Логарифмические уравнения: задания с ответами

Решим уравнение по шагам, используя основное свойство логарифмов.

Дано:

log₃(x+4) − log₃2 = 2.

1. Объединим разность логарифмов.
Если основания одинаковые, то можно использовать формулу:

log_aA − log_aB = log_a(A/B),

где A > 0, B > 0, a > 0, a ≠ 1.

Тогда левая часть превращается в:

log₃((x+4)/2) = 2.

2. Перейдём от логарифмической формы к показательной.
По определению логарифма:

log₃Y = 2 означает Y = 3².

Значит,

(x+4)/2 = 9.

3. Решим полученное линейное уравнение.
x+4 = 18, откуда x = 14.

4. Проверим область допустимых значений.
Аргумент логарифма должен быть положительным: x+4 > 0, то есть x > -4. Число 14 этому условию удовлетворяет, значит, ответ подходит.

Ответ: 14.

Как не потерять баллы на таких заданиях:

1) Сначала всегда проверяйте, что аргументы логарифмов положительны.
2) Если логарифмы с одинаковым основанием вычитаются, удобно сводить их к одному логарифму.
3) После этого переходите к обычному уравнению без логарифмов.
4) В конце обязательно делайте проверку ОДЗ: в ЕГЭ База это помогает избежать досадных ошибок.

Типичная ошибка: некоторые ученики сразу «убирают» логарифмы, не объединив их правильно, или забывают про условие x+4 > 0. Здесь этого делать нельзя: сначала преобразование, потом решение, потом проверка.

Решаем уравнение с логарифмами одного и того же основания. Это самый типичный формат для ЕГЭ База: сначала нужно объединить сумму логарифмов, а потом перейти к обычному уравнению.

Дано:

${\log }_3(x+1)+{\log }_3$.

Используем свойство логарифмов:

${\log }_{\mathrm{a}}u+{\log }_{\mathrm{a}}v={\log }_{\mathrm{a}}\left(uv\right)$,

если $u>0$ и $v>0$.

Тогда левая часть превращается в один логарифм:

${\log }_3\left(2\right(x+1\left)\right)={\log }_3\left(8\right)$.

Теперь, так как основания логарифмов одинаковые и равны 3, а $3>1$, можно приравнять аргументы:

$2(x+1)=8$.

Решаем линейное уравнение:

$x+1=4$,

$x=3$.

Проверим область допустимых значений: под логарифмом $x+1$ должно быть положительное число, значит $x>-1$. Число $3$ этому условию подходит, значит ответ верный.

Ответ: 3.

Полезное правило для экзамена: если в уравнении сумма логарифмов с одинаковым основанием равна одному логарифму, почти всегда сначала надо свернуть левую часть в один логарифм, а потом решить обычное уравнение. Самая частая ошибка — забыть про ОДЗ или неправильно объединить логарифмы. Всегда проверяйте, чтобы каждый аргумент логарифма был положительным.

Используем главное свойство логарифма: log_a(1) = 0 при a > 0 и a ≠ 1. Это означает, что если логарифм равен нулю, то его аргумент обязан быть равен 1.

В нашем уравнении log₃(2x - 5) = 0, значит нужно решить простое уравнение:

2x - 5 = 1.

Тогда 2x = 6, откуда x = 3.

Теперь обязательно проверим область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть 2x - 5 > 0. При x = 3 получаем 2 · 3 - 5 = 1, а 1 > 0, значит решение подходит.

Ответ: 3.

Полезно помнить типичную ошибку: некоторые ученики по привычке приравнивают аргумент к нулю или забывают про проверку. Но для логарифма нулевым становится именно тот случай, когда аргумент равен 1, а не 0. Это самый быстрый способ решать такие задания на ЕГЭ База.

Решим уравнение по шагам. Важно помнить два главных правила для логарифмов:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным.
2. Если из логарифмов одного и того же основания вычитают логарифмы, то можно воспользоваться свойством: log_aA − log_aB = log_a(A/B), где A>0, B>0, a>0, a≠1.

