Линейные функции: график, угловой коэффициент и сравнение: задания с ответами

У линейной функции y = kx + b знак коэффициента k определяет, как ведёт себя график при движении слева направо.

Если прямая поднимается слева направо, то значения y увеличиваются при увеличении x, значит k > 0. Если прямая опускается слева направо, то значения y уменьшаются при увеличении x, значит k < 0. Если прямая горизонтальная, то k = 0.

В нашем случае прямая идёт из верхней левой части в нижнюю правую, то есть слева направо она убывает. Следовательно, угловой коэффициент k отрицательный.

Ответ: k < 0.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не смотрите на то, где прямая пересекает ось Oy — это связано с числом b, а не с коэффициентом k. Для знака k важно только направление наклона прямой.

Для линейной функции вида y = kx + b число k называется угловым коэффициентом. Оно показывает, насколько изменяется значение y, когда x увеличивается на 1.

Если на графике известны две точки прямой, то угловой коэффициент находят по формуле:

k = Δy / Δx,

где Δy — изменение координаты по оси y, а Δx — изменение координаты по оси x.

Возьмём точки (-2; -1) и (2; 7).

Тогда

Δx = 2 - (-2) = 4,

Δy = 7 - (-1) = 8.

Значит,

k = 8 / 4 = 2.

Итак, угловой коэффициент прямой равен 2.

Почему это важно помнить: многие ученики путают угловой коэффициент со свободным членом b. Но b — это точка пересечения с осью Oy, а k отвечает именно за наклон прямой. Ещё одна частая ошибка — неправильно считать приращения: если вы меняете порядок точек, знаки в числителе и знаменателе меняются одновременно, и значение k остаётся тем же. Главное — не смешивать Δy и Δx и аккуратно считать клетки на координатной сетке.

Проверка себя: если прямая идёт вверх слева направо, то k > 0. Здесь наклон действительно положительный, значит ответ должен быть положительным числом.

Угловой коэффициент прямой k показывает, на сколько изменяется y при увеличении x на 1. Для линейной функции его можно найти по двум точкам графика по формуле:

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).

Возьмём точки (−2; 1) и (4; 7). Тогда

k = (7 − 1) / (4 − (−2)) = 6 / 6 = 1.

Значит, ответ: 1.

Как можно быстро проверить себя: если прямая идёт вверх вправо, то коэффициент положительный. Здесь он равен 1, то есть при увеличении x на 1 значение y тоже увеличивается на 1. Это типичный случай прямой под углом 45° к оси Ox, если масштаб по осям одинаковый.

Частая ошибка — перепутать порядок вычитания и получить неправильный знак. Чтобы не ошибиться, всегда вычитайте координаты одной и той же пары точек в одном и том же порядке: сначала вторую точку минус первую, и в числителе, и в знаменателе.

Угловой коэффициент линейной функции y = kx + b показывает, как меняется y при увеличении x на 1. Его можно найти по двум точкам прямой по формуле:

k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Возьмём данные точки (-2; -1) и (2; 5). Тогда:

k = (5 - (-1)) / (2 - (-2)) = 6 / 4 = 3/2.

Значит, правильный ответ — 3/2.

Почему это важно уметь делать быстро на ЕГЭ? Часто в таких заданиях дают именно две удобные точки на сетке. Тогда не нужно строить график заново: достаточно аккуратно посчитать приращение по y и приращение по x. Ошибка многих учеников — перепутать местами числа в дроби или взять не разность координат, а сами координаты. Ещё одна типичная ошибка — забыть про знак: если прямая идёт вверх слева направо, то k > 0; если вниз — то k < 0.

Полезная самопроверка: если вы получили положительное число, а прямая на рисунке убывает, значит, где-то допущена ошибка. В этой задаче прямая возрастает, поэтому знак должен быть положительным.

Для линейной функции вида y = kx угловой коэффициент k показывает, насколько меняется значение y при увеличении x на 1. Проще говоря, это «наклон» прямой: если прямая идёт вверх вправо, то k > 0; если вниз вправо — k < 0.

В задаче сказано, что прямая проходит через начало координат (0; 0) и точку (3; 6). Значит, можно взять эти две точки и найти отношение приращений:

k = Δy / Δx = (6 - 0) / (3 - 0) = 6 / 3 = 2.

Это и есть ответ: k = 2.

Почему так можно делать? Для любой прямой в виде y = kx отношение изменения y к изменению x одинаково для любых двух точек на графике. Поэтому достаточно выбрать две удобные точки с целыми координатами. В ЕГЭ База это самый надёжный способ: не нужно «угадывать наклон», лучше просто посчитать по клеткам или по отмеченным точкам.

