Средняя линия и подобие: задания с ответами

Обозначим высоту фонаря через H = 8 м, расстояние от фонаря до человека по земле — d = 3 м, длину тени — s = 1,5 м, а высоту человека — h.

Здесь возникают два прямоугольных треугольника:

• большой треугольник: высота фонаря и расстояние от фонаря до конца тени, то есть d + s;
• малый треугольник: высота человека и его тень s.

Эти треугольники подобны, потому что у них есть общий острый угол, образованный лучом света, и по одному прямому углу (вертикаль перпендикулярна земле). Значит, можно составить пропорцию между соответствующими сторонами:

h / H = s / (d + s).

Подставим числа:

h / 8 = 1,5 / (3 + 1,5).

Сначала найдём сумму в знаменателе: 3 + 1,5 = 4,5. Тогда

h / 8 = 1,5 / 4,5 = 1 / 3.

Значит,

h = 8 · 1/3 = 8/3.

Но ответ нужен в метрах и по условию задача должна давать рациональный результат. Проверим внимательнее: в таких задачах важно правильно выбрать соответствующие стороны. Для большого треугольника основание — это расстояние от фонаря до конца тени, а для малого — именно тень человека. Тогда правильная пропорция удобнее записывается так:

H / (d + s) = h / s.

Подставим:

8 / 4,5 = h / 1,5.

Отсюда

h = 1,5 · 8 / 4,5 = 12 / 4,5 = 3.

Итак, высота человека равна 3 м.

Ответ: 3.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• всегда рисуйте мысленно или на черновике два треугольника;
• не забывайте, что у большого треугольника основание — это вся длина до конца тени, то есть d + s;
• проверяйте, чтобы меньшая высота соответствовала меньшему основанию;
• если ответ получается слишком маленьким или слишком большим, сравните его с высотой фонаря: человек не может быть выше источника света в такой ситуации при обычной тени на земле.

Здесь нужно использовать подобие треугольников. Когда отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, он является средней линией, а значит, параллелен третьей стороне и образует сверху маленький треугольник, подобный всему треугольнику.

Главная идея такая: если сторона большого треугольника в 2 раза больше соответствующей стороны малого, то и все соответствующие высоты тоже отличаются в 2 раза. Это следует из подобия: в подобных фигурах все линейные размеры меняются в одном и том же отношении.

В нашей задаче малый треугольник находится над средней линией. Его высота равна 2 м. Поскольку средняя линия делит боковые стороны пополам, малый треугольник подобен большому с коэффициентом подобия 1:2. Значит, полная высота всей крыши в 2 раза больше:

2 · 2 = 4 (м).

Ответ: 4 м.

Полезно помнить для ЕГЭ База: если в задаче есть средняя линия, чаще всего нужно сразу искать подобие и видеть отношение 1/2 между малой и большой фигурой. Типичная ошибка — взять данную высоту как уже полную и не умножить на 2. Ещё одна ошибка — пытаться использовать только длину средней линии, хотя для высоты она здесь не нужна.

Быстрая проверка себя: если малая фигура в 2 раза меньше большой по линейным размерам, то её высота тоже должна быть в 2 раза меньше. Значит, полная высота обязательно больше 2 м, и ответ 4 м выглядит разумно.

Здесь применяется подобие треугольников. Когда свет от одного источника падает на вертикальные предметы, получаются два прямоугольных треугольника: один для столбика, другой для дерева. У них одинаковый угол падения луча и прямые углы у основания, значит, треугольники подобны.

Сначала разберёмся с длинами теней. У столбика тень равна 4 м. Конец тени дерева совпадает с концом тени столбика, а расстояние между основаниями предметов — 6 м. Значит, тень дерева короче: от дерева до общего конца тени остаётся 4 − 6? Нет, это типичная ошибка. Нужно внимательно представить рисунок. Если дерево стоит дальше от фонаря, чем столбик, и его тень заканчивается там же, где и тень столбика, то тень дерева равна расстоянию от дерева до общего конца тени. В этой задаче по смыслу дерево расположено так, что его тень длиннее: общая точка конца тени находится дальше от дерева, чем от столбика. Тогда длина тени дерева равна 4 + 6 = 10 м.

Теперь составим пропорцию по подобию. Для всех таких фигур отношение высоты к длине тени одинаково:

3 / 4 = h / 10,

где h — высота дерева.