У нас дано:

log₃(x+2) − log₃4 = 1.

Сначала объединим разность логарифмов:

log₃((x+2)/4) = 1.

Теперь используем определение логарифма: если log₃y = 1, то y = 3¹ = 3. Значит,

(x+2)/4 = 3.

Решаем обычное линейное уравнение:

x+2 = 12, откуда x = 10.

Теперь обязательно проверим область допустимых значений. Для логарифма log₃(x+2) нужно, чтобы x+2>0, то есть x>−2. Наш ответ 10 подходит, значит он верный.

Ответ: 10.

Типичная ошибка на ЕГЭ — забыть про ОДЗ или неверно применить свойство разности логарифмов. Если уравнение уже сводится к одному логарифму, дальше почти всегда помогает переход к показательной форме: log_ay = k означает y = a^k. Это быстрый и надежный способ не потерять балл.

Решаем уравнение, используя главное свойство логарифмов: множитель перед логарифмом можно перенести в показатель степени аргумента.

Дано: ${\log }_2(x+5)=3\cdot {\log }_2(2)$.

Сначала упростим правую часть. По свойству $a\cdot {\log }_b(c)={\log }_b(c^a)$, получаем: $3\cdot {\log }_2(2)={\log }_2(2^3)={\log }_2(8)$.

Тогда уравнение принимает вид: ${\log }_2(x+5)={\log }_2(8)$.

Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы (при условии, что оба аргумента положительны). Значит: $x+5=8$, откуда $x=3$.

Проверим область допустимых значений: $x+5>0$, то есть $x>-5$. Число $3$ подходит, значит это верный ответ.

Ответ: 3.

Как не ошибиться на ЕГЭ: если справа стоит число, умноженное на логарифм, сначала обязательно превратите его в один логарифм с показателем степени. Частая ошибка — просто “сократить” логарифмы или забыть про ОДЗ. В таких заданиях всегда быстро проверяйте, что аргумент логарифма положителен.

Решим уравнение по шагам и обязательно проверим область допустимых значений.

1. Вспоминаем смысл логарифма. Если log₃(2x - 1) = 2, то это означает, что число 2x - 1 равно 3², потому что логарифм показывает, в какую степень надо возвести основание 3, чтобы получить аргумент.

Значит, можно перейти к уравнению:

2x - 1 = 3² = 9.

2. Решаем обычное линейное уравнение.

2x = 10, откуда x = 5.

3. Проверяем ОДЗ. В логарифме аргумент должен быть положительным:

2x - 1 > 0, то есть x > 1/2.

Полученное значение x = 5 подходит, значит это верный ответ.

Ответ: 5.

Как не потерять балл на ЕГЭ База: сначала всегда переписывайте логарифмическое уравнение в степенной вид, затем решайте полученное уравнение и в конце проверяйте ОДЗ. Частая ошибка — сразу писать ответ без проверки аргумента логарифма. Даже если уравнение решается легко, проверка обязательна.

Решим уравнение по определению логарифма.

Если ${log}_a\left(b\right)=0$, то это означает, что $b=1$, потому что для любого допустимого основания $a$ выполнено ${log}_a\left(1\right)=0$.

У нас аргумент логарифма — это выражение $2x-5$. Значит, составляем обычное линейное уравнение:

$2x-5=1$.

Решаем его:

$2x=6$, откуда $x=3$.

Теперь обязательно проверим область допустимых значений: подлогарифмическое выражение должно быть положительным.

При $x=3$ получаем $2\cdot 3-5=1$, а число $1$ положительно, значит, решение подходит.

Ответ: 3.

Полезно запомнить типовой алгоритм для таких заданий ЕГЭ База:

1. Если логарифм равен нулю, сразу вспоминаем: аргумент равен 1.
2. Решаем полученное простое уравнение.
3. Проверяем, что аргумент логарифма положителен.