Типичные ошибки:

• путать k со свободным членом b. Здесь b = 0, потому что прямая проходит через начало координат;
• перепутать формулу и взять Δx / Δy вместо Δy / Δx;
• не учитывать знак: если прямая возрастает, коэффициент положительный;
• делать вывод только «по виду» графика, не проверив вычислением.

Как быстро себя проверить на экзамене: возьмите ещё одну точку на прямой и убедитесь, что при движении на 1 вправо график поднимается на 2 вверх. Это подтверждает, что k = 2.

Угловой коэффициент линейной функции y = kx + b показывает, как наклонена прямая.

• Если k > 0, прямая идёт вверх слева направо.
• Если k < 0, прямая идёт вниз слева направо.
• Чем меньше значение k, тем сильнее прямая “падает” при движении вправо.

Значит, при возрастании углового коэффициента сначала идут самые “круто нисходящие” прямые, потом менее крутые, а затем те, у которых коэффициент становится ближе к нулю.

По рисунку видно:

• прямая d убывает быстрее всего, значит её угловой коэффициент самый маленький;
• затем идёт прямая c;
• потом прямая b;
• прямая a убывает слабее всех, значит у неё коэффициент наибольший среди данных.

Следовательно, порядок по возрастанию углового коэффициента такой: d, c, b, a.

Как быстро не ошибиться на ЕГЭ: не сравнивайте прямые по тому, где они выше или ниже на рисунке. Сравнивать нужно именно наклон. Две прямые могут пересекать ось y в разных точках, но иметь одинаковый наклон; и наоборот, одна и та же высота на рисунке не означает одинаковый коэффициент.

Типичная ошибка: перепутать порядок при отрицательных коэффициентах. Для отрицательных наклонов “больше” означает меньше по модулю, то есть прямая убывает медленнее. Поэтому при сортировке по возрастанию сначала идут более отрицательные значения, а затем менее отрицательные.

Угловой коэффициент прямой — это число k в записи линейной функции y = kx + b. Он показывает, как меняется y, если x увеличивается на 1, то есть это отношение приращений:

k = Δy / Δx.

Если на графике известны две точки прямой, угловой коэффициент можно найти по формуле:

k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Подставим точки (1; 4) и (5; -2):

k = (-2 - 4) / (5 - 1) = -6 / 4 = -3/2.

Значит, правильный ответ — -3/2.

Почему это важно: в заданиях ЕГЭ База часто нужно быстро считать наклон по двум удобным точкам. Главное — не перепутать порядок вычитания. Если написать наоборот, можно получить тот же модуль, но неверный знак. Это одна из самых частых ошибок.

Как себя проверить: у нашей прямой при увеличении x значение y убывает, значит угловой коэффициент должен быть отрицательным. Это совпадает с ответом -3/2.

Совет на экзамен: всегда берите две точки с целыми координатами и сразу смотрите на знак: прямая идёт вверх слева направо — коэффициент положительный; идёт вниз — отрицательный.

Угловой коэффициент линейной функции y = kx + b показывает, как ведёт себя прямая на координатной плоскости.

1. Знак коэффициента k

Если k > 0, то прямая возрастает: при движении слева направо она поднимается вверх. Если k < 0, то прямая убывает: слева направо она идёт вниз.

2. Модуль коэффициента |k|

Чем больше |k|, тем круче прямая. Это значит, что при одинаковом движении по оси x значение y меняется сильнее.

В задаче спрашивается самая круто возрастающая прямая. Значит, нужен не просто положительный коэффициент, а положительный и с наибольшим модулем среди положительных вариантов.

Для сравнения, если варианты такие: 1/2, 2, -3, 3/4, то:

• -3 не подходит, потому что это убывающая прямая;
• 1/2 и 3/4 подходят по знаку, но они не такие крутые;
• 2 — положительный коэффициент и он больше остальных положительных, значит именно эта прямая будет самой крутой среди возрастающих.

Как быстро решать такие задания на ЕГЭ База:

1. Сначала смотри на знак: вверх или вниз идёт прямая.
2. Потом сравнивай крутизну: чем сильнее наклон вверх, тем больше k.
3. Не путай угловой коэффициент с свободным членом b: он отвечает только за точку пересечения с осью y, а не за наклон.

Типичная ошибка — выбрать самый «высокий» график или тот, который пересекает ось y выше. Это неверно: нужна именно крутизна наклона, а не положение прямой на плоскости.