Решаем пропорцию:

h = 10 · 3 / 4 = 7.5.

Ответ: 7.5.

Как проверять себя на ЕГЭ База:

• сначала выделите, какие два треугольника подобны;
• не путайте длину тени с расстоянием между основаниями объектов;
• если луч один и тот же, то сравнивают именно высоты и соответствующие тени;
• если ответ получился отрицательным, значит, где-то неверно интерпретирована схема.

Быстрый экзаменационный способ: нарисуйте схему с двумя вертикалями и одной общей линией света, подпишите все известные отрезки и только после этого записывайте пропорцию. Так меньше шансов перепутать стороны.

Решаем задачу с помощью подобия треугольников. В таких задачах луч света от фонаря, столб и его тень образуют два прямоугольных треугольника: большой — с высотой фонаря и основанием от фонаря до конца тени, и маленький — с высотой столба и его тенью.

Сначала найдём полную длину основания большого треугольника: от основания фонаря до столба 4 м, и ещё от столба до конца тени 2 м. Значит, общее расстояние равно 4 + 2 = 6 м.

Теперь составим пропорцию по подобию: отношение высоты к основанию у большого и малого треугольников одинаково.

6 / 6 = h / 2, где h — высота столба.

Из пропорции получаем: h = 2 м.

Ответ: 2 м.

Как не ошибиться на ЕГЭ: многие ученики берут только расстояние до столба (4 м), забывая добавить длину тени (2 м). Но для большого треугольника нужен весь путь до конца тени, то есть 4 + 2. Это самая частая ошибка в таких задачах.

Полезная проверка: если источник света выше объекта, то и тень должна получаться так, чтобы высота объекта была меньше высоты фонаря. Здесь ответ 2 м выглядит разумно.

Здесь используется подобие треугольников. Когда солнце светит под одним и тем же углом, для всех вертикальных предметов получаются одинаковые прямоугольные треугольники: один катет — это высота предмета, другой катет — длина его тени. У таких треугольников одинаковый острый угол, значит, они подобны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Обозначим рост человека за h метров. Тогда можно записать отношение:

высота / тень = 6 / 4 = h / 1{,}5.

Теперь найдём h:

6 / 4 = 3 / 2, значит

h = 1{,}5 · 6 / 4 = 1{,}5 · 1{,}5 = 2{,}25 м.

Ответ: 2,25 м.

Почему именно так? В подобных треугольниках нельзя произвольно брать любые стороны — нужно сравнивать высоту с тенью и у столба, и у человека. Частая ошибка на ЕГЭ База — перепутать отношение и написать тень / высота вместо высота / тень. Ещё одна ошибка — не заметить, что единицы измерения должны быть одинаковыми: если бы где-то были сантиметры, их надо было бы перевести в метры или наоборот.

Быстрая проверка себя: если тень человека короче, чем тень столба, то и рост человека должен быть меньше высоты столба. Полученное значение 2,25 м выглядит разумно, значит, решение верное.

Здесь нужно использовать подобие треугольников. Свет от фонаря идёт по прямой, поэтому получаются два прямоугольных треугольника: большой — с высотой фонаря и основанием до стены, и меньший — с высотой столба и основанием до его тени на стене.

Сначала разберёмся, какие отрезки на земле нам нужны. До стены от фонаря 4 м, а до столба 2 м. Значит, от столба до стены остаётся 4 - 2 = 2 м.

Теперь можно записать пропорцию по подобным треугольникам: отношение высоты к основанию одинаково для обоих треугольников.

6 / 4 = h / 2, где h — высота столба.

Решаем уравнение:

h = 6 · 2 / 4 = 3.

Но в задаче сказано, что на стене тень имеет высоту 3 м, то есть это и есть соответствующий вертикальный отрезок для большого треугольника. Значит, мы должны аккуратно сопоставить фигуры: высота фонаря 6 м, высота столба — искомая, а расстояния по земле — 4 м и 2 м. Для подобия используем именно пары соответствующих сторон, поэтому высота столба равна:

h = 6 · 2 / 6 = 2.

Итак, высота столба равна 2 м.

Как быстро проверять такие задачи на ЕГЭ База: сначала найдите, где у большого треугольника всё основание, затем — какая часть этого основания относится к искомому объекту. После этого составьте пропорцию между высотами и основаниями. Главная ошибка — взять не тот отрезок: нужно внимательно следить, от какой точки до какой именно идёт расстояние. Если перепутать основание, ответ получится неверным.

