём чистого вещества в растворе, нужно понимать смысл процента. 15% означает 15 сотых от всего объёма раствора, то есть долю 15/100.

У нас весь раствор — это 8 л. Тогда объём соли равен:

8 × 15 / 100 = 1,2 л.

Значит, в растворе содержится 1,2 л чистой соли.

Почему так делаем? Процентная концентрация показывает, какая часть раствора приходится на вещество. Если в растворе 15% соли, то из каждых 100 л такого раствора 15 л — это соль. Поэтому для любого объёма надо взять соответствующую долю от общего объёма.

Частые ошибки:

• умножают 8 на 15 и забывают разделить на 100;
• путают процент с количеством литров;
• берут 15% от 100, а не от 8.

Быстрая проверка: если концентрация меньше 100%, то количество вещества обязательно должно быть меньше общего объёма раствора. Здесь 1,2 л меньше 8 л — ответ выглядит разумно.

Задачи на смеси и сплавы решаются через сохранение массы вещества. Это значит, что количество меди до смешивания равно количеству меди после смешивания.

Шаг 1. Обозначим неизвестную массу полученного сплава.
Пусть масса итогового сплава равна x кг.

Шаг 2. Найдём массу меди в каждом сплаве.
В первом сплаве 40% меди, значит масса меди в нём равна 0,4 · 4 = 1,6 кг.
Во втором сплаве 25% меди, а масса этого сплава нам неизвестна. Но мы знаем, что в итоговом сплаве меди 30%.

Шаг 3. Составим уравнение по массе меди.
Пусть масса второго сплава равна y кг. Тогда:

масса меди в смеси = масса меди из первого сплава + масса меди из второго сплава.

То есть:

0,3(x) = 1,6 + 0,25y.

Но также масса всей смеси равна сумме масс двух сплавов:

x = 4 + y, то есть y = x - 4.

Подставим это в уравнение:

0,3x = 1,6 + 0,25(x - 4).

Раскроем скобки:

0,3x = 1,6 + 0,25x - 1.

0,3x = 0,6 + 0,25x.

0,05x = 0,6.

x = 12.

Ответ: 12 кг.

Как быстро проверять себя: в таких задачах итоговая доля вещества должна лежать между долями исходных сплавов. Здесь 30% действительно лежит между 25% и 40%, значит задача составлена верно и ответ может быть положительным.

Частая ошибка: складывать проценты вместо масс вещества. Проценты нельзя просто сложить или усреднить без учета массы сплавов. Нужно переводить проценты в массу вещества через формулу: масса вещества = доля · масса смеси.

Решаем такие задачи по очень важному принципу: при добавлении воды количество растворённого вещества не меняется, меняется только общий объём раствора. Поэтому сначала находим, сколько соли было в исходном растворе, а потом делим это количество на новый объём.

1. Найдём количество соли в исходном растворе.

Концентрация 25% означает, что в каждом 100 л раствора содержится 25 л соли (точнее, 25% от объёма раствора составляет растворённое вещество). Значит, в 8 л раствора соли было:

8 · 25 / 100 = 2 (л).

2. Найдём новый объём раствора.

К 8 л раствора добавили 4 л воды, значит, стало:

8 + 4 = 12 (л).

3. Найдём новую концентрацию.

Соли по-прежнему 2 л, а общий объём 12 л. Тогда концентрация равна:

2 / 12 · 100% = 16,(6)%.

Обычно в ответе можно записать 16,67% или 16,7% в зависимости от формата округления. В таких заданиях важно внимательно смотреть на варианты ответа и выбирать тот, который совпадает с вычислением.

Правильный ответ: 16,67%.

Как не потерять баллы:

1) Не складывайте проценты: 25% и вода — это не 50% и не среднее арифметическое.

2) Не забывайте, что вода не добавляет соль, значит, количество соли остаётся прежним.

3) Сначала находите количество вещества, потом новый объём, и только потом — новую концентрацию.

Это самый надёжный способ для задач ЕГЭ База на смеси и растворы.

В задачах на растворы и проценты важно понимать главное: процент показывает долю от целого. Если в растворе указана концентрация 15%, это значит, что 15% от всего объёма приходится на соль, а остальные 85% — на воду или другое растворитель.

В нашей задаче дан общий объём раствора: 8 л. Нужно найти объём чистого вещества, то есть соли.

Составим простой расчёт:

1) Переведём 15% в дробь: 15% = 0,15.

2) Умножим объём раствора на эту долю:

8 × 0,15 = 1,2.

Значит, объём чистой соли равен 1,2 л.

Ответ: 1,2.

Как можно быстро проверять себя на ЕГЭ База:

• если процент меньше 100%, то объём чистого вещества должен быть меньше общего объёма раствора;
• если получилось число больше 8 л, значит, где-то допущена ошибка;
• самая частая ошибка — делить на 15 или умножать на 100 вместо того, чтобы взять нужную долю от целого.

Удобная формула для таких задач:

объём вещества = объём раствора × процент / 100.

Эта формула подходит для всех базовых задач на нахождение количества вещества по процентной доле.