Итак, правильный ответ — 2, то есть вариант с наибольшим положительным угловым коэффициентом.

Для линейной функции y = kx + b именно коэффициент k отвечает за наклон прямой. Его называют угловым коэффициентом. Чтобы определить знак k по графику, не нужно ничего вычислять: достаточно посмотреть, как ведёт себя прямая при движении слева направо, то есть при увеличении x.

Если при увеличении x значения y тоже увеличиваются, то функция возрастает, а значит k > 0. Если прямая идёт вниз слева направо, то функция убывает, и тогда k < 0. Если прямая горизонтальна, то k = 0.

В этой задаче сказано, что график идёт слева направо вверх и не является горизонтальной прямой. Значит, при росте x растёт и y. Следовательно, k > 0.

Правильный ответ: положительный знак коэффициента k.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не смотрите на то, где прямая пересекает ось Oy — это связано с b, а не с k. Для знака k важен только наклон прямой. Полезная проверка: мысленно идите по графику слева направо. Если линия поднимается, то k > 0; если опускается — k < 0; если идёт ровно — k = 0.

Для линейной функции y = kx + b угловой коэффициент k показывает, насколько наклонена прямая:

• если k > 0, прямая возрастает;
• если k < 0, прямая убывает;
• чем больше k, тем «выше» наклон вверх вправо;
• если k отрицательный, то более пологая убывающая прямая имеет большее значение k, чем более крутая.

Здесь все прямые убывают, значит все угловые коэффициенты отрицательные. Это очень важно: при отрицательных k порядок по величине идёт не по «крутизне», а наоборот — от самой пологой к самой крутой.

Смотрим на график:

• b — самая пологая убывающая прямая, значит у неё наибольшее значение k;
• a убывает чуть сильнее, чем b;
• c ещё круче вниз;
• d — самая крутая убывающая прямая, значит у неё наименьшее значение k.

Следовательно, в порядке убывания углового коэффициента получаем:

b, a, c, d.

Правильный ответ: этот порядок соответствует варианту А.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не смотрите на то, где прямая выше или ниже в одной точке. Это не помогает сравнивать k. Нужно сравнивать именно наклон. Если все прямые убывают, то самая «пологая» из них имеет самый большой k, а самая «крутая вниз» — самый маленький.

У линейной функции вида y = kx + b знак углового коэффициента k определяется по тому, как ведёт себя прямая слева направо.

Если при движении по оси x вправо значения y увеличиваются, то прямая возрастает, и тогда k > 0.

Если бы прямая шла вниз слева направо, то функция убывала бы, и тогда k < 0. Если бы прямая была горизонтальной, то k = 0.

На данном рисунке прямая идёт вверх при движении слева направо. Значит, функция возрастает, поэтому угловой коэффициент положителен.

Ответ: k > 0.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не смотрите на то, где прямая пересекает оси, и не путайте k с b. Для знака k важен только наклон прямой: вверх — плюс, вниз — минус, горизонтально — ноль.

Для линейной функции вида y = kx + b именно коэффициент k отвечает за наклон прямой.

Как сравнивать k по графику:

• если прямая идёт вверх слева направо, то k > 0;
• если прямая идёт вниз слева направо, то k < 0;
• чем круче вверх идёт прямая, тем больше её положительный коэффициент;
• чем круче вниз идёт прямая, тем меньше её коэффициент.

На рисунке все прямые убывают, значит все их угловые коэффициенты отрицательные. Для отрицательных чисел важно не перепутать порядок: большее число — это то, которое ближе к нулю. Поэтому самая пологая убывающая прямая имеет наибольший коэффициент, а самая крутая вниз — наименьший.

По рисунку:

• a — самая пологая убывающая прямая, значит у неё наибольший из данных коэффициент;
• b идёт вниз заметно круче, чем a;
• c ещё круче, чем b;
• d — самая крутая вниз, значит у неё наименьший коэффициент.

Следовательно, по возрастанию углового коэффициента порядок такой: d, c, b, a.

Ответ: d, c, b, a.

Как не потерять балл на ЕГЭ: не ориентируйтесь на то, где прямая выше или ниже на рисунке, и не смотрите на точку пересечения с осями. Для сравнения k важен только наклон: «круче вверх» — больше, «круче вниз» — меньше. Если коэффициенты отрицательные, то порядок идёт наоборот по сравнению с интуицией: чем линия менее крутая вниз, тем коэффициент больше.