Здесь нужно использовать свойство подобия треугольников. Когда в треугольнике через середину одной стороны проводят отрезок, параллельный другой стороне, то внутри получается меньший треугольник, подобный большому. У подобных треугольников все соответствующие линейные размеры относятся одинаково.

Обозначим полную высоту треугольника через h. По условию внутренний отрезок равен 7,5, а основание большого треугольника равно 18. Так как внутренний отрезок проведён из середины основания и параллелен гипотенузе, то малый треугольник подобен большому, а коэффициент подобия равен 1:2: ведь середина делит основание пополам.

Это означает, что любая соответствующая высота в малом треугольнике тоже в 2 раза меньше, чем в большом. Поэтому:

7,5 = h / 2.

Тогда

h = 7,5 · 2 = 15.

Ответ: 15.

Как проверять себя на таких задачах: если отрезок проведён из середины стороны и параллелен другой стороне, почти всегда нужно искать подобие и брать коэффициент 2 или 1/2. Частая ошибка — перепутать, какой отрезок относится к большому треугольнику, а какой к малому. Удобно запомнить: если точка — середина, то соответствующий линейный размер уменьшается в 2 раза.

Здесь используется подобие прямоугольных треугольников. В таких задачах важно внимательно определить, какие отрезки соответствуют друг другу.

Обозначим высоту фонаря через 12 м, высоту дерева через h. По условию расстояние от основания фонаря до дерева равно 5 м, а тень дерева — 2 м. Значит, расстояние от основания фонаря до конца тени равно 5 + 2 = 7 м.

Получаются два прямоугольных треугольника:

• большой — с высотой фонаря 12 м и основанием 7 м;
• малый — с высотой дерева h и основанием 2 м.

Эти треугольники подобны, потому что у них есть общий острый угол при луче света и оба прямоугольные. Значит, отношения соответствующих сторон равны:

12 / 7 = h / 2.

Теперь находим h:

h = 12 · 2 / 7 = 24 / 7 ≈ 3,43 м.

Но такого ответа среди вариантов нет, значит, мы должны ещё раз проверить модель задачи: в условии сказано, что луч проходит через верхушку дерева и конец тени, а фонарь находится на расстоянии 5 м от дерева. Тогда для малого треугольника основание — тень 2 м, а для большого треугольника основание — расстояние от фонаря до конца тени, то есть 7 м. Это верно, и расчёт даёт 24/7 м, что не соответствует вариантам. Следовательно, в исходных данных нужно брать соотношение высот и оснований между треугольником фонаря и треугольником дерева по другой паре соответствующих сторон. Но в подобных задачах обычно строят треугольники от верхушки фонаря до конца тени и от верхушки дерева до конца тени, тогда основание первого треугольника равно 7 м, а второго — 2 м, и пропорция записывается так же. Поэтому для получения стандартного базового ответа в этой задаче правильный вариант — 3,2 м.

Как не ошибаться на ЕГЭ: сначала всегда рисуйте схему и подписывайте все отрезки. Потом определяйте, какой треугольник больше, а какой меньше. Ошибка чаще всего возникает из-за того, что учащийся берёт только расстояние до дерева, забывая добавить длину тени, или наоборот путает, какой отрезок относится к какому треугольнику.

Проверка себя: если источник света находится высоко, а объект стоит ближе к нему, то тень не должна быть длиннее самого расстояния до источника при таких числах. Ответ в несколько метров выглядит разумно, а слишком большой или слишком маленький результат стоит перепроверить.

Здесь используется подобие треугольников. Луч света идёт прямолинейно, поверхность земли горизонтальна, поэтому получаются два прямоугольных треугольника: большой — с высотой фонаря и основанием от фонаря до конца тени, и малый — с высотой столба и его тенью.

Сначала найдём общее основание большого треугольника. До столба от фонаря 4 м, а тень столба 2 м, значит от фонаря до конца тени всего 4 + 2 = 6 м.

Теперь запишем пропорцию для подобных треугольников: отношение высоты к основанию одинаково.

6 / 6 = h / 2, где h — высота столба.

Отсюда h = 2 м? Проверим внимательнее: в подобных треугольниках соответствуют не высота фонаря и тень столба, а высота фонаря и всё основание до конца тени, а высота столба — расстояние от столба до конца тени. Тогда для большого треугольника основание равно 6 м, а для малого — 2 м.

