Логарифмы и тригонометрические функции: задания с ответами

Используем основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1.

Подставим известное значение синуса:

(4/5)² + cos²α = 1.

Получаем:

16/25 + cos²α = 1, значит cos²α = 1 - 16/25 = 9/25.

Теперь извлекаем корень: cos α = ±3/5. Но ответ должен учитывать промежуток, в котором лежит угол.

Так как α ∈ (π/2; π), угол находится во II четверти. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Значит, подходит только

cos α = -3/5.

Ответ: -3/5.

Типичная ошибка на ЕГЭ База — найти только модуль косинуса и забыть про знак. Всегда действуйте в два шага: сначала найдите значение по тождеству, потом обязательно определите четверть и знак. Это позволяет быстро избежать потери баллов в задачах на синус и косинус.

Решаем по шагам, используя главное свойство тригонометрических функций — периодичность. Синус не меняется, если к углу прибавить или вычесть полный оборот, то есть 360°.

В нашем выражении угол 390° больше 360°, поэтому сначала сводим его к эквивалентному углу в пределах от 0° до 360°:

390° = 360° + 30°.

Значит,

sin 390° = sin 30°.

Теперь вспоминаем точное значение:

sin 30° = 1/2.

Подставляем в выражение:

2·sin 390° = 2·(1/2) = 1.

Ответ: 1.

Как не потерять балл на ЕГЭ: сначала всегда проверяйте, можно ли убрать из угла полный оборот 360°. Это самый быстрый способ. Затем обязательно вспоминайте точное значение стандартного угла: 30°, 45°, 60° или 90°. Частая ошибка — забыть, что синус после прибавления 360° не меняется, или неверно вычислить значение sin 30°. Если ответ получается дробным, но стоит числовой коэффициент перед синусом, не забудьте умножить его в конце.

Здесь нужно использовать основное свойство логарифма, когда и основание, и аргумент являются степенями одного и того же числа.

Напомним правило: если ${log}_{a^m}{a}^n$, то его значение равно $\frac{n}{m}$, при условии, что $a>0$ и $a\ne 1$.

В нашей задаче основание логарифма равно $5^{\frac{1}{2}}$, а аргумент равен $5^3$. Значит, можно сразу применить формулу:

${log}_{5^{\frac{1}{2}}}{5}^3=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.

Можно рассуждать и через определение логарифма: нужно найти такое число $x$, что ${\left(5^{\frac{1}{2}}\right)}^x=5^3$. Тогда $5^{\frac{x}{2}}=5^3$, откуда $\frac{x}{2}=3$, значит $x=6$.

Ответ: 6.

Типичная ошибка — не заметить, что показатель у основания $\frac{1}{2}$, и по привычке просто “отнять показатели” или “перемножить степени”. В логарифмах такого вида нужно делить показатель аргумента на показатель основания.

Полезная проверка для ЕГЭ: если основание меньше 1 в степени, а аргумент больше, ответ может оказаться больше 1. Здесь $\frac{1}{2}$ в знаменателе дроби действительно даёт результат 6, что выглядит правдоподобно.

Решим выражение по шагам, используя табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов.

1. Вспоминаем значения функций.
Для углов из набора стандартных значений нужно знать:

• tg π/4 = 1, потому что при угле 45° тангенс равен 1;
• cos π/3 = 1/2, так как косинус 60° равен 1/2;
• sin π/6 = 1/2, так как синус 30° равен 1/2.

2. Подставляем значения в выражение.
Получаем:

1 · 1/2 + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1.

3. Ответ.
Итак, значение выражения равно 1.

Как не ошибиться на ЕГЭ База:

• не путайте sin π/6 и cos π/3: у них одинаковое численное значение, но это разные функции;
• проверяйте знаки: для углов 30°, 45°, 60° все использованные здесь значения положительные;
• если выражение состоит из нескольких простых частей, сначала замените каждую функцию её табличным значением, а потом выполняйте обычные действия с дробями.

Полезная привычка для проверки: если получилось число, быстро оцените его правдоподобность. Здесь 1 · 1/2 и ещё 1/2 действительно дают 1, так что ответ логичен.

Используем определение логарифма: log_ab = x означает, что a^x = b. В нашей задаче нужно найти число x, для которого 4^x = 64.

Теперь удобно представить оба числа как степени двойки: 4 = 2², а 64 = 2⁶. Тогда уравнение становится таким: (2²)^x = 2⁶.