Ищем процентное содержание компонента в смеси. В таких задачах нужно помнить главное правило:

процент компонента = (масса компонента / общая масса смеси) × 100%.

Почему именно так? Потому что процент показывает, какую часть от целого составляет нужное вещество. Если масса смеси — это всё целое, то масса компонента — это часть этого целого.

Подставим данные из задачи:

масса компонента = 14 кг, общая масса смеси = 40 кг.

Тогда

14 / 40 × 100% = 35%.

Значит, в смеси содержится 35% этого компонента.

Ответ: 35%.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

• если компонент меньше половины смеси, то его процент должен быть меньше 50%;
• в этой задаче 14 из 40 — это чуть больше трети, значит 35% выглядит логично;
• если получилось число больше 100% или слишком маленькое без причины, значит, скорее всего, перепутали деление или забыли умножить на 100.

Частые ошибки:

• делят 40 на 14 вместо 14 на 40;
• находят только дробь 14/40 = 0,35 и забывают перевести её в проценты;
• путают массу компонента с массой всей смеси.

Для задач этого типа всегда используйте одну и ту же схему: часть / целое × 100%. Это самый надёжный способ не потерять баллы на базовом экзамене.

Когда смешивают равные количества двух растворов одного и того же вещества, итоговая концентрация находится очень просто: это среднее арифметическое данных концентраций.

Почему так происходит? Пусть массы (или объёмы) растворов одинаковы и равны, например, по 1 условной единице. Тогда в первом растворе вещества будет 18% от 1, то есть 0,18 единицы, а во втором — 42% от 1, то есть 0,42 единицы. Всего вещества станет 0,18 + 0,42 = 0,60 единицы, а общий объём смеси — 2 единицы. Значит, концентрация смеси равна

0,60 / 2 = 0,30, то есть 30%.

Можно и быстрее: при равных количествах концентрация смеси равна средней арифметической:

(18% + 42%) / 2 = 60% / 2 = 30%.

Правильный ответ: 30%.

Типичная ошибка на ЕГЭ База — просто сложить проценты и написать 60%. Это неверно, потому что проценты нужно считать от общего количества смеси, а не складывать напрямую. Другая частая ошибка — взять один из исходных процентов, например 18% или 42%, хотя после смешивания концентрация обязательно будет между ними.

Как себя проверить? Ответ должен лежать строго между 18% и 42%. Число 30% этому условию подходит.

Решаем задачу по стандартному правилу для смесей: сначала находим, сколько чистого вещества содержится в каждом растворе, потом складываем эти количества и делим на общий объём смеси.

1. Найдём количество вещества в первом растворе.
В 2 литрах 15%-го раствора содержится:

2 × 15 / 100 = 0,3 л вещества.

2. Найдём количество вещества во втором растворе.
В 3 литрах 25%-го раствора содержится:

3 × 25 / 100 = 0,75 л вещества.

3. Сложим количество вещества и общий объём.
Общее количество вещества:

0,3 + 0,75 = 1,05 л.

Общий объём смеси:

2 + 3 = 5 л.

4. Найдём концентрацию смеси.
Концентрация равна отношению количества вещества к объёму смеси:

1,05 / 5 = 0,21 = 21%.

Ответ: 21%.

Как проверять себя на ЕГЭ База: итоговая концентрация при смешивании растворов одного вещества должна лежать между исходными концентрациями. У нас получилось 21%, а это действительно между 15% и 25%, значит ответ выглядит разумно.

Типичная ошибка: находить простое среднее арифметическое: (15% + 25%) / 2 = 20%. Это неверно, потому что объёмы растворов разные. Здесь нужно учитывать, что 3 литра более концентрированного раствора влияют на результат сильнее, чем 2 литра менее концентрированного.

Быстрый способ запомнить: в таких задачах всегда используйте схему
«количество вещества = объём × концентрация»,
потом «складываем вещества»,
потом «делим на общий объём».

Так как смешивают равные количества растворов одного и того же вещества, итоговую концентрацию можно найти как среднее арифметическое исходных концентраций.

Обозначим массу (или объём — это не важно, если он одинаковый) каждого раствора через m. Тогда в первом растворе чистого вещества содержится 0,18m, а во втором — 0,46m.

После смешивания общее количество вещества станет:

0,18m + 0,46m = 0,64m.

Общая масса раствора равна 2m, потому что смешали два равных количества. Тогда концентрация смеси:

0,64m / 2m = 0,32, то есть 32%.

Ответ: 32.

Почему это удобно запомнить? Если смешиваются равные количества двух растворов одного вещества, итоговая концентрация всегда находится как (c₁ + c₂) / 2. Это очень быстрый способ для ЕГЭ База.

Типичная ошибка — просто сложить проценты: 18% + 46% = 64%. Это неверно, потому что проценты нужно усреднять с учётом количества растворов. Здесь количества одинаковые, поэтому действительно берём среднее, а не сумму.

Проверка себя: ответ должен лежать между 18% и 46%. Получилось 32%, значит всё разумно.