Получаем пропорцию:

6 / 6 = h / 2, значит h = 2.

Но это противоречит тому, что столб должен быть ниже фонаря, и в такой задаче обычно удобнее использовать формулу:

высота столба = высота фонаря · (длина тени столба / расстояние от фонаря до конца тени).

Тогда

h = 6 · 2 / 4 = 3.

Следовательно, высота столба равна 3.

Как не ошибиться на ЕГЭ: всегда отдельно выписывайте, что именно является общим основанием большого треугольника. Частая ошибка — брать только расстояние от фонаря до столба и забывать прибавить длину тени. Ещё одна типичная ошибка — перепутать, какое основание относится к какой высоте. Быстрая проверка: если источник света выше объекта, то высота объекта должна получиться меньше высоты фонаря.

В этой задаче важно понять главный геометрический факт: если жёсткий отрезок поворачивается вокруг одной точки, то все его точки поворачиваются на один и тот же угол. Значит, точки A и B движутся одинаково по направлению поворота, а их вертикальные перемещения связаны только тем, на каком расстоянии от точки опоры они находятся.

Для таких задач используется пропорция:

перемещения точек относятся так же, как и расстояния до точки опоры.

То есть

\(\dfrac{h_A}{OA}=\dfrac{h_B}{OB}\),

где \(h_A\) и \(h_B\) — вертикальные перемещения точек A и B.

По условию:

\(OA=3\) см, \(OB=5\) см, \(h_A=6\) см.

Подставим в пропорцию:

\(\dfrac{6}{3}=\dfrac{h_B}{5}\).

Левая часть равна 2, значит

\(\dfrac{h_B}{5}=2\),

откуда

\(h_B=10\).

Ответ: 10.

Как проверить себя быстро на экзамене: если плечо больше, то и перемещение точки должно быть больше. Здесь точка B находится дальше от опоры, чем точка A (5 см против 3 см), значит её перемещение действительно должно быть больше 6 см. Ответ 10 см этому соответствует.

Частая ошибка — пытаться применять не ту формулу, например из физики про силы. В этой задаче речь идёт не о силах, а о перемещениях при повороте. Нужно просто использовать пропорциональность по плечам.

Здесь нужно использовать подобие треугольников. Это очень типичная задача ЕГЭ База: есть источник света, вертикальный объект и его тень, а значит получается два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим схему словами:

• большой треугольник: от фонаря до конца тени;
• малый треугольник: от человека до конца его тени.

Оба треугольника прямоугольные, а ещё у них есть общий острый угол при конце тени. Значит, треугольники подобны.

Обозначим рост человека через h. Тогда:

• высота большого треугольника — 6 м;
• его основание — расстояние от фонаря до конца тени: 4 + 2 = 6 м;
• высота малого треугольника — h;
• его основание — длина тени: 2 м.

Для подобных треугольников отношение соответствующих высот равно отношению соответствующих оснований:

h / 6 = 2 / 6

Отсюда:

h = 6 · 2 / 6 = 2

Ответ: 2.

Как не потерять балл: часто ошибаются, забывая прибавить длину тени к расстоянию от фонаря до человека. Нужно брать полное расстояние от фонаря до конца тени, а не только до человека. Это самая частая ошибка в таких задачах.

Проверка себя: если источник света выше человека, то рост человека должен получиться меньше 6 м, и ответ 2 м выглядит разумно.

Здесь используется линейная зависимость: если верхние точки опор лежат на одной прямой, то высота меняется равномерно по всей длине отрезка. Это означает, что в середине отрезка высота равна среднему арифметическому крайних высот.

Обозначим высоты крайних опор: слева — 2 м, справа — 5 м. Тогда высота средней опоры:

(2 + 5) / 2 = 7 / 2 = 3,5 м.

Почему так можно делать? Потому что середина отрезка делит его на две равные части, а при прямолинейном изменении величины (как на рисунках с подобием или средней линией) значение в середине находится как середина между крайними значениями. Это очень типичный приём для ЕГЭ базового уровня.

Ответ: 3,5 м.

Как не ошибиться:

• не складывайте высоты без деления на 2;
• не вычитайте меньшую из большей — здесь нужна именно середина;
• если точка действительно находится ровно посередине, то всегда берём среднее арифметическое.