По правилу степени степени получаем 2^2x = 2⁶. Если основания равны и больше нуля, то равны и показатели: 2x = 6. Отсюда x = 3.

Значит, log₄ 64 = 3.

Как проверять себя в таких заданиях: подставьте найденный ответ обратно в определение. Если 4³ = 64, значит ответ верный. Это хороший быстрый способ не потерять балл на ЕГЭ.

Типичная ошибка — пытаться вспоминать формулу «наизусть» без преобразования чисел. Но в заданиях Базы почти всегда проще сначала переписать основание и аргумент как степени одного и того же числа, а потом сравнить показатели. Еще одна частая ошибка — забыть, что логарифм определён только при положительном аргументе и основании, не равном 1. Здесь эти условия выполнены, значит решение корректно.

Используем основные свойства логарифмов. В подобных заданиях ЕГЭ База важно не пытаться складывать аргументы логарифмов «на глаз», а сначала привести выражение к одному логарифму.

Дано: \(\log_3 9 + 2\log_3 2\).

Шаг 1. Преобразуем множитель перед логарифмом в показатель степени:

\(2\log_3 2 = \log_3 2^2\), потому что \(k\log_b a = \log_b(a^k)\).

Тогда выражение становится:

\(\log_3 9 + \log_3 4\).

Шаг 2. Складываем логарифмы с одинаковым основанием:

\(\log_3 9 + \log_3 4 = \log_3(9\cdot 4)\).

Получаем:

\(\log_3 36\).

Шаг 3. Вычисляем значение. Удобно заметить, что \(36 = 9\cdot 4 = 3^2\cdot 4\), но число 36 не является степенью тройки, значит нужно аккуратно проверить исходное выражение. Здесь важен следующий момент: в школьных заданиях обычно подбирают числа так, чтобы логарифм был целым. Поэтому давайте пересчитаем через более удобную форму: \(\log_3 9 = 2\), а \(\log_3 2\) — это не целое число. Значит выражение в таком виде не даёт целого ответа, что неудобно для базового теста.

Чтобы задание было типовым и однозначно вычислимым, правильный ответ должен соответствовать вычислению \(\log_3 9 + 2\log_3 3\) или похожему выражению. Но в нашем вопросе именно исходное выражение даёт значение \(\log_3 36\), которое не является целым числом. Поэтому среди вариантов ответа правильным должен быть именно этот результат.

Как решать такие примеры на экзамене быстро: 1) уберите коэффициент внутрь логарифма как степень; 2) объедините логарифмы с одинаковым основанием; 3) только потом считайте. Частая ошибка — написать \(\log_3(9+4)\) или \(\log_3 9 + 2\log_3 2 = \log_3(18)\). Это неверно, потому что логарифмы не складываются по аргументам, а объединяются через произведение.

Итак, значение выражения равно \(\log_3 36\).

Сначала нужно увидеть, что подлогарифмическое выражение можно записать в виде степени с тем же основанием, что и у логарифма. Это главный приём в таких заданиях ЕГЭ База.

Имеем: \(125 = 5^3\). Тогда

\(\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5\).

Теперь выражение принимает вид:

\(\log_5 5\).

По определению логарифма \(\log_a a = 1\) при \(a>0\) и \(a\neq 1\). Значит,

\(\log_5 5 = 1\).

Ответ: 1.

Как не потерять балл: часто ошибаются и сразу пишут \(\log_5 125 = 3\), забывая про кубический корень. Но корень нужно сначала преобразовать в степень: \(\sqrt[3]{5^3}=5\), а уже потом считать логарифм.

Быстрая проверка: если под логарифмом после преобразования получилось само основание, ответ всегда равен 1.

Используем основное свойство логарифма и степени: если основание степени и основание логарифма одинаковые, то

\(a^{\log_a b}=b\), где \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\).

В нашем выражении показатель степени состоит из суммы: \(\log_3 4 + 2\). Это значит, что удобнее представить степень как произведение:

\(3^{\log_3 4 + 2}=3^{\log_3 4}\cdot 3^2\).

Теперь применяем тождество:

\(3^{\log_3 4}=4\).

А \(3^2=9\).

Тогда

\(3^{\log_3 4 + 2}=4\cdot 9=36\).

Ответ: 36.

Как не ошибиться на ЕГЭ База: не нужно пытаться вычислять \(\log_3 4\) отдельно через десятичную дробь — это долго и не нужно. Если видите вид \(a^{\log_a b}\), сразу заменяйте его на \(b\). Затем не забудьте про добавочное число в показателе: оно даёт дополнительный множитель \(a^c\). Частая ошибка — учитывать только логарифмическую часть и забывать про «+2».

Используем главное свойство тангенса: tg(α + 180°k) = tg α для любого целого числа k. Это значит, что у тангенса период равен 180°, а не 360°, как у синуса и косинуса. Именно поэтому углы, отличающиеся на 180°, 360°, 540° и т. д., дают одинаковое значение тангенса.

Вычислим:

765° = 720° + 45°, а 720° = 4·180°. Значит, можно убрать полный период тангенса:

tg 765° = tg 45° = 1.

Теперь подставляем в выражение:

2·tg 765° = 2·1 = 2.

Итак, ответ: 2.

Как не ошибиться на экзамене: сначала всегда проверяйте, какую функцию вы считаете. Для тангенса и котангенса период не 360°, а 180°. Затем сведите угол к табличному: 0°, 30°, 45°, 60° или 90° (если значение определено). В этой задаче 765° удобно сократить до 45°.

Типичная ошибка — вычитать 360° и думать, что это «полный оборот для всех функций». Для тангенса можно, конечно, вычитать и 360°, но удобнее и правильнее помнить его собственный период 180°.

Используем основное тождество для тангенса и котангенса одного и того же угла:

tg x · ctg x = 1, если обе функции определены.

Почему это верно? Напомним определения:

tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.

Тогда их произведение равно

(sin x / cos x) · (cos x / sin x) = 1.

Для угла 30° обе функции определены: sin 30° ≠ 0 и cos 30° ≠ 0, значит можно сразу применять тождество.

Следовательно,

tg 30° · ctg 30° = 1.

Ответ: 1.

Как не потерять балл на ЕГЭ: не нужно подставлять значения тангенса и котангенса через таблицу, если видите произведение tg x и ctg x одного угла. Обычно достаточно вспомнить, что эти функции взаимно обратны. Но обязательно проверьте область определения: если бы угол делал tg или ctg несуществующими, тождество применять нельзя. В этом задании ограничение соблюдено, поэтому ответ получается сразу.

Здесь нужно использовать главное свойство логарифма, когда и основание, и аргумент выражены через одну и ту же степень одного числа.

Напомним: если \(\log_b c = x\), то по определению \(b^x=c\). В нашей задаче основание — это \(4^{\frac12}\), а аргумент — \(4^3\).

Сначала можно заметить, что \(4^{\frac12}=2\), потому что \(\sqrt{4}=2\). Тогда выражение превращается в \(\log_2 64\), ведь \(4^3=64\).

Теперь ищем, в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 64. Так как \(2^6=64\), то \(\log_2 64=6\).

Можно решить и по общей формуле: \(\log_{a^m}(a^n)=\frac{n}{m}\). Здесь \(a=4\), \(m=\frac12\), \(n=3\), значит

\[\log_{4^{\frac12}}4^3=\frac{3}{\frac12}=6.\]

Ответ: 6.

Типичная ошибка — перемножить показатели или просто вычесть их. Для логарифма такого вида нужно именно делить показатель аргумента на показатель основания, если обе части записаны через одно и то же число. Ещё одна важная проверка: основание логарифма должно быть положительным и не равным 1. Здесь \(4^{\frac12}=2\), значит всё корректно.

Используем главное свойство логарифма и степени с одинаковым основанием:

a^log_ab = b, если a>0, a≠1, b>0.

В нашем выражении основание степени и основание логарифма одинаковые: это 5. Поэтому удобно представить показатель как сумму:

5^log₅3+2 = 5^log₅3 · 5².

Теперь отдельно упростим каждую часть:

5^log₅3 = 3, потому что логарифм и степень “сокращаются” друг с другом.

5² = 25.

Тогда всё выражение равно:

3 · 25 = 75.

Ответ: 75.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: не пытайтесь считать log₅3 отдельно через калькулятор — это не нужно. В таких задачах почти всегда надо заметить, что a^log_ab = b. Если в показателе есть ещё число, сначала разбейте степень на произведение: a^x+y = a^x·a^y. Это самый надёжный и быстрый способ.