Типичная ошибка — приравнять аргумент к нулю. Это неверно: нулю должен быть равен не аргумент, а сам логарифм, а тогда аргумент равен $1$. Ещё одна частая ошибка — забыть про ОДЗ. В базовом экзамене это может стоить потерянного балла, даже если уравнение решено правильно.

Решим уравнение по шагам. Здесь сумма двух логарифмов с одинаковым основанием, поэтому удобно воспользоваться свойством:

log_ab + log_ac = log_a(bc), если a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0.

В нашем случае основание — 3, оно подходит: 3 > 0 и 3 ≠ 1. Тогда

log₃(x - 1) + log₃2 = log₃(2(x - 1)).

Получаем уравнение:

log₃(2(x - 1)) = log₃10.

Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы (но только при соблюдении области допустимых значений):

2(x - 1) = 10.

Решаем линейное уравнение:

2x - 2 = 10,

2x = 12,

x = 6.

Теперь обязательно проверим ОДЗ: аргумент логарифма x - 1 должен быть положительным, значит x > 1. Число 6 подходит, значит это корень уравнения.

Ответ: 6.

Типичная ошибка на ЕГЭ База — забыть про ОДЗ или неправильно сложить логарифмы. Всегда сначала убедитесь, что основания одинаковые, затем объединяйте сумму в один логарифм, после чего приравнивайте аргументы и в конце проверяйте найденное значение.

Решим уравнение по шагам, как это удобно делать на ЕГЭ База.

1. Смотрим на основание логарифмов. Здесь в обеих частях стоит логарифм по основанию 3. Это очень важно: если основания одинаковые, можно использовать свойства логарифмов и затем приравнивать аргументы.

2. Переносим коэффициент в показатель степени. Слева стоит выражение 2·log₃(x+1). Используем свойство:

k·log_ab = log_a(b^k).

Тогда

2·log₃(x+1) = log₃((x+1)²).

Теперь уравнение принимает вид:

log₃((x+1)²) = log₃27.

3. Приравниваем аргументы. Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы (при условии, что аргументы положительны):

(x+1)² = 27.

4. Решаем полученное уравнение.

x+1 = ±√27 = ±3√3.

Значит,

x = -1 + 3√3 или x = -1 - 3√3.

5. Проверяем область допустимых значений (ОДЗ). В логарифме log₃(x+1) аргумент должен быть положительным:

x+1 > 0, то есть x > -1.

Подходит только x = -1 + 3√3, а значение x = -1 - 3√3 не подходит, потому что оно меньше -1 и делает аргумент логарифма неположительным.

Ответ: -1 + 3√3.

Как не потерять балл на такой задаче:

• сначала проверьте, одинаковые ли основания логарифмов;
• если перед логарифмом стоит число, попробуйте перенести его в показатель степени;
• после приравнивания аргументов всегда решайте обычное уравнение;
• обязательно проверяйте ОДЗ — на ЕГЭ это частая причина ошибки.

Используем главное свойство логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

$\text{log}\_2(x+1)+\text{log}\_2(x-3)=\text{log}\_2\left(\right(x+1\left)\right(x-3\left)\right)$

Тогда уравнение можно переписать так:

$\text{log}\_2\left(\right(x+1\left)\right(x-3\left)\right)=3$.

Теперь переходим от логарифма к показательной форме. Если $\text{log}\_2\left(A\right)=3$, то $A=2^3=8$. Получаем:

$(x+1)(x-3)=8$.

Раскроем скобки:

$x^2-2x-3=8$,

$x^2-2x-11=0$.

Решим квадратное уравнение:

$D=(-2){\mathrm{}}^2-4·1·(-11)=48$,

$x=\frac{2\pm \sqrt{48}}{2}=1\pm 2\sqrt{3}$.

Теперь обязательно проверяем область допустимых значений: под логарифмами должны быть положительные числа.

$x+1>0$ и $x-3>0$, значит $x>3$.

Из найденных корней только $x=1+2\sqrt{3}$ подходит, потому что второй корень меньше 3 и не входит в ОДЗ.

Ответ: $1+2\sqrt{3}$.

Как не потерять балл на таких заданиях: 1) сначала объединяйте логарифмы, если основания одинаковые; 2) после перехода к обычному уравнению не забывайте про ОДЗ; 3) если корней несколько, проверяйте каждый. Частая ошибка — сразу брать все решения квадратного уравнения без проверки аргументов логарифмов.

Если в уравнении стоят логарифмы с одинаковым основанием, то можно приравнять их аргументы. Это одно из самых важных правил для ЕГЭ База: когда основания одинаковые и допустимы, равенство логарифмов означает равенство выражений под логарифмами.

Рассмотрим уравнение:

log₃(2x - 1) = log₃7.

Основание в обоих логарифмах одно и то же — 3. Значит, можно сразу записать:

2x - 1 = 7.

Теперь решаем обычное линейное уравнение:

2x = 8, откуда x = 4.

Но в логарифмических уравнениях всегда нужно проверять область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:

2x - 1 > 0, то есть x > 1/2.

Найденное значение x = 4 этому условию удовлетворяет, значит, оно подходит.

Ответ: 4.

Как не потерять балл на таких заданиях:

• сначала проверьте, что основания логарифмов одинаковые;
• если основания одинаковые, приравняйте аргументы;
• обязательно проверьте, что аргумент логарифма положителен;
• не забывайте, что равенство логарифмов без одинаковых оснований так решать нельзя.

Типичная ошибка — сразу написать ответ, не проверив ОДЗ. В этой задаче это не приводит к проблеме, но на экзамене так можно потерять балл в более сложных примерах.

Решим уравнение шаг за шагом. В таких заданиях ЕГЭ База главное — не торопиться и сначала привести логарифмы к удобному виду, а потом обязательно проверить область допустимых значений (ОДЗ).

1. Запишем уравнение:

3·log₂(x + 1) = log₂32.

Здесь слева перед логарифмом стоит коэффициент 3. Его удобно перенести в показатель степени с помощью свойства:

k·log_ab = log_a(b^k), если a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Применим это свойство:

3·log₂(x + 1) = log₂((x + 1)³).

Тогда уравнение превращается в

log₂((x + 1)³) = log₂32.

2. Приравниваем аргументы, так как основания логарифмов одинаковые, а основание 2 подходит по условиям:

(x + 1)³ = 32.

Число 32 — это 2⁵, но удобнее заметить, что

3³ = 27, 4³ = 64, значит корень надо искать точнее. Кубический корень из 32 примерно равен 3,17, но в школьных заданиях обычно решение получается целым, если уравнение составлено удачно. Здесь можно решить точно:

x + 1 = ∛32.

Однако это не очень удобно для ЕГЭ База, поэтому проверим, нет ли более простого пути: действительно, если уравнение записано именно так, ответ будет x = ∛32 - 1. Но чтобы задание было базового уровня и с целым ответом, в вариантах нужно выбрать такое уравнение, где правая часть — точная степень. Поэтому в корректной версии этого задания нужно было бы взять, например, log₂8 или log₂64.

Исправим решение для данного уравнения: если правая часть log₂32, то

(x + 1)³ = 32, откуда

x + 1 = ∛32,

x = ∛32 - 1.

3. Проверим ОДЗ. Для логарифма нужно, чтобы аргумент был положительным:

x + 1 > 0, то есть x > -1.

Найденное значение x = ∛32 - 1 действительно больше -1, значит оно подходит.

Ответ: x = ∛32 - 1.

Важно для экзамена: если в ответах есть только целые числа, всегда сначала проверьте, что уравнение составлено так, чтобы решение было целым. В заданиях на логарифмы очень частая ошибка — забыть ОДЗ или попытаться «сократить логарифмы» без преобразования коэффициента. Правильный алгоритм такой: 1) ОДЗ, 2) перенести коэффициент в показатель, 3) приравнять аргументы, 4) решить уравнение, 5) проверить